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Vorlesung: Einführung in die Mengenlehre
Wintersemester 2005/2006
| Veranstalter: |
Dr. G. Fuchs, Zi. 813 (Sekretariat Frau Pfeifer, Zi. 811),
Ph. Doebler |
| Zeit der Vorlesung: |
Montag 11-13 Uhr, M5 und Donnerstag 11-13 Uhr, M3 |
| Belegnummer: |
104182 |
| Inhalt: |
Diese Vorlesung soll den Grundapparat der Mengenlehre
vermitteln. Znächst wird das Axiomensystem ZFC der Mengenlehre
vorgestellt, und es werden grundlegende Konzepte wie Ordinalzahlen,
Kardinalzahlen, Rekursionssätze, stationäre Mengen und club-Mengen
behandelt. Einige Themen aus der deskriptiven Mengenlehre werden
gestreift, und es soll die konstruktible Hierarchie - Gödels L -
eingeführt werden. Es wird gezeigt, dass in L die allgemeine
Kontinuumshypothese gilt, und es sind einige kombinatorische
Konstruktionen in L vorgesehen.
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| Literatur: |
- T. Jech: Set Theory - the third millenium edition, Springer Verlag
- K. Kunen: Set Theory - an introduction to independence proofs, North Holland
- H.-D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, B.I. Wissenschaftsverlag
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| Übungen: |
Donnerstag, 13-15 Uhr, SR8, bei Philipp Doebler
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| Übungsschein: |
Einen Übungsschein erhält man durch:
- aktive Teilnahme an den Übungen (u.a. mehrfaches Vorrechnen),
- das Erlangen von mindestens 50% der möglichen Punkte aus den Übungsaufgaben
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| Aufgaben: |
Die Aufgaben werden jeweils montags in der Vorlesung ausgegeben, die Lösungen können
dann bis zum folgenden Montag, 11:15 Uhr, in den Briefkasten 90 geworfen werden.
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Hier geht's zum Eintrag im Vorlesungsverzeichnis.
Zum Herunterladen:
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Die Übungszettel:
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Hier eine genauere Übersicht über den Inhalt der Vorlesung:
I Die Axiome der Mengenlehre
In diesem Kapitel werden die ZFC-Axiome bis auf Unendlichkeit und
Auswahl eingeführt.
II Fundierte Relationen
Der Wertverlaufsrekursionssatz
Der Isomorphismensatz von Mostowski
III Ordinalzahlen
Lineare Ordnungen und Wohlordnungen
Ordnungstypen
Endliche lineare Ordnungen
Das Unendlichkeitsaxiom
IV Die natürlichen Zahlen und die unendlichen Ordinalzahlen
Vollständige Induktion und Rekursionssatz für ω
Arithmetische Operationen auf ω
Endliche Kardinalzahlen
Limesordinalzahlen
Vollständige Induktion und Rekursion auf den Ordinalzahlen
Die Von-Neumannsche Hierarchie, der Rang einer Menge
Monotone, stetige und normale Funktionen
Abgeschlossene Mengen
Ordinale Arithmetik
Die Cantorsche Normalform
V Kardinalzahlen
Die Gleichmächtigkeits- und
Kleinergleichmächtigkeitsbeziehungen
Die Sätze von Cantor und Schröder-Bernstein-Dedekind
Das Auswahlaxiom in verschiedenen äquivalenten Formen:
Vergleichbarkeitsprinzip,
Aufzählbarkeitsprinzip,
Wohlordnungsprinzip,
Produktsatz,
Uniformierungssatz,
Zornsches Lemma
Kardinalzahlarithmetik:
Die Gödelsche Paarfunktion, Trivialität
der Addition und Multiplikation von unendlichen Kardinalzahlen,
Exponentiation,
Kofinalitäten und reguläre Kardinalzahlen, Ungleichung von
König, unendliche Summen und Produkte, Satz von König
VI Infinitäre Kombinatorik (Teil 1)
Schubfachprinzipien
Club-Mengen und stationäre Mengen
Diagonaler Schnitt und der Satz von Fodor
Der Satz von Silver
Der Satz von Solovay (über die Zerlegbarkeit von stationären
Mengen)
VII Mathematische Strukturen
Dichte lineare Ordnungen
Satz von Cantor (über die Eindeutigkeit abzählbarer dichter
Ordnungen)
Vollständige lineare Ordnungen
Vervollständigung von dichten linearen Ordnungen
Konstruktion der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und der reellen
Zahlen
Separable lineare Ordnungen
Eindeutigkeit der rellen Zahlen
CCC lineare Ordnungen
Das Souslinsche Problem/Die Souslinsche Hypothese
Formalisierung der Logik
ZF' und ZF-
Absolutheit
Der Modellbegriff
Relativierung von Formeln
VIII Innere Modelle und Konstruierbarkeit
Definition der Definierbarkeit
Innere Modelle
Die konstruktible Hierarchie
Absolutheit der konstruktiblen Hierarchie
Die kanonische Wohlordnung von L
Das Auswahlaxiom in L
Das Kondensierungslemma
GCH in L
Das Prinzip Diamond (♦) gilt in L
IX Infinitäre Kombinatorik (Teil 2): Bäume
Der Satz von König
Normale ω1-Bäume
(Spezielle) Aronszajn-Bäume
Souslin-Bäume
Konstruktion eines Gegenbeispiels zur Souslinschen Hypothese aus einem
Souslin-Baum
Konstruktion eines Souslin-Baums unter Annahme von (♦)
Martin's Axiom
Aus MA(ω1) folgt die Nichtexistenz von Souslin-Bäumen
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