Forschungsprogramm

In der Mathematik gibt es gewisse Strukturen, die anscheinend universell sind und in verschiedenen Problemkreisen immer wieder auftreten. Ihr Verständnis erlaubt es, unzählige ganz unterschiedliche Fragen mit einheitlichen Methoden erfolgreich zu bearbeiten. Der Sonderforschungsbereich konzentriert sich auf die geometrischen Strukturen, ihre Weiterentwicklung als Methodik und auf ihre Anwendungen. Dies betrifft Gebiete wie die Arithmetische Geometrie, Differentialgeometrie, Topologie, Analysis und Nichtkommutative Geometrie.

Als Beispiele übergreifender Methoden "geometrischer Strukturen" seien besonders Kohomologie- und K-Theorien genannt. Sie spielen in allen Projektbereichen eine große Rolle. So entstammt die K-Theorie ursprünglich der Topologie. Später hat sie über die Indextheorie zunächst Einzug in die Analysis auf Mannigfaltigkeiten gehalten und sich dann auch im Bereich der Nichtkommutativen Geometrie als eines der Haupthilfsmittel etabliert. Über den Regulator und seine Beziehung zu L-Funktionen sowie über die Theorie der Motive ist sie inzwischen auch in der arithmetischen Geometrie - einer Fortentwicklung der Zahlentheorie - wichtig geworden.

Eine Richtschnur in den Forschungsaktivitäten des Sonderforschungsbereichs sind verschiedene weltweit interessierende offene und sehr schwierige Probleme mit Langzeitpotential, wie etwa die Bloch-Kato-Vermutungen, die Baum-Connes-Vermutungen, Vermutungen von Atiyah, Hopf, Singer und viele weitere. Die Bearbeitung dieser Fragen wird sehr interessante neue Mathematik schaffen und viel zur Lösung anderer Probleme beitragen. Die Verflechtung verschiedener Gebiete durch geometrische Strukturen wird für lange Zeit eine zentrale Entwicklung in der Mathematik darstellen.

In mathematics there are certain structures of a universal nature which appear in completely different settings. Understanding them allows to treat seemingly unrelated problems with uniform methods. The Sonderforschungsbereich concentrates on geometric structures, their developement as a method and their applications. This concerns fields like Arithmetic Geometry, Differential Geometry, Topology, Analysis and Noncommutative Geometry.

Examples of such methods are cohomology and K-theories. They play an important role in every "Projektbereich" of the SFB. K-theory came from algebraic geometry and topology. Later this theory influenced analysis on manifolds via index theory and now has become one of the main tools in Noncommutative Geometry. Via regulators, special L-values and the theory of motives K-theory now plays an important role in Arithmetic Geometry as well.

The SFB works on a number of the main open problems in mathematics like the Bloch-Kato conjectures, The Baum-Connes conjectures, conjectures of Atiyah, Hopf, Singer and many others. Work on these problems will create a lot of new and interesting mathematics which in turn will help to solve further problems. The intertwining of different mathematical directions via geometric structures will remain a fruitful line of research for a long time to come.

SFB 478 Geometrische Strukturen

Last modified: Thu Nov 30 10:25:22 MET 2000