Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 7 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 06.12.2004, 8:15 Uhr

Aufgabe 25: Zeige, dass es eine eindeutige stetig differenzierbare Funktion φ : ℝ → ℝ gibt, welche die Differentialgleichung

\frac{∂}{∂t}φ(t) = −tφ(t)

mit Anfangsbedingung φ(0) = 1 für alle t ∈ ℝ erfüllt.

Aufgabe 26: Berechne die Fourier-Transformierte der Funktion

f : ℝ → ℝ, x ↦ e^{− \frac{1}{2} x^{2}}.

Aufgabe 27: Sei

D^{2} := {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

Zeige für α ∈ ℝ, dass

∫_{D^{2}} ∥x∥^{α}dμ(x)

genau dann endlich ist, wenn α + 2 > 0 gilt und berechne in diesem Fall den Wert des Integrals.

Aufgabe 28: Zeige mit einem Konvergenzsatz aus der Vorlesung, dass die Riemann’sche Zetafunktion

ζ : (1, ∞) → ℝ, s ↦ ∑_{n=1}^{∞} n^{−s}

stetig ist.