SFB 478 - Geometrische Strukturen in der Mathematik

Der Sonderforschungsbereich ist gegliedert in folgende Projektbereiche:

Arithmetische Geometrie
Topologie und Differentialgeometrie
Rigide Geometrie
Analytische Geometrie und Differentialgleichungen
Nichtkommutative Geometrie und topologische Algebren
"Ein Artikel von Prof. J. Cuntz über nichtkommutative Geometrie und ihre Stellung im SFB"

Arithmetische Geometrie

In der Arithmetischen Geometrie werden zahlentheoretische und geometrische Betrachtungen zusammengeführt. Das Gebiet hat einerseits eine sehr lange Tradition - es ist die moderne Version der seit den Griechen untersuchten Theorie diophantischer Gleichungen. Andererseits verfügt es erst seit den 50er Jahren dieses Jahrhunderts durch die Grothendiecksche Theorie der Schemata über die angemessenen Methoden, deren Schlagkraft in den letzten 20 Jahren zur Lösung schwierigster klassischer Probleme geführt hat, wie etwa der Weil-Vermutungen, der Mordell-Vermutung und des Fermat-Problems.

Ein zentrales Hilfsmittel zum Studium arithmetischer Varietäten sind diverse Kohomologietheorien, wie die étale, die Hodge-, die kristalline und die de Rham-Theorie. Diese Theorien haben Werte in gewissen Kategorien und sind durch Vergleichsmorphismen miteinander verbunden. Nach einer zentralen Einsicht Grothendiecks sollten alle diese Theorien von einer universellen Kohomologietheorie mit Werten in der abelschen Kategorie der "Motive" herkommen. Die Konstruktion und die Untersuchung der Eigenschaften von Motiven nehmen in der heutigen arithmetischen Geometrie einen großen Raum ein. Das Teilprojekt A1 ist u.a. diesen Fragen gewidmet. Die wohl interessanteste Invariante eines Motivs ist seine L-Funktion, in welcher unendlich viele lokale Informationen durch einen Grenzprozeß kodiert sind. Die Beilinson-Vermutungen stellen einen Zusammenhang her zwischen speziellen Werten dieser L-Funktionen und gewissen globalen Invarianten, den algebraischen K-Gruppen, an denen man besonders interessiert ist. Diese Vermutungen sind mit den heutigen Methoden nicht allgemein angreifbar. Im Teilprojekt A2 sollen sie für relativ gut beherrschte Klassen von Shimura-Varietäten angegangen werden. Es gibt allerdings einen bisher nur vermuteten Formalismus unendlich-dimensionaler Kohomologiegruppen, der es erlauben würde, motivische L-Funktionen und insbesondere Teile der Beilinson-Vermutungen kohomologisch zu verstehen. An der geometrischen Realisierung dieses Formalismusses mit Hilfe der Theorie dynamischer Systeme soll ebenfalls im Teilprojekt A1 gearbeitet werden.
Motive hängen über das Langlands-Programm und die Arthur--Selbergsche Spurformel auch mit automorphen Darstellungen und konkreter mit automorphen Formen und Modulformen zusammen, die in A3 in interessanten Spezialfällen weiter untersucht werden sollen. Dabei spielt die Geometrie des Laplace-Operators und die Theorie der diskreten arithmetischen Gruppen naturgemäß eine große Rolle. Die kürzlich gefundenen überraschenden Zusammenhänge mit der Konstruktion guter Codes sollen ebenfalls in A3 weiter ausgebaut werden. Schließlich gibt es neben Invarianten wie den algebraischen $K$-Gruppen, bei denen nur lineare Strukturen (Vektorbündel) eingehen, auch Invarianten von Varietäten, die nicht-lineare Strukturen (quadratische Formen auf Vektorbündeln) einbeziehen. Über diese Witt-Gruppen ist erst sehr wenig bekannt. Ihre Untersuchung bildet den Schwerpunkt im Teilprojekt A4.

