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Algorithmische Topologie

Seminar, SS2010

Christian Ausoni, Michael Joachim und Clara Löh.

Mittwochs 12:30 bis 14:00, Einsteinstr. 62, S503 (SR 5)

Aktuelles

  • Am 14.07. sprechen wir über Anwendungen -- jeder Teilnehmer sollte sich eine Anwendung für persistente Homologie aussuchen, die er kurz präsentieren kann.
  • Zielgruppe: Das Seminar richtet sich sowohl an Studenten, die sich in reiner Mathematik vertiefen, als auch an Studenten, die sich in angewandter Mathematik vertiefen. Vorkenntnisse in Topologie werden nicht vorausgesetzt!

Überblick

arteres.png In algorithmischer Topologie beschäftigt man sich u.a. mit der Darstellung von Räumen, wie zum Beispiel Flächen, Molekülen, Organen, usw. (also geometrischen Objekte, die gewöhnlich aus einem Kontinuum bestehen) durch endliche, kombinatorische Daten, die zum Beispiel von Computerprogrammen verarbeitet werden können.

Simpliziale Komplexe sind ein Beispiel einer solchen Darstellung. Sie bestehen aus einer Vereinigung von Simplizes verschiedener Dimension, die nach bestimmten Regeln zusammengeklebt werden. Diese "Regeln" werden rein kombinatorisch kodiert. 3-simplex.png

Weiter untersucht man das umgekehrte Problem der Realisierung : wie bekommt man aus rein kombinatorischer Information über ein geometrisches Objekt (wie zum Beispiel einer endlichen Menge von Punkten auf eine Fläche) eine sinnvolle Darstellung dieses Objektes und seiner Geometrie? Wie unterscheidet man verschiedene Realisierungen?
coeur-2.png Unser Ziel in diesem Seminar ist es, "persistente" Homologie zu definieren, und zu verstehen wie man sie zur Lösung solcher Probleme verwendet. Homologie ist eine Verallgemeinerung der Euler-Charakterisik: Homologie ordnet jedem Raum eine Gruppe zu, und erlaubt uns hier gemeinsame Eigenschaften aus verschiedenen Realisierungen zu erkennen. Solche Eigenschaften sind dann "persistent", und damit wesentlich.

Programm

Dieses Seminar wird am Mathematisches Institut angeboten, aber wir möchten auch sehr gerne interessierte Studenten aus der angewandten Mathematik aufnehmen. Wir werden insofern keine Vorkenntnisse aus der Topologie voraussetzen.

Das Programm mit Literatur-Hinweisen gibt es hier.


Programmübersicht
    Datum   Titel Vortragende Material
1 14.04.10 Einführung und Motivation Michael Möller Präsentation
2 21.04.10 Simpliziale Komplexe I Jules Schwulst Ausarbeitung
3 28.04.10 Simpliziale Komplexe II Lisa Ott
4 05.05.10 Čech- und Rips-Komplexe Christian Ausoni Notizen
5 12.05.10 Delaunay- und Alpha-Komplexe Clara Löh Notizen
6 19.05.10 Homologie I Sarah Humberg Ausarbeitung
7 02.06.10 Homologie II Michael Holl
8 09.06.10 Homologie II (Fortsetzung) Michael Holl
9 16.06.10 Persistenz Helge Böschen Ausarbeitung
10 23.06.10 Konferenz (kein Seminarvortrag) --- 
11 30.06.10 Algorithmen für Persistenz. Matthias Blank Ausarbeitung
12 07.07.10 Stabilität Michael Joachim Notizen
13 14.07.10 Anwendungen  Alle
14 21.07.10 Tool Demo ??

Literatur

  1. G. Carlsson, Topology and data, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 46, 2009.
  2. G. Carlsson and A. Zomorodian, Computing persistent homology, Discrete Comput. Geom., vol. 33, 2005.
  3. D. Cohen-Steiner, H. Edelsbrunner and J. Harer, Stability of persistence diagrams, Discrete Comput. Geom., vol. 37, 2007.
  4. T. H. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. F. Rivest and C. Stein, Introduction to algorithms, MIT Press, Cambridge, MA, 2009.
  5. C. J. A. Delfinado and H. Edelsbrunner, An incremental algorithm for Betti numbers of simplicial complexes on the 3-sphere, Comput. Aided Geom. Design, vol. 12, 1995.
  6. V. de Silva and R. Ghrist, Homological sensor networks, Notices Amer. Math. Soc., vol. 54, 2007.
  7. H. Edelsbrunner, The union of balls and its dual shape, Discrete Comput. Geom., vol. 13, 1995.
  8. H. Edelsbrunner and J. Harer, Computational topology, American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.
  9. R. Ghrist, Barcodes: the persistent topology of data, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 45, 2008.
  10. K. Jänich, Topologie, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
  11. T. Kaczynski, K. Mischaikow and M. Mrozek, Computational homology, vol. 157, Springer-Verlag, New York, 2004.
  12. J. R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1975.
  13. J. R. Munkres, Elements of algebraic topology, Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park, CA, 1984.
  14. C. P. Rourke and B. J. Sanderson, Introduction to piecewise-linear topology, Springer-Verlag, Berlin, 1982.
  15. A. J. Zomorodian, Topology for computing, Cambridge University Press, 2005.

Material

  • LaTeX-Vorlagen für Handouts: .tex, .pdf
  • LaTeX-Vorlagen für Ausarbeitungen: .tex, .pdf

Vorkenntnisse

Lineare Algebra 1-2, Analysis 1-3.

Anmeldung

Die Anmeldung findet bei der Vorbesprechung statt.

Bei Fragen oder Anregungen schreiben Sie uns bitte eine e-mail:
ausoni (at) math.uni-bonn.de
clara.loeh (at) uni-muenster.de

Scheinerwerb

Notwendig für den Scheinerwerb sind:
  • Ein 80-minütiger Vortrag; die verbleibenden 10 Minuten der Sitzung werden wir für die Diskussion verwenden.
  • Regelmäßige Anwesenheit und aktive Teilnahme am Seminar.
  • Ein Handout von ein bis zwei Seiten zu Ihrem Vortrag, das die wichtigsten Aspekte des Vortrags enthält.
  • Eine schriftliche Ausarbeitung des Vortrags; diese muss bis spätestens eine Woche vor dem Vortrag abgegeben werden.

Bitte kommen Sie spätestens drei Wochen vor Ihrem Vortrag bei uns vorbei, um etwaige Fragen zu klären und den Vortrag durchzusprechen.

Für Studenten aus den Bachelor-Studiengängen wird der Vortrag benotet; für alle anderen Teilnehmer wird der Schein nicht benotet.


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