Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 2 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Dienstag, 02.11.2004, 9:15 Uhr

Aufgabe 5: Zeige anhand eines Beispiels, dass es beschränkte Mengen M_{1}, M_{2} ⊂ ℝ^{n} gibt mit μ_{∗}(M_{1}) = 0, aber

μ_{∗}(M_{1} ∪ M_{2}) ≠ μ_{∗}(M_{2}).

Aufgabe 6: Beweise, dass

1. für alle (nicht notwendig beschränkten) offenen Mengen U, deren äußeres Lebesgue-Maß μ^{∗}(U) existiert; bzw

2. für alle (nicht notwendig beschränkten) abgeschlossenen Mengen A, deren inneres Lebesgue-Maß μ_{∗}(A) existiert

jeweils inneres und äußeres Lebesgue-Maß existieren und übereinstimmen.

Aufgabe 7: Beweise mit dem Auswahlaxiom bzw. dem Lemma von Zorn, dass jeder (möglicherweise unendlichdimensionale) Vektorraum eine Basis besitzt.

Aufgabe 8: Für zwei Teilmengen A, B ⊂ ℝ^{n} ist ihre symmetrische Differenz AΔB := (A\B) ∪ (B\A) definiert. Weiterhin existiere das äußere Maß von A und B. Begründe, warum auch μ^{∗}(AΔB) existiert und beweise:

μ^{∗}(AΔB) = 0 impliziert μ^{∗}(A) = μ^{∗}(B).

Sei weiterhin (A_{i}) eine Folge von Mengen, deren äußeres Lebesgue-Maß existiert, und es konvergiere ∑_{i=1}^{∞} μ^{∗}(A_{i}). Zeige:

lim_{i→∞} μ^{∗}(A_{n}ΔA) = 0 impliziert lim_{i→∞} μ^{∗}(A_{i}) = μ^{∗}(A).