Seminar zur Modelltheorie - Stabile und NIP Körper (SS 2016/17)
Ein Grundzug der geometrischen Stabilitätstheorie und ihrer
Verallgemeinerungen ist es, die kombinatorische Komplexität der Menge der
definierbaren Mengen in einer Struktur M zu in M interpretierbaren ]algebraischen Objekten (Gruppen, Körper) in Bezug zu setzen. Es ist dabei von
wesentlicher Bedeutung, aus der Lage von M in Shelahs
Klassifikationshierarchie (omega-stabil, stabil, NIP, etc.) auf algebraische
Eigenschaften der interpretierbaren Körper zu schließen.
Der Prototyp eines solchen Resultats ist der Satz von Macintyre, demzufolge
omega-stabile unendliche Körper algebraisch abgeschlossen sind.
Im Seminar werden wir uns insbesondere stabilen und NIP Körpern widmen.
Neben wichtigen klassischen Beispielen werden wir dabei auch moderne Techniken
aus der reinen Modelltheorie kennen lernen, insbesondere im Kontext von
NIP Theorien. Diese spielen seit gut 10 Jahren eine zentrale Rolle in der
Modelltheorie. Im Seminar werden auch Themen aus der aktuellen Forschung
behandelt, die als Ausgangspunkt für Bachelor- oder Master-Arbeiten sehr
gut geeignet sind.
Zeit/Ort:
Das Seminar findet ab dem 19.4. immer dienstags, 14-16 Uhr in SR1D statt.
Vortragsliste:
Die Vortragsnotizen werden jeweils nach dem Vortrag online gestellt.
- Morleyrang, Morleygrad, omega-stabile Gruppen (generische Typen und
Kettenbedingungen) (18.4., Martin Hils)
- Satz von Macintyre (25.4., Aleksandra)
- SCF, Teil 1 (2.5., Felix)
- SCF, Teil 2 (9.5., Peter)
- NIP Einführung (16.5., Pierre)
- NIP Gruppen (23.5., Pierre)
- Satz von Duret (30.5., Tim)
- Satz von Kaplan-Scanlon-Wagner
(1.6. um 10 c.t. in SR1D, Martin Bays), dazu eine explizite Ausarbeitung
der (unbewiesenen) Behauptung am Ende des Vortrags
- dp-Minimalität (13.6., Alfonso)
- Reell abgeschlossene Körper (20.6., Leon)
- Bewertungstheorie und die p-adischen Zahlen
(27.6., Henrik)
- Ax-Kochen/Ersov und der Satz von Delon
(4.7., Henrik)
- Satz von Johnson (Charakterisierung dp-minimaler Körper)
(13.7. um 10 c.t. in SR1D, Franzi)
- dp-Minimalität der p-adischen Zahlen
(18.7., Gönenç)
Literatur:
- E. Bouscaren (ed): "Model Theory and Algebraic Geometry",
Springer-Verlag, 1998.
- F. Delon: "Ideaux et types sur les corps separablement clos",
Issue 33 of Memoire, Societe mathematique de France (1988).
- A. Dolich, J. Goodrick und D. Lippe:
"Dp-Minimality: Basic Facts and Examples", Notre Dame J. Formal Logic,
Volume 52, Number 3 (2011), 267-288.
- J.-L. Duret: "Les corps faiblement algebriquement clos non separablement
clos ont la propriete d'independance",
erschienen in Pacholski L., Wierzejewski J., Wilkie A.J. (eds):
"Model Theory of Algebra and Arithmetic", Lecture Notes in Mathematics,
vol 834, Springer-Verlag, 1980.
- A. Engler und A.Prestel: "Valued Fields", Springer-Verlag, 2005.
- W. Johnson: "On dp-minimal fields", Preprint 2015, arXiv:1507.02745.
- I. Kaplan, T. Scanlon und F.O. Wagner:
"Artin-Schreier extensions in NIP and simple fields", Isr. J. Math. (2011) 185: 141.
- S. Lang: "Introduction to Algebraic Geometry", Interscience Publishers,
1958.
- S. Lang: "Algebra", 3rd edition, Springer-Verlag, 2005.
- D. Marker: "Model Theory : An Introduction", Springer-Verlag, 2002.
- D. Marker, M. Messmer und A. Pillay:
"Model Theory of Fields", Second Edition, Lecture Notes in Logic, vol. 5 (2006), Association for Symbolic Logic.
- A. Prestel: "Einführung in die Logik und Modelltheorie",
Vieweg+Teubner Verlag, 1986.
- K. Potthoff: "Einführung in die Modelltheorie und ihre Anwendungen",
Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, 1981.
- P. Simon: "A guide to NIP Theories", Lecture Notes in Logic, vol. 5 (2015), Association for Symbolic Logic.
- P. Simon: "On dp-minimal ordered structures",
J. Symbolic Logic, Volume 76, Issue 2 (2011), 448-460.
- K. Tent und M. Ziegler: "A Course in Model Theory",
Lecture Notes in Logic (2012), Association for Symbolic Logic.
- C. Wood: "Notes on the Stability of Separably Closed Fields", J. Symbolic Logic, Volume 44, Issue 3 (1979), 412-416.