Vorlesung

“p-adische Differentialgleichungen”

Münster, 2004

Inhaltsverzeichnis

Kapitel I p-adische Analysis 3 §1 Nicht-archimedische Körper 3 §2 p-adische Körper 10 §3 Elementares über Reihen 13 §4 Elementares zur Differenzierbarkeit 13 §5 Konvergente Potenzreihen 15 §6 Analytische Funktionen auf affinoiden Bällen 20 §7 Das Wachstum analytischer Funktionen 24 §8 Fredholmoperatoren 25

Kapitel II Differentialgleichungen 30 §9 Generische Lösungen 30 §10 Der Fall ρ_{a}(D, r) < r 36 §11 Ein Beispiel 44 §12 Beschränkte analytische Funktionen 45 §13 Wann gilt ρ_{a}(D, r) = r? 48 §14 Der Robba-Ring 62 §15 Der Indexsatz 67

Referenz: Christol G., Robba P.: Équations différentielles p-adiques. Hermann: Paris 1994

Kap. I p-adische Analysis

§1 Nicht-archimedische Körper

Sei K ein Körper.

Definition: Ein nicht-archimedischer Absolutbetrag auf K ist eine Funktion | | : K ⟶ ℝ mit

(i) |a| ≥ 0,

(ii) |a| = 0 ⟺ a = 0,

(iii) |ab| = |a| · |b|,

(iv) |a + b| ≤ max(|a|, |b|) (“strikte Dreiecksungleichung”).

Wegen (iii) ist | | : K^{×} ⟶ ℝ_{+}^{×} ein Gruppenhomomorphismus; insbesondere | ± 1| = 1. Wir wollen stets voraussetzen, daß | | nicht-trivial ist, d. h.

(v) |a_{0}| ≠ 0, 1 für ein a_{0} ∈ K .

Beachte: 1) |n · 1| ≤ 1 für alle n ∈ ℤ.

2) Für |a| ≠ |b| gilt |a + b| = max(|a|, |b|); denn: Etwa |a| < |b|, dann |a| < |b| = |b + a − a| ≤ max(|b + a|, |a|), also |a| < |b + a| und damit |b| ≤ |a + b| ≤ max(|a|, |b|) = |b|.

Die Menge K ist bzgl. d(a, b) := |b−a| ein metrischer Raum. Die (“abgeschlossenen”) Bälle

B_{ε}(a) := {b ∈ K : |b − a| ≤ ε} fürε > 0

bilden ein fundamentales Umgebungssystem für a ∈ K, ebenso die “offenen” Bälle

B_{ε}^{−}(a) := {b ∈ K · |b − a| < ε} .

Im Folgenden meint Bälle immer abgeschlossene Bälle!

Beachte: 1) | | : K ⟶ ℝ ist stetig; denn: Für b ∈ B_{ε}^{−}(a) ist | |b| − |a| |_{∞} = | |(b + a) − a| − |a| |_{∞} ≤ | max(|b − a|, |a|) − |a| |_{∞} < ε .

2) +, · : K × K ⟶ K sind stetig; denn: Für b_{i} ∈ B_{ε}^{−}(a_{i}) ist b_{0} + b_{1} ∈ B_{ε}^{−}(a_{0} + a_{1}) und b_{0}b_{1} ∈ B_{ε·max(ε|a_{0}|,|a_{1}|)}^{−}(a_{0}a_{1}), da b_{0}b_{1} − a_{0}a_{1} = (b_{0} − a_{0})(b_{1} − a_{1}) + (b_{0} − a_{0})a_{1} + a_{0}(b_{1} − a_{1}).

Lemma 1.1: i. B_{ε}(a) ist offen und abgeschlossen; ii. B_{ε}(a) ∩ B_{ε}(a′) ≠ ϕ ⟹ B_{ε}(a) = B_{ε}(a′) (“jeder Punkt ist Mittelpunkt”); iii. für beliebige Bälle B und B′ mit B ∩ B′ ≠ ϕ gilt B ⊆ B′ oder B′ ⊆ B; iv. K ist total unzusammenhängend.

Beweis: ii. Definiere eine Äquivalenzrelation auf K durch a ∼ b, falls |a − b| ≤ ε. Dann sind die B_{ε}(a) die zugehörigen Äquivalenzklassen. i. Offensichtlich ist B_{ε}^{−}(a) offen und B_{ε}(a) abgeschlossen. Für b ∈ B_{ε}(a) gilt wegen ii. aber auch B_{ε}^{−}(b) ⊆ B_{ε}(b) = B_{ε}(a); also ist B_{ε}(a) offen. iii. Sei B = B_{ε}(a), B′ = B_{ε′}(a′) und b ∈ B ∩ B′. Wegen ii. gilt B = B_{ε}(b) und B′ = B_{ε′}(b). iv. Sei M ⊆ K zusammenhängend mit a ∈ M. Wegen i. ist M ∩ B_{ε}(a) offen und abgeschlossen in M. Folglich gilt M ⊆ B_{ε}(a) und damit M = {a}.

Beachte: Lemma 1.1.i - iii gilt analog für offene Bälle.

Warnung: Der “Radius” ε in B_{ε}(a) ist nicht eindeutig bestimmt.

Beachte: (a_{n})_{n∈ℕ} ist Cauchyfolge in K ⟺ |a_{n+1} − a_{n}| ⟶ 0.

Definition: Ein nicht-archimedischer Körper K ist ein Körper versehen mit einem nicht-archimedischen Absolutbetrag, so daß der zugehörige metrische Raum vollständig ist (d. h., jede Cauchyfolge konvergiert).

Ab jetzt sei (K, | |) ein fester nicht-archimedischer Körper.

Lemma 1.2: i. o := {a ∈ K : |a| ≤ 1} ist ein Integritätsbereich mit Quotientenkörper K; ii. 𝔪 := {a ∈ K : |a| < 1} ist das einzige maximale Ideal in o; iii. o^{×} = o\𝔪; iv. jedes endlich erzeugte Ideal in o ist ein Hauptideal.

Der Ring o heißt der Bewertungsring oder Ring der ganzen Zahlen von K, und o/𝔪 heißt der Restklassenkörper von K.

Übungsaufgabe: Für ε ≤ 1 ist B_{ε}(a) die Nebenklasse eines geeigneten Ideals in o zum Nebenklassenvertreter a.

Beispiele: A) Sei p eine fixierte Primzahl. Dann ist

|a|_{p} := p^{−r}, falls a = p^{r} · \frac{m}{n} mit m, n ∈ ℤ und p ∤ mn

ein nicht-archimedischer Absolutbetrag auf ℚ. Die zugehörige Komplettierung ℚ_{p} ist ein nicht-archimedischer Körper – der Körper der p-adischen Zahlen. Der Bewertungsring von ℚ_{p} wird mit ℤ_{p} bezeichnet; sein maximales Ideal ist pℤ_{p} mit ℤ_{p}/pℤ_{p} = 𝔽_{p}. Man beachte, daß es wegen |ℚ_{p}|_{p} = p^{ℤ} ∪ {0} möglich ist, daß B_{ε}(a) = B_{δ}(a) mit ε ≠ δ.

Faktum: (ohne Beweis) ℤ_{p} ist kompakt und ℚ_{p} damit lokalkompakt.

B) Die Gaußnorm eines Polynoms Q(x) = ∑_{i=0}^{m} a_{i}x^{i} ∈ K[x] ist definiert durch

|Q| := max_{i}(|a_{i}|) .

Auf dem Körper K(x) der rationalen Funktionen ist dann

|\frac{P}{Q}| := \frac{|P |}{|Q|}

ein nicht-archimedischer Absolutbetrag. C) Der Körper ℂ((T)) der formalen Laurentreihen über ℂ ist nicht-archimedisch bzgl. des Absolutbetrages

| ∑_{n∈ℤ}a_{n}T^{n}| := e^{− min{n:a_{n}≠0}} .

Satz 1.3: (Lemma von Hensel) Seien P, q, r ∈ o[x] Polynome mit:

(a) P ≡ qr mod 𝔪,

(b) q mod 𝔪 und r mod 𝔪 sind teilerfremd.

Dann existieren Polynome Q, R ∈ o[x] mit:

(i) P = QR,

(ii) Q ≡ q mod 𝔪, R ≡ r mod 𝔪,

(iii) deg(Q) = deg(q mod 𝔪).

Beweis: Setze d := deg(P). Wir können annehmen, daß m := deg(q) = deg(q mod 𝔪) und deg(r) = deg(r mod 𝔪) ≤ d − m. Wegen (b) gibt es Polynome u, v ∈ o[x] mit

(c) uq + vr ≡ 1 mod 𝔪.

Nach Lemma 1.2.iv erzeugen die Koeffizienten der beiden Polynome P − qr und uq + vr − 1 ein Hauptideal πo. Für π = 0 ist insbesondere P = qr, und wir sind fertig. Sei also π ≠ 0. Wegen (a) und (c) ist |π| < 1. Wir setzen an

Q := q + q_{1}π + q_{2}π^{2} + …,
R := r + r_{1}π + r_{2}π^{2} + …

mit Polynomen q_{i} ∈ o[x] vom Grad < m und r_{i} ∈ o[x] vom Grad ≤ d−m. Jedenfalls sind Q, R wohldefinierte Polynome (vgl. §3), welche (ii) und (iii) erfüllen. Iterativ bestimmen wir

Q_{n} := q + … + q_{n}π^{n} und R_{n} := r + … + r_{n}π^{n}

so, daß (d) P ≡ Q_{n}R_{n} mod π^{n+1}

gilt. Im Limes folgt dann P = QR. Gilt (d) für n, so ist diese Bedingung für n + 1 wegen

P − Q_{n+1}R_{n+1} = P − (Q_{n} + q_{n+1}π^{n+1})(R_{n} + r_{n+1}π^{n+1})
= [\frac{P − Q_{n}R_{n}}{π^{n+1}} − (Q_{n}r_{n+1} + R_{n}q_{n+1} + q_{n+1}r_{n+1}π^{n+1})] π^{n+1}

äquivalent zu

P_{n} := \frac{P − Q_{n}R_{n}}{π^{n+1}} ≡ Q_{n}r_{n+1} + R_{n}q_{n+1} ≡ qr_{n+1} + rq_{n+1} mod π .

Aus (c) folgt, daß

quP_{n} + rvP_{n} ≡ P_{n} mod π .

Per Division mit Rest in K[x] schreibe

vP_{n} = fq + q_{n+1} mit deg(q_{n+1}) < deg(q) = m .

Da der höchste Koeffizient von q eine Einheit in o ist, gilt f, q_{n+1} ∈ o[x]. Wir haben nun

q(uP_{n} + rf) + rq_{n+1} ≡ P_{n} mod π .

Wegen deg(rq_{n+1}) < (d − m) + m = d, deg(P_{n}) ≤ d und deg(q mod π) = m muß

deg(uP_{n} + rf mod π) ≤ d − m

gelten. Wir können deswegen

r_{n+1} := uP_{n} + rf ohne Terme mit durch π teilbaren Koeffizienten

setzen.

Corollar 1.4: Hat das Polynom P (x) ∈ o[x] modulo 𝔪 eine einfache Nullstelle α ∈ o/𝔪, so hat es auch eine einfache Nullstelle a ∈ K mit a mod 𝔪 = α. Beweis: Wende das Lemma von Hensel auf die Zerlegung

P (x) mod 𝔪 = (x − α)ρ(x)

an.

Sei V ein K-Vektorraum.

Definition: Eine (nicht-archimedische) Norm auf V ist eine Funktion ∥ ∥ : V ⟶ ℝ mit

(i) ∥a · v∥ = |a| · ∥v∥, (ii) ∥v + w∥ ≤ max(∥v∥, ∥w∥),

(iii) ∥v∥ = 0 ⟹ v = 0.

Der Vektorraum V heißt normiert, wenn er mit einer Norm versehen ist.

Beachte: 1) ∥0∥ = |0| · ∥0∥ = 0.

2) ∥v∥ = max(∥v∥, ∥ − v∥) ≥ ∥v − v∥ = ∥0∥ = 0.

3) ∥v + w∥ = max(∥v∥, ∥w∥), falls ∥v∥ ≠ ∥w∥.

4) d(v, w) := ∥v − w∥ ist eine Metrik auf V.

Übungsaufgabe: Addition und Skalarmultiplikation eines normierten Vektorraumes sind stetig.

Lemma 1.5: Seien (V_{1}, ∥ ∥_{1}) und (V_{1}, ∥ ∥_{2}) normierte K-Vektorräume; eine lineare Abbildung f : V_{1} ⟶ V_{2} ist stetig genau dann, wenn eine Konstante c > 0 existiert mit

∥f(v)∥_{2} ≤ c · ∥v∥_{1} für alle v ∈ V_{1} .

Beweis: Daß die obige Abschätzung die Stetigkeit von f impliziert, folgt sofort aus der Betrachtung einer konvergenten Folge in V_{1}. Sei also umgekehrt f als stetig angenommen. Dann existiert ein ε > 0 mit

f({v ∈ V_{1} : ∥v∥_{1} ≤ ε}) ⊆ {w ∈ V_{2} : ∥w∥_{2} ≤ 1} .

