Übungsaufgaben zur Vorlesung p-adische Differentialgleichungen SS 04 P. Schneider Blatt 1 E. Große-Klönne

Aufgabe 1: Für ε ≤ 1 ist B_{ε}(a) Nebenklasse eines Ideals in 0 zum Nebenklassenvertreter a.

Aufgabe 2: Führe aus, weshalb in den Beispielen (A), (B), (C) der Vorlesung tatsächlich nichtarchimedische Absolutbeträge auf F = K (Fall (A)), auf F = K(X) (Fall (B)) und auf F = ℂ((T)) (Fall (C)) definiert werden. Bestimme jeweils O_{F} = {a ∈ F | |a| ≤ 1}, m_{F} = {a ∈ F | |a| < 1} und O_{F/m_{F}}.

Aufgabe 3: Sei K ein nichtarchimedischer Körper. Zeige, daß K^{×} eine topologische Gruppe ist, und daß es zu 1 ∈ K^{×} eine Basis offener Umgebungen gibt, welche zugleich Untergruppen von K^{×} sind.

Aufgabe 4: ℚ_{p} enthält alle (p − 1)-ten Einheitswurzeln.

Aufgabe 5: Für den nichtarchimedischen Körper (K, | . |) sei |K^{×}| = {|a|_{i} a ∈ K^{×}} eine diskrete Teilmenge in ℝ. Fixiere für jedes v ∈ |K^{×}| ein b_{v} ∈ K^{×} mit |b_{v}| = v. Fixiere ein System A ⊆ 0 von Repräsentanten für 0_{/m} mit 0 ∈ A. Zeige:

(a) Für jedes x ∈ K^{×} existiert eine eindeutige konvergente Reihendarstellung

× = ∑_{v∈|K^{×}|∩]0,|x|]} a_{v}b_{v}  mit a_{v} ∈ A.

(b) Ist x′ = ∑ av^{′}v_{v} eine andere solche konvergente Reihe, und λ ∈ ℝ, so

|x − x′| ≤ λ ⟺ av^{′} = a_{v} für alle v > λ.

Aufgabe 6: Bestimme alle Erweiterungskörper vom Grad 2 von ℚ_{p}. (Zumindest falls p ≥ 3; der Fall p = 2 ist komplizierter.)

Aufgabe 7: Sei x ∈ ℚ_{p}^{×}. Die beiden folgenden Eigenschaften sind äquivalent:

(i) x ∈ ℤ_{p}^{×}.

(ii) x^{p−1} besitzt n-te Wurzeln in ℚ_{p} für unendlich viele n ∈ ℕ.

Aufgabe 8:

(i) Die Identität ist der einzige Körperautomorphismus von ℝ.

(ii) Die Identität ist der einzige Körperautomorphismus von ℚ_{p}.

Aufgabe 9: Der algebraische Abschluß von ℚ_{p} ist nicht vollständig. (Tip: Betrachte die Reihe ∑_{n} p^{n}p^{\frac{1}{n}} wobei n die Primzahlen durchläuft.)

Aufgabe 10: Sei K ein endlicher Erweiterungskörper von ℚ_{p}, enthalten in ℂ_{p}, und sei a ∈ ℂ_{p} algebraisch über K. Sei

r = min{|σ(a) − a| ; σ ∈ Gal(K(a)/K), σ(a) ≠ a} .

Zeige: Für jedes b ∈ B_{r}^{−}(a) ⊆ ℂ_{p} gilt K(a) ⊆ K(b).

Aufgabe 11: Für natürliche Zahlen n ∈ ℕ definiere die p-adische Quersumme S_{p}(n) wie folgt: Schreibe

n = a_{0} + a_{1}p + a_{2}p^{2} + …

mit a_{i} ∈ {0, …, p − 1} und setze S_{p}(n) = ∑_{i} a_{i}. Damit zeige

|n!|_{p} = p^{\frac{Sp(n)−n}{p−1}} .

Aufgabe 12: Für die Potenzreihen

\begin{aligned}log(1 + X) & = & ∑_{k≥1}(−1)^{k−1} \frac{X^{k}}{k} \\ exp(X) & = & ∑_{k≥0} \frac{X^{k}}{k!} \end{aligned}

bestimme die jeweils maximale Zahl φ ∈ ℝ mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes x ∈ B_{φ}^{−}(0) konvergiert die durch Einsetzung X ⟼ x erhaltene Reihe in ℂ_{p}.

Aufgabe 13: Sei K = ℂ_{p}. Zeige, daß die Potenzreihe log(T) aus Aufgabe 12 einen surjektiven Gruppenhomomorphismus B_{1}^{−}(1) ⟶ K definiert.