Topologie und Differentialgeometrie

In diesem Teilprojekt werden verschiedene Aspekte der Differentialgeometrie, Topologie, Spektraltheorie des Laplace-Operators, algebraische und topologische K-Theorie und der Darstellungstheorie p-adischer Gruppen zusammengebracht. Die in diesem Projekt differentialgeometrisch relevante Frage ist, welche Metriken mit bestimmten Krümmungseigenschaften eine gegebene geschlossene glatte Mannigfaltigkeit M zuläßt. Im Falle von positiver Skalarkrümmung führt das zu topologischen Invarianten in der topologischen K-Theorie der reduzierten C*-Algebra der Fundamentalgruppe. Die Vermutung, daß das notwendige Verschwinden dieser Invarianten auch hinreichend ist, steht in enger Verbindung zur Baum-Connes-Vermutung. Die Baum-Connes-Vermutung ist ein Typ von Isomorphismus-Vermutungen, die man auch für die algebraische K-Theorie oder L-Theorie des ganzzahligen Gruppenrings der Fundamentalgruppe von M aussprechen kann. Diese Version wiederum steht in Zusammenhang mit der Frage/Vermutung von Atiyah, daß die L²-Betti-Zahlen der universellen Überlagerung von M rational sind und sogar ganzzahlig, falls die Fundamentalgruppe von M torsionsfrei ist. Diese L²-Betti-Zahlen sind Invarianten des Wärmeleitungskerns auf der universellen Überlagerung, haben sich aber als Homotopieinvarianten herausgestellt. Die Singer-Vermutung besagt, daß ihr Verschwinden eine notwendige Bedingung für die Existenz einer Metrik auf M mit nicht-positiver Schnittkrümmung ist, womit wir wieder am Ausgangspunkt angelangt wären.

Natülich gibt es weitere Aspekte dieses Projektes, die von Interesse sind. Es werden Mannigfaltigkeiten mit positiver Schnittkrümmung untersucht, insbesondere Sphärensätze und pinching-Resultate sind von Interesse. Die Theorie der Gebäude, die sich ähnlich wie Mannigfaltigkeiten mit nicht-positiver Schnittkrümmung und wie symmetrische Räume verhalten, ist wesentlich für die Darstellungstheorie p-adischer Gruppen und damit auch für die Baum-Connes-Vermutung für solche Gruppen. L²-Invarianten wie die L²-Betti-Zahlen, Novikov-Shubin-Invarianten und die L²-Torsion sind einerseits analytischer Natur, spiegeln aber auch die Geometrie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten wieder und haben auch Anwendungen auf rein gruppentheoretische Fragen. Im Zusammenhang mit den Isomorphismus-Vermutungen ergeben sich interessante homotopietheoretische Fragen, deren Lösung beispielsweise zu einer Verallgemeinerung des Komplettierungssatzes von Atiyah und Segal für die topologische K-Theorie von BG einer endlichen Gruppe G auf diskrete Gruppen G führen könnte.

Rigide Geometrie

Die rigide Geometrie entstand in den 60er Jahren mit der Intention, ein Analogon zur klassischen komplexen Analysis über lokalen Körpern zu entwickeln. In diesem Lichte ist die fundamentale Arbeit [T] von J. Tate zu sehen (Literaturzitate siehe Projekt C1), die durch das Studium arithmetischer Eigenschaften elliptischer Kurven motiviert ist. Relativ schnell ergaben sich im Anschlu{\ss} hieran bahnbrechende neue Einsichten zur Arithmetik abelscher Varietäten, die mit der rigid analytischen Uniformisierung zusammenhängen; man vergleiche hierzu die Arbeiten von Mumford [M] und Raynaud [R2]. Die dabei entwickelten geometrischen Ideen haben schließlich ihre überzeugende Anwendung bei der Kompaktifizierung von Modulräumen abelscher Varietäten durch Chai und Faltings [CF] gefunden, wobei in diesem Zusammenhang auch der Beweis der Mordell-Vermutung durch Faltings zu sehen ist.