Da | | nicht-trivial ist, finden wir ein a ≠ 0 in K mit |a| ≤ ε. Also folgt aus ∥v∥_{1} ≤ |a|, daß ∥f(v)∥_{2} ≤ 1. Zu einem beliebigen 0 ≠ v ∈ V_{1} wählen wir nun m ∈ ℤ mit |a|^{m+2} < ∥v∥_{1} ≤ |a|^{m+1}. Mit c := |a|^{−2} erhalten wir

∥f(v)∥_{2} = |a|^{m} · ∥f(a^{−m}v)∥_{2} ≤ |a|^{m} < c · ∥v∥_{1} .

Definition: Der normierte K-Vektorraum (V, ∥ ∥) heißt K-Banachraum, wenn V bzgl. der Metrik d(v, w) := ∥v − w∥ vollständig ist.

Beispiele: A) K^{n} mit ∥(a_{1}, …, a_{n})∥ := max_{i} |a_{i}| ist ein K-Banachraum. B) Sei I eine beliebige Indexmenge. Eine Familie (a_{i})_{i∈I} in K heißt beschränkt, wenn ein c > 0 existiert mit |a_{i}| ≤ c für alle i ∈ I. Die Menge

ℓ^{∞}(I) := alle beschränkten Familien (a_{i})_{i∈I} in K

mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation und der Norm

∥(a_{i})_{i}∥_{∞} := sup_{i∈I} |a_{i}|

ist ein K-Banachraum. C) Die Teilmenge c_{0}(I) aller Familien (a_{i})_{i∈I} ∈ ℓ^{∞}(I) mit der Eigenschaft, daß zu jedem ε > 0 nur endlich viele i ∈ I mit |a_{i}| ≥ ε existieren, ist ein abgeschlossener Untervektorraum von ℓ^{∞}(I) und somit selbst ein K-Banachraum. Für (a_{i})_{i} ∈ c_{0}(I) gilt

∥(a_{i})_{i}∥_{∞} = max_{i∈I} |a_{i}| .

Zum Beispiel ist c_{0}(ℕ) der Raum aller Nullfolgen in K.

Lemma 1.6: Sei V endlich dimensional. Zu je zwei Normen ∥ ∥_{1} und ∥ ∥_{2} auf V existiert ein c > 0, so daß

∥v∥_{2} ≤ c · ∥v∥_{1} für alle v ∈ V .

Insbesondere definieren ∥ ∥_{1} und ∥ ∥_{2} die gleiche Topologie auf V. Beweis: Wir fixieren eine Basis e_{1}, …, e_{d} von V und betrachten die Norm

∥ ∑_{i} a_{i}e_{i}∥ := max_{i} |a_{i}| .

Es genügt, ∥ ∥_{1} und ∥ ∥ zu vergleichen. Ersichtlich gilt

(∗) ∥v∥_{1} ≤ ∥v∥ · max_{i} ∥e_{i}∥_{1} für alle v ∈ V .

Unter der Annahme, daß kein c > 0 mit ∥v∥ ≤ c·∥v∥_{1} für alle v ∈ V existiert, finden wir eine Folge (v_{n})_{n∈ℕ} in V mit

∥v_{n}∥ = 1 und lim_{n⟶∞} ∥v_{n}∥_{1} = 0 .

Wir wählen 1 ≤ m ≤ d minimal, so daß eine solche Folge im Unterraum Ke_{1} + … + Ke_{m} existiert, und schreiben

v_{n} = a_{n,1}e_{1} + … + a_{n,m}e_{m} .

Wegen der Minimalität von m ist (a_{n,m})_{n} keine Nullfolge in K. Nach Übergang zu einer geeigneten Teilfolge gilt deswegen

lim_{n⟶∞} ∥a_{n,m}^{−1}v_{n}∥_{1} = 0 .

Die Folge (a_{n+1,m}^{−1}v_{n+1} − a_{n,m}^{−1}v_{n})_{n} liegt im Unterraum Ke_{1} + … + Ke_{m−1}. Wegen der Minimalität von m muß dann

lim_{n⟶∞} ∥a_{n+1,m}^{−1}v_{n+1} − a_{n,m}^{−1}v_{n}∥ = 0

gelten. Also konvergiert (a_{n,m}^{−1}v_{n})_{n} bzgl. ∥ ∥ gegen ein v ∈ V. Alle a_{n,m}^{−1}v_{n} und folglich auch v liegen in Ke_{1} + … + Ke_{m−1} + e_{m}. Wegen (∗) ist aber

∥v∥_{1} = lim_{n⟶∞} ∥a_{n,m}^{−1}v_{n}∥_{1} = 0

und damit v = 0 – ein Widerspruch. Die Zusatzbehauptung ergibt sich mit Hilfe von Lemma 1.5 angewendet auf die Abbildung id_{V}.

Satz 1.7: Sei \overline{K} ein algebraischer Abschluß von K. Auf \overline{K} existiert genau ein nichtarchimedischer Absolutbetrag, welcher den von K fortsetzt; er ist gegeben durch

|α| = |Norm_{K(α)/K}(α)|^{1/[K(α):K]} .

Beweis: Eindeutigkeit: Sei L ⊆ \overline{K} eine normale endliche Erweiterung von K, welche α enthält. Für jedes σ ∈ Aut(L/K) sind |.| und |σ(.)| zwei Normen auf dem endlich dimensionalen K-Vektorraum L. Wegen Lemma 1.6 finden wir also c, d > 0 mit

c|β| ≤ |σ(β)| ≤ d|β| für alle β ∈ L .

Angewandt auf β = α^{n} ergibt sich

c^{1/n}|α| ≤ |σ(α)| ≤ d^{1/n}|α|

für alle n ∈ ℕ und damit

|α| = |σ(α)| .

Folglich ist

|α|^{[L:K]} = |Norm_{L/K}(α)| .

Existenz: Nur die Dreiecksungleichung ist nicht offensichtlich. Seien α, β ∈ \overline{K} und setze L := K(α, β). Wir können |Norm_{L/K}(α)| ≤ |Norm_{L/K}(β)| und β ≠ 0 annehmen und müssen dann

|Norm_{L/K}(α + β)| ≤ |Norm_{L/K}(β)|

zeigen. Wegen Norm_{L/K}(α+β) = Norm_{L/K}(β)· Norm_{L/K} (1 + \frac{α}{β}) ist also |Norm_{L/K}

(1 + \frac{α}{β}) | ≤ 1 zu beweisen. Hierfür genügt es, \frac{α}{β} und damit 1 + \frac{α}{β} als ganz über o

zu erweisen. Sei Q(x) = ∑_{i=0}^{m} a_{i}x^{i} das Minimalpolynom von \frac{α}{β} über o. Nach Annahme

gilt |Norm_{L/K} (\frac{α}{β}) | = |a_{0}^{[L:K(\frac{α}{β})]}| ≤ 1 und damit |a_{0}| ≤ 1. Wir haben zu zeigen, daß alle Koeffizienten in o liegen. Andernfalls sei 1 ≤ j ≤ m der kleinste Index mit |a_{j}| = max_{i} |a_{i}| > 1. Dann ist P (x) := a_{j}^{−1}Q(x) ∈ o[x] mit

P (x) mod 𝔪 = x^{j}ρ(x) und ρ(0) ≠ 0 .

Nach Corollar 1.4 muß x also P (x) teilen – ein Widerspruch zur Irreduzibilität von Q.

Satz 1.8: Die Komplettierung ˆ \overline{K} von \overline{K} ist wiederum algebraisch abgeschlossen. Beweis: Seien Ω ein algebraischer Abschluß von ˆ \overline{K}, α ∈ Ω, P (x) das Minimalpolynom von α über ˆ \overline{K} und d := deg(P). Die Abbildung

D : ˆ \overline{K}[x]^{≤d} := \{Q ∈ ˆ \overline{K}[x] : deg(Q) ≤ d\} ⟶ Ω
Q ⟼ Q(α)

ist stetig bzgl. der Gaußnorm auf ˆ \overline{K}[x]^{≤d}. Da \overline{K} dicht in ˆ \overline{K} ist, ist auch \overline{K}[x]^{≤d} dicht in ˆ \overline{K}[x]^{≤d} bzgl. der Gaußnorm. Wegen D(P) = 0 finden wir also zu jedem ε > 0 ein Polynom Q(x) ∈ \overline{K}[x]^{≤d} mit deg(Q) = d und |D(Q)| ≤ ε^{d}. Sei Q(x) = ∏_{j}(x − β_{j})

mit β_{j} ∈ \overline{K}. Dann ist

∏_{j} |α − β_{j}| ≤ ε^{d} ,

und es muß mindestens ein Index j_{0} mit |α − β_{j_{0}}| ≤ ε existieren. Folglich liegt α im Abschluß von \overline{K} in Ω, d. h. in ˆ \overline{K}.

Lemma 1.9: |\overline{K}| = | ˆ\overline{K}| ist dicht in ℝ_{≥0}. Beweis: Wir nehmen an, |\overline{K}^{×}| sei nicht dicht in ℝ_{+}^{×}. Dann ist log |\overline{K}^{×}| nicht dicht in ℝ. Setze ρ := sup(log |\overline{K}^{×}| ∩ (−∞, 0)). Wir behaupten zunächst, daß ρ tatsächlich das Maximum dieser Menge ist. Andernfalls existiert eine Folge ρ_{1} < ρ_{2} < … in log |\overline{K}^{×}|, welche gegen ρ konvergiert. Dann ist ρ_{i} − ρ_{i+1} eine Folge in log |\overline{K}^{×}| ∩ (−∞, 0), welche gegen 0 konvergiert. Also muß ρ = 0 gelten, und wir finden zu jedem ε > 0 ein σ ∈ log |\overline{K}^{×}| mit −ε < σ < 0. Für ein beliebiges τ ∈ ℝ können wir nun ein m ∈ ℤ wählen mit mσ ≤ τ < (m − 1)σ und somit 0 ≤ τ − mσ < −σ < ε. Folglich wäre log |\overline{K}^{×}| dicht in ℝ, was ein Widerspruch ist. Dies beweist die Maximumseigenschaft von ρ. Das bedeutet, daß das Intervall (e^{ρ}, 1) keine Elemente von |\overline{K}| enthält. Andererseits existiert aber ein a_{0} ∈ K mit 0 < |a_{0}| < 1. Für großes n ∈ ℕ ergibt sich daraus der Widerspruch |a_{0}|^{\frac{1}{n}} ∈ (e^{ρ}, 1) ∩ |\overline{K}|.

§2 p-adische Körper

In diesem Abschnitt sei der nicht-archimedische Körper (K, | |) p-adisch, d. h. K ⊇ ℚ_{p} mit | |_{|ℚ_{p}} = | |_{p}.

Lemma 2.1: Seien a, b ∈ K mit |a|, |b| ≤ 1. Dann gilt:

(i) Falls |a−b| < 1, so ist |a^{p}−b^{p}| ≤ max(|a−b|^{p}, |p|·|a−b|) und lim_{n⟶∞}(a^{p^{n}}−b^{p^{n}}) =

0;

(ii) falls |a − b| ≤ |p|^{1/(p−1)}, so ist |a^{n} − b^{n}| ≤ |n| · |a − b| für jedes n ∈ ℕ.

Beweis: i. Die Ungleichung folgt wegen |\binom{p}{i}| = |p| für 1 ≤ i < p aus der Dreiecksungleichung angewandt auf

a^{p} − b^{p} = ∑_{i=1}^{p} \binom{p}{i}(a − b)^{i}b^{p−i} .

Setzen wir λ := max(|a − b|^{p−1}, |p|) < 1, so folgt dann |a^{p} − b^{p}| ≤ λ|a − b| und per Induktion

|a^{p^{n}} − b^{p^{n}}| ≤ λ^{n}|a − b| .

ii. Das beweisen wir per Induktion nach n, wobei der Induktionsanfang n = 1 trivial ist. Ist n nicht durch p teilbar, so ist |n| = 1 und somit

|a^{n} − b^{n}| = |a − b| · |a^{n−1} + a^{n−2}b + … + b^{n−1}| ≤ |a − b| = |n| · |a − b| .

Andernfalls ist n = pm und nach Induktionsvoraussetzung

|a^{m} − b^{m}| ≤ |m| · |a − b| ≤ |p|^{1/(p−1)} < 1 .

Unter Benutzung der Aussage i. erhalten wir

|a^{n} − b^{n}| ≤ max(|a^{m} − b^{m}|^{p}, |p| · |a^{m} − b^{m}|) ≤ |p| · |a^{m} − b^{m}| ≤ |n| · |a − b| .

Lemma 2.2: Für jedes n ∈ ℕ gilt:

(i) |p|^{(n−1)/(p−1)} ≤ |n!| ≤ n · |p|^{−1+n/(p−1)},

(ii) |p|^{(n−1)/(p−1)} = |n!| ⟺ n = p^{k} für ein k ≥ 0.

Beweis: Es gilt

|n!| = |p|^{∑_{h=1}^{∞}^{[ \frac{n}{p^{h}} ]}} .

Für n = p^{k} ist ∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] = ∑_{i=0}^{k−1} p^{i} = \frac{n−1}{p−1}, und es ergibt sich die in ii. behauptete

Gleichheit. Für allgemeines n gilt jedenfalls

(p − 1) ∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] < (p − 1) ∑_{h=1}^{∞} \frac{n}{p^{h}} = n

und damit

(p − 1) ∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] ≤ n − 1 bzw. ∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] ≤ \frac{n − 1}{p − 1} ,

was die linke Ungleichung in i. impliziert. Schreiben wir n = pm + r mit 0 ≤ r < p so gilt [\frac{n}{p^{h}} ] = [\frac{m}{p^{h−1}} ] und somit

∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] = m + ∑_{h=1}^{∞} [\frac{m}{p^{h}} ] ≤ m + \frac{m − 1}{p − 1} = \frac{pm − 1}{p − 1} .

