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Dozent: |
 Dr. Patrick Henning, Sprechstunde n.V.
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| Zeit,Ort: |
Di. 14:00 bis 16:00, wöchentlich, M 5
Do. 14:00 bis 16:00, wöchentlich, M 6
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Inhalt: |
Thema der Vorlesung ist die analytische und numerische Behandlung von sogenannten Mehrskalenproblemen (Differentialgleichungen, bei denen sehr unterschiedliche Größenordnungen involviert sind). Ein einfaches Beispiel für ein solches Mehrskalenproblem ist die Leitfähigkeit eines aus verschieden Materialien zusammengesetzten Stoffes, bei dem sich die Materialen in sehr kleinen Abständen (periodisch) abwechseln (die 'Mikroskala'). Betrachtet man nun die Leitfähigkeit dieses neuen zusammengesetzten Stoffes, so stellt es sich eine effektive globale Leitfähigkeit ein (auf der 'Makroskala'), die keiner der Leitfähigkeiten der beitragenden Materialien entspricht. Eine mögliche Fragestellung ist nun: wie sieht die sich einstellende effektive Leitfähigkeit aus? Oder allgemeiner und anwendungsorientierter: Wie muss man bestimmte Materialen kombinieren (Abstände/Verhältnisse), um einen Stoff mit einer gewünschten Leitfähigkeit zu erzeugen? Würde man eine solche Problematik mit Standard-Verfahren wie der Finite Elemente Methode behandeln, so hätte man einen erheblichen Rechenaufwand, da ein solches Verfahren ein Rechengitter benötigen würde, welches die Mikrostruktur komplett auflöst (dadurch hat man immens viele Unbekannte). In vielen Anwendungen wird die Anzahl der Unbekannten sogar so groß, dass viele Computer nicht mehr in der Lage wären sie zu bestimmen. Alternative Lösungsstrategien sind also notwendig. Von der analytischen Seite besteht eine Herangehensweise in der 'Homogenisierung' der entstehenden Differentialgleichungen. Dabei wird ein künstlicher Parameter ε eingeführt, der die Größe der Mikrostruktur beschreiben soll und der anschliessend gegen Null geschickt wird. Daraus wird eine Grenzgleichung bestimmt, die im Allgemeinen einfach(er) zu lösen ist. Im Bild ist ein solcher 'Grenzprozess' veranschaulicht. Die Mikrostrutur wird immer feiner, bis sie bei 'unendlicher Feinheit' einen homogenen Zustand erreicht, der sich wieder wie ein einziges Material verhält.
Auf der anderen Seite der Lösungsstrategien stehen die sogenannte numerischen Mehrskalenmethoden, bei denen nur in kleinen Regionen hochauflösende Rechnungen durchgeführt werden, um die gewonnenen Ergebnisse als 'effektive' Koeffizienten in einer grobskaligen Gleichung zu verwenden. Beispiele für solche Verfahren sind die MsFEM, die HMM, die VMM oder die Two-Scale-FEM.
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| Skript: |
Online-Skriptum zur Vorlesung (wird regelmäßig geupdated - letztes Update 22.05.2012).
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| Voraussetzungen: |
Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse im Bereich der Numerik Partieller Differentialgleichungen. Insbesondere werden im numerischen Teil Kenntnisse zu Finite-Elemente-Verfahren erwartet. Im theoretischen Teil ist es sehr hilfreich mit Sobolevräumen und schwachen Formulierungen von elliptischen Differentialgleichungen umgehen zu können. Ebenso die Anwendung des Satzes von Lax-Milgram. In der Vorlesung wird es zwar eine kurze Einführung in diese Thematik geben, allerdings nur als grobe Übersicht zu den wichtigsten Definitionen und Sätzen. Kenntnisse in der Funktionalanalysis sind hilfreich, aber nicht notwendig.
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Generelles: |
Die Übungsaufgaben werden in den normalen Vorlesungsbetrieb integriert. Für die Bearbeitungen stehen in der Regel zwei Wochen zur Verfügung. Die Besprechung findet jeden zweiten Donnerstag im Rahmen der Vorlesung statt.
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| Blätter: |
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| Prüfung: |
Der Leistungsnachweis erfolgt durch erfolgreiches Bearbeiten der Übungsaufgaben (mindestens 50% der Punkte) und eine mündliche Prüfung zum Abschluss.
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