Aufgabe 14: Sei K ein vollständiger nicht archimedischer Erweiterungskörper von ℚ_{p}. Sei f ∈ A_{1} und r_{p} = |p|^{\frac{1}{(p−1)}} . Dann gilt

|f(t + h) − f(t)| ≤ |h| · ∥f′∥_{1}

für alle t, h ∈ K mit |t| ≤ 1 und |h| ≤ r_{p}.

Aufgabe 15: Die Restriktion log : B_{r_{p}}^{−}(1) ⟶ ℂ_{p} der in Aufgabe 13 betrachteten Funktion log : B_{1}^{−}(1) ⟶ ℂ_{p} ist eine Isometrie (insbesondere injektiv). Bestimme den Kern von B_{1}^{−}(1) ⟶ ℂ_{p}.

Aufgabe 16: Für eine Potenzreihe f = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} sei der Konvergenzradius definiert als

r_{f} = sup{r ≥ 0; |a_{n}|r^{n} ⟶ 0} .

Zeige:

r_{f} = \frac{1}{lim sup_{n} |a_{n}|^{\frac{1}{n}}} .

Zeige außerdem r_{f} = r_{g} mit g = (\frac{∂}{∂X} ) f.

Aufgabe 17: Für f ∈ K[[X]] gelte r_{f} = ∞. Sei |K^{×}| dicht in ℝ_{>0}. Ist dann |f| auf K beschränkt, so ist f konstant. Allgemeiner: Falls |f(x)| ≤ c|X|^{N} für ein c > 0, N ∈ ℕ_{0} und alle x ∈ K mit |x| ≥ c, so ist f ein Polynom vom Grade höchstens N.

Aufgabe 18: Seien E und F normierte K-Vektorräume. Zeige, daß L(E, F) bezüglich der Operatornorm ein vollständiger K-Vektorraum ist, der außerdem vollständig ist, wenn F es ist. Sei ℓ^{∞}(ℕ, F) der Vektorraum der beschränkten Folgen a = (a_{i})_{i∈ℕ} in F, versehen mit der Norm ∥a∥ = sup_{i} ∥a_{i}∥. Konstruiere einen kanonischen isometrischen Isomorphismus

L(C_{0}(ℕ), F) ≃ ℓ^{∞}(ℕ, F) .

Aufgabe 19: Sei K eine endliche Erweiterung von ℚ_{p}, dazu f ∈ A_{1} (mit Koeffizienten in K). Es gelte ∥f∥_{1} ≤ 1, ∥f′∥_{1} < 1 und

inf_{x∈B_{1}(0)} |f(x) − x| ≤ r_{p} = |p|^{\frac{1}{p−1}} .

Dann hat f einen Fixpunkt in B_{1}(0). Tip: Aufgabe 14.

Aufgabe 20: Betrachte

\begin{matrix}f : & B_{1}(0)_{ℚ_{p}} ⟶ ℚ_{p}, x ⟼ x^{p} − x \\ g : & B_{|p|}(0)_{ℚ_{p}} ⟶ ℚ_{p}, x ⟼ ∑_{n=0}^{∞} x^{n} . \end{matrix}

Überlege f(B_{1}(0)_{ℚ_{p}}) ⊆ B_{|p|}(0)_{ℚ_{p}}, aber g ∘ f : B_{1}(0)_{ℚ_{p}} ⟶ ℚ_{p} ist nicht in eine Potenzreihe entwickelbar. Tip: Überlege g(x) = (1 − x)^{−1}. Untersuche die Fortsetzbarkeit von

h(x) = (1 − (x^{p} − x)) g ∘ f(x) − 1

nach B_{1}(0)_{ℂ_{p}}.

Aufgabe 21: Sei W = {x ∈ ℂ_{p} | |x| ≥ 1}. Auf

R_{b}(W) = \{f = \frac{g}{h} | g, h ∈ ℂ_{p}[X], h ohne Nullstelle in W, f beschränkt auf W \}

definiere die Norm ∥f∥ = sup_{x∈W} |f(x)|. Sei H_{b}(W) die Komplettierung. Andererseits sei

A(W) = \{f (\frac{1}{X} ) | f(X) ∈ A_{1}\} .

Zeige A(W) = H_{b}(W).

Aufgabe 22: Die Abbildung ℕ ⟶ ℕ, n ⟼ n!, läßt sich nicht zu einer stetigen Funktion ℤ_{p} ⟶ ℚ_{p} fortsetzen.

Aufgabe 23: Die Primzahl p sei ungerade.

