Aufgaben zur Vorlesung

Analysis III

Blatt 9 J. Lohkamp/M. Förster WS 2004/05 Abgabe: Montag, 20.12.2004, 8:15 Uhr

Aufgabe 33 Sei ω = p(x, y)dx + q(x, y)dy eine in der offenen Menge U ⊂ ℝ^{2} stetige 1-Form. Sei γ der (positiv, d.h. gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene) Rand eines achsenparallelen in U enthaltenen Rechtecks. Gebe eine explizite Formeln für ∫_{γ} ω der Gestalt ∫_{a}^{b}(…) dt an.

Aufgabe 34: Sei

S^{n} := {x ∈ ℝ^{n+1} | ∥x∥ = 1}

die n-dimensionale (Einheits-)Sphäre. Betrachte die offene Menge U := {x ∈ ℝ^{n+1} | x_{n+1} ≠ 1} ⊂ ℝ^{n+1} und zeige, dass es eine stetig partiell differenzierbare Abbildung φ : U → ℝ^{n} gibt, so dass die Einschränkung von φ auf S^{n} ∩ U = S^{n}\{(0, …, 0, 1)} eine bijektive Abbildung

φ|_{S^{n}∩U} : S^{n} ∩ U → ℝ^{n}

induziert. Verdeutliche die Abbildung φ für den Fall n = 1 durch eine Skizze.

Aufgabe 35: Sei U ⊂ ℝ^{n} offen, γ : [a, b] → ℝ^{n} ein glatter Weg in U und v : U → ℝ^{n} eine stetiges Vektorfeld auf U. Beweise

|∫_{γ} ⟨v, dx⟩ | ≤ L(γ) · sup_{x ∈ Bild(γ)} { | v(x) | } ,

wobei L(γ) die (euklidische) Länge des Weges γ bezeichnet.^{1}

Aufgabe 36: Sei U ⊂ ℝ^{n} offen, f : U → ℝ eine stetig differenzierbare Funktion und γ : [0, 1] → U ein zweimal stetig differenzierbarer Weg, welcher für das Vektorfeld v := −grad(f) die Bedingung

γ′′(t) = v(γ(t))

für alle t ∈ [0, 1] erfüllt. Beweise für 0 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ 1

\frac{1}{2} · [⟨γ′(t), γ′(t)⟩]_{t_{1}}^{t_{2}} = f (γ(t_{1})) − f (γ(t_{2})) .

1Erinnerung/Hinweis:

∫_{γ} ⟨v, dx⟩ := ∫_{a}^{b} ⟨v(γ(t)), γ′(t)⟩ dt