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Vorlesung Logik IV - Sommersemester 2006
Vorlesung: Logik IV / Mengenlehre II
Sommersemester 2006
| Veranstalter: |
Dr. G. Fuchs, Zi. 813 (Sekretariat Frau Pfeifer, Zi. 811),
Übungsleiter: Thilo Weinert |
| Zeit der Vorlesung: |
Dienstag und Freitag, 13-15 Uhr, Raum M5 |
| Belegnummer: |
104176 |
| Inhalt: |
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| Literatur: |
- T. Jech: Set Theory - the third millenium edition, Springer Verlag
- K. Kunen: Set Theory - an introduction to independence proofs, North Holland
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| Übungen: |
Donnerstag, 11-13 Uhr, SR8
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| Übungsschein: |
Einen Übungsschein erhält man durch:
- aktive Teilnahme an den Übungen (u.a. mehrfaches Vorrechnen),
- das Erlangen von mindestens 50% der möglichen Punkte aus den Übungsaufgaben
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| Aufgaben: |
Die Aufgaben werden jeweils dienstags in der Vorlesung ausgegeben, die Lösungen können
am folgenden Dienstag in der Vorlesung abgegeben werden.
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Hier geht's zum Eintrag im Vorlesungsverzeichnis.
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Die Übungszettel:
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Hier eine genauere Übersicht über den Inhalt der Vorlesung:
I Relative Konsistenzbeweise
In diesem Kapitel wird gezeigt, wie man mit Hilfe des Forcing relative
Konsistenzbeweise führt. Ausserdem werden partielle Ordnungen
und (generische) Filter eingeführt.
II Die Konstruktion der generischen Erweiterung
Themen dieses Kapitels: Namen für Elemente der generischen
Erweiterung, deren Interpretation durch einen generischen Filter,
die Konstruktion der generischen Erweiterung, und einige einfache
Eigenschaften derselben.
III Die Forcing-Relation
Es werden die inhaltliche und die formale Version der Forcing-Relation
eingeführt (wie in Kunens "Set Theory", s. Literaturliste). Wir
zeigen die Äquivalenz dieser Begriffe, eine Entwicklung, die in
dem Forcing-Theorem kulminiert. Schließlich wird gezeigt,
dass sich die Zermelo-Fraenkelschen Axiome von M auf generische
Erweiterungen übertragen (wir zeigen "lokale" Versionen
dieser Tatsache: ZF- überträgt sich, ZF
überträgt sich, und ZF-+AC überträgt
sich).
IV Erste relative Konsistenzresultate via Forcing
Wir beginnen damit, die Konsistenz von ZFC+V≠L relativ zur
Konsistenz von ZFC zu zeigen. Es wird die κ-chain condition
eingeführt und ihre Bedeutung für das Forcing
analysiert. Es wird gezeigt, dass ccc Forcing Kofinalitäten
erhält, was dann verwendet wird, um Cohen's berühmtes
Resultat zu beweisen, die Unabhängigkeit der
Kontinuumshypothese von ZFC. Hierfür wird ein wenig
Kombinatorik gebraucht, im Wesentlichen das Δ-System Lemma.
V Forcing mit partiellen Ordnungen ohne ccc
Themen sind die <κ-chain condition, <κ-Abgeschlossenheit
und <κ-Distributivität und die Verbindung
dieser Eigenschaften einer partiellen Ordnung zum Erhalt
von Kardinalitäten, Kofinalitäten und dem
Adjungieren neuer <κ-Folgen von Elementen des
Grundmodells. Als Anwendung wird der Wert der Kontinuumsfunktion
an einer regulären Stelle vergrößert.
VI Vollständige Einbettungen, Homogenität und Produkte
Hier geht es zunächst um den Zusammenhang zwischen generischen
Erweiterungen gemäß partieller Ordnungen, von
denen die eine vollständig in die andere eingebettet
werden kann. Weiter wird analysiert, wie sich die
assoziierten Forcing-Relationen verhalten, wenn man die
involvierten Namen gemäß der Einbettung der Namensräume
mitbewegt, die von der vollständigen Einbettung der
partiellen Ordnungen induziert wird; der Spezialfall eines
Automorphismus wird auch behandelt, und der Begriff der
schwachen Homogenität und des symmetrischen Namens
wird eingeführt. Einige Konsequenzen schwacher
Homogenität werden gezeigt. Danach folgt Solovay's
Produktanalyse, zusammen mit einigen
Anwendungen. Bspw. wird gezeigt, dass wenn G und H
wechselseitig generisch über M sind, der Schnitt der
generischen Erweiterungen genau M ist. Danach geht es um
den Levy-Kollaps. Grundlegende Eigenschaften (c.c.,
Abgeschlossenheit) werden gezeigt, auch die schwache
Homogenität des Kollaps, die Universalitä des
Levy-Kollaps. Schließlich geht es um Modelle
zwischen M und einer (Kollaps-)generischen Erweiterung und um
die Absorption von abzählbaren Folgen von
Ordinalzahlen in das Grundmodell.
VII HOD
Das innere Modell der hereditär ordinal definierbaren Mengen (und
relativierte Versionen hiervon, in denen die erlaubte
Parametermenge/-klasse vergrößert ist) wird
eingeführt, es wird gezeigt dass es tatsächlich
ein inneres Modell ist (und ein Kriterium dafü
gegeben, wann die relativierten Versionen innere Modelle
sind). Außerdem wird gezeigt, dass in HOD das
Auswahlaxiom gilt, und ein Kriterium dafür angegeben,
wann dies in der relativierten Version der Fall ist.
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