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WESTFÄLISCHE
WILHELMS-UNIVERSITÄT
MÜNSTER
Das Graduiertenkolleg Algebraische Geometrie und Zahlentheorie
 
Graduiertenkolleg "Algebraische Geometrie und Zahlentheorie"
Einsteinstr. 62
48149 Münster
Sprecher: Prof. Dr. Siegfried Bosch
 

Das Graduiertenkolleg wurde 1991 am Mathematischen Institut der WWU gegründet. Es betreibt Forschung auf einer Reihe von Gebieten, die sich alle dem Gesamtthema "Algebraische Geometrie" unterordnen. Besonderes Interesse besteht an Anwendungen zahlentheoretischer Art.

Um einen kleinen Einblick in die Natur der Algebraischen Geometrie zu geben, sei hier zunächst in groben Zügen an deren historische Entwicklung erinnert. Von fundamentaler Bedeutung für diese Theorie ist die Einführung des Koordinatenbegriffs durch den französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes im 17. Jahrhundert, der damit die entscheidende Grundlage für eine rechnerische Behandlung anschaulich- geometrischer Probleme lieferte. Die Anfänge der Algebraischen Geometrie im eigentlichen Sinne datieren jedoch erst vom Ende des 19. Jahrhunderts, als man in größerem Stile Kurven, Flächen und insbesondere auch höher-dimensionale Gebilde zu studieren begann, die in einem umgebenden affinen oder projektiven Raum mittels sogenannter algebraischer Gleichungen festgelegt sind. Ziel war dabei stets die rein rechnerische Handhabung der betrachteten geometrischen Objekte. Als einfaches Beispiel stelle man sich etwa eine Parabel P vor, die in der affinen Ebene mit den Koordinaten x und y durch die Gleichung y = x2 definiert wird, oder auch eine Kurve C der Form y2 = x3. Man kann dann fragen, wie man allein anhand der Gleichungen erkennen kann, daß beispielsweise die Kurve P "glatt" ist, während C eine "Spitze" besitzt. Eine Antwort wird hier, wie auch in komplizierteren anderen Fällen, gegeben durch das sogenannte Jacobi-Kriterium, das heutzutage Bestandteil jeder einführenden Vorlesung in die Algebraische Geometrie ist.

Als Mitte unseres Jahrhunderts die ursprüngliche Zielsetzung der Algebraischen Geometrie weitgehend verwirklicht war, setzte unter dem prägenden Einfluß von Alexander Grothendieck ein entscheidender Wandel ein. Die klassischen Methoden wurden auf eine vollkommen neue Basis gestellt, so daß geometrisch inspirierte Rechnungen nunmehr auch für zahlentheoretische Fragestellungen nutzbar gemacht werden konnten. Das Rezept hierzu ist naheliegend, wenn auch technisch nicht ohne Aufwand zu realisieren: Man betrachte lediglich Gleichungen mit Koeffizienten aus einem speziellen Koeffizientenbereich, etwa den ganzen Zahlen, und beschränke sich bei allen Rechnungen auf Manipulationen, die nur Konstanten aus diesem Bereich zulassen. Der ungeheure Nutzen dieser neuen Vorgehensweise hat sich in der Praxis mannigfach erwiesen. So ist der erst kürzlich erbrachte Beweis der berühmten Fermatschen Vermutung durch Andrew Wiles, daß nämlich die Gleichung

x n + y n = z n

für ganzzahlige Exponenten n > 2 keine Lösung in ganzen von Null verschiedenen Zahlen x, y, z besitzt, ohne die Methoden der modernen Algebraischen Geometrie undenkbar. Dabei ist hervorzuheben, daß die Fermatsche Vermutung immerhin aus dem Jahre 1637 stammt und damit letztendlich über 350 Jahre dem Ansturm der Mathematiker standgehalten hat!

Das Anliegen des Graduiertenkollegs besteht weniger darin, die inzwischen gut entwickelte moderne Algebraische Geometrie weiter zu perfektionieren. Vielmehr wird angestrebt, die mächtigen Methoden dieser Theorie gezielt zur Problemlösung einzusetzen. Zu diesem Zweck stellt das Graduiertenkolleg eine Ebene dar, auf der verschiedene Forscherteams des Mathematischen Instituts miteinander kooperieren. Vertreten sind dabei die folgenden Gebiete, wobei die jeweiligen Fachvertreter in Klammern angegeben sind:
 

Kommutative Algebra und lokale algebraische Geometrie (F. Ischebeck, H.-J. Nastold (Emeritus))
Algebraische Topologie und Homologische Algebra (W. Lück)
Arithmetische algebraische Geometrie (S. Bosch, C. Deninger, K. Langmann, P. Schneider, J. Wildeshaus)
Formelle und rigide Geometrie (S. Bosch, P. Schneider, P. Ullrich)
Komplexe algebraische Geometrie (H. Hamm, R. Remmert, P. Ullrich)
Automorphe Formen (J. Elstrodt, P. Schneider)
Reelle algebraische und analytische Geometrie (L. Bröcker, F. Ischebeck)
Algebraische Zahlentheorie (H. Lang, F. Lorenz, M. Peters)
Quadratische Formen und K-Theorie (W. Scharlau)
Das Graduiertenkolleg besteht neben den genannten Professoren und Dozenten z. Zt. aus 14 Doktoranden und 2 Postdoktoranden, jeweils mit einem Stipendium des Kollegs, sowie einer vergleichbaren Anzahl weiterer Kollegiaten. Alle Doktoranden und Kollegiaten sind in die oben genannten Schwerpunkte eingebunden und arbeiten dort an aktuellen Forschungsfragen. Spezielle Arbeitsveranstaltungen, Seminare und Vorlesungen dienen dazu, das notwendige Basiswissen zu vermitteln. Ganz wesentliche Impulse erhält das Kolleg durch die vielen nationalen und internationalen Gäste, die nach Münster kommen, um Vorträge, Kompaktseminare oder auch komplette Vorlesungen abzuhalten. Darüber hinaus veranstaltet das Graduiertenkolleg regelmäßig Workshops zu ausgewählten Themen, teilweise in Zusammenarbeit mit auswärtigen Institutionen wie dem Mathematical Research Institute in Utrecht, Niederlande. Diese Veranstaltungen sind inzwischen weit über Münster hinaus bekannt und haben in der Vergangenheit stets junge Wissenschaftler aus ganz Deutschland und dem benachbarten Ausland angezogen.

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Letzte Änderungen 07.04.1997.