Seminar: Algebra und Modelltheorie - die p-adischen Zahlen
(WS 2015/2016)
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Für jede Primzahl p ist der Körper der p-adischen Zahlen eine
Körpererweiterung der rationalen Zahlen. Wie die reellen Zahlen
kann man die p-adischen Zahlen als die Vervollständigung der rationalen
Zahlen bezüglich eines Absolutbetrages konstruieren. Sie sind ein
zentrales Objekt in der algebraischen Zahlentheorie. Wir wollen in diesem
Seminar die Algebra und die Modelltheorie der p-adischen Zahlen studieren.
Im ersten Teil des Semesters widmen wir uns rein algebraischen Themen, für
diese Vorträge sind nur Kenntnisse einer Algebra-Vorlesung notwendig.
Im zweiten Teil wollen wir modelltheoretische Eigenschaften der p-adischen
Zahlen betrachten.
Literatur:
- Engler, Prestel: Valued Fields (Textbuch).
- Prestel, Roquette: Formally p-adic Fields (Textbuch).
- Macintyre: Twenty years of p-adic Model Theory (Survey).
- Belair: Panorama of p-adic Model Theory (Survey).
- Halupczok: Modelltheorie bewerteter Körper (Vorlesungsnotizen).
Zeit/Ort:
Das Seminar findet ab Dienstag, den 27.10., dienstags
von 10:00 Uhr bis 12:00 Uhr (c.t.) in SR1D statt.
Mögliche Themen:
- Übersichtsvortrag
- Archimedisch vs. ultrametrisch, Abhängigkeit, Approximationssatz
- Cauchy-Folgen und Vervollständigung
- Archimedische Absolutbeträge, Teil 1
- Archimedische Absolutbeträge, Teil 2
- Bewertungen und Hensels Lemma, Teil 1
- Hensels Lemma, Teil 2
- Alternative Definition der p-adischen Zahlen
- Grundbegriffe der Modelltheorie
- Axiomatisierung von $\mathbb{Q}_p$
- Definition von $\mathbb{Z}_p$ in $\mathbb{Q}_p$
- Quantorenelimination in $\mathcal{L}_\textrm{Mac}$
- Modellvollständigkeit und Entscheidbarkeit
- $\mathrm{Th}(\mathbb{Q}_p)$ ist NIP (bei Interesse: dp-minimal)
- Transferprinzipien
- Galoischarakterisierung von $\mathbb{Q}_p$