(a) Seien a ∈ ℤ und ν ∈ ℕ. Zeige:

∏_{a≤j<a+p^{ν}_{p ∤ j}} j ≡ −1 (mod p^{ν}) .

(Für ν = 1 ist dies der Satz von Wilson!)

(b) Die Abbildung ℕ_{≥2} ⟶ ℤ,

n ⟼ (−1)^{n} ∏_{1≤j<n_{p ∤ j}}j

läßt sich zu einer stetigen Funktion Γ_{p} : ℤ_{p} ⟶ ℤ_{p} fortsetzen.

Aufgabe 24: Zeige: Es gibt genau eine Fortsetzung |.|_{K(X)} : K(X) ⟶ ℝ des auf K definierten Absolutbetrags |.|_{K}, welche folgenden Eigenschaften (1), (2) und (3) genügt. Es bezeichne k = O_{K}/𝔪_{K} den Restklassenkörper von K, und k′ = O_{K(X)}/𝔪_{K(X)} den Restklassenkörper von K(X) (bezüglich |.|_{K(X)}). Dann

(1) |X|_{K(X)} = 1

(2) |.|_{K(X)}|_{K} = |.|_{K}

(3) Das Bild t ∈ k′ von X (beachte (1)) ist transzendent über k.

Zeige zusätzlich |K(X)^{×}| = |K^{×}| und k′ = k(t).

Aufgabe 25: Für V = A_{1} = A(B_{1}(0)), für V = ∪_{r>1} A(B_{r}(0)), für V = A(B_{1}^{−}(0)) und V = ∩_{r>0} A(B_{r}(0)) entscheide, ob

V ⟶ V, f(X) ⟼ \frac{∂}{∂X} f

endlichen Index hat, und bestimme diesen gegebenenfalls.

Aufgabe 26:

a) Sei |.| ein nicht-archimedischer Absolutbetrag auf K. Zeige: Es gibt zu jedem β ∈ ℝ_{>0} mit β^{j} ∉ |K| für alle j ∈ ℤ\{0} genau einen nicht-archimedischen Absolutbetrag |.|_{K(X)} auf K(X), der der Formel

| ∑ a_{j}X^{j}|_{K(X)} = sup_{j}{|a_{j}|β^{j}}

für ∑ a_{j}X^{j} ∈ K[X] genügt.

b) Zeige, daß der in (a) definierte Absolutbetrag |.|_{K(X)} der einzige ist, der |.| fortsetzt, und |X|_{K(X)} = β erfüllt. Zeige, daß die zugehörige Erweiterung der Restklassenkörper trivial ist.

Aufgabe 27: Zeige: In ℂ_{p} existieren absteigende Folgen B_{1} ⊃ B_{2} ⊃ B_{2} ⊃ … abgeschlossener Bälle, deren Durchschnitt ∩_{n≥1} B_{n} leer ist!

Hinweis: Wähle eine streng monoton fallende Folge r_{1} > r_{2} > … in p^{ℚ} = |ℂ_{q}^{×}| mit lim_{n⟶∞} r_{n} > 0. Betrachte absteigende Folgen (B_{i})_{i≥1} wie oben mit Radius (B_{i}) = r_{i}. Benutze, daß es in ℂ_{p} nur abzählbar viele Bälle gibt (weshalb?).

Aufgabe 28: Der eindimensionale projektive Raum ℙ^{1}(K) über K ist

ℙ^{1}(K) = {(x, y) ∈ K^{2}\{(0, 0)}}/ ∼

mit [(x_{1}, y_{1}) ∼ (x_{2}, y_{2})] ⟺ [x_{2} = cx_{1}, y_{2} = cy_{1} für ein c ∈ K^{×}]. Fasse K vermöge x ⟼ (x, 1) als in ℙ^{1}(K) enthalten auf. Ein Ball in ℙ^{1}(K) ist ein Ball B ⊆ K oder das Komplement in ℙ^{1}(K) eines Balles B ⊆ K.

- Rechtfertige diese Bezeichnung

- Beschreibe die allgemeine Form eines Durchschnitts zweier Bälle in ℙ^{1}(K).

- Die Gruppe GL(2, K) operiert in offensichtlicher Weise auf ℙ^{1}(K). Zeige, daß für jedes g ∈ GL(2, K) und jeden Ball B in ℙ^{1}(K) auch gB ein Ball in ℙ^{1}(K) ist. (Hinweis: Es ist bequem, g geeignet zu zerlegen und jeden Faktor getrennt zu behandeln.)

Aufgabe 29: Für jede Nullstelle π ∈ ℂ_{p} des Polynoms p + X^{p−1} existiert eine eindeutige p-te Einheitswurzel ζ_{π} ∈ ℂ_{p} mit

|ζ_{π} − 1 − π| < |π| .

