Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 3 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 08.11.2004, 8:15 Uhr

Aufgabe 9: Sei X = ℚ ∩ (0, 1] und M das Mengensystem, welches aus allen Mengen der Gestalt M = ℚ ∩ (a, b] mit 0 ≤ a < b ≤ 1 besteht. Sei f : M → [0, 1] definiert durch f(ℚ ∩ (a, b]) = b − a. Beweise, dass f nicht σ-additiv ist.

Aufgabe 10: Beweise, dass durch M_{1} ∼ M_{2} :⇔ μ(M_{1}ΔM_{2}) = 0 eine Äquivalenzrelation auf der Menge 𝔐 aller Lebesgue-messbaren Funktionen erklärt ist. Zeige weiterhin, dass d([M_{1}], [M_{2}]) := μ(M_{1}ΔM_{2}) eine (wohldefinierte) Metrik auf der Menge 𝔐̃ aller Äquivalenzklassen bezüglich ∼ definiert ist.

Aufgabe 11: Es sei X eine Menge sowie (A_{n})_{n∈ℕ} und (B_{n})_{n∈ℕ} Folgen von Teilmengen von X. Der (mengentheoretische) Limes superior und (mengentheoretische) Limes inferior sind definiert als

lim sup_{n→∞} A_{n} := ⋂_{m=1}^{∞} ⋃_{n≥m} A_{n}  bzw.  lim inf_{n→∞} ⋃_{m=1}^{∞} ⋂_{n≥m} A_{n}.

Zeige

lim inf_{n→∞}(A_{n} ∩ B_{n}) ⊂ lim inf_{n→∞} A_{n} ∩ lim inf_{n→∞} B_{n}
⊂ lim inf_{n→∞} A_{n} ∩ lim sup_{n→∞} B_{n}
⊂ lim sup_{n→∞}(A_{n} ∩ B_{n})  ⊂ lim sup_{n→∞} A_{n} ∩ lim sup_{n→∞} B_{n}.

Sei weiter (M_{n}) eine Folge Lebesgue-messbarer Mengen mit M_{i} ⊂ M für eine Lebesguemessbare Menge M. Beweise, dass auch lim sup_{n→∞} M_{n} und lim inf_{n→∞} M_{n} messbar sind.

Aufgabe 12: Betrachte den Mengenring 𝔐 und eine additive Funktion f : 𝔐 → [0, ∞). Beweise die Äquivalenz der folgenden Bedingungen

1. f ist σ-additiv.

2. Für alle Folgen M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ … mit M_{i}, M := ⋃_{i=1}^{∞} M_{i} ∈ 𝔐 gilt

f(M) = lim_{i→∞} f(M_{i}).