Kompass Heinrich-Behnke-Seminar Bericht: Vorwort / Inhalt  

2 Ergebnisse und Ziele

2.1 Herbert Möller: Vierzehn Jahre Heinrich-Behnke-Seminar für Didaktik der Mathematik - Fortführung einer Tradition

2.2 Herbert Möller: Elementare Analysis (Pdf-Datei, 445 KB)

2.3 Herbert Möller: Algorithmische Lineare Algebra (Pdf-Datei, 312 KB)

2.4 Herbert Möller: Raumalgebra (Pdf-Datei, 495 KB)

2.5 Heinz Böer: Die MUED


H. Möller: Vierzehn Jahre Heinrich-Behnke-Seminar für Didaktik der Mathematik - Fortführung einer Tradition

Die ersten und die letzten zwanzig Jahre

Über die Entwicklung des Seminars für Didaktik der Mathematik an der Universität Münster in den ersten zwanzig Jahren des vierzigjährigen Bestehens haben Hans-Georg Steiner und Heinz Griesel im Rahmen des Festkolloquiums am 5.11.1991 ausführlich berichtet. Viele Einzelheiten können in dem Beitrag nachgelesen werden, den H.-G. Steiner in der Festschrift "Mathematik lehren und lernen" zum 60. Geburtstag von H. Griesel unter dem Titel "Vom Studienstifter zum Professor für Mathematikdidaktik - Heinz Griesels 'Münsteraner Jahre'" veröffentlicht hat.

Während des Festkolloquiums blieb keine Zeit, die Ziele und Ergebnisse der letzten zwanzig Jahre darzustellen. Deshalb fand am 14.1.1992 ein Kolloquiumsvortrag mit dem obigen Titel statt, um sowohl die Kontinuität als auch die Besonderheiten der Arbeit im Seminar zu belegen. Hier können nur die wichtigsten Punkte dieses zweistündigen Rückblicks und Rechenschaftsberichts wiedergegeben werden.

Der Berichtszeitraum beginnt mit dem Jahr 1977; denn die sechs Jahre von 1971 bis 1977 waren eine ruhige Übergangsphase, aus der nur festzuhalten ist, daß Heinrich Behnke seine Lebenserinnerungen schrieb, die 1978 als Buch mit dem Titel "Semesterberichte" und dem Untertitel "Ein Leben an deutschen Universitäten im Wandel der Zeit" im Verlag Vandenhoeck & Ruprecht erschienen sind, und daß 1973 die erste Professur für Didaktik der Mathematik am Fachbereich Mathematik der Universität Münster eingerichtet und mit dem Berichterstatter besetzt wurde, der 1975 auch die Leitung des Seminars übernahm.

Aus Anlaß des fünfzigsten Dienstjubiläums von Heinrich Behnke wurden 1977 sein wissenschaftliches Lebenswerk und seine Persönlichkeit durch die Umbenennung des Seminars in "Heinrich-Behnke-Seminar für Didaktik der Mathematik" gewürdigt. Die im Anschluß an diesen Bericht zusammen mit weiteren Dokumenten abgedruckte Kopie der Urkunde soll dieses wichtige Ereignis auch öffentlich belegen.

Die im Titel genannte Tradition ist die "Pflege des Zusammenhangs von Universität und höherer Schule", die Behnkes Hauptanliegen im didaktischen Bereich war. Die beiden wichtigsten Beispiele sind die 1932 von ihm zusammen mit Otto Toeplitz gegründeten "Mathematisch-Physikalischen Semesterberichte" mit dem Untertitel "Zur Pflege des Zusammenhangs von Schule und Universität" und die 1934 ebenfalls zusammen mit Toeplitz eingeführten "Tagungen zur Pflege des Zusammenhangs von Universität und höherer Schule". Da die Zeitschrift seit Beginn dieses Jahres ohne den entscheidenden Untertitel von einem anderen Verlag für eine wesentlich größere Zielgruppe herausgegeben wird, zu der auch die Mathematiker in Wirtschaft und Industrie gehören, und da die 52. Tagung vor fünf Jahren wahrscheinlich auch die letzte war, ist zu befürchten, daß diese Idee Behnkes in Vergessenheit gerät. Deshalb soll durch die Kopien einer Titelseite und der Frontseite einer Einladung an sie erinnert werden.