Gab es anfänglich, besonders in Dimension 1, noch Alternativen zur rigiden Geometrie à la Tate, so hat sich letztere Theorie inzwischen als ein universelles Instrumentarium durchgesetzt, das in besonders effektiver Weise dazu geeignet ist, analytische Problemstellungen mit Koeffizienten aus p-adischen Körpern oder allgemeineren nicht-archimedischen Basisbereichen zu handhaben. Dementsprechend gibt es heute eine Vielzahl von Anwendungen, neben obigen Beispielen etwa zu verschiedenen Kohomologietheorien, zur Darstellungstheorie, zu p-adischen Differentialgleichungen oder zur p-adischen Integrationstheorie.

Im Sonderforschungsbereich sollen einerseits die Grundlagen der rigiden Geometrie weiter ausgebaut werden, insbesondere was die Verwendung von Methoden der formellen Geometrie angeht. Zum anderen sind konkrete Anwendungen geplant, die von Néron-Modellen und deren Komponentengruppen über die étale Kohomologie und topologische Methoden bis zur Darstellungstheorie reichen.

Analytische Geometrie und Differentialgleichungen

Die komplexe algebraische Geometrie ist neben der Zahlentheorie eine der Grundlagen für die Entwicklung der arithmetischen algebraischen Geometrie. Die Anschaulichkeit der Begriffe im komplexen Fall ist einer der Hauptfaktoren für die Entwicklung der modernen algebraischen Geometrie im Sinne von A. Grothendieck.

Eine ähnliche Rolle spielt die komplexe analytische Geometrie für die rigide Analysis.

Es gibt viele Parallelen zwischen dem algebraischen und analytischen Fall, aber auch charakteristische Unterschiede, etwa bei der Frage nach der Kompaktifizierbarkeit. Auch bei algebraischen Varietäten ist die Möglichkeit des Übergangs zum analytischen Kontext wichtig, z.B. bei der universellen Überlagerung.

Noch anschaulicher sind die reelle algebraische und analytische Geometrie, nicht nur aus Dimensionsgründen, sondern auch wegen der Möglichkeit der globalen Einbettung in einen euklidischen Raum. Komplikationen entstehen allerdings dadurch, daß der Körper der reellen Zahlen nicht algebraisch abgeschlossen ist. Oft hilft der Vergleich mit der Komplexifizierung, ein Vorgehen, das seine Parallelen in der abstrakten algebraischen Geometrie hat.

Die komplexe algebraische Geometrie hat umgekehrt wesentliche Impulse durch die stürmische Entwicklung der arithmetischen Geometrie empfangen. Hierzu gehört insbesondere die Weiterentwicklung der Hodge-Theorie, die Parallelen zur l-adischen Kohomologie waren bei der Entwicklung des Begriffs der gemischten Hodge-Struktur durch P.Deligne entscheidend. Andere Impulse gingen von der Theorie der Differentialgleichungen aus (Stichwort: D-Moduln). Eine Verschmelzung beider Theorien ist M.Saito mit seinem Begriff der gemischten Hodge-Moduln gelungen. Damit ist ein mächtiges Werkzeug für weitere Untersuchungen gegeben.

Die Theorie der D-Moduln ist eine Weiterentwicklung der klassischen Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme, insbesondere knüpft die Riemann-Hilbert-Korrespondenz an das klassische Riemann-Hilbert-Problem an. Vergleichbare Fragen geometrischer Natur ergeben sich bei nichtlinearen Differentialgleichungen.

In der reellen algebraischen und analytischen Geometrie ist es sinnvoll, auch semialgebraische bzw. subanalytische Mengen einzubeziehen, da die Kategorie der reell-algebraischen bzw. reell-analytischen Räume nicht stabil bezüglich eigentlicher Abbildungen ist. Ein anderes Motiv für diese Einbeziehung ergibt sich, wenn man von den obigen eher kohomologischen Untersuchungen zu geometrischen Fragen übergeht.

Von der Geometrie her sind glatte Varietäten am einfachsten zu verstehen. Beim Auftreten von Singularitäten kann man versuchen, mittels einer Partition in glatte St\"ucke - einer Stratifikation - auf den glatten Fall zu reduzieren. Stratifikationen bilden unter anderem ein wichtiges Hilfsmittel für die Frage nach der topologischen Trivialität von Familien von Varietäten. Im komplexen Fall sind die Strata vom Standpunkt der algebraischen Topologie noch recht kompliziert, dagegen kann man reell-algebraische bzw. subanalytische Stratifikationen finden, die gleichzeitig eine Zellenzerlegung oder sogar eine Triangulierung darstellen; dadurch ergibt sich ein Bezug zur kombinatorischen Topologie.