Für die in ii. behauptete Gleichheit ist also notwendig, daß r = 0 und daß die analoge Gleichheit für m gilt. Iterativ folgt dann, daß n eine p-Potenz sein muß. Es bleibt, die rechte Ungleichung in i. zu zeigen. Dazu sei k ≥ 0 diejenige ganze Zahl mit p^{k} ≤ n < p^{k+1}. Es folgt

∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] = ∑_{h=1}^{k} [\frac{n}{p^{h}} ] > (∑_{h=1}^{k} \frac{n}{p^{h}} ) − k = n \frac{1 − p^{−k}}{p − 1} − k > \frac{n − p}{p − 1} − k

und damit

(p − 1) ∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] ≥ n − p − k(p − 1) + 1 = n − (k + 1)(p − 1)

bzw.

∑_{h=1}^{∞} [\frac{n}{p^{h}} ] ≥ \frac{n}{p − 1} − k − 1 .

Es bleibt zu bemerken, daß |p|^{−k} = p^{k} ≤ n.

Nach Satz 1.7 setzt sich | |_{p} eindeutig von ℚ_{p} auf \overline{ℚ}_{p} und dann per Stetigkeit weiter auf

ℂ_{p} := ˆ \overline{ℚ}_{p}

fort. Wir bezeichnen diese Fortsetzung ebenfalls mit | |_{p}. Dabei ist |\overline{ℚ}_{p}^{×}| = |ℂ_{p}^{×}| = p^{ℚ}. Nach Satz 1.8 ist ℂ_{p} ebenfalls algebraisch abgeschlossen. Aus Dichtigkeitsgründen besitzt jedes Element im Restklassenkörper von ℂ_{p} schon einen Repräsentanten in \overline{ℚ}_{p}. Sei a ∈ \overline{ℚ}_{p} mit |a|_{p} ≤ 1. Im Beweis von Satz 1.7 haben wir gesehen, daß a dann ganz über ℤ_{p} ist. Folglich ist die Restklasse von a algebraisch über 𝔽_{p}. Hieraus ergibt sich leicht:

Restklassenkörpervon ℂ_{p} = \overline{𝔽}_{p} .

Bezeichne \overline{ℤ}_{p} den Ring der ganzen Zahlen in \overline{ℚ}_{p}. Die Restklassenprojektion induziert einen Gruppenhomomorphismus

\overline{ℤ}_{p}^{×} ⟶ \overline{𝔽}_{p}^{×} .

Lemma 2.3: Sei μ′ ⊆ \overline{ℤ}_{p}^{×} die Untergruppe aller Einheitswurzeln von zu p primer Ordnung. Die Restklassenprojektion schränkt sich ein zu einem Isomorphismus

μ′ ⟶^{≅} \overline{𝔽}_{p}^{×} .

Beweis: Injektivität: Sei ζ ∈ μ′ mit |ζ − 1|_{p} < 1. Nach Lemma 2.1.i konvergiert die Folge (ζ^{p^{n}})_{n} dann gegen 1. Für die ζ^{p^{n}} gibt es nur endlich viele Möglichkeiten, so daß eine konstante Teilfolge existieren muß. Folglich gibt es ein n_{0} ∈ ℕ mit ζ^{p^{n_{0}}} = 1. Da die Ordnung von ζ aber als zu p prim vorausgesetzt war, ergibt sich ζ = 1. Surjektivität: Sei α ∈ 𝔽_{q}^{×} mit q = p^{m}. Dann ist α eine einfache Nullstelle des Polynoms x^{q−1} − 1. Nach Corollar 1.4 besitzt das Polynom dann auch eine Nullstelle ζ ∈ \overline{ℤ}_{p}, deren Restklasse gleich α ist. Ersichtlich ist ζ ∈ μ′.

Ist α ∈ \overline{𝔽}_{p}^{×} die Restklasse von ζ ∈ μ′, so heißt ζ der Teichmüller-Repräsentant von α. Zusätzlich definieren wir 0 ∈ ℤ_{p} als den Teichmüller-Repräsentanten von 0 ∈ 𝔽_{p}.

Lemma 2.4: Ist ζ der Teichmüller-Repräsentant von α ∈ 𝔽_{q} mit q = p^{m}, und ist a ∈ ℂ_{p} ein beliebiges Element mit Restklasse gleich α, so gilt

ζ = lim_{n⟶∞} a^{q^{n}} .

Beweis: Für ζ = 0 ist |a|_{p} < 1 und die Behauptung damit trivial. Sei also ζ ≠ 0. Wegen |ζ − a|_{p} < 1 folgt auch Lemma 2.1.i, daß lim_{n⟶∞}(ζ^{p^{n}} − a^{p^{n}}) = 0 und insbesondere lim_{n⟶∞}(ζ^{q^{n}} − a^{q^{n}}) = 0. Nach Lemma 2.3 hat aber ζ dieselbe Ordnung wie α. Also ist ζ^{q^{n}} = ζ.

§3 Elementares über Reihen

Von nun an sei (K, | |) ein fixierter nicht-archimedischer Körper. Weiter sei (V, ∥ ∥) ein K-Banachraum. Lemma 3.1: Für eine Folge (v_{n})_{n∈ℕ} in V gilt: i. Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} v_{n} konvergiert genau dann, wenn lim_{n⟶∞} v_{n} = 0; ii. ist lim_{n⟶∞} v_{n} = v ≠ 0, so gilt ∥v_{n}∥ = ∥v∥ für großes n; iii. sei σ : ℕ ⟶ ℕ eine Bijektion; ist ∑_{n=1}^{∞} v_{n} = v, so auch ∑_{n=1}^{∞} v_{σ(n)} = v. Trivialerweise gilt (falls Konvergenz vorliegt):

- ∑_{n=1}^{∞} av_{n} = a · ∑_{n=1}^{∞} v_{n} (für a ∈ K);

- ∑_{n=1}^{∞} v_{n} + ∑_{n=1}^{∞} w_{n} = ∑_{n=1}^{∞}(v_{n} + w_{n}).

Lemma 3.2: Seien ∑_{n=1}^{∞} a_{n} und ∑_{n=1}^{∞} v_{n} konvergente Reihen in K bzw. V; dann ist die Reihe ∑_{n=1}^{∞} w_{n} mit w_{n} := ∑_{ℓ+m=n} a_{ℓ}v_{m} konvergent und

∑_{n=1}^{∞} w_{n} = (∑_{n=1}^{∞} a_{n}) (∑_{n=1}^{∞} v_{n}) .

§4 Elementares zur Differenzierbarkeit

Sei U ⊆ K eine offene Teilmenge und f : U ⟶ K eine Abbildung. Definition: f heißt im Punkte a_{0} ∈ U differenzierbar, falls ein f′(a_{0}) ∈ K existiert mit: Zu jedem ε > 0 existiert eine offene Umgebung U_{ε} ⊆ U von a_{0}, so daß

|f(a) − f(a_{0}) − f′(a_{0})(a − a_{0})| ≤ ε · |a − a_{0}| für alle a ∈ U_{ε} .

Die Funktion f heißt differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von U differenzierbar ist.

Ersichtlich ist dann die Ableitung von f im Punkte a_{0}

f′(a_{0}) = lim_{a⟶a_{0}} \frac{f(a) − f(a_{0})}{a − a_{0}}

eindeutig durch f und a_{0} bestimmt.

Erinnerungen: 1) Ist f differenzierbar in a_{0}, so ist f auch stetig in a_{0}.

2) (Kettenregel) Sei V ⊆ K eine weiter offene Teilmenge mit f(U) ⊆ V und sei g : V ⟶ K eine weitere Abbildung. Ist f bzw. g differenzierbar in a_{0} ∈ U bzw. f(a_{0}), so ist g ∘ f differenzierbar in a_{0} mit (g ∘ f)′(a_{0}) = f′(a_{0}) · g′(f(a_{0})).

3) (Produktregel) Seien f : U ⟶ K und g : U ⟶ K differenzierbar in a_{0} ∈ U. Dann ist f · g differenzierbar in a_{0} mit (f · g)′(a_{0}) = f(a_{0}) · g′(a_{0}) + f′(a_{0}) · g(a_{0}).

Beobachtung I: Die Funktion f : U ⟶ K heißt lokalkonstant, falls f^{−1}(b) offen (und abgeschlossen) ist in U für alle b ∈ K. Ersichtlich ist f dann differenzierbar mit f′ = 0. Da die Topologie von U nach Lemma 1.1.iv total unzusammenhängend ist, gibt es sehr viele lokalkonstante Funktionen auf U.

Beobachtung II: Wegen ℤ_{p}/pℤ_{p} = ℤ/pℤ läßt sich jedes a ∈ ℤ_{p} eindeutig als konvergente Reihe

a = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}p^{n} mit a_{n} ∈ {0, 1, …, p − 1}

schreiben. Dabei gilt

|a|_{p} = p^{− min{n:a_{n}≠0}} .

Betrachte nun die Funktion

\begin{aligned}f : & ℤ_{p} & ⟶ & ℚ_{p} \\ & a = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}p^{n} & ⟼ & f(a) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}p^{2n} . \end{aligned}

Seien a = ∑_{n≥0} a_{n}p^{n} und b = ∑_{n≥0} b_{n}p^{n} mit a_{n}, b_{n} ∈ {0, …, p−1}, und sei etwa |a−b|_{p} =

p^{−j}. Dann ist a_{0} = b_{0}, …, a_{j−1} = b_{j−1}, a_{j} ≠ b_{j} und es folgt |f(a) − f(b)|_{p} = p^{−2j}. Also gilt

|f(a) − f(b)|_{p} = |a − b|_{p}^{2} für alle a, b ∈ ℤ_{p} .

Dies zeigt: – f ist injektiv (insbesondere nicht lokalkonstant),

– f′ = 0.

An diesem Beispiel erkennt man auch, daß es in unserem Kontext kein Analogon zum Mittelwertsatz der reellen Analysis gibt.

§5 Konvergente Potenzreihen

Eine Potenzreihe (in einer Variablen) mit Koeffizienten in K ist eine formale Reihe

f(X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} mit a_{n} ∈ K .

Ist ε > 0, so heißt f(X) ε-konvergent, falls lim_{n⟶∞} |a_{n}|ε^{n} = 0. Beachte: f(X) ε-konvergent ⟹ f(X) δ-konvergent für alle 0 < δ ≤ ε. Wir definieren

F_{ε}(K) := alle ε-konvergenten Potenzreihen .

Dies ist ein K-Vektorraum mit der Norm ∥f∥_{ε} := max_{n≥0} |a_{n}|ε^{n}. Lemma 5.1: (F_{ε}(K), ∥ ∥_{ε}) ist ein K-Banachraum. Beweis: Dies ist eine offensichtliche Verallgemeinerung des Argumentes für c_{0}(ℕ) (vgl. auch die Diskussion weiter unten). Übrigens: Ist ε = |c| für ein c ∈ K^{×}, so ist

c_{0}(ℕ_{0}) ⟶^{≅} F_{|c|}(K)
(a_{n})_{n} ⟼ ∑_{n=0}^{∞} a_{n}c^{−n}X^{n}

eine Isometrie. Sei B_{ε}(a) ein Ball in K. Nach Lemma 3.1.i ist

F_{ε}(K) ⟶ K-Vektorraum aller K-wertigen Funktionen auf B_{ε}(a)
f(x) ⟼ f_{(a)}(x) := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − a)^{n}

eine wohldefinierte K-lineare Abbildung. Ihr Bild wird mit A_{ε}(a) bezeichnet. Konvention: Mit einer Erweiterung L/K ist im Folgenden stets ein nicht-archime-discher Körper L gemeint, welcher K enthält und dessen Absolutbetrag denjenigen von K fortsetzt. Wir schreiben deswegen | | auch für den Absolutbetrag von L. Wenn erforderlich präzisieren wir unsere Notation für Bälle durch

B_{ε}(a)(L) := {b ∈ L : |b − a| ≤ ε}

und analog durch B_{ε}^{−}(a)(L). Ein f(X) ∈ F_{ε}(K) liefert natürlich eine Funktion

f_{(a)} : B_{ε}(a)(L) ⟶ L
x ⟼ ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − a)^{n}

für jede Erweiterung L/K. Wir betrachten nun eine konvergente Reihe f = ∑_{i=0}^{∞} f_{i} in dem Banachraum F_{ε}(K), also

∥f − ∑_{i=0}^{m} f_{i}∥_{ε} ⟶ 0 für m ⟶ ∞ .

Sei

f(X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} und f_{i}(X) = ∑_{n≥0} a_{i,n}X^{n} .

Dann ist

∥f − ∑_{i=0}^{m} f_{i}∥_{ε} = ∥ ∑_{n≥0}(a_{n} − ∑_{i=0}^{m} a_{i,n})X^{n}∥_{ε} = max_{n≥0} |a_{n} − ∑_{i=0}^{m} a_{i,n}|ε^{n} .

Es folgt

a_{n} = ∑_{i=0}^{∞} a_{i,n} für alle n ≥ 0 .

