Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 5 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 22.11.2004, 8:15 Uhr

Aufgabe 17: Sei f : M → ℝ messbar und F ∈ L^{1}(M) mit |f(x)| ≤ F (x) fast überall. Zeige, dass auch f Lebesgue-integrierbar ist.

Aufgabe 18: Sei M ⊂ ℝ^{n} Lebesgue-messbar und f : M → ℝ eine nicht-negative Funktion. Zeige: f ist genau dann Lebegue-integrierbar , wenn

M_{f} := {(x, z) ∈ M × ℝ | 0 ≤ z < f(x)} ⊂ ℝ^{n}

Lebesgue-messbar ist. In diesem Fall gilt

∫_{M} fdμ_{n} = μ_{n+1}(M_{f}),

wobei μ_{n+1} das (n + 1)-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.^{1}

Aufgabe 19: Beweise: Jede Riemann-integrierbare Funktion f : [a, b] → ℝ ist Lebesgueintegrierbar und es gilt

∫_{a}^{b} f(x)dx = ∫_{[a,b]} f(x)dμ(x),

wobei die linke Seite der Gleichung das Riemann-Integral und die rechte Seite das Lebesgue-Integral bezeichnet.

Aufgabe 20: Zeige anhand eines Beispiels, dass im Satz über die majorisierte Konvergenz die Bedingung der Majorisierung nicht weggelassen werden kann.

g_{k}(x) := \begin{cases}\frac{j−1}{2^{k}} & für x ∈ M_{j}^{k} := \{x ∈ M | \frac{j−1}{2^{k}} ≤ f(x) < \frac{j}{2^{k}} \} \\ 0 & sonst \end{cases}

1Hinweis: Zeige, dass durch ein Folge nicht-negativer einfacher Funktionen g_{k} : M → ℝ definiert wird, die monoton wächst und gleichmäßig gegen f konvergiert.

Außerdem darf benutzt werden: Für ein beschränktes Intervall J ⊂ ℝ und eine Menge M ⊂ ℝ^{n} ist M × J genau dann messbar, wenn M messbar ist, und in diesem Fall gilt μ_{n+1}(M × J) = μ_{n}(M) · μ_{1}(J).