Kolloquiumsvorträge von Mitgliedern des Seminars

Als Beleg dafür, daß diese Tradition in den vergangenen vierzehn Jahren fortgeführt und vertieft wurde, lassen sich zunächst die von Mitgliedern des Heinrich-Behnke-Seminars im Kolloquium zur Geschichte und Didaktik der Mathematik gehaltenen Vorträge heranziehen. Der Einfachheit halber werden hier die Namen und Titel aus der Zusammenstellung aller "Vorträge im (Heinrich-Behnke-) Seminar für Didaktik der Mathematik an der Universität Münster 1951-1991" abgedruckt, die zusammen mit diesem Berichtsband verschickt werden soll.

30.10.73 Prof. Dr. H. Möller
Falsche Vermutungen in der Zahlentheorie
7.5.74 "Analysis mit expliziten Resten" für den Unterricht auf dem Gymnasium
14.5.74 Fortsetzung des Vortrags vom 7.5.74
10.12.74 Einführung transzendenter Funktionen in der Schule
10.6.75 Anwendungen der Analysis im Unterricht
8.7.75 Bericht über das Problemseminar in Münster
11.5.76 Kennen Sie Pi?
23.11.76 Potenzreihenfunktionen in der Schule?
1.2.77 Normenbücher und ihre Folgen
26.4.77 Vereinfachte Fundamentalfolgen - vielseitiges Hilfsmittel für die Schulanalysis
15.11.77 Bericht über Projekte zur Didaktik der Mathematik
29.11.77 Dr. F. J. Kaiser
Die Entwicklung des Problemseminars in Münster
7.2.78 B. Mersch
Problemorientierter Rechnereinsatz in der Sekundarstufe II
19.12.78 StRef. H. Böer
Unterrichtseinheiten für problemorientierten Unterricht
8.1.80 StRef. J. Grass und StRef. A. Kock
Veranschaulichung im Analysisunterricht mit Hilfe des graphischen Tischrechnersystems TEKTRONIX 4051
25.11.80 Prof. Dr. H. Möller
Elementarer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra und Berechnung der Nullstellen von Polynomen
7.7.81 OStR. i. HD. J. Westerheide
Didaktische Überlegungen im Umfeld des Skalarprodukts
22.6.82 Prof. Dr. H. Möller
Zur Elementarisierung der Schulanalysis
23.11.82 J. Maaß
Das Thema "Energie" im Mathematikunterricht
28.6.83 Prof. Dr. H. Möller
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
4.6.85 Die Anfertigung mathematischer Texte mit Mikrocomputern - Erfahrungen und Vorschläge
27.5.86 Elementare Analysis mit LOGO - Der geometrische Strang
10.6.86 Elementare Analysis mit LOGO - Der algorithmische und der phänomenologisch-historische Strang
15.12.87 Algorithmen mit Konvergenzverbesserung in der Analysis
9.2.88 Entdecken und Beweisen geometrischer Sätze mit Graphikcomputern
14.6.88 stud. rer. nat. S. Kurz
Ein Compiler für hochgenaue Arithmetik in Zahlentheorie und Analysis
21.6.88 Prof. Dr. H. Möller
Ein sicherer, effektiver Algorithmus zur Berechnung aller Nullstellen von Polynomen
8.11.88 Approximation wahrscheinlichkeitstheoretischer Verteilungen
9.5.89 Die Euler-Maclaurinsche Summenformel mit Anwendungen
10.10.89 Das Heinrich-Behnke-Seminar für Didaktik der Mathematik zehn Jahre nach dem Tode seines Gründers
8.5.90 Frau cand. rer. nat. D. Ryll
Entdeckung des Hauptsatzes der Ableitungs- und Integralrechnung mit Hilfe von Graphikcomputern
29.5.90 Prof. Dr. H. Möller
Wohin gehört der Fundamentalsatz der Algebra?
18.6.91 Raumalgebra - Modellbildung im Anschauungsraum und Lineare Algebra

Es ist ohne weiteres zu erkennen, daß durch die meisten Vorträge, die häufig Projektberichte darstellten, eine Verbindung zwischen Schule und Universität im Sinne Behnkes hergestellt wurde. Bemerkenswert ist auch die breite Fächerung der Themen, die konsequente Zusammenarbeit mit Lehrern und Studierenden, die diesem Band seinen Titel gegeben hat, und die "Konvergenz" der als schwierig bekannten Fragen, die sich wie rote Fäden durch unsere Arbeit zogen. Auf die meisten dieser Punkte wird in den anschließenden Einzeldarstellungen ausführlich eingegangen.