Bemerkung 5.2: In der obigen Situation gilt

f_{(a)}(x) = ∑_{i=0}^{∞}(f_{i})_{(a)}(x) für alle x ∈ B_{ε}(a)(L) .

Beweis: |f_{(a)}(x) − ∑_{i=0}^{m}(f_{i})_{(a)}(x)| ≤ ∥f − ∑_{i=0}^{m} f_{i}∥_{ε} .

Satz 5.3: F_{ε}(K) ist eine kommutative K-Algebra bzgl.

(∑_{n≥0} b_{n}X^{n}) (∑_{n≥0} c_{n}X^{n}) = ∑_{n≥0} ( ∑_{k+ℓ=n} b_{k}c_{ℓ}) X^{n} ;

dabei gilt: i. ∥f · g∥_{ε} = ∥f∥_{ε} · ∥g∥_{ε} ; ii. (f · g)_{(a)}(x) = f_{(a)}(x) · g_{(a)}(x) .

Beweis: Setze a_{n} := ∑_{k+ℓ=n} b_{k}c_{ℓ}. Wir können annehmen, daß ∥f∥_{ε} ≠ 0 und ∥g∥_{ε} ≠ 0. Zu jedem δ > 0 existiert dann ein N ∈ ℕ mit

|b_{i}|ε^{i} < \frac{δ}{∥g∥_{ε}} und |c_{i}|ε^{i} < \frac{δ}{∥f∥_{ε}}

für i ≥ N. Für n ≥ 2N ergibt sich

|a_{n}|ε^{n} ≤ max_{k+ℓ=n} |b_{k}|ε^{k} · |c_{ℓ}|ε^{ℓ} < δ .

Also ist (f · g)(X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} ε-konvergent. Für |y| ≤ ε ist

(f · g)_{(0)}(y) = lim_{s⟶∞} (∑_{n=0}^{s} a_{n}y^{n}) = lim_{s⟶∞} ( ∑_{k+ℓ≤s} b_{k}y^{k}c_{ℓ}y^{ℓ})

und

f_{(0)}(y) · g_{(0)}(y) = lim_{s⟶∞} (∑_{k=0}^{s} b_{k}y^{k}) (∑_{ℓ=0}^{s} c_{ℓ}y^{ℓ}) = lim_{s⟶∞} ( ∑_{k,ℓ≤s} b_{k}y^{k}c_{ℓ}y^{ℓ}) .

Die Differenz der Folgenglieder

| ∑_{k,ℓ≤s_{k+ℓ>s}} b_{k}y^{k}c_{ℓ}y^{ℓ}| ≤ max_{k,ℓ≤s_{k+ℓ>s}} |b_{k}|ε^{k}|c_{ℓ}|ε^{ℓ}
≤ max_{k> \frac{s}{2} oder ℓ> \frac{s}{2}} |b_{k}|ε^{k}|c_{ℓ}|ε^{ℓ}
≤ max (∥g∥_{ε} · max_{k> \frac{s}{2}} |b_{k}|ε^{k}, ∥f∥_{ε} · max_{ℓ> \frac{s}{2}} |c_{ℓ}|ε^{ℓ})

ist eine Nullfolge. Daraus folgt die Aussage ii. Aus der Dreiecksungleichung ergibt sich unmittelbar die Ungleichung

∥f · g∥_{ε} ≤ ∥f∥_{ε} · ∥g∥_{ε} .

Für die umgekehrte Ungleichung seinen k_{0} und ℓ_{0} die kleinsten Indizes mit

|b_{k_{0}}|ε^{k_{0}} = ∥f∥_{ε} und |c_{ℓ_{0}}|ε^{ℓ_{0}} = ∥g∥_{ε} .

Setze n_{0} := k_{0} + ℓ_{0}. Für n_{0} = k + ℓ gilt k ≤ k_{0} oder ℓ ≤ ℓ_{0}. Ist k ≠ k_{0} und ℓ ≠ ℓ_{0}, so folgt

|b_{k}|ε^{k} < ∥f∥_{ε} oder |c_{ℓ}|ε^{ℓ} < ∥g∥_{ε}

und damit

|b_{k}c_{ℓ}|ε^{n_{0}} < ∥f∥_{ε} · ∥g∥_{ε} .

Also ist

∥f · g∥_{ε} ≥ |a_{n_{0}}|ε^{n_{0}} = |b_{k_{0}}|ε^{k_{0}} · |c_{ℓ_{0}}|ε^{ℓ_{0}} = ∥f∥_{ε} · ∥g∥_{ε} .

Satz 5.4: Sei g ∈ F_{ε}(K) mit ∥g∥_{ε} ≤ δ; dann ist

\begin{matrix}F_{δ}(K) & ⟶ & F_{ε}(K) \\ f(Y) = ∑_{n≥0} a_{n}Y^{n} & ⟼ & f ∘ g(X) := ∑_{n≥0} a_{n}g(X)^{n} \end{matrix}

eine stetige lineare Abbildung (der Operatornorm ≤ 1); dabei gilt

(f ∘ g)_{(a)}(x) = f_{(0)}(g_{(a)}(x)) .

Beweis: Wegen Satz 5.3 ist a_{n}g(X)^{n} ε-konvergent mit ∥a_{n}g(X)^{n}∥_{ε} ≤ |a_{n}|δ^{n}. Da f(X) δ-konvergent ist, ist also (a_{n}g(X)^{n})_{n} eine Nullfolge in F_{ε}(K). Somit ist die Reihe (f ∘ g)(X) = ∑_{n≥0} a_{n}g(X)^{n} konvergent in F_{ε}(K) mit

∥f ∘ g∥_{ε} ≤ max_{ε} ∥a_{n}g(X)^{n}∥_{ε} ≤ max_{n} |a_{n}|δ^{n} = ∥f∥_{δ} .

Der Zusatz folgt aus Bem. 5.2 und Satz 5.3.ii.

Wenn man die Diskussion vor Bem. 5.2 und den Beweis von Satz 5.3 noch einmal durchgeht, sieht man, daß sich die Potenzreihe f ∘ g durch “Einsetzen” von g in f berechnet.

Warnung: Für g ∈ F_{ε}(K) gilt stets

sup_{x∈B_{ε}(0)} |g_{(0)}(x)| ≤ ∥g∥_{ε} ,

aber im Allgemeinen keine Gleichheit. Deswegen kann g_{(0)}(B_{ε}(0)) ⊆ B_{δ}(0) erfüllt sein, so daß f_{(0)} ∘ g_{(0)} existiert, ohne daß f ∘ g definiert ist. Ein Beispiel dafür (Übungsaufgabe) sind die Potenzreihen

f(Y) := ∑_{n≥0} Y^{n} ∈ F_{\frac{1}{p}} (ℚ_{p}) und g(X) := X^{p} − X ∈ F_{1}(ℚ_{p}) .

Corollar 5.5: (Verschiebung des Entwicklungspunktes) Sei f ∈ F_{ε}(K) und b ∈ B_{ε}(a); dann existiert ein f_{a−b} ∈ F_{ε}(K) mit ∥f_{a−b}∥_{ε} = ∥f∥_{ε} und f_{(a)} = (f_{a−b})_{(b)}. Beweis: Wende Satz 5.4 an auf g(X) := X + b − a ∈ F_{ε}(K) mit ∥g∥_{ε} ≤ ε. Das zeigt die Existenz von f_{a−b}(X) := (f ∘ g)(X) ∈ F_{ε}(K) mit ∥f_{a−b}∥_{ε} ≤ ∥f∥_{ε} und (f_{a−b})_{(b)} = f_{(0)} ∘ g_{(b)} = f_{(a)}. Aus Symmetriegründen gilt (f_{a−b})_{b−a} = f und damit ∥f∥_{ε} ≤ ∥f_{a−b}∥_{ε}.

Sei f(X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n} ε-konvergent. Die formale Ableitung

\frac{df}{dX} (X) := ∑_{n≥1} na_{n}X^{n−1} = ∑_{n≥0}(n + 1)a_{n+1}X^{n}

ist dann ebenfalls ε-konvergent. Also ist

\frac{d}{dX} : F_{ε}(K) ⟶ F_{ε}(K)

eine stetige lineare Abbildung mit Operatornorm ≤ 1. Induktiv ergibt sich

n! · a_{n} = ((\frac{d}{dX} )^{n} f)_{(0)} (0)

und, falls K die Charakteristik 0 hat,

a_{n} = \frac{1}{n!} ((\frac{d}{dX} )^{n} f)_{(0)} (0) .

Satz 5.6: Sei f ∈ F_{ε}(K), dann ist f_{(a)} differenzierbar auf B_{ε}(a) mit f_{(a)}′ = (\frac{df}{dX} )_{(a)}. Beweis: Die übliche Standardrechnung zeigt, daß f_{(b)} differenzierbar ist im Punkt b mit f_{(b)}′(b) = a_{1}. Für einen Punkt b ∈ B_{ε}(a) wenden wir das an auf die Potenzreihe f_{a−b} aus Corollar 5.5. Wegen f_{(a)}(x) = (f_{a−b})_{(b)}(x) folgt, daß f_{(a)} differenzierbar ist im Punkt b mit f_{(a)}′(b) = c_{1}, falls f_{a−b}(X) = ∑_{n≥0} c_{n}X^{n}. Aber f_{a−b}(X) entsteht aus

f(Y) durch Einsetzen von X + b − a, d. h.

∑_{n≥0} c_{n}X^{n} = ∑_{n≥0} a_{n}(X + b − a)^{n} .

Koeffizientenvergleich ergibt

c_{1} = ∑_{n≥1} na_{n}(b − a)^{n−1} = (\frac{df}{dX} )_{(a)} (b) .

Corollar 5.7: (Taylor-Formel) Sei char(K) = 0 und f(X) ∈ F_{ε}(K); dann gilt

f(X) = ∑_{n≥0} \frac{1}{n!} ((\frac{d}{dx})^{n} f_{(0)}) (0)X^{n} .

Corollar 5.8: (Identitätssatz für Potenzreihen) (Sei char(K) = 0.) Für f ∈ F_{ε}(K) gilt: Ist f_{(a)} = 0 für ein a, so ist f = 0.

Das letzte Corollar gilt mit einem anderen, komplizierteren Beweis auch in positiver Charakteristik. Zusammenfassend können wir feststellen: Die Abbildung

F_{ε}(K) ⟶^{≅} A_{ε}(a) ⊆ differenzierbare Funktionen auf B_{ε}(a)
f ⟼ f_{(a)}

ist eine K-lineare und multiplikative Bijektion, bezüglich welcher die formale Ableitung auf F_{ε}(K) der Differentiation auf A_{ε}(a) entspricht. Außerdem gilt A_{ε}(b) = A_{ε}(a) für alle b ∈ B_{ε}(a). Wir werden deswegen die Notation f_{(a)}(x) aufgeben und einfach f(x − a) schreiben.

§6 Analytische Funktionen auf affinoiden Bällen

Ein Ball B bzw. ein offener Ball B^{−} heißt affinoid, falls ein a ∈ K und ein r ∈ |K^{×}| existieren, so daß B = B_{r}(a) bzw. B^{−} = B_{r}^{−}(a).

Bemerkung 6.1: i. Ist B_{r}(a) = B_{r′}(a′) mit r, r′ ∈ |K^{×}|, so gilt r = r′; ii. ist B_{r}^{−}(a) = B_{r′}^{−}(a′) mit r, r′ ∈ |K^{×}|, so gilt r = r′. Beweis: i. Nach Lemma 1.1.ii ist B_{r′}(a′) = B_{r′}(a). Sei etwa r ≤ r′, und sei c ∈ K mit |c| = r′. Dann ist a + c ∈ B_{r′}(a) = B_{r}(a), und es folgt r′ = |c| ≤ r. ii. Wieder ist B_{r′}^{−}(a′) = B_{r′}^{−}(a), und wieder sei etwa r ≤ r′. Wir nehmen an, es gelte r < r′ und wählen ein c ∈ K mit |c| = r. Dann ist a + c ∈ B_{r′}^{−}(a) = B_{r}^{−}(a), was zu dem Widerspruch |c| < r führt.

Für einen affinoiden Ball B = B_{r}(a) ist der Ring

A(B) := A_{r}(a)

also unabhängig von der Wahl von a und r. Er heißt der Ring der analytischen Funktionen auf B.

Lemma 6.2: Seien B ⊆ B′ zwei affinoide Bälle; dann ist die Einschränkungsabbildung A(B′) ⟶ A(B) wohldefiniert, injektiv und stetig. Beweis: Wir finden ein a ∈ K und r ≤ r′ in |K^{×}|, so daß B = B_{r}(a) ⊆ B_{r′}(a) = B′. Unter den Isomorphismen A_{r}(a) ≅ F_{r}(K) und A_{r′}(a) ≅ F_{r′}(K) entspricht die Einschränkungsabbildung der Inklusion F_{r′}(K) ⊆ F_{r}(K). Diese ist stetig nach Lemma 1.5, da ihre Operatornorm ≤ 1 ist.

Der Ring der analytischen Funktionen auf einem affinoiden offenen Ball B^{−} = B_{r}^{−}(a) ist definiert als

A(B^{−}) := ⋂_{ε<r} A_{ε}(a) .

Wieder ist die Definition unabhängig von der Wahl von a und r: Sei nämlich B_{r}^{−}(a) = B_{r′}^{−}(b). Nach Bem. 6.1.ii gilt r = r′. Und für |a − b| ≤ ε < r ist A_{ε}(a) = A_{ε}(b).