Hier ergeben sich nun Fragen nach der Endlichkeit und der Abschätzung für Größen, die die jeweils möglichen Fälle qualitativ beschreiben. Dies betrifft auch differentialgeometrische Größen. Dabei ist zu berücksichtigen, daß selbst glatte semialgebraische bzw. subanalytische Mengen bei Annäherung an den Rand ein differentialgeometrisch kompliziertes Verhalten aufweisen.

Nichtkommutative Geometrie und topologische Algebren

Die nichtkommutative Geometrie ist eine neue mathematische Disziplin und gehört zu den großen Herausforderungen für die Mathematik in der nächsten Zeit. In Deutschland ist sie erst seit kurzem vertreten. Sie basiert auf einer Erweiterung der klassischen globalen Methoden der Differential- oder algebraischen Geometrie (Differentialformen, Vektorraumbündel, charakteristische Klassen, K-Theorie usw.) auf nicht kommutierende Variablen (wie sie etwa in der Quantenmechanik aber auch in vielen Anwendungen in der klassischen Mathematik vorkommen). "Nichtkommutierende Variablen" werden dabei als Elemente von gewissen nichtkommutativen Algebren (typischerweise C*-Algebren oder geeignete Unteralgebren von C*-Algebren) verstanden. Diese Algebren werden dann in Analogie zu Algebren von stetigen Funktionen auf topologischen Räumen oder von differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Einerseits erlaubt dies, eine große Anzahl von neuen Problemen sowohl rein mathematischer Art (Blätterungen, topologische dynamische Systeme usw.) als auch in der mathematischen Physik (Quantenfeldtheorie, Quanten-Hall-Effekt, usw.) anzuwenden. Andererseits stellen die dabei entwickelten Methoden eine wesentliche Bereicherung des Arsenals der Mathematik auch zur Behandlung klassischer Fragen (Indexsätze und ihre Konsequenzen, Novikovvermutung, Knotentheorie, harmonische Analyse usw.) dar.

Die Grundlage für den Teilbereich E bildet ein weitgespanntes allgemeines Programm innerhalb der Nichtkommutativen Geometrie, das eine ausgeprägte eigene Entwicklungslogik hat, die die Probleme, die in jedem Stadium gelöst werden müssen, zum großen Teil vorgibt. Bei der Abarbeitung dieser Probleme sind in den letzten Jahren (insbesondere im Rahmen der von der DFG von 1990 bis 1996 geförderten Forschergruppe "Topologie und Nichtkommutative Geometrie") sehr weitgehende und bis vor kurzem unerhoffte Fortschritte erzielt worden. Wichtigster Bestandteil des Programms ist der Ausbau, die Entwicklung und Anwendung zweier für die Nichtkommutative Geometrie zentraler technischer "Maschinen", nämlich der zyklischen Homologie/Kohomologie auf der einen Seite, sowie der bivarianten K-Theorie auf der anderen. Teile dieser Theorien (etwa die bivariante K-Theorie für C*-Algebren sowie seit kurzem die periodische zyklische Theorie) sind schon gut verstanden, andere (etwa die bivariante K-Theorie für lokalkonvexe Algebren) müssen noch neu entwickelt und ausgebaut werden. Die Beziehungen zwischen den beiden Theorien (insbesondere der sogenannte Chern-Connes-Charakter) fangen erst jetzt an, wirklich klar zu werden. Die Entwicklung dieses Apparats geht Hand in Hand mit Anwendungen auf geometrische Probleme. Die Teilprojekte E1, E2, E3 beschäftigen sich mit verschiedenen Aspekten des großen Programms und hängen dementsprechend inhaltlich eng zusammen. Außerdem sollen in diesen Teilprojekten eine Reihe von Fragen, in denen die allgemeinen Theorien zur Anwendung kommen, bearbeitet werden.

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