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Bachelorseminar:

Angewandte Mathematik

SS 2012



Dozenten: Prof. Dr. Mario Ohlberger,

Prof. Dr. Christian Engwer,

Dr. Chantal Oberson Ausoni,

Dr. Frank Wübbeling,

Dipl. Math. Kathrin Smetana,

Dipl. Math. Hendrik Dirks,

Zeit, Ort: Do  14:00  -  16:00, wöchentlich, S109 (SR 1B), Einsteinstr. 62
Voraussetzungen: Vorkenntnisse zu Differentialgleichungen oder Modellierung sind wünschenswert.
Hinweis:
Das Institut bietet parallel zu diesem Bachelorseminar eine Einführung in das Wissenschaftliche Arbeiten an.
Inhalt: Dieses Seminar richtet sich an Studierende, die Ihre Bachelorarbeit in Angewandter Mathematik schreiben wollen. Wir werden ausgewählte Themen zu partiellen Differentialgleichungen, Numerischer Analysis, Modellierung
und Bildverarbeitung besprechen. Von den Dozenten werden Vorträge zu den folgenden Themenkomplexen vergeben:

Prof. Dr. Mario Ohlberger/ Dipl. Math. Kathrin Smetana:
  • Einführung und Numerische Analysis verschiedener Diskretisierungsverfahren (Finite Elemente, Finite Volumen, Sparse grids)
  • Modellierung verschiedener Prozesse ( Erhaltungsgleichungen, Grundwasserströmungen, Plaqueablagerungen in Blutgefäßen,..)
  • Modellreduktion: Häufig sind Phänomene in der Natur, wie zum Beispiel das Wetter oder Blutströmungen sehr komplex und lassen sich nur mit sehr vielen verschiedenen Differentialgleichungen in einem eventuell hochdimensionalen Raum beschreiben. Um solche Phänomene simulieren zu können, müssen wir das Modell vereinfachen. Hier werden im Seminar verschiedene Ansätze an einfachen Beispielen besprochen.
  • Fehlerabschätzungen: Wenn wir Prozesse aus der Natur simulieren möchten, so müssen wir aufgrund der Komplexität der Prozesse Vereinfachungen durchführen, indem wir zum Beispiel nur ein vereinfachtes Modell betrachten oder die Differentialgleichung numerisch und nicht exakt lösen. Um eine Kontrolle über den Fehler zwischen der richtigen und der approximierenden Lösung der Differentialgleichung zu erhalten, leitet man Abschätzungen dieses Fehlers her. Im Seminar werden wir verschiedene Techniken kennenlernen mit denen man solche Fehlerabschätzungen beweisen kann.
Prof. Dr. Christian Engwer:

Die Liste ist nicht vollständig, soll aber einen Einblick in die Liste möglicher Themen bieten:
  • High Performance Computing: Wissenschaftliches Rechnen hat einen fast unstillbaren Hunger nach Rechenzeit. Durch Parallelisierung und geeignete Simulationenverfahren ist es möglich Computercluster und andere verteilte Systeme zur Simulation zu verwenden. Die Grundlagen solcher Methoden sollen erarbeitet und im kleinen Maßstab getestet werden.
  • Spezielle Diskretisierungsverfahren. Z.B:
         - LevelSet Verfahren. Diese Methoden bieten einen einfachen Zugang zu
           Simulationen auf zeitlich veränderlichen Gebieten.
         - Discontinuous Galerkin Verfahren. Diese erlauben es auf leichte Art
           physikalische Erhaltungsgleichungen in der Simulation zu berücksichtigen.
         - Mimetic Finite Difference Methoden. Diese Verfahren haben das Ziel
           Simulationen auf sehr allgemeinen Gittern und Gebieten zu erlauben.
  • Anwendung fortgeschrittenen Programmierkonzepte für Wissenschaftliches Rechnen (z.B. rapid prototyping, Integration von Python und C++, Domain-specific languages). Im wissenschaftlichen Rechnen ist nicht nur die mathematische Methode von Interesse, sondern auch deren Umsetzung als Computerprogramm. Moderne Programmierkonzepte erlauben es neue mathematische Verfahren schnell zu testen. Es sollen verscheidene Ansätze diskutiert werden und z.T. auch ausprobiert werden.
  • Anwendungen in porösen Medien. Poröse Medien spielen in der Industrie eine große Rollen (z.B. Simulation von Erdölvorkommen oder Schadstoffe im Boden). Numerische Verfahren für solche Probleme können diskutiert, analysiert und verglichen werden.