Bemerkung 6.3: Mittels f ⟼ f(x − a) ist A(B^{−}) isomorph zum Ring aller Potenzreihen, welche ε-konvergent sind für alle 0 < ε < r.

Warnung: Auf A(B^{−}) gibt es keine einzelne ausgezeichnete Norm mehr, sondern nur die Familie aller Normen ∥ ∥_{ε} für 0 < ε < r (mittels des Isomorphismus aus Bem. 6.3). Deswegen ist A(B^{−}) kein Banachraum mehr, sondern ein Fréchetraum.

Ausblick: Seien P, Q ∈ K[X] zwei vorgegebene Polynome und sei B ein affinoider Ball. Wir werden später Differentialgleichungen der Form

P · \frac{df}{dx} = Q · f mit f ∈ A(B)

studieren.

Wegen Bem. 6.1 ist für jeden affinoiden Ball B = B_{r}(a) (bzw. jeden affinoiden offenen Ball B^{−} = B_{r}^{−}(a)) und jede Erweiterung L/K der Ball in L

B(L) := B_{r}(a)(L) (bzw. B^{−}(L) := B_{r}^{−}(a)(L))

unabhängig von der Wahl von a und r definiert. Auf A(B) erhalten wir deswegen eine natürliche Norm

∥f∥_{B} := sup\{|f(x)| : x ∈ B( ˆ\overline{K})\} .

Lemma 6.4: (Maximumprinzip) Sei B = B_{r}(a) ein affinoider Ball; für f ∈ A(B) und F ∈ F_{r}(K) mit f(x) = F (x−a) gilt

∥f∥_{B} = max_{x∈B( ˆ\overline{K})} |f(x)| = max_{x∈\overline{K}_{|x−a|=r}} |f(x)| = ∥F ∥_{r} .

Beweis: Natürlich können wir F ≠ 0 annehmen. Sei F (X) = ∑_{n≥0} a_{n}X^{n}. Mit r liegt

auch ∥F ∥_{r} in |K^{×}|, also r = |c| und ∥F ∥_{r} = |a| für geeignete a, c ∈ K^{×}. Die Potenzreihe

G(X) := ∑_{n≥0} c_{n}X^{n} mit c_{n} := a^{−1}a_{n}c^{n}

ist 1-konvergent mit ∥G∥_{1} = 1. Folglich ist \overline{G}(X) := G(X) mod 𝔪 ein Polynom ≠ 0 über den Restklassenkörper k von K. Da der algebraische Abschluß \overline{k} von k unendlich ist, existiert ein β ∈ \overline{k}^{×} mit \overline{G}(β) ≠ 0. Wir wählen ein b ∈ \overline{K} mit |b| = 1, dessen Restklasse gleich β ist. Nach Konstruktion ist dann |G(b)| = 1. Wir haben somit gezeigt, daß

max_{x∈\overline{K}_{|x|=1}} |G(x)| = max_{x∈B_{1}(0)( ˆ\overline{K})} |G(x)| = ∥G∥_{B_{1}(0)} = 1 = ∥G∥_{1}

gilt. Daraus folgt aber die Behauptung wegen

max_{|x−a|=r} |f(x)| = max_{|x|=r} |F (x)| = max_{|x|=1} |F (cx)| = max_{|x|=1} |aG(x)| = |a| .

Corollar 6.5: Für jeden affinoiden Ball B ist (A(B), ∥ ∥_{B}) ein K-Banachraum mit multiplikativer Norm ∥ ∥_{B}. Beweis: Lemma 6.4 und Satz 5.3.

Lemma 6.6: Sei B = B_{r}(a) ein affinoider Ball und sei c ∈ K mit |c| = r; dann ist

\begin{matrix}A(B) & ⟶^{≅} & A(B_{1}(0)) \\ f & ⟼ & f(cx + a) \end{matrix}

ein isometrischer Algebrenisomorphismus. Beweis: Dies folgt aus Satz 5.4 angewendet auf g(X) := cX. Die Isometrie erkennt man auch direkt, da

\begin{matrix}B_{1}(0)( ˆ\overline{K}) & ⟶ & B( ˆ\overline{K}) \\ x & ⟼ & cx + a \end{matrix}

eine Bijektion ist.

Auf Grund dieses Tatsache gelten alle ringtheoretischen Sätze über A_{1} := A(B_{1}(0)) automatisch für alle A(B) zu affinoiden Bällen B.

Weierstrass’scher Divisionssatz 6.7: Sei 0 ≠ f(x) = ∑_{n≥0} a_{n}x^{n} ∈ A_{1}, und sei

d ≥ 0 der größte Index mit ∥f∥_{1} = |a_{d}|; für jedes g ∈ A_{1} existieren eindeutig bestimmte Elemente q ∈ A_{1} und R ∈ K[x] vom Grade < d mit

g = qf + R ;

dabei gilt ∥g∥_{1} = max(∥qf∥_{1}, ∥R∥_{1}). Beweis: Existenz: Mittels Skalierung (der Fall g = 0 ist trivial) können wir ∥f∥_{1} = ∥g∥_{1} = 1 annehmen. Dann ist f mod 𝔪 ein Polynom vom Grade d. Genauer existiert ein c ∈ K^{×} mit max_{n>d} |a_{n}| = |c| =: r < 1. Der Ball 𝔫 := B_{r}(0) ist ein in 𝔪 enthaltenes Ideal von o. Ersichtlich ist f mod 𝔫 ein Polynom vom Grade d, dessen höchster Koeffizient eine Einheit in o/𝔫 ist; somit ist es im Ring o/𝔫[x] zur Polynomdivision geeignet. Dies ausnutzend werden wir Folgen (g_{i})_{i≥0}, (q_{i})_{i≥0} in A_{1} und (R_{i})_{i≥0} in K[x] mit folgenden Eigenschaften konstruieren:

g_{0} = g_{,} g_{i+1} = g_{i} − q_{i}f − R_{i},
deg(R_{i}) < d,
max(∥g_{i}∥_{1}, ∥q_{i}∥_{1}, ∥R_{i}∥_{1}) ≤ r^{i} .

Dann existieren q := ∑_{i≥0} q_{i} in A_{1} und R := ∑_{i≥0} R_{i} in K[x] mit deg(R) < d und

g = g_{0} = ∑_{i≥0}(g_{i} − g_{i+1}) = ∑_{i≥0}(q_{i}f + R_{i}) = qf + R .

Außerdem gilt max(∥q∥_{1}, ∥R∥_{1}) ≤ 1 = ∥g∥_{1} per Konstruktion. Die umgekehrte Ungleichung ∥g∥_{1} ≤ max(∥qf∥_{1}, ∥R∥_{1}) = max(∥q∥_{1}, ∥R∥_{1}) ist klar. Wir nehmen an, q_{i−1}, R_{i−1} und g_{i} seien schon konstruiert. Durch Polynomdivision finden wir ein q̃_{i} ∈ A_{1} mit ∥q̃_{i}∥_{1} ≤ 1 und ein R̃_{i} ∈ o[x] vom Grade < d mit

c^{−i}g_{i} ≡ q̃_{i}f + R̃_{i} mod 𝔫 .

Dann gilt also ∥c^{−i}g_{i} − q̃_{i}f − R̃_{i}∥_{1} ≤ r. Wir setzen q_{i} := c^{i}q̃_{i}, R_{i} := c^{i}R̃_{i} und g_{i+1} := g_{i} − q_{i}f − R_{i} = c^{i}(c^{−i}g_{i} − q̃_{i}f − R̃_{i}). Eindeutigkeit: Sei 0 = qf + R mit q ∈ A_{1} und R ∈ K[x] vom Grade < d. Wäre R ≠ 0, so könnten wir durch Skalierung ∥R∥_{1} = ∥q∥_{1} = 1 annehmen. Das würde

qf ≡ −R ≢ 0 mod 𝔪

bedeuten, was aus Gradgründen unmöglich ist. Also ist R = 0 und qf = 0. Wegen ∥q∥_{1} · ∥f∥_{1} = ∥qf∥_{1} = 0 und f ≠ 0 ist dann auch q = 0.

Weierstrass’scher Vorbereitungssatz 6.8: Seien f und d wie im letzten Satz; dann existieren genau ein normiertes Polynom P ∈ o[x] vom Grade d und genau ein u ∈ A_{1}^{×}, so daß

f = uP .

Beweis: Wir wenden den Divisionssatz auf x^{d} an und erhalten

x^{d} = qf + R

mit R ∈ o[x] vom Grade < d. Mit P := x^{d} − R ergibt sich

qf = P .

Eine nochmalige Anwendung des Divisionssatzes führt zu

f = uP + R_{0}

mit R_{0} ∈ K[x] vom Grade < d. Einsetzen ergibt f = uqf + R_{0} bzw. 0 = (uq − 1)f + R_{0}. Aus der Eindeutigkeit der Division folgt schließlich R_{0} = 0 und uq = 1.

Satz 6.9: Sei B ein affinoider Ball; dann gilt: i. Jedes 0 ≠ f ∈ A(B) besitzt in jeder Erweiterung L/K nur endlich viele Nullstellen, und diese sind algebraisch über K; ii. A(B) ist ein Hauptidealring; jedes Ideal wird von einem Polynom erzeugt; iii. für ein f ∈ A(B) sind äquivalent:

a. f ∈ A(B)^{×},

b. f besitzt keine Nullstelle in B( ˆ\overline{K}),

c. es existiert ein r ∈ |K^{×}| mit |f(x)| = r für alle x ∈ B( ˆ\overline{K}). Beweis: Nach Lemma 6.6 genügt es, den Ring A_{1} zu behandeln. i. Dies folgt unmittelbar aus dem Vorbereitungssatz. ii. Wegen der Multiplikativität von ∥ ∥_{1} ist A_{1} ein Integritätsbereich. Das Weitere folgt ebenfalls aus dem Vorbereitungssatz und der Tatsache, daß K[x] ein Hauptidealring ist. iii. Die Implikation von a. nach b. ist trivial. Die Umkehrung folgt aus dem Vorbereitungssatz. Dazu beachte man, daß die Nullstellen eines normierten Polynoms über o alle einen Betrag ≤ 1 haben. Aus c. folgt natürlich b. und damit a. Betrachte also umgekehrt ein f ∈ A(B)^{×}. Wegen der Multiplikativität von ∥ ∥_{B} gilt ∥\frac{1}{f}∥_{B} = ∥f∥_{B}^{−1} und damit

sup_{|x|≤1} |\frac{1}{f} (x)| = (sup_{|x|≤1} |f(x)|)^{−1} = inf_{|x|≤1} \frac{1}{|f(x)|} .

Das bedeutet natürlich, daß |f(x)| konstant ist auf B_{1}(0)( ˆ\overline{K}).

§7 Das Wachstum analytischer Funktionen

Sei B^{−} = B_{r}^{−}(a) ein affinoider offener Ball. Zu jedem 0 < ε < r haben wir auf Grund von Satz 5.3 die multiplikative Norm

| |_{a}(ε) : A(B^{−}) ⟶^{⊆} A_{ε}(a) ⟶^{≅} F_{ε}(K) ⟶^{∥ ∥_{ε}} ℝ_{≥0}

auf A(B^{−}). Für |b − a| ≤ ε ist A_{ε}(b) = A_{ε}(a) und wegen Corollar 5.5 gilt

| |_{b}(ε) = | |_{a}(ε) .

Die Einschränkung von | |_{a}(ε) auf A(B) erfüllt die Ungleichung | |_{a}(ε)_{|A(B)} ≤ ∥ ∥_{B} .

Lemma 7.1: Sei char(K) = 0; dann gilt

| (\frac{d}{dx})^{i} f|_{a}(ε) ≤ ε^{−i} · |i!| · |f|_{a}(ε) .

Beweis: Sei f(x) = ∑_{n≥0} a_{n}(x − a)^{n} auf B_{ε}(a). Dann ist |f|_{a}(ε) = max_{n≥0} |a_{n}|ε^{n}. Die behauptete Ungleichung folgt damit sofort aus

((\frac{d}{dx})^{i} f) (x) = i! · ∑_{n≥i} \binom{n}{i}a_{n}(x − a)^{n−1} .

Für ein festes 0 ≠ f ∈ A(B^{−}) ist

|f|_{a}(.) : (0, r) ⟶ ℝ_{>0}

ersichtlich eine monoton steigende Funktion in ε. Lemma 7.2: Sei L/K eine Erweiterung, und sei 0 < ε < r mit ε ∈ |L|; dann gilt

|f|_{a}(ε) = max_{x∈ˆ\overline{L}_{|x−a|=ε}} |f(x)| .

Beweis: Das folgt sofort aus dem Maximumprinzip 6.4 mit L als Grundkörper. Aus diesen Gründen beschreibt die Funktion |f|_{a}(.) das Wachstum von f. Es ist allerdings zweckmäßiger, die durch das kommutative Diagramm

\xymatrix{(0, r) \ar[r]^{|f|_{a}(.)} & ℝ_{>0} \ar[d]^{log} \\ (−∞, log r) \ar[u]^{exp} \ar[r]^{v(f)_{a}(.)} & ℝ}

definierte Funktion v(f)_{a}(.) zu betrachten.