Ist ζ eine p-te Einheitswurzel, so |ζ −1| = |π| = |p|^{\frac{1}{(p−1)}} und für die Zahl α = \overline{π^{−1}(ζ − 1)} ∈ 𝔽_{p} gilt ζ = ζ_{π}^{α}.

Hinweis: π^{−1}(ζ − 1) ist Nullstelle von P (X) = \frac{(1+πX)^{p}−1}{pπX}. Dies ist ein Polynom ….

Aufgabe 30: Seien n ∈ ℕ, λ ∈ K^{×}. Zu a_{1}, …, a_{n} ∈ K betrachte den Differentialoperator

L_{(a_{1},...,a_{n})} = ∏_{i=1}^{n} (\frac{Xd}{dX} − a_{i}) + λX .

Sei B ⊆ K\{0} ein Ball, dazu

K_{(a_{1},...,a_{n})} = Ker(A(B) ⟶^{L_{(a_{1},...,an)}} A(B)) .

Zu b_{1}, …, b_{n} ∈ K mit a_{i} − b_{i} ∈ ℤ für alle 1 ≤ i ≤ n konstruiere einen Isomorphismus K_{(a_{1},...,a_{n})} ≃ K_{(b_{1},...,b_{n})}.

Aufgabe 31: Sei K ⊆ ℂ_{p} vollständig. Zeige, daß die folgende Menge einen Ring bildet:

A_{log} := \{∑_{i≥0} a_{i}X^{i} | a_{i} ∈ K, lim_{i⟶∞} inf \frac{ord_{p}a_{i}}{log_{p} i} = ∞\} .

Zeige A(B_{r}(0)) ⊆ A_{log} ⊆ A(B_{1}(0)) für r > 1, und \frac{d}{dX} A_{log} ⊆ A_{log}. Bestimme den Index von \frac{d}{dX} : A_{log} ⟶ A_{log}.

Aufgabe 32: Sei K algebraisch abgeschlossen. Sei B^{−} = B_{1}^{−}(0). Für f ∈ A(B^{−})\{0} sei (f) : B^{−} ⟶ ℤ_{≥0} der Nullstellendivisor (der jedem Punkt P ∈ B^{−} die Nullstellenvielfachheit von f in P zuordnet; die Abbildung (f) hat also endlichen Träger). Zeige: Für f, g ∈ A(B^{−})\{0} gilt

f teilt g ⟺ (f) ≤ (g) .

Aufgabe 34: K sei p-adisch. In den Notationen aus der Vorlesung gelte P (0) ≠ 0. Sei (L, y) ein generischer Punkt von B_{1}(0). Zeige

ε(D, y) ≥ \frac{|p|^{\frac{1}{p−1}}}{max(1, |R_{1}|_{0}(1))} .

Aufgabe 35: K sei p-adisch. Es gelte P (0) ≠ 0 und |R_{1}|_{0}(1) ≤ 1. Zeige |n!R_{n}|_{0}(1) ≤ 1 für alle n ≥ 1. Folglich erhalte durch Reduktion der Koeffizienten von n!R_{n} eine rationale Funktion g_{n} ∈ k(X) über dem Restklassenkörper k von K. Insbesondere erhalten wir den Operator

\overline{D} : k(X) ⟶ k(X), h ⟼ (\frac{d}{dX} h) − g_{1}h .

Zeige, daß die p-fache Iteration \overline{D}^{p} eine k(X)-lineare Abbildung ist. Zeige g_{np} = (g_{p})^{n} für alle n ≥ 1. y Aufgabe 36: K sei p-adisch. Sei (L, y) ein generischer Punkt von B_{1}(0). Es gelte P (0) ≠ 0 und |R_{1}|_{0}(1) ≤ 1, also ε(D, y) ≥ |p|^{\frac{1}{p−1}} gemäß Aufgabe 34. Zeige

ε(D, y) > |p|^{\frac{1}{p−1}} ⟺ \overline{D}^{p} = 0 .

Hinweis für ′′ ⟸′′: Durch Induktion nach m ∈ ℕ zeige ord_{p} ((pm)!R_{pm}) ≥ m ord_{p} (p!R_{p}).

