Prüfungstermine

• Freitag, 10. Feburar
• Freitag, 24. Februar
• Montag, 27. Feburar
• Mittwoch, 29. Feburar
• Freitag, 2. März
• Dienstag, 6. März
• Freitag, 16. März

• Zufallsvariablen und deren numerischen Charakteristika, bedingte Erwartungswerte;
• Folgen von Zufallsvariablen und deren asymptotische Eigenschaften, Monte-Carlo Integration;
• Stochastische Prozesse und deren Simulation;
• Brownsche Bewegung;
• Stochastische Integration und Approximation von stochastischen Integralen;
• Stochastische Differentiale und Ito Kalkül;
• Stochastische Differentialgleichungen (SDEs), Eigenschaften, Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen;
• Einführung in die numerischen Methoden für SDEs;
• Modellierung mit SDEs.

Material zur Vorlesung

• Motivation für SDGen
• Video zu stochastischen Trajektorien (Von http://ins.sjtu.edu.cn/tutor/zhp/research_en.html)
• Crashkurs Stochastik: Zufallsvariablen (ZV) und deren numerischen Charakteristika
• Crashkurs Stochastik: Charakteristische und momenterzeugende Funktionen von ZVen

• Hilbert-Raum von ZVen
• ZV-Erzeuger. Monte Carlo Methoden
• Bedingte Erwartungswerte.

• Bedingte Erwartungswerte
• Stochastische Prozesse: Motivation und Einfürung. Stetige stochastische Prozesse

• Stetige stochastische Prozesse (Fortsg.)

• Simulation von stochastischen Prozessen
• Hilbertraum stochastischer Prozesse.

• Brown'sche Bewegung: Motivation. Zufallsbewegung
• Beispielvideo zur Brown'schen Bewegung.
  
• Konstruktion der Brown'schen Bewegung.

• Konstruktion der Brown'schen Bewegung (Fortsg.)
• Eigenschaften der Trajektorien eines Wiener Prozesses.

• Stochastische Integration: Integral als ZV und Integral als stochastischer Prozess
• Ito Integral;
• Approximation eines stochastischen Integrals.

• Martingale und das Ito Integral;
• Vergleich einiger Integralbegriffe;
• Stochastische Ableitung. Ito Formel

• Beweis der Ito Formel;
• Mehrdimensionale Ito Formel;
• SDEs: Definition und Beispiele.

• Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer SDE;
• Lösungsmethoden für SDEs;
• Eigenschaften der Lösungen von SDEs.

• Numerische Lösungsmethoden für SDEs: Euler-Maruyama- und Milstein-Verfahren;
• Systeme von SDEs.

• Die Fokker-Planck Gleichung;
• Modellierung mit SDEs: Einführung.

• Modellierung mit SDEs: SIS und Räuber-Beute-Modelle;
• Deterministische vs. stochastische Modellierung am Beispiel des Räuber-Beute-Modells;
• Abschätzung der Persistenz/Auslöschzeit einer Population;
• Einflüsse der Umweltvariabilität.

• Modellierung mit SDEs: Bakterielle Chemotaxis, Strahlentherapie für Krebspatienten;
• Prüfungsvorbereitung.

Übungsblätter

Aktuelles:

Literatur:

• T. C. Gard: Introduction to stochastic differential equations, M. Dekker 1988
• G. Grimmett, D. Stirzaker: Probability and Random Processes, Oxford University Press 2001 (3. Auflage).
• P. Kloeden, E. Platen: Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer 2006.
• B. Oeksendal: Stochastic differential equations. An introduction with applications, Springer 2005 (6. Auflage)