Satz 7.3: Für 0 ≠ f ∈ A(B^{−}) gilt: i. Die Funktion v(f)_{a}(.) ist stetig, stückweise linear und konvex; ii. für t_{1} ≤ t_{2} < log r ist die Anzahl der Nullstellen x ∈ ˆ \overline{K} von f mit t_{1} ≤ log |x−a| ≤ t_{2} (und gezählt mit Multiplizitäten) gleich

rechtseitige Steigung von v(f)_{a} in t_{2} − linkseitige Steigung von v(f)_{a} in t_{1} .

Beweis: (Auf Grund des Vorbereitungssatzes 6.8 ist die Multiplizität einer Nullstelle von f in naheliegender Weise definiert.) Mit einem zu Lemma 6.6 analogen Argument genügt es, den Fall B^{−} = B_{1}^{−}(0) zu betrachten (es gilt nämlich v(f)_{a}(t) = v(f(cx + a))_{0}(t−log r)). Durch Übergang von K zu ˆ \overline{K} können wir K außerdem als algebraisch abgeschlossen annehmen. Dann gibt es eine Folge 0 < r_{1} < … < r_{j} < … < 1 in |K|, welche gegen 1 konvergiert. Es genügt offensichtlich, die Behauptung für alle Einschränkungen f|B_{r_{j}}(0) zu beweisen. Wie eben reduziert sich das aber auf den Fall f ∈ A(B_{1}(0)) = A_{1}. Nach dem Vorbereitungssatz 6.8 ist

f = uP mit u ∈ A_{1}^{×} und P ∈ o[x] normiert .

Nach Satz 6.9.iii und Lemma 7.2 ist v(u)_{0}(.) konstant. Wegen v(f)_{0} = v(u)_{0} + v(P)_{0} genügt es also, die Behauptung für P zu beweisen. Da K algebraisch abgeschlossen ist, reduziert die gleiche Additivitätseigenschaft uns weiter auf den Fall eines einzelnen Linearfaktors x − b mit b ∈ o. Da rechnet man nach, daß

v(x − b)_{0}(t) = max(t, log |b|)

gilt.

Corollar 7.4: (Schwarzsche Ungleichung) Sei 0 ≠ f ∈ A(B^{−}), seien 0 < ε_{1} < ε_{2} < r und bezeichne λ die rechtseitige Steigung von v(f)_{a} in log ε_{1} und N die Anzahl der Nullstellen (mit Multiplizitäten) x ∈ ˆ \overline{K} von f mit ε_{1} < |x − a| < ε_{2}; dann gilt

(\frac{ε_{2}}{ε_{1}} )^{λ} · |f|_{a}(ε_{1}) ≤ |f|_{a}(ε_{2}) ≤ (\frac{ε_{2}}{ε_{1}} )^{λ+N} · |f|_{a}(ε_{1})

und

λ = Anzahl der Nullstellen von f in B_{ε_{1}}(a)( ˆ\overline{K}) .

§8 Fredholmoperatoren

Definition: Sei f : V ⟶ W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräu-men. Sind ker(f) und coker(f) endlich dimensional, so sagt man, daß f endlichen Index

ind(f) := dim ker(f) − dim coker(f)

hat.

Lemma 8.1: Sei

\xymatrix{0 \ar[r] & V_{1} \ar[r] \ar[d]^{f_{1}} & V_{2} \ar[r] \ar[d]^{f_{2}} & V_{3} \ar[r] \ar[d]^{f_{3}} & 0 \\ 0 \ar[r] & W_{1} \ar[r] & W_{2} \ar[r] & W_{3} \ar[r] & 0}

ein kommutatives Diagramm von linearen Abbildungen mit exakten Zeilen. Haben zwei der Abbildungen f_{1}, f_{2}, f_{3} endlichen Index, so auch die dritte, und es gilt

ind(f_{2}) = ind(f_{1}) + ind(f_{3}) .

Beweis: Das ist eine einfache Folgerung aus dem Schlangenlemma.

Lemma 8.2: Seien g : U ⟶ V und f : V ⟶ W lineare Abbildungen. Haben zwei der Abbildungen g, f, f ∘ g endlichen Index, so auch die dritte, und es gilt

ind(f ∘ g) = ind(f) + ind(g) .

Beweis: Wende Lemma 8.1 an auf das Diagramm

\xymatrix{0 \ar[r] & U \ar[r]^{(id_{U} ,g)} \ar[d]^{g} & U ⊕ V \ar[d]^{f∘g⊕id_{V}} \ar[r]^{g−id_{V}} & V \ar[r] \ar[d]^{f} & 0 \\ 0 \ar[r] & V \ar[r]_{(f,id_{V} )} & W ⊕ V \ar[r]_{id_{W} −f} & W \ar[r] & 0 .}

Lemma 8.3: Für eine lineare Abbildung f : V ⟶ W sind äquivalent:

(a) f ist injektiv und hat endlichen Index;

(b) f besitzt ein Linksinverses f̃, welches endlichen Index hat. In diesem Fall gilt ind(f̃) = −ind(f). Beweis: Es gelte zunächst (a). Wir wählen einen Unterraum W_{0} ⊆ W, so daß W = im(f)⊕W_{0}. Und wir definieren die lineare Abbildung f̃: W ⟶ V durch f̃|W_{0} := 0 und f̃|im(f) := f^{−1}. Ersichtlich ist f̃ linksinvers zu f. Außerdem ist f̃ surjektiv mit ker(f̃) = W_{0}. Also gilt

ind(f̃) = dim W_{0} = dim coker(f) = ind(f) .

Nun gelte umgekehrt (b). Aus der Identität f̃∘ f = id_{V} folgt sofort, daß f injektiv ist. Weiter wende Lemma 8.2 auf f, f̃ und f̃∘ f = id_{V} an.

Ohne Beweis sei folgender fundamentaler Satz aus der Funktionalanalysis angegeben.

Satz vom offenen Operator: Jede stetige lineare Surjektion f : V ⟶ W zwischen Banachräumen (bzw. allgemeiner Frécheträumen) ist offen.

Lemma 8.4: Sei (V, ∥ ∥) ein K-Banachraum und V = V_{0} ⊕ V_{1} eine Zerlegung in Untervektorräume, wobei V_{0} abgeschlossen und V_{1} endlich dimensional ist; dann existiert eine Konstante c > 0, so daß für alle v = v_{0} + v_{1} in V gilt

max(∥v_{0}∥, ∥v_{1}∥) ≤ c · ∥v∥ .

Beweis: Die mit der jeweiligen Einschränkung von ∥ ∥ normierten Vektorräume V_{0} und V_{1} sind wiederum Banachräume – ersterer wegen seiner Abgeschlossenheit und letzterer wegen seiner endlichen Dimension und Lemma 1.6. Also ist V_{0} ⊕ V_{1} mit der Norm ∥(v_{0}, v_{1})∥′ := max(∥v_{0}∥, ∥v_{1}∥) ein Banachraum. Wegen der Dreiecksungleichung für ∥ ∥ und Lemma 1.5 ist dann

\begin{matrix}V_{0} ⊕ V_{1} & ⟶ & V \\ (v_{0}, v_{1}) & ⟼ & v_{0} + v_{1} \end{matrix}

eine stetige lineare Bijektion zwischen Banachräumen und damit nach dem Satz vom offenen Operator ein Homöomorphismus. Die Konstante in der Behauptung erhalten wir nun, indem wir Lemma 1.5 auf die stetige Umkehrabbildung anwenden.

Satz 8.5: Sei f : V ⟶ W eine stetige lineare Abbildung zwischen Banachräumen (bzw. allgemeiner Frécheträumen). Ist coker(f) endlich dimensional, so ist der Untervektorraum im(f) in W abgeschlossen. Beweis: Wir wählen einen Untervektorraum W_{0} ⊆ W mit W = im(f) ⊕ W_{0}. Dann ist V × W_{0} bezüglich der Norm ∥(v, w_{0})∥′ := max(∥v∥, ∥w_{0}∥) ein Banachraum. Die lineare Abbildung

\begin{aligned}F : & V × W_{0} & ⟶ & W \\ & (v, w_{0}) & ⟼ & f(v) + w_{0} \end{aligned}

ist stetig und surjektiv; nach dem Satz vom offenen Operator also offen. Folglich ist F (V × W_{0}\{0}) offen in W. Das zugehörige abgeschlossene Komplement ist gleich F (V × {0}) = im(f).

In der Situation des obigen Satzes ist also der endlich dimensionale Vektorraum coker(f) = W/im(f) versehen mit der Quotiententopologie hausdorffsch.

Definition: Ein stetiger linearer Endomorphismus f : V ⟶ V eines Banachraumes (bzw. allgemeiner eines Fréchetraumes) heißt Fredholmoperator, wenn er endlichen Index hat.

An dieser Stelle holen wir die Definition der Operatornorm einer stetigen linearen Abbildung f : V ⟶ W zwischen zwei normierten Vektorräumen nach:

∥f∥ := sup \{\frac{∥f(v)∥}{∥v∥} : v ∈ V \\{0\}\}

= sup \{\frac{∥f(v)∥}{∥v∥} : v ∈ V mit 0 < ∥v∥ ≤ 1\} .

Nach Lemma 1.5 existiert dieses Supremum.

Übungsaufgabe: 1) Der Vektorraum L(V, W) aller stetigen linearen Abbildungen von V nach W ist bezüglich der Operatornorm ein normierter Vektorraum. Ist W ein Banachraum, so ist es auch L(V, W).

2) Für g ∈ L(U, V) und f ∈ L(V, W) gilt ∥f ∘ g∥ ≤ ∥f∥ · ∥g∥.

Bemerkung 8.6: Sei V ein Banachraum und f ∈ L(V, V); ist ∥f∥ < 1, so besitzt id_{V} + f ein Inverses in L(V, V) und ∥(id_{V} + f)^{−1}∥ = 1. Beweis: Betrachte ∑_{i≥0}(−f)^{i}.

Satz 8.7: Seien V ≠ 0 ein Banachraum und f ∈ L(V, V) ein injektiver Fréchetoperator; dann gilt: i. f besitzt ein Linksinverses f̃ ∈ L(V, V); ii. für jedes g ∈ L(V, V) mit ∥g∥ < ∥f̃∥^{−1} gilt:

- f + g ist ein injektiver Fredholmoperator mit ind(f + g) = ind(f)

- f + g besitzt ein Linksinverses h ∈ L(V, V) mit ∥h∥ ≤ ∥f̃∥. Beweis: i. Nach Satz 8.5 ist im(f) abgeschlossen in V und damit selbst ein Banachraum. Der Satz vom offenen Operator impliziert dann, daß f : V ⟶ im(f) ein Homöomorphismus und damit f^{−1} : im(f) ⟶ V stetig ist. Wählen wir einen Untervektorraum V_{0} ⊆ V mit V = im(f) ⊕ V_{0}, so ist die Projektionsabbildung

pr : V = im(f) ⊕ V_{0} ⟶ im(f)

stetig wegen Lemma 8.4 und damit f̃:= f^{−1} ∘ pr ein stetiges Linksinverses zu f. ii. Wir schreiben

f + g = (id_{V} + g ∘ f̃) ∘ f .

Nach Annahme gilt ∥g ∘ f̃∥ ≤ ∥g∥ · ∥f̃∥ < 1. Deswegen (Bem. 8.6) besitzt id_{V} + g ∘ f̃ ein stetiges Inverses, und

h := f̃∘ (id_{V} + g ∘ f̃)^{−1}

ist ein stetiges Linksinverses zu f + g mit ∥h∥ ≤ ∥f̃∥ · ∥(id_{V} + g ∘ f̃)^{−1}∥ = ∥f̃∥. Insbesondere ist f + g injektiv. Da eine bijektive Abbildung natürlich den Index 0 hat, folgt aus Lemma 8.2, daß h den Index ind(h) = ind(f̃) und f + g nach Lemma 8.3 somit den Index

ind(f + g) = −ind(h) = −ind(f̃) = ind(f)

hat.

Satz 8.8: Sei

\xymatrix{V \ar[r]^{h} \ar[d]_{f} & W \ar[d]^{g} \\ V \ar[r]_{k} & W}

ein kommutatives Quadrat stetiger linearer Abbildungen zwischen Banachräumen (bzw. allgemeiner Frécheträumen); dabei seien f und g Fredholmoperatoren, h sei injektiv und k habe dichtes Bild; dann gilt: i. ind(f) ≤ ind(g); ii. ist ind(f) = ind(g), so induziert h bzw. k einen Isomorphismus ker(f) ≅ ker(g) bzw. coker(f) ≅ coker(g). Beweis: Wir betrachten das kommutative Diagramm mit exakten Zeilen

\xymatrix{0 \ar[r] & ker(f) \ar[r] \ar[d]_{h_{0}} & V \ar[r]^{f} \ar[d]_{h} & V \ar[r] \ar[d]_{k} & coker(f) \ar[r] \ar[d]_{k_{0}} & 0 \\ 0 \ar[r] & ker(g) \ar[r] & W \ar[r]^{g} & W \ar[r] & coker(g) \ar[r] & 0 .}

Mit h ist auch seine Einschränkung h_{0} injektiv. Damit gilt

dim ker(f) ≤ dim ker(g) .