Aufgabe 37:

a) Seien a ∈ K, r > 0, dazu A = A(B_{r}^{−}(a)). Sei u ∈ A invertierbar und R ∈ K(X) habe keinen Pol in B_{r}^{−}(a). Setze D = \frac{d}{dX} −R und D̃ = \frac{d}{dX} −(R + u^{−1} (\frac{d}{dX} u)). Zeige ind(D|A) = ind(D̃|A).

b) Sei H ∈ K(X) ohne Pol in B_{1}^{−}(0) und es gelte |H|_{0}(1) = 1; insbesondere erhalten wir durch Koeffizientenreduktion ein Element \overline{H} ∈ k(X). Sei π ∈ K Nullstelle von X^{p−1} + p und R = π \frac{d}{dX} H ∈ K(X), dazu D = \frac{d}{dX} − R. Zeige, daß ind(D|A(B_{1}^{−}(0))) nur von \overline{H} abhängt.

Aufgabe 38: Sei (R^{(K)})_{K≥1} eine Folge rationaler Funktionen ohne Polstellen in B_{1}^{−}(0), die auf B_{1}^{−}(0) gleichmäßig gegen R ∈ A(B_{1}^{−}(0)) konvergiert. Für jedes K ≥ 1 existiere eine Funktion u^{(K)} ∈ A(B_{1}^{−}(0)) mit \frac{d}{dX} u^{(K)} = R^{(K)}u^{(K)} und u^{(K)}(0) = 1. Zeige: (u^{(K)})_{K≥1} konvergiert gegen eine Funktion u ∈ A(B_{1}^{−}(0)) mit \frac{d}{dX} u = Ru. Die Konvergenz ist gleichmäßig auf D_{r}(0) für jedes 0 < r < 1.

Aufgabe 39: K sei p-adisch. Für α ∈ K und s ∈ ℤ_{≥0} setze

\begin{aligned}\binom{α}{s} & := & \frac{α(α − 1) · . . . · (α − s + 1)}{s!} \\ (1 + X)^{α} & := & ∑_{s=0}^{∞} \binom{α}{s}X^{s} . \end{aligned}

Mittels Aufgabe 38 zeige, daß (1 + X)^{α} auf B_{1}^{−}(0) konvergiert und durch 1 beschränkt ist, falls α ∈ ℤ_{p}.

Aufgabe 40:

(a) u_{1}, …, u_{n} ∈ A sind K-linear unabhängig genau dann, wenn

det(((\frac{d}{dX} )^{i−1} u_{j})_{1≤i,j≤n}) ≠ 0 .

Hinweis: Beweise die schwierige Implikation durch Induktion nach n.

(b) Sei D = ∑_{i=0}^{n} g_{i} (\frac{d}{dX} )^{i} ∈ End_{K}(A) mit g_{i} ∈ A und g_{n} ≠ 0 (vgl. Aufgabe 33).

Zeige dim_{K}(Ker(D)) ≤ n.

Aufgabe 41: Sei f(X) ∈ 1 + Xℚ_{p}[[X]] eine formale Potenzreihe. Die beiden folgenden Aussagen sind äquivalent:

i) Die Koeffizienten von f liegen in ℤ_{p}.

(ii) f(X)^{p}/f(X^{p}) ∈ 1 + pXℤ_{p}[[X]].

Hinweis zu (ii) ⟹ (i): Schreibe f(X)^{p} = f(X^{p})g(X), dann Koeffizientenvergleich.

Aufgabe 42: Sei K p-adisch. Das Polynom P besitze keine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}), es gelte ρ_{a}(D, r) = r. Zeige, daß D|A(B^{−}) ein Fredholmoperator mit Index 1 ist.

Aufgabe 43: Sei K p-adisch. Betrachte folgende Teilmenge von K[[X^{−1}]]:

A^{†}(B_{1}(∞)) := {∑_{i≥0} a_{i}X^{−i} | es existiert ein δ > 1 mit |a_{i}|δ^{i} ⟶^{i→∞} 0} .

(a) Überlege, daß A^{†}(B_{1}(∞)) ein Ring ist. Wie lassen sich seine Elemente interpretieren?

(b) Zu α ∈ K setze λ_{+}(α) := \underline{lim}_{n→∞} |α + n|^{\frac{1}{n}}. Zeige: Der Differentialoperator D_{X,α} hat

endlichen Index auf A^{†}(B_{1}(∞)) genau dann, wenn λ_{+}(α) = 1.

Aufgabe 44: Zeige, daß es zu jeder Zahl 0 ≤ r < 1 ein α ∈ ℤ_{p} mit λ(α) = r gibt. (Oder zeige dies wenigstens für r = 0.)

Aufgabe 45:

(a) Seien α, β ∈ ℂ_{p} und gelte α − β ∈ ℤ. Dann gilt λ(α) = λ(β).

(b) Seien α, β ∈ ℂ_{p} und gelte pα − β ∈ ℤ und |pα| < 1. Dann gilt λ(α) = λ(β)^{p}.