Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 6 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 29.11.2004, 8:15 Uhr

Aufgabe 21: Berechne das Lebesgue-Maß der Menge

M := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 0 ≤ z < e^{−(x^{2}+y^{2})}}.

Aufgabe 22: Berechne das Lebesgue-Maß der Menge

M := \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | 0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ \frac{π}{2} (1 − z), 0 ≤ z ≤ 1\}.

Zeichne eine Skizze von M.

Aufgabe 23: Sei T der Rotationskörper, welcher durch Rotation der Menge

{(x, 0, z) ∈ ℝ^{3} | (x − 2)^{2} + z^{2} ≤ 1}

um die z-Achse entsteht. Berechne das Lebesgue-Maß von T. (Ein solcher Rotationskörper heißt Torus.) Zeichne eine Skizze von T.

Aufgabe 24: Sei M ⊂ ℝ^{n} Lebesgue-messbar und ρ ∈ L^{1}(M). Sei weiter U ⊂ ℝ^{n} offen mit 0 < dist(U, M) := inf {∥x − y∥ | x ∈ M, y ∈ U}. Zeige, dass

F : U → ℝ, y ↦ ∫_{M} \frac{ρ(x)}{∥x − y∥^{n−2}} dμ(x)

eine zweimal partiell differenzierbare^{1} Funktion ist, welche die sogenannte Laplace’sche Differentialgleichung

ΔF := \frac{∂^{2}f}{∂x_{1}^{2}} + … + \frac{∂^{2}f}{∂x_{n}^{2}} = 0

erfüllt. (Δ heißt Laplace’scher-Differentialoperator.)

1Tatsächlich ist F sogar glatt, d.h. unendlich oft (total) differenzierbar.