Dr. Chantal Oberson Ausoni/ Dipl. Math. Hendrik Dirks:

  • Digitale Topologie in der Bildverarbeitung: In der Bildverarbeitung brauchen wir Begriffe wie Wegkomponenten, Nachbarschaft von Mengen und Rand, die aus der allgemeinen Topologie stammen. Betrachtet man digitale 2D-Bilder, die aus Kacheln-ähnlichen weißen und schwarzen Pixeln bestehen, kann man für jeden Pixel entweder die 4-, oder die 8-Nachbarschaft betrachten (je nachdem, ob man die diagonalen Nachbarn dazu zählt). In der digitalen Topologie wird z.B. untersucht wie man die Pixel charakterisieren kann, bei denen eine Farbänderung von schwarz auf weiß (oder umgekehrt) die topologischen Eigenschaften (Wegkomponenten, Löcher) des zugrunde liegenden Bildes nicht verändert. Im Bereich der Topologie sind keine Vorkenntnisse erforderlich!
  • Segmentierung ist ein Teilgebiet der Bildverarbeitung. Unter diesem Begriff versteht man die Einteilung des Bildes in unterschiedliche Objekte oder Regionen. Moderne Segmentierungsalgorithmen erlauben es zum Beispiel eine sich bewegende Zelle in der Zeit zu verfolgen oder das Herz aus 3-dimensionalen MRT-Daten zu extrahieren.
  • Anwendung der digitalen Topologie in der Segmentierung: Digitale Topologie kann Segmentierungsalgorithmen entscheidend verbessern. Zum Beispiel können bei der Segmentierung von Graustufenbildern topologische Bedingungen formuliert werden, wodurch ein Objekt über die Zeit segmentiert wird, ohne dass seine topologischen Eigenschaften verloren gehen (das Objekt wird nicht geteilt, fusioniert nicht mit einem anderen, erhält kein neues Loch usw.).

Dr. Frank Wübbeling:

Alle Themen können mit einem Fokus auf der Analysis (Existenz, Eindeutigkeit, analytische Inversionsformeln, hierzu: Grundkenntnisse der Analysis) oder auf der Numerik (Numerische Verfahren zur Lösung, Untersuchung des numerischen Verhaltens, ggf. Implementation von Algorithmen, Voraussetzung: Numerische Lineare Algebra/Analysis) bearbeitet werden.
  • Bildverarbeitung und inverse Probleme partieller Differentialgleichungen. Klassische Aufgaben der Bildverarbeitung lassen sich als inverse Probleme partieller Differentialgleichungen schreiben. Voraussetzung für ein Thema ist hier die Vorlesung Modellierung.
          - CT, PET, SPECT und die Transportgleichung
          - Optische Tomographie und die Diffusionsgleichung
          - Impedanztomograhie und Inverse Probleme elliptischer Differentialgeichungen
          - Ultraschalltomographie und die Wellengleichung
  • Single Photon Emission Computerized Tomography (SPECT): Es werden Daten aus klinischen und Kleintierscannern zur Verfügung stehen. Im Rahmen der Arbeit/des Vortrags sollten einfache Rekonstruktionsverfahren implementiert werden.

Termine:
Prof. Dr. Mario Ohlberger/Dipl. Math. Kathrin Smetana und Prof. Dr. Christian Engwer:

  • Gunnar Kaib: Plaque formation
  • Anne Pein: Hierarchische Modellreduktion
am 5.6.2012 von 12-16 Uhr im Besprechungsraum der Numerik (N229/230).


Dr. Chantal Oberson Ausoni/ Dipl. Math. Hendrik Dirks und
Dr. Frank Wübbeling:

t.b.a.
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