Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 1 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 25.10.2004, 8:15 Uhr

Aufgabe 1: Sei ε > 0 beliebig. Konstruiere eine Folge (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}), … von offenen Intervallen mit ℚ ⊂ ⋃_{i=1}^{∞}(a_{i}, b_{i}) und ∑_{i=1}^{∞} |b_{i}−a_{i}| < ε. Zeige, dass dann ⋃_{i=1}^{∞}(a_{i}, b_{i}) ≠ ℝ gilt.

Aufgabe 2: Eine Familie (a_{i})_{i∈I} reeller Zahlen heißt summierbar mit Summe a, wenn es zu jedem ε > 0 eine endliche Teilmenge E_{0} ⊂ I gibt, so dass für jede endliche Teilmenge E ⊂ I mit E ⊃ E_{0} gilt |a − ∑_{i∈E} a_{i}| < ε.

1. Beweise: (a_{i})_{i∈I} ist genau dann summierbar, wenn es zu jedem ε > 0 eine endliche Teilmenge E_{0} ⊂ I gibt, so dass für jede zu E_{0} disjunkte endliche Teilmenge K ⊂ I gilt | ∑_{i∈K} a_{i}| < ε.

2. Zeige, dass (a_{i})_{i∈I} genau dann summierbar ist, wenn (|a_{i}|)_{i∈I} summierbar ist.

3. Beweise: Eine Familie (a_{i})_{i∈I} nicht-negativer reeller Zahlen ist genau dann summierbar, wenn es c ∈ ℝ gibt mit ∑_{i∈E} a_{i} ≤ c für jede endliche Teilmenge E ⊂ I.

4. Zeige, dass jede Teilfamilie (a_{i})_{i∈J}, J ⊂ I einer summierbaren Familie (a_{i})_{i∈I} wieder summierbar ist. Beweise weiterhin: Ist (a_{i})_{i∈I} summierbar und für J ⊂ I eine endliche Zerlegung J = J_{1} ∪ … ∪ J_{s} in paarweise disjunkte Teilmengen J_{1}, …, J_{s} ⊂ J gegeben, so gilt

∑_{i∈J} a_{i} = ∑_{i∈J_{1}} a_{i} + … + ∑_{i∈J_{s}} a_{i}.

Aufgabe 3: Sei (a_{i})_{i∈I} summierbar. Sei I = ∐_{j∈ℕ} I_{j} eine Zerlegung von I in abzählbar viele disjunkte Teilmengen I_{j} ⊂ I. Sei weiter s_{j} := ∑_{i∈I_{j}} a_{i}. (Beachte: (a_{i})_{i∈I_{j}} ist summierbar.) Zeige, dass auch (s_{j})_{j∈ℕ} summierbar ist und die Gleichung

∑_{i∈I} a_{i} = ∑_{j∈ℕ}s_{j}

erfüllt. Es darf Aufgabe 2 benutzt werden. Folgere, dass das Lebesgue-Maßes einer Menge X wohldefiniert ist, d.h. dass μ(X) unabhängig von der Wahl der Zerlegung in Quadermengen ist, wenn eine solche (wie in der Definition verlangt) existiert.

Aufgabe 4: Sei

X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | 0 < x < 1, 0 < y < 1 − x}

das offene Standarddreieck. Bestimme wie in der Definition des Lebesgue-Maßes das Lebesgue-Maß der Teilmenge X ⊂ ℝ^{2}.