Die Zusammenarbeit mit Studierenden im Seminar

An dieser Stelle sollen auch die Namen der Studierenden besonders herausgestellt werden, die das Seminar durch ihr Engagement mitgetragen haben.

Franz-Josef Kaiser war von 1974 bis 1977 Verwalter zunächst der Stelle eines Studienrats im Hochschuldienst und dann eines Wissenschaftlichen Mitarbeiters. Er beteiligte sich unter anderem am Aufbau eines Problemseminars, schrieb seine Doktorarbeit über ein Thema aus der analytischen Zahlentheorie und promovierte 1977.

Von 1977 bis 1982 arbeitete Jürgen Maaß als Studentische Hilfskraft im Seminar. Seine vielfältigen Interessen ermöglichten die erfolgreiche Durchführung einer "Reformvorlesung" zur Linearen Algebra, über die im Abschnitt 2.3 ausführlich berichtet wird. Er promovierte 1985 an der Universität Essen in den Fächern Mathematik und Soziologie und ist jetzt Hochschuldozent in Linz (Österreich).

Eine wichtige Rolle im Hinblick auf die Zusammenarbeit mit Lehrern spielte Heinz Böer, obwohl er keine Stelle im Seminar hatte: Im Umfeld seiner ungewöhnlichen (Dreier-)Staatsexamensarbeit (siehe 3.4) initiierte er 1977 im Seminar eine Arbeitsgemeinschaft zur Entwicklung geeigneter Unterrichtsmaterialien. Als Studienreferendar gründete er im gleichen Jahr die "Mathematische Unterrichtseinheitendatei", die als Lehrer/innen/verein mit derzeit etwa 600 Mitgliedern über Deutschland hinaus Bedeutung erlangt hat. Ihre Arbeitsweise und Zielsetzung beschreibt er in einem eigenen Beitrag in 2.5.

Als Studienrat im Hochschuldienst war Jürgen Westerheide von 1979 bis 1982 im Seminar tätig. Durch die unmittelbare Verbindung zur Schule lieferte er wichtige didaktische Impulse für die weitere Arbeit, die allerdings nach der Streichung seiner Stelle bis heute ohne Unterstützung durch Studienräte oder Wissenschaftliche Mitarbeiter blieb.

Um so wichtiger wurden die Leistungen der Staatsexamenskandidaten, die wie Diana Ryll und Heinrich Hecker zugleich Studentische Hilfskräfte waren oder wie Norbert Tekotte aus Begeisterung für die Sache hervorragende Resultate lieferten, deren Kurzdarstellungen im dritten Kapitel zu finden sind.

Wenn es in den kommenden Jahren möglich sein wird, den größten Teil unserer Ergebnisse in Büchern zu veröffentlichen, so ist dieses vor allem Siegfried Kurz zu verdanken, der in den vergangenen vier Jahren als Studentische Hilfskraft, als hervorragender EDV-Fachmann, als Komponist (unter anderem der "Akademischen Festouvertüre" für unsere Jubiläumsveranstaltung) und in mancherlei anderer Hinsicht im Heinrich-Behnke-Seminar wirkte: Freiwillig und zum Teil sogar ohne mein Wissen hat er drei vollständige Buchmanuskripte auf Disketten übertragen. Auch die professionelle Programmierumgebung "Number Theoretical Language 1", die im vierten Kapitel beschrieben wird, ist - bis auf den mathematischen Kern - sein Werk.

Zur Zeit arbeitet Thomas Nicolaus als einzige und wahrscheinlich letzte Studentische Hilfskraft im Heinrich-Behnke-Seminar. Er hat unter anderem die meisten der neuen Texte dieses Bandes abgeschrieben und für den Druck vorbereitet.