Mit dem Bild von k in W ist auch im(k_{0}) dicht in coker(g) bezüglich der Quotiententopologie. Nach Satz 8.5 ist die Quotiententopologie auf coker(g) aber hausdorffsch. Also ist der endlich dimensionale Untervektorraum im(k_{0}) wegen Lemma 1.6 vollständig und damit abgeschlossen in coker(g). Es folgt die Surjektivität von k_{0}, d. h.

dim coker(f) ≥ dim coker(g) .

Beispiele: I) Sei B ein affinoider Ball. Für jedes Polynom 0 ≠ Q ∈ K[x] ist die Multiplikation mit Q

A(B) ⟶^{Q·} A(B)

ein injektiver Fredholmoperator mit

−ind(Q·) = Anzahl der Nullstellen (mit Multiplizität) von Q in B( ˆ\overline{K}) .

Beweis: Wegen Lemma 6.6 brauchen wir nur den Fall B = B_{1}(0) zu betrachten. Außerdem können wir Q sicherlich als normiert voraussetzen. Nach dem Vorbereitungssatz 6.8 besitzt jede Funktion ≠ 0 in A(B) höchstens endlich viele Nullstellen. Also ist der betrachtete Operator injektiv. Wegen Lemma 8.2 können wir Q als irreduzibel annehmen. Besitzt Q keine Nullstellen in B( ˆ\overline{K}), so folgt aus Satz 6.9, daß Q ∈ A(B)^{×}; also ist ind(Q·) = 0. Betrachten wir den anderen Fall. Wegen der Irreduzibilität von Q und Satz 1.7 liegen dann sämtliche Nullstellen von Q (sie sind konjugiert über K) in B_{1}(0)( ˆ\overline{K}). Einerseits ist also

dim coker(Q·) = deg(Q)

zu zeigen. Andererseits ist Q nun aber ein normiertes Polynom in o[x]. Die im Divisionssatz 6.7 auftretende Zahl d ist deswegen gleich dem Grad von Q. Es folgt nun aus dem Divisionssatz, daß die natürliche Abbildung

K[x]/QK[x] ⟶^{≅} A_{1}/QA_{1} = coker(Q·)

bijektiv ist. Bekanntermaßen ist die linke Seite eine Körpererweiterung von K vom Grade deg(Q). II) Sei K algebraisch abgeschlossen, 0 ≠ Q ∈ K[x] und B^{−} ein affinoider offener Ball. Dann ist A(B^{−}) ⟶^{Q·} A(B^{−}) ebenfalls ein injektiver Fredholmoperator mit

−ind(Q·) = Anzahl der Nullstellen von Q in B^{−} .

Beweis: Sei etwa B^{−} = B_{r}^{−}(a). Wähle eine Folge r_{1} < … < r_{j} < … < r in |K^{×}|, welche gegen r konvergiert. Die Multiplikation mit Q ist auf allen A_{r_{j}}(a) und damit auf A(B^{−}) injektiv. Wegen Lemma 8.2 können wir annehmen, daß Q(x) = x − β ein Linearfaktor ist. Für β ∉ B^{−} ist Q eine Einheit in allen A_{r_{j}}(a) und damit auch in A(B^{−}). Für β ∈ B^{−} induziert f ⟼ f(β) einen Isomorphismus

A(B^{−})/QA(B^{−}) = A(B_{r}^{−}(β))/(x − β)A(B_{r}^{−}(β)) ≅ K .

Kap. II Differentialgleichungen

In diesem Kapitel ist K ein fixierter nicht-archimedischer Körper der Charakteristik 0. Wir fixieren außerdem einen affinoiden Ball B = B_{r}(a) und Polynome P ≠ 0 und Q in K[x]. Ziel dieses Kapitels ist das Studium des Differentialoperators

\begin{aligned}D = D_{P,Q} : & A(B) & ⟶ & A(B) \\ & f & ⟼ & P · \frac{df}{dx} − Q · f . \end{aligned}

§9 Generische Lösungen

Sei L/K eine Erweiterung von K.

Erinnerung: Die formalen Potenzreihen f(X) = ∑_{n≥0} c_{n}X^{n} mit Koeffizienten c_{n} ∈ L

bilden einen Ring L[[X]]. Die Reihe f(X) ist eine Einheit in L[[X]] genau dann, wenn c_{0} = f(0) ≠ 0.

Definition: Der Konvergenzradius 0 ≤ ε_{f} ≤ ∞ der formalen Potenzreihe f(X) =

∑_{n≥0} c_{n}X^{n} ∈ L[[X]] ist

ε_{f} := sup{ε ≥ 0 : lim_{n⟶∞} |c_{n}|ε^{n} = 0} .

Lemma 9.1: i. ε_{f} = sup{ε ≥ 0 : sup_{n≥0} |c_{n}|ε^{n} < ∞};

ii. ε_{f} = ( \overline{lim}_{n⟶∞} |c_{n}|^{\frac{1}{n}})^{−1}.

Beweis: i. Bezeichne ε̃_{f} die rechte Seite der Behauptung. Trivialerweise gilt ε_{f} ≤ ε̃_{f}. Sei also ε ≥ 0 so, daß {|c_{n}|ε^{n}}_{n≥0} beschränkt ist. Für jedes 0 ≤ ε′ < ε gilt dann lim_{n⟶∞} |c_{n}|ε^{′n} = 0. Damit ist ε′ ≤ ε_{f}, folglich ε ≤ ε_{f} und somit ε̃_{f} ≤ ε_{f}. ii. Bezeichne r_{f} die rechte Seite der Behauptung. Für ε > r_{f} gilt

lim_{n⟶∞} sup_{k≥n}(|c_{k}|ε^{k})^{\frac{1}{k}} = ε · lim_{n⟶∞} sup_{k≥n} |c_{k}|^{\frac{1}{k}} = \frac{ε}{r_{f}} > 1 .

Folglich sind die Glieder der monoton fallenden Folge (sup_{k≥n}(|c_{k}|ε^{k})^{\frac{1}{k}})_{n≥0} sämtlich > 1

und damit |c_{k}|ε^{k} > 1 für unendlich viele k. Also ist (|c_{n}|ε^{n})_{n≥0} keine Nullfolge, was ε ≥ ε_{f} und folglich ε_{f} ≤ r_{f} bedeutet. Sei nun andererseits 0 ≤ ε < r_{f}. Dann ergibt sich umgekehrt, daß ein N ∈ ℕ existiert mit

sup_{k≥N}(|c_{k}|ε^{k})^{\frac{1}{k}} < 1 .

Folglich ist die Folge (|c_{n}|ε^{n})_{n≥0} beschränkt, was wegen i. aber ε ≤ ε_{f} und somit ε_{f} ≥ r_{f} bedeutet.

Wir fixieren einen Punkt y ∈ L mit P (y) ≠ 0. Offensichtlich macht D auch Sinn als Operator auf den formalen Potenzreihen L[[X − y]]. Wann genügt ein 0 ≠ u ∈ L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0? Die formale Taylorformel besagt

u = ∑_{n≥0} \frac{1}{n!} ((\frac{d}{dx})^{n} u) (y) · (X − y)^{n} .

Wegen P (y) ≠ 0 liegt die rationale Funktion R_{1} := \frac{Q}{P} in L[[X − y]]. Die Gleichung D(u) = 0 ist also gleichbedeutend mit

\frac{du}{dX} = R_{1} · u .

Wir definieren rekursiv rationale Funktionen R_{n} ∈ K(X) für n ≥ 0 durch

R_{0} := 1, R_{n+1} := \frac{1}{n + 1} (\frac{dR_{n}}{dX} + R_{n} · R_{1}) .

Kein R_{n} besitzt einen Pol in y. Aus der Gleichung D(u) = 0 folgt deswegen induktiv, daß gilt

\frac{1}{n!} · ((\frac{d}{dX} )^{n} u) = R_{n} · u

für alle n ≥ 0. Damit haben wir folgendes bewiesen.

Lemma 9.2: Die Lösungen in L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0 sind genau die skalaren Vielfachen der Potenzreihe

u_{y} := ∑_{n≥0} R_{n}(y) · (X − y)^{n} .

Übungsaufgabe: ε_{u_{y}} > 0.

Demnach ist

\begin{matrix}ε(D, .) : \{y ∈ L : P (y) ≠ 0\} & ⟶ & (0, ∞] \\ y & ⟼ & ε_{u_{y}} = ( \overline{lim}_{n⟶∞} |R_{n}(y)|^{\frac{1}{n}})^{−1} \end{matrix}

eine wichtige dem Differentialoperator zugeordnete Funktion. Es ist allerdings zweckmäßig, eine Modifikation dieser Funktion einzuführen. Wir bemerken zunächst, daß wegen der Multiplikativität von |.|_{a}(ε) die Zahl

|\frac{S}{T} |_{a}(ε) := \frac{|S|_{a}(ε)}{|T |_{a}(ε)}

für jedes ε > 0 und jede rationale Funktion \frac{S}{T} ∈ K(X) wohldefiniert ist. Wir definieren nun die Konvergenzradiusfunktion des Differentialoperators D durch

\begin{aligned}ρ_{a}(D, .) : & [0, ∞) & ⟶ & [0, ∞) \\ & ε & ⟼ & min(ε, ( \overline{lim}_{n⟶∞} |R_{n}|_{a}(ε)^{\frac{1}{n}})^{−1}) . \end{aligned}

Lemma 9.3: Sei I ⊆ ℝ ein Intervall, und sei {ϕ_{k} : I ⟶ ℝ}_{k∈ℕ} eine Familie von stetigen, stückweise linearen Funktionen, deren sämtliche Steigungen eine beschränkte Menge bilden; dann ist ϕ(t) := inf_{k∈ℕ}ϕ_{k}(t) eine stetige Funktion ϕ : I ⟶ [−∞, ∞). Beweis: Wir wählen eine Konstante C > 0, so daß sämtliche Steigungen der ϕ_{k} zwischen −C und C liegen. Für beliebige Punkte t_{1} < t_{2} in I und beliebiges k ∈ ℕ gilt dann

−C ≤ \frac{ϕ_{k}(t_{1}) − ϕ_{k}(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} ≤ C .

1. Fall: ϕ(t) > −∞ für alle t ∈ I. Für beliebiges t_{1} < t_{2} in I haben wir dann

\begin{aligned}\frac{ϕ(t_{1}) − ϕ(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} & ≥ & \frac{ϕ_{k}(t_{1}) − ϕ(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} = \frac{ϕ_{k}(t_{1}) − ϕ_{k}(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} + \frac{ϕ_{k}(t_{2}) − ϕ(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} \\ & ≥ & −C + \frac{ϕ_{k}(t_{2}) − ϕ(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} \end{aligned}

und

\begin{aligned}\frac{ϕ(t_{1}) − ϕ(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} & ≤ & \frac{ϕ(t_{1}) − ϕ_{k}(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} = \frac{ϕ(t_{1}) − ϕ_{k}(t_{1})}{t_{1} − t_{2}} + \frac{ϕ_{k}(t_{1}) − ϕ_{k}(t_{2})}{t_{1} − t_{2}} \\ & ≤ & \frac{ϕ(t_{1}) − ϕ_{k}(t_{1})}{t_{1} − t_{2}} + C . \end{aligned}

Da k so gewählt werden kann, daß ϕ_{k}(t_{2}) bzw. ϕ_{k}(t_{1}) beliebig nahe bei ϕ(t_{2}) bzw. ϕ(t_{1}) liegt, folgt

|ϕ(t_{1}) − ϕ(t_{2})| ≤ C · |t_{1} − t_{2}| ,

was insbesondere die Stetigkeit von ϕ bedeutet.

2. Fall: ϕ(t_{0}) = −∞ für ein t_{0} ∈ I. Zu jedem N ∈ ℕ existiert dann ein k ∈ ℕ mit ϕ_{k}(t_{0}) ≤ −N. Für jedes fixierte t ≠ t_{0} in I erhalten wir

ϕ_{k}(t) = ϕ_{k}(t) − ϕ_{k}(t_{0}) + ϕ_{k}(t_{0}) ≤ C · |t − t_{0}| − N .

Daraus folgt ϕ(t) = −∞.

Satz 9.4: Die Funktion ρ_{a}(D, .) ist stetig. Beweis: Wegen 0 ≤ ρ_{a}(D, ε) ≤ ε für ε > 0 ist die Funktion natürlich stetig in 0. Wir setzen

d := max(deg(P) − 1, deg(Q)) .

Aus

P^{n+1}R_{n+1} = \frac{1}{n + 1} (P · \frac{d(P^{n}R_{n})}{dX} − n\frac{dP}{dX} · P^{n}R_{n} − P R_{1}P^{n}R_{n})

folgt induktiv, daß P^{n}R_{n} ein Polynom vom Grade ≤ nd ist. Deswegen impliziert Satz 7.3, daß die Steigungen der stetigen, stückweise linearen und konvexen Funktion v(P^{n}R_{n})_{a} zwischen 0 und nd liegen; dabei beachte man, daß die “Anfangssteigung” von v(P^{n}R_{n})_{a} gleich der Multiplizität von a als Nullstelle von P^{n}R_{n} ist. Analog liegen die Steigungen von v(P^{n})_{a} zwischen 0 und n(d + 1). Folglich ist die Funktion log(|R_{n}|_{a}^{− \frac{1}{n}} (exp(.))) auf ℝ stetig und stückweise linear mit Steigungen zwischen −d und d + 1. Aus Lemma 9.3 ergibt sich weiter, daß für jedes n ≥ 0 die Funktion inf_{k≥n} log(|R_{k}|_{a}^{− \frac{1}{k}} (exp(.))) auf ℝ und damit die Funktion

ψ_{n} := inf_{k≥n} |R_{k}|_{a}^{− \frac{1}{k}}

auf (0, ∞) stetig sind. Die Funktionenfolge (ψ_{n})_{n≥0} ist monoton wachsend mit

ρ_{a}(D, .) = min(id, lim_{n⟶∞} ψ_{n}) = lim_{n⟶∞} min(id, ψ_{n}) .

