Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 4 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 15.11.2004, 8:15 Uhr

Aufgabe 13: Sei M ⊂ ℝ^{n} eine Lebesgue-messbare Menge. Zeige, dass f : M → ℝ genau dann Lebesgue-messbar ist, wenn das Urbild f^{−1}(J) für jedes Intervall J ⊂ ℝ Lebesguemessbar ist.

Aufgabe 14: Sei U ⊂ ℝ^{2} eine offene Teilmenge und φ : U → ℝ stetig. Sei weiterhin M ⊂ ℝ^{n} und f_{1}, f_{2} : M → ℝ Lebesgue-messbar mit {(f_{1}(x), f_{2}(x)) | x ∈ M} ⊂ U. Zeige, dass auch

f : M → ℝ, x ↦ φ(f_{1}(x), f_{2}(x))

eine Lebesgue-messbare Abbildung ist.

Aufgabe 15: Eine Teilmenge M ⊂ ℝ^{n} heißt Lebesgue-messbar mit unendlichem Maß μ(M) = ∞, falls für jedes r > 0 der Durchschnitt B_{r}(0) ∩ M der Kugel vom Radius r um den Koordinatenursprung mit der Menge M Lebesgue-messbar ist und die Funktion α : ℝ^{>0} → ℝ^{≥0}, r ↦ μ(M ∩ B_{r}(0)) nicht beschränkt ist. Beweise oder widerlege:

1. Jede monoton wachsende Funktion f : ℝ → ℝ ist Lebesgue-messbar.

2. Seien f, g : ℝ → ℝ stetig und es gelte f = g fast überall, d.h. die Menge

{x ∈ ℝ | f(x) ≠ g(x)} ⊂ ℝ

ist eine Nullmenge. Dann gilt bereits f = g, d.h. f(x) = g(x) für alle x ∈ ℝ.

Aufgabe 16: Sei f : [0, 1] → ℝ stetig. Definiere Funktionen p_{n} : [0, 1] → ℝ durch

p_{n}(x) := ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}(1 − x)^{n−k} · f (\frac{k}{n}) .

1. Zeige, dass speziell für f(x) = 1, f(x) = x und f(x) = x(1 − x) die zugehörige Folge (p_{n})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen f konvergiert, beachte x ∈ [0, 1].

2. Beweise für x ∈ [0, 1] die Gleichung

∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}(1 − x)^{n−k} · (x − \frac{k}{n})^{2} = \frac{1}{n}x(1 − x)

und folgere

0 ≤ ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}(1 − x)^{n−k} · (x − \frac{k}{n})^{2} ≤ \frac{1}{4n}.

3. Zeige, dass die Folge (p_{n})_{n∈ℕ} gleichmäßig gegen f konvergiert. Teil 1 und 2 dürfen benutzt werden. ^{1}

1Es folgt, dass der Raum P ([a, b]) aller Polynomfunktionen p : [a, b] → ℝ dicht in dem vollständigen Raum C([a, b]) aller stetigen Funktionen f : [a, b] → ℝ liegt, wenn wir die C([a, b]) als normierten Vektorraum mit der Supremumsnorm ∥ · ∥_{∞} betrachten. Dabei heißt eine Teilmenge A ⊂ X eines topologischen Raumes X dicht, falls \overline{A} = X gilt. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt auch Banachraum.