Ihnen allen und den vielen Ungenannten sei auch hier herzlich für Ihre Mitarbeit gedankt.

Das sechsparallelige Projekt

Aus Anlaß eines EDV-Antrags ließen sich vor zwei Jahren fast alle im Seminar in Angriff genommenen Projekte dem Ziel der "Förderung des mathematischen Entdeckens" unterordnen. Bei der Vorbereitung dieses Berichts zeigte es sich, daß noch zwei weitere Tätigkeiten der "Pflege", nämlich das Darstellen und das Erlebenlassen von Mathematik, die Arbeit im Heinrich-Behnke-Seminar bestimmt haben. Deshalb lag es nahe, zu einer übersichtlicheren Darstellung der Ergebnisse und der Projektzuordnung ein rechteckiges Schema zu verwenden, dessen drei Spalten die Tätigkeiten enthalten und dessen sechs Zeilen die vorrangig bearbeiteten mathematischen Teilgebiete sind. Noch besser wäre ein räumliches Schema, bei dem die drei Spalten als Seitenflächen eines Prismas über einem gleichseitigen Dreieck ohne Rangfolge verbunden sind.

Während in dem Vortrag die einzelnen Felder mit ausführlichen Erläuterungen der Reihe nach ausgefüllt wurden, gibt die folgende Figur das vollständige Schema wieder - bis auf die abschließende Zusammenfassung der gesamten Arbeit und Zielsetzung durch eine prägnante Überschrift, die zugleich das entscheidende Leitmotiv darstellt. Darauf wird auch hier erst am Schluß dieses Abschnitts eingegangen.

Ausgehend von der mittleren Spalte sollen hier nur die Querverbindungen erläutert werden, weil ausführliche Beschreibungen der Elementaren Analysis, der Algorithmischen Linearen Algebra und der Raumalgebra in den anschließenden Abschnitten dieses Kapitels folgen und weil kurze Darstellungen der Computerprogramme "GEOMENT" und "Number Theoretical Language 1 (NTL1)" im vierten Kapitel zu finden sind. Da der "Brückenkurs Infinitesimalrechnung" 1991 im Dümmler Verlag erschienen ist, wird er hier nicht im Detail vorgestellt.

Das doppelte Auftreten der Analysis und der Linearen Algebra zeigt, daß das Zusammenspiel der Mathematik in der Schule und in der Hochschule ein besonderes Anliegen unserer Arbeit war. In den vergangenen zwanzig Jahren kam es durch die "Strukturorientierung" der Schulmathematik zu einer weitgehenden Übereinstimmung der Inhalte und Methoden in den Anfängervorlesungen der Hochschulen und in den entsprechenden Oberstufenkursen. Mit den beiden Konzepten für die Sekundarstufe II wurden deshalb Curriculumalternativen entwickelt, die auch das Verhältnis zwischen Oberstufen- und Hochschulmathematik verbessern sollen. Im Falle der Analysis steht der sinnvolle Einstieg und das Problem des Übergangs zur Hochschule im Vordergrund. Bei der Linearen Algebra wird außerdem versucht, die zugehörige Anfängervorlesung angemessen zu aktualisieren.

In allen Arbeitsbereichen mit Ausnahme des Analysis-Vorkurses spielte die Erforschung des Computereinsatzes eine immer stärkere und inzwischen wesentliche Rolle. Die Arbeit mit Computern war aber niemals Selbstzweck. Zwei Phänome wurden für uns besonders wichtig: die Möglichkeit, mathematische Entdeckungen durch geeignete Programme zu erschließen, und die Fähigkeit der neuen Medien, Beiträge vieler Personen zu akkumulieren. Da der erste Aspekt mit der Suche nach passenden Zugängen und Beweisen weit in den wissenschaftlichen Bereich hineinreicht, können hier nur einige typische Ansätze skizziert werden. In der Geometrie sind es überwiegend zweckmäßig angeordnete Computer-Experimente, die die vollständige Genese der Ergebnisse und ihre Sicherung ermöglichen. Das umfangreiche Programm "GEOMENT", das im Laufe von fünf Semestern durch mehr als dreißig Studierende im Rahmen von Seminaren geschaffen wurde, zeigt zugleich die Möglichkeiten der Akkumulation im akademischen Bereich, wo offenbar ein großes Potential bei den Studierenden bisher ungenutzt geblieben ist.

