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Dieses Seminar richtet sich an Studierende, die Ihre Bachelorarbeit in
Angewandter Mathematik schreiben wollen. Wir werden ausgewählte Themen
zu partiellen Differentialgleichungen, Numerischer Analysis, Modellierung
und
Bildverarbeitung besprechen. Von den Dozenten werden Vorträge zu den folgenden Themenkomplexen vergeben:
Prof. Dr. Mario Ohlberger/ Dipl. Math. Kathrin Smetana:
- Einführung und Numerische Analysis verschiedener Diskretisierungsverfahren (Finite Elemente, Finite Volumen, Sparse grids)
- Modellierung verschiedener Prozesse ( Erhaltungsgleichungen, Grundwasserströmungen, Plaqueablagerungen in Blutgefäßen,..)
- Modellreduktion: Häufig sind Phänomene in der Natur, wie
zum Beispiel das Wetter oder Blutströmungen sehr komplex und lassen
sich nur mit sehr vielen verschiedenen
Differentialgleichungen in einem eventuell hochdimensionalen Raum
beschreiben.
Um solche Phänomene simulieren zu können, müssen wir das Modell
vereinfachen. Hier werden im Seminar verschiedene Ansätze an einfachen
Beispielen besprochen.
- Fehlerabschätzungen: Wenn wir Prozesse aus der Natur simulieren möchten,
so müssen wir aufgrund der Komplexität der Prozesse Vereinfachungen
durchführen, indem wir zum Beispiel nur ein vereinfachtes Modell
betrachten oder die Differentialgleichung numerisch und nicht exakt
lösen. Um eine Kontrolle über den Fehler zwischen der richtigen und der
approximierenden Lösung der Differentialgleichung zu erhalten, leitet
man Abschätzungen dieses Fehlers her. Im Seminar werden wir
verschiedene Techniken kennenlernen mit denen man solche
Fehlerabschätzungen beweisen kann.
Prof. Dr.
Christian Engwer:
Die Liste ist nicht vollständig, soll aber einen Einblick in die Liste möglicher Themen bieten:
- High Performance Computing: Wissenschaftliches Rechnen hat einen
fast unstillbaren Hunger nach Rechenzeit. Durch Parallelisierung und
geeignete Simulationenverfahren ist es möglich Computercluster und
andere verteilte Systeme zur Simulation zu verwenden. Die Grundlagen
solcher Methoden sollen erarbeitet und im kleinen Maßstab getestet
werden.
- Spezielle Diskretisierungsverfahren. Z.B:
- LevelSet Verfahren. Diese Methoden bieten einen einfachen Zugang zu
Simulationen auf zeitlich veränderlichen Gebieten.
- Discontinuous Galerkin Verfahren. Diese erlauben es auf leichte
Art
physikalische Erhaltungsgleichungen in der Simulation zu
berücksichtigen.
- Mimetic Finite Difference Methoden. Diese Verfahren haben das Ziel
Simulationen auf sehr allgemeinen Gittern und Gebieten zu erlauben.
- Anwendung fortgeschrittenen Programmierkonzepte für
Wissenschaftliches Rechnen (z.B. rapid prototyping, Integration von
Python und C++, Domain-specific languages). Im wissenschaftlichen
Rechnen ist nicht nur die mathematische Methode von Interesse,
sondern auch deren Umsetzung als Computerprogramm. Moderne
Programmierkonzepte erlauben es neue mathematische Verfahren schnell
zu testen. Es sollen verscheidene Ansätze diskutiert werden und
z.T. auch ausprobiert werden.
- Anwendungen in porösen Medien. Poröse Medien spielen in der
Industrie eine große Rollen (z.B. Simulation von Erdölvorkommen
oder Schadstoffe im Boden). Numerische Verfahren für solche Probleme
können diskutiert, analysiert und verglichen werden.
Dr. Chantal Oberson Ausoni/ Dipl. Math. Hendrik Dirks:
- Digitale Topologie in der Bildverarbeitung: In der Bildverarbeitung
brauchen wir Begriffe wie Wegkomponenten, Nachbarschaft von Mengen und
Rand, die aus der allgemeinen Topologie stammen. Betrachtet man digitale
2D-Bilder, die aus Kacheln-ähnlichen weißen und schwarzen Pixeln
bestehen, kann man für jeden Pixel entweder die 4-, oder die
8-Nachbarschaft betrachten (je nachdem, ob man die diagonalen Nachbarn
dazu zählt). In der digitalen Topologie wird z.B. untersucht wie man die
Pixel charakterisieren kann, bei denen eine Farbänderung von schwarz auf
weiß (oder umgekehrt) die topologischen Eigenschaften (Wegkomponenten,
Löcher) des zugrunde liegenden Bildes nicht verändert. Im Bereich der
Topologie sind keine Vorkenntnisse erforderlich!
- Segmentierung ist ein Teilgebiet der Bildverarbeitung. Unter diesem
Begriff versteht man die Einteilung des Bildes in unterschiedliche
Objekte oder Regionen. Moderne Segmentierungsalgorithmen erlauben es zum
Beispiel eine sich bewegende Zelle in der Zeit zu verfolgen oder das
Herz aus 3-dimensionalen MRT-Daten zu extrahieren.
- Anwendung der digitalen Topologie in der Segmentierung: Digitale
Topologie kann Segmentierungsalgorithmen entscheidend verbessern. Zum
Beispiel können bei der Segmentierung von Graustufenbildern topologische
Bedingungen formuliert werden, wodurch ein Objekt über die Zeit
segmentiert wird, ohne dass seine topologischen Eigenschaften verloren
gehen (das Objekt wird nicht geteilt, fusioniert nicht mit einem
anderen, erhält kein neues Loch usw.).
Dr. Frank Wübbeling:
Alle Themen können mit einem Fokus auf der Analysis (Existenz,
Eindeutigkeit, analytische Inversionsformeln, hierzu: Grundkenntnisse
der Analysis) oder auf der Numerik (Numerische Verfahren zur Lösung,
Untersuchung des numerischen Verhaltens, ggf. Implementation von
Algorithmen, Voraussetzung: Numerische Lineare Algebra/Analysis)
bearbeitet werden.
- Bildverarbeitung und inverse Probleme partieller
Differentialgleichungen.
Klassische Aufgaben der Bildverarbeitung lassen sich als inverse
Probleme partieller Differentialgleichungen schreiben. Voraussetzung für
ein Thema ist hier die Vorlesung Modellierung.
- CT, PET, SPECT und die Transportgleichung
- Optische Tomographie und die Diffusionsgleichung
-
Impedanztomograhie und Inverse Probleme elliptischer
Differentialgeichungen
- Ultraschalltomographie und die Wellengleichung
- Single Photon Emission Computerized Tomography (SPECT): Es werden Daten aus klinischen und Kleintierscannern zur Verfügung
stehen. Im Rahmen der Arbeit/des Vortrags sollten einfache
Rekonstruktionsverfahren implementiert werden.
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Prof.
Dr. Mario Ohlberger,
