Arbeitsgruppe Geometrie, Topologie und Gruppentheorie

Mathematisches Institut, Universität Münster

© AG Kramer

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Seminar Gruppentheorie und Geometrie:

Kazhdan und Haagerup Eigenschaften von Gruppen

Sommersemester 2015

Prof.Dr. Linus Kramer mit Dr. Olga Varghese

Inhalt:

Ein wichtiger Aspekt der geometrischen Gruppentheorie ist es, den Zusammenhang zwischen geometrischen und algebraischen Eigenschaften von Gruppen zu untersuchen. In den ’60er Jahren hat Kazhdan aus der Perspektive der Darstellungstheorie eine Klasse von (lokalkompakten) Gruppen mit der Eigenschaft (T) definiert. Diese Eigenschaft impliziert zahlreiche interessante algebraische Eigenschaften von Gruppen. Zum Beispiel ist eine abzählbare Gruppe mit Eigenschaft (T) endlich erzeugbar und ihre Kommutatorgruppe hat endlichen Index. In diesem Seminar werden wir sehen, dass die Matrizengruppe SLn(Z) für n ≥ 3 die Eigenschaft (T) hat. Für die Automorphismengruppe der freien Gruppe Aut(Fn) für n ≥ 4 ist diese Frage dagegen noch offen. Es ist im Allgemeinen sehr schwierig nachzuweisen, dass eine gegebene Gruppe Kazhdans Eigenschaft (T) hat. Viele mathematische Arbeiten haben nun die Eigenschaft (T) in ganz andere Bereiche der Mathematik übersetzt. Das Hauptziel in diesem Seminar ist es, eine äquivalente geometrische Formulierung für Kazhdans Eigenschaft (T) zu studieren. Mit dieser Formulierung können wir dann Teilresultate für die Gruppe Aut(Fn) erzielen. Auf dem Weg dahin werden wir viele Bäume und kubische Komplexe zeichnen und uns mit den geometrischen Eigenschaften dieser Räume beschäftigen.

Die Beamer Präsentation des Seminars.

Vorträge:

Die Liste der Vortragsthemen ist hier einsehbar.
Alle Vorträge finden im Raum N3 statt.

09.04.2015 (Do 12-14): Cora Welsch, Simpliziale Bäume

16.04.2015 (Do 12-14): Lisa Li, Wirkungen auf Bäumen, Fixpunkte

23.04.2015 (Do 12-14): Linus Kramer, CAT(0) Räume, Bruhat-Tits Fixpunktsatz

30.04.2015 (Do 12-14): Valentin Kunz, Kazhdan's Eigenschaft (T) und Haagerup Eigenschaft: Definition und Beispiele, endliche Gruppen haben Kazhdan's Eigenschaft (T)

07.05.2015 (Do 12-14): Phil Steinhorst, Kubische Komplexe, Kazhdan's Eigenschaft (T) und Eigenschaft FC

13.05.2015 (Mi 8-10): Olga Varghese, Einführung: mediane Räume

21.05.2015 (Do 12-14): Sira Busch, Konvexität und Tor-Eigenschaft für mediane Räume

03.06.2015 (Mi 8-10): Andreas Goss, Vervollständigung von einem medianen Raum ist wieder ein medianer Raum, Rechtecke in medianen Räumen

11.06.2015 (Do 12-14): Kevin Poljsak, Räume mit messbaren Wänden

18.06.2015 (Do 12-14): Christoph Hilmes, Mediane Algebra

25.06.2015 (Do 12-14): Tobias Megger, Mediane Räume haben messbare Wände

09.07.2015 (Do 12-14): Nils Leder und Olga Varghese, Übersetzung von Property (T) in die geometrische Gruppentheorie

Voraussetzungen:

Sie sollten sich vor allem für Gruppen und Algebra interessieren! Folgende Vorlesungen sind eine gute Grundlage für das Seminar.
Studierende im 1-Fach Bachelor: Analysis III und eine Topologie-Vorlesung oder Gruppentheorie oder Einführung in die Algebra.
Studierende im 2-Fach Bachelor: Einführung in die Algebra.

Vorbesprechung:

Eine Vorbesprechung findet statt am 29.01.2015 um 12:15 Uhr im Raum SR0.

Prüfungsbestandteile:

Halten eines Seminarvortrags, Erstellen einer schriftlichen Vortragsausarbeitung.
Allgemeine Hinweise zur Vorbereitung Ihres Vortrags finden Sie hier und hier! Bitte lesen Sie diese Tipps aufmerksam.
Sie sollten unbedingt die vorlesungsfreie Zeit für die Vorbereitung Ihres Vortrages nutzen, damit wir auf eventuelle Fragen und Unklarheiten rechtzeitig eingehen können.

Anmeldeverfahren:

Bei Interesse und Fragen zum Seminar können Sie sich an Linus Kramer (Zimmer 301b) oder Olga Varghese (Zimmer 303) wenden.

Das Seminar kann (im 1-Fach und im 2-Fach Bachelor) Ausgangspunkt einer Bachelorarbeit sein. Sollten Sie daran interessiert sein, dann sagen Sie uns das bitte im voraus!

Literatur:

Bekka-Harpe-Valette, Kazhdan's property (T)
Serre, Trees
Bridson-Haefliger, Spaces of Non-Positive Curvature
Chatterji-Drutu-Haglund, Kazhdan and Haagerup properties from the median viewpoint
Niblo-Reeves, Groups acting on CAT(0) cube complexes
Roller, Poc sets, Median Algebras and Group Actions
Schwer, Lecture Notes on CAT(0) Cubical Complexes
Schwer, CAT(0) kubische Komplexe
Zuletzt geändert: 10.07.15, 10:02:44