In ähnlicher Weise könnten sich zahlreiche Lehrer an der Entwicklung der zur Elementaren Analysis gehörenden Programme beteiligen. Die Voraussetzungen dafür sind schon jetzt günstig: Vom Konzept her werden nur fünf "geometrische Werkzeuge" benötigt, um mit rund 60 "assoziativen Figurensequenzen" alle wesentlichen Ergebnisse der Schulanalysis im Sinne des Wissenschaftsphilosophen Imre Lakatos durch "Präbeweise" zu gewinnen, die durchweg genetische Herleitungen ergeben und die in Verbindung mit dem Entdeckungsmodus, dem Sicherungsmodus und dem Festigungsmodus auch tiefgreifende lernpsychologische Konsequenzen haben. Die drei Darstellungsmodi werden erst durch die heutigen leistungsfähigen Graphikcomputer ermöglicht.

So wie die assoziativen Figurensequenzen wesentlich mehr bedeuten als die aus Büchern bekannten Veranschaulichungen, so führen auch die meisten "Konkretisierungen" der üblichen abstrakten oder oberflächlichen Vorgehensweisen zu besonderen didaktischen Ideen. Als Beispiel hierfür können die programmierten "synchron-optischen" Zugänge zur Mathematikgeschichte angesehen werden, die die knappen Hinweise in den Lehrbüchern ersetzen:

Die obige Figur ist die Bildschirmkopie eines Programmausschnitts, bei dem sich durch Anwählen des jeweiligen Rechtecks weitere Informationen abrufen lassen.

Konkretisierungen stellen auch die meisten der Algorithmen dar, die in den Konzepten für die Sekundarstufe II und für den tertiären Bereich die bisher überwiegend verwendeten Existenzaussagen ersetzen. Abgesehen von dem Vorteil, daß beliebig viele angemessene Beispiele verfügbar sind, läßt sich damit "algorithmisches Denken" - das heißt grob gesprochen das Denken in Abläufen - schulen. Diese für die Praxis sehr wichtige Zielsetzung wird systematisch im algorithmischen Strang der Elementaren Analysis, in der Algorithmischen Linearen Algebra und in den Modulen zum angeleiteten Lösen zahlentheoretischer Probleme verfolgt.

Um auch Lernenden einen Zugang zu komplexeren Algorithmen zu schaffen, haben wir "interaktive Struktogramme" entwickelt, die auf dem Computerbildschirm eine dynamische Visualisierung der Einzelschritte des betreffenden Algorithmus zusammen mit den jeweiligen numerischen oder grafischen Teilergebnissen von wählbaren Beispielen ermöglichen.

Die hier abgedruckte Bildschirmkopie des interaktiven Struktogramms zur hochgenauen Addition kann diese Dynamik natürlich nur andeuten. Bei komplexeren Algorithmen lassen sich durch Anwählen der entsprechenden Felder auch die zugehörigen Beweisschritte sichtbar machen.

In der Elementaren Analysis spielt neben den assoziativen Figurensequenzen und den Algorithmen noch eine dritte Form des Computereinsatzes eine Rolle, nämlich die Simulation von Anwendungssituationen. Als statisches Beispiel wurde die Approximation der Kettenlinie durch "Balkenlinien" gewählt. Dabei ergab sich auch eine elementare Bestimmung der mathematischen Form dieses sonst schwer zugänglichen Kurventyps.

Das dynamische Beispiel der Planetenbahnen und allgemeiner der Bewegungsbahnen in "Inversquadratfeldern" ist zugleich als Höhepunkt des schulmathematischen Entdeckens und Erlebens gedacht: Einerseits ermöglicht die Elementare Analysis die grenzwertfreie Herleitung der Bahngleichungen aus den Newtonschen Grundgesetzen, und andererseits werden mit den in der Raumalgebra bereitgestellten Hilfsmitteln alle Schritte genetisch zugänglich, wenn man von der Simulation der diskretisierten Bewegung ausgeht. Zur vollständigen Genese gehört auch die Entdeckung der grundlegenden "Laufkreiseigenschaft" aller nichtentarteten Kegelschnitte. Dieses wichtige neue Ergebnis ist am Schluß des vierten Abschnitts in diesem Kapitel zu finden.

