Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 10 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 17.01.2005, 8:15 Uhr

Aufgabe 37:

1. Sei für i = 1, …, k eine p_{i}-Differentialform ω_{i} in einer offenen Menge U ⊂ ℝ^{n} mit n > ∑_{i=1}^{k} p_{i} gegeben. Berechne eine Produktformel für die äußere Ableitung

d(ω_{1} ∧ ω_{2} ∧ … ∧ ω_{k}).

2. Sei φ : ℝ → ℝ stetig differenzierbar, und f, g seien stetig differenzierbare 0-Formen in U ⊂ ℝ^{n} mit g = φ ∘ f. Zeige df ∧ dg = 0.

Aufgabe 38: Betrachte die in U := ℝ^{2}\{(0, 0)} ⊂ ℝ^{2} erklärte 1-Form

ω := −\frac{x_{2}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} dx_{1} + \frac{x_{1}}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} dx_{2}

und zeige, dass ω geschlossen, aber nicht exakt ist.

Aufgabe 39: Betrachte natürliche Zahlen i_{1}, …, i_{p} mit i_{1} < … < i_{p}. Es gibt eine eindeutige Permutation σ = (i_{1}, …, i_{p}, j_{1}, …, j_{n−p}) von (1, …, n) mit j_{1} < … < j_{p}. Durch

∗(f · dx_{i_{1}} ∧ … ∧, dx_{i_{p}}) := sgn(σ) · f · dx_{j_{1}} ∧ … ∧ dx_{j_{n−p}}

für einfache p-Formen und ∗(ω_{1} + ω_{2}) := ∗(ω_{1}) + ∗(ω_{2}) für Summen einfacher p-Formen ist der Hodge-∗-Operator definiert, welcher einer beliebigen p-Form ω im (orientierten, euklidischen Vektorraum) ℝ^{n} eine eindeutige (n − p)-Form ∗ω in ℝ^{n} zuordnet. Zeige

1. Für jede p-Form ω (1 ≤ p ≤ n) gilt ∗ ∗ ω = (−1)^{p(n−p)} · ω.

2. Durch

⟨ω_{1}, ω_{2}⟩ · dx_{1} ∧ … ∧ dx_{n} = ω_{1} ∧ ∗ω_{2}

ist ein Skalarprodukt ⟨ω_{1}, ω_{2}⟩ auf dem Vektorraum aller p-Formen definiert.

Aufgabe 40: Sei die 0-Form r auf ℝ^{n}\{0} durch r(x) := ∥x∥ definiert. Berechne dr∧(∗dr).