Zusammenfassung und Ausblick

Da in der obigen Übersicht zum sechsparalleligen Projekt kein einziges Feld der formalen Mathematik zugeordnet werden kann, lag es nahe, den Bereich, der sich durch die zahlreichen neuen Vorgehensweisen und Ergebnisse abzuzeichnen beginnt, als Ergänzung zu der gegenwärtig dominierenden Mathematikauffassung anzusehen und ihm einen passenden Namen zu geben. Dabei war natürlich zu berücksichtigen, daß bereits ähnliche Versuche vorliegen.

Die umfassenden Darlegungen von Benchara Branford - unter anderem in seinem Buch "A Study of Mathematical Education" (1908) - sollen zuerst genannt werden, weil sie sowohl eine den Formalismus betreffende kritische Komponente enthalten als auch ein Konzept aufbauen, das das genetische Prinzip unterstützt. Während sein Werk praktisch keinen Einfluß auf die gegenwärtige Entwicklung gehabt hat, ist der Essay "Proofs and Refutations - The Logic of Mathematical Discovery" (1976) von Imre Lakatos für die heutige Gegenbewegung konstituierend geworden. Seine wissenschaftsgeschichtliche und philosophische Kritik an der formalistischen Grundlegung der Mathematik und seine konstruktiven Alternativen, die auf Georg Pólyas Heuristik und auf Karl R. Poppers kritischer Philosophie aufbauen, beeinflußten nachhaltig die Werke "Rigorous Proof in Mathematics Education" (1983) von Gila Hanna und "The Mathematical Experience" (1983) von Philip J. Davis und Reuben Hersh, die wiederum Ausgangspunkt für weitere Arbeiten waren.

Dadurch wurde der Boden für eine grundsätzlich andere Auffassung von der Mathematik bereitet, die sich vor allem auf das Mathematiklehren auswirken kann. In kleinerem Rahmen gehören auch aktuelle programmatische Ansätze dazu, so zum Beispiel die "Schulmathematik in operativer Sicht" von Karlheinz Spallek [siehe Schmidt, L. und K. Spallek: Ebene Geometrie und komplexe Zahlen in gemeinsamer operativer Sicht. Didaktik der Mathematik 4, 1987 (301-320)] und das "Elementarmathematische Forschungsprogramm" von Erich C. Wittmann [siehe Wittmann, E. C. und G. Müller: Wann ist ein Beweis ein Beweis? In: Mathematikdidaktik - Theorie und Praxis - Festschrift für Heinrich Winter. Berlin 1988 (237-256)].

Da alle diese Bemühungen das Ziel haben, die Einseitigkeit der formalen Mathematik zu korrigieren, erschien es am besten, das Adjektiv "formal" durch eines zu ersetzen, das sowohl den Gegensatz als auch die Zielrichtung wiedergibt. Aus einer Reihe von Gründen, von denen hier nur die wichtigsten angedeutet werden können, haben wir uns schließlich für den Namen "vitale Mathematik" entschieden.

Mit dieser Bezeichnung soll nämlich einerseits ein im Laufe der Zeit zu präzisierender Teil des unendlichen, offenen Bereichs umrissen werden, den die formale Mathematik bewußt ausklammert. Andererseits bedeutet ein solcher Name eine vielfältig verpflichtende Aufgabe, die Leitmotiv für eine Bewegung sein kann. Die Assoziation mit dem Gegensatz Vitalismus/Mechanismus in der Naturphilosophie und in der Biologie stellt dabei sicher keinen Nachteil dar, weil ähnliche Polaritäten in vielen Lebensbereichen vorkommen. Auf jeden Fall entsteht eine übergeordnete Zielvorstellung, die auch als Grundlage für die weitere Zusammenarbeit zwischen Mathematikern, Didaktikern, Lehrern und Studierenden dienen kann.