Folglich ist ρ_{a}(D, .) stetig auf (0, ∞).

Im Folgenden sei B^{−} := B_{r}^{−}(a).

Lemma 9.5: Hat P keine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}), so gilt

ε(D, a) ≥ ρ_{a}(D, r) .

Beweis: Im Beweis von Satz 9.4 haben wir gesehen, daß R_{n} = \frac{Q_{n}}{P^{n}} mit Q_{n} ∈ K[X] gilt. Also ist

|R_{n}(a)| = \frac{|Q_{n}(a)|}{|P (a)|^{n}} .

Trivialerweise gilt |Q_{n}(a)| ≤ |Q|_{a}(r). Da P keine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}) besitzt, folgt auch Satz 6.9.iii (für den Grundkörper ˆ \overline{K}), daß die Funktion |P (.)| konstant ist auf B^{−}( ˆ\overline{K}) mit Wert |P (a)|. Aus Lemma 7.2 folgt weiter, daß |P |_{a}(.) konstant ist auf (0, r) mit Wert |P (a)|. Da die Funktion |P |_{a}(.) nach Satz 7.3 stetig ist auf (0, ∞), ergibt sich schließlich

|P |_{a}(r) = |P (a)| .

Also erhalten wir

|R_{n}(a)| ≤ \frac{|Q|_{a}(r)}{|P |_{a}(r)^{n}} = |R_{n}|_{a}(r) .

Lemma 9.6: Zu jedem ε > 0 existiert eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung L/K und ein y ∈ L mit |y − a| = ε, so daß alle Punkte des offenen Balles B_{ε}^{−}(y)(L) transzendent über K sind. Beweis: Wir verwenden ohne Beweis die Tatsache, daß eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung L/K existiert mit |L| = ℝ_{≥0} und so, daß der Restklassenkörper k_{L} von L eine echte Erweiterung des Restklassenkörpers \overline{k} von ˆ \overline{K} ist.

1. Fall: Es gilt ε ∉ | ˆ\overline{K}|. Nach Wahl von L existiert ein y ∈ L mit |y − a| = ε. Jedes x ∈ B_{ε}^{−}(y)(L) erfüllt |x − a| = ε und kann deswegen nicht in ˆ \overline{K} liegen.

2. Fall: Es existiert ein c ∈ ˆ \overline{K} mit |c| = ε. Nach Wahl von L existiert ein b ∈ L mit |b| = 1 und so, daß das Bild \overline{b} von b in k_{L} nicht in \overline{k} enthalten ist. Sei y ∈ L mit |y − a − bc| < ε = |c| = |bc|. Dann ist |y − a| = |bc| = ε. Für jedes x ∈ B_{ε}^{−}(y)(L) ist |x − a − bc| < ε = |c| und damit |\frac{x−a}{c} − b| < 1. Also ist das Bild von \frac{x−a}{c} in k_{L}

gleich \overline{b} und somit in \overline{k} enthalten. Folglich kann x nicht in ˆ \overline{K} liegen.

Ein Paar (L, y) wie im obigen Lemma heißt ein generischer Punkt des Balles B_{ε}(a). Natürlich gilt y ∈ B_{ε}(a)(L). Ein Polynom 0 ≠ S ∈ K[X] kann keine Nullstellen in B_{ε}^{−}(y)(L) haben (da alle Nullstellen algebraisch über K sind). Wie im Beweis von Lemma 9.5 folgt daraus

|S|_{a}(ε) = |S|_{y}(ε) = |S(y)| .

Insbesondere gilt

|R_{n}|_{a}(ε) = |R_{n}(y)|

für alle n ≥ 0, was die nachfolgende Aussage beweist.

Lemma 9.7: Sei ε > 0, und sei (L, y) ein generischer Punkt von B_{ε}(a); dann gilt

ρ_{a}(D, ε) = min(ε, ε(D, y)) .

Satz 9.8: Ist ker(D|A(B^{−})) ≠ 0, so gilt: i. ker(D|A(B^{−})) = K · v für ein v ∈ A(B^{−}); ii. jede Nullstelle von v (in einer beliebigen Erweiterung von K) ist auch eine Nullstelle von P; iii. ρ_{a}(D, r) = r . Beweis: Wir fixieren ein 0 ≠ v ∈ ker(D|A(B^{−})). Sei (L, y) ein beliebiges Paar mit y ∈ B^{−}(L) und P (y) ≠ 0. Wir können v als eine Lösung von D(u) = 0 in L[[X − y]] mit Konvergenzradius ≥ r auffassen. Nach Lemma 9.2 muß v = v(y)·u_{y} gelten. Also ist einerseits v(y) ≠ 0, und andererseits hat u_{y} einen Konvergenzradius ε(D, y) ≥ r. Im Spezialfall L = K ergibt sich somit

ker(D|A(B^{−})) = K · u_{y} = K · v .

Ist hingegen (L, y) ein generischer Punkt von B_{ε}(a) mit ε = |y−a| < r, so folgt dann aus Lemma 9.7, daß ρ_{a}(D, ε) = ε. Die Stetigkeitsaussage des Satzes 9.4 impliziert schließlich ρ_{a}(D, r) = r.

Satz 9.9: Hat P keine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}), so sind äquivalent: i. ker(D|A(B^{−})) ≠ 0; ii. ker(D|A(B^{−})) = K · v für ein v ∈ A(B^{−})^{×}; iii. ρ_{a}(D, r) = r. Beweis: Die Implikation von i. nach iii. und die Äquivalenz von i. und ii. sind in Satz 9.8 enthalten. Zu Letzterer ist nur noch zu bemerken, daß jedes v ∈ A(B^{−}), welches keine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}) besitzt, notwendigerweise invertierbar ist. Wegen Satz 6.9 gilt sicherlich v ∈ A(B^{−}( ˆ\overline{K}))^{×}. Wegen v(a) ≠ 0 haben wir aber auch v ∈ K[[X − a]]^{×}. Also ist v^{−1} ∈ A(B^{−}( ˆ\overline{K})) ∩ K[[X − a]] = A(B^{−}). Es bleibt die Implikation von iii. nach i. zu zeigen. Auf Grund der zusätzlichen Voraussetzung folgt mit Lemma 9.5 aus iii., daß ε(D, a) ≥ r. Damit liegt die Reihe u_{a} aus Lemma 9.2 in ker(D|A(B^{−})) und ist ≠ 0 wegen u_{a}(a) = 1.

Satz 9.10: ρ_{a}(D_{P,Q}, .) = ρ_{a}(D_{P,−Q}, .). Beweis: Sei ε > 0 und sei (L, y) ein generischer Punkt von B_{ε}(a). Die Lösung u_{y}^{(P,Q)} ∈ L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0 aus Lemma 9.2 hat den Konvergenzradius ε(D_{P,Q}, y). Wegen u_{y}^{(P,Q)}(y) = 1 existiert (u_{y}^{(P,Q)})^{−1} ∈ L[[X − y]]. Man rechnet sofort nach, daß

D_{P,−Q}((u_{y}^{(P,Q)})^{−1}) = 0

gilt. Aus der Eindeutigkeitsaussage in Lemma 9.2 folgt dann

(u_{y}^{(P,Q)})^{−1} = u_{y}^{(P,−Q)} .

Nach Lemma 9.7 ist ρ := ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) = min(ε, ε(D_{P,Q}, y)). Mit P hat auch u_{y}^{(P,Q)} keine Nullstellen in B_{ρ}^{−}(y)(L) (vgl. den Beweis von Satz 9.8). Aus Satz 6.9 (angewendet auf L als Grundkörper) ergibt sich deswegen, daß u_{y}^{(P,Q)} in A(B_{ρ}^{−}(y)(L)) invertierbar ist. Somit genügt der Konvergenzradius von u_{y}^{(P,−Q)} der Ungleichung

ε(D_{P,−Q}, y) ≥ ρ = ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) .

Nocheinmal mit Lemma 9.7 folgern wir daraus, daß

ρ_{a}(D_{P,−Q}, ε) = min(ε, ε(D_{P,−Q}, y)) ≥ ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) .

Aus Symmetriegründen muß dann aber schon Gleichheit gelten.

Lemma 9.11: Sei ε > 0, und sei (L, y) ein generischer Punkt von B_{ε}(a); dann gilt

ρ_{a}(D, ε) ≤ |R_{n}(y)|^{− \frac{1}{n}} = |R_{n}|_{a}(ε)^{− \frac{1}{n}} für alle n ≥ 1 .

Beweis: Wir kürzen ρ := ρ_{a}(D, ε) ab und betrachten die Lösung

u_{y} = ∑_{n≥0} R_{n}(y)(X − y)^{n}

in L[[X − y]] der Gleichung D(u) = 0 aus Lemma 9.2. Ganz analog wie im letzten Beweis stellen wir fest, daß u_{y} keine Nullstellen in B_{ρ}^{−}(y)(L) besitzt, und daß deswegen aus Satz 6.9

|u_{y}(x)| = |u_{y}(y)| = 1 für alle x ∈ B_{ρ}^{−}(y)(L)

folgt. Das Maximumprinzip 6.4 impliziert dann

max_{n≥0} |R_{n}(y)| · δ^{n} = 1

für alle 0 < δ < ρ, also δ^{n} ≤ |R_{n}(y)|^{−1} und damit ρ ≤ |R_{n}(y)|^{− \frac{1}{n}}. Die Identität |R_{n}(y)| = |R_{n}|_{a}(ε) hatten wir schon vor Lemma 9.7 diskutiert.

§10 Der Fall ρ_{a}(D, r) < r

Bemerkung 10.1: Die rationale Funktion 0 ≠ \frac{S}{T} ∈ K(X) habe keinen Pol in B( ˆ\overline{K}); dann besitzt der Multiplikationsoperator

A(B) ⟶^{\frac{S}{T} ·} A(B)

ein stetiges Linksinverses der Operatornorm ∥\frac{S}{T} ∥_{B}^{−1} = |\frac{S}{T} |_{a}(r)^{−1}.

Beweis: Wir können annehmen, daß T keine Nullstellen in B( ˆ\overline{K}) besitzt. Nach Satz 6.9 ist dann T ∈ A(B)^{×}, also \frac{S}{T} ∈ A(B), und damit der Multiplikationsoperator \frac{S}{T} · wohldefiniert und injektiv auf A(B). Wegen des Maximumprinzips 6.4 und Corollar 6.5 gilt

∥\frac{S}{T} · f∥_{B} = ∥\frac{S}{T} ∥_{B} · ∥f∥_{B} = |\frac{S}{T} |_{a}(r) · ∥f∥_{B} für alle f ∈ A(B)

und damit

∥\frac{S}{T} · ∥ = ∥\frac{S}{T} ∥_{B} = |\frac{S}{T} |_{a}(r) .

Ist nun ı ein beliebiges stetiges Linksinverses zu \frac{S}{T} ·, so haben wir wegen ∥ı∥·∥\frac{S}{T} ·∥ ≥ ∥id_{A(B)}∥ = 1 jedenfalls

∥ı∥ ≥ ∥\frac{S}{T} ∥_{B}^{−1} .

Also genügt es, ein stetiges Linksinverses ı mit ∥ı∥ ≤ ∥\frac{S}{T} ∥_{B}^{−1} zu konstruieren. Wegen Lemma 6.6 genügt es außerdem, dieses im Spezialfall B = B_{1}(0) zu tun. Aus dem Divisionssatz 6.7 erhalten wir dann für jedes f ∈ A_{1} eindeutig bestimmte q(f) ∈ A_{1} und R(f) ∈ K[X] vom Grade < d mit f = q(f)·S+R(f) und ∥f∥_{B} = max(∥q(f)∥_{B} · ∥S∥_{B}, ∥R(f)∥_{B}). Also ist

\begin{aligned}ı_{0} : & A_{1} & ⟶ & A_{1} \\ & f & ⟼ & q(f) \end{aligned}

linksinvers zu S· mit Operatornorm ≤ ∥S∥_{B}^{−1}. Schließlich ist ı := ı_{0} ∘ (T ·) linksinvers zu \frac{S}{T} · mit Operatornorm

≤ ∥S∥_{B}^{−1} · ∥T ∥_{B} = ∥\frac{S}{T} ∥_{B}^{−1} .

In diesem Abschnitt setzen wir stets ρ_{a}(D, r) < r voraus! Die zu dem Differentialoperator D^{∗} := D_{P,−Q} gehörigen rationalen Funktionen R_{n}^{∗} ∈ K(X) sind rekursiv gegeben durch

R_{0}^{∗} := 1, R_{1}^{∗} := −\frac{Q}{P}, R_{n+1}^{∗} := \frac{1}{n + 1} (\frac{dR_{n}^{∗}}{dX} + R_{n}^{∗} · R_{1}^{∗}) .

Im Beweis von Satz 9.4 haben wir gesehen, daß gilt

R_{n}^{∗} = \frac{Q_{n}^{∗}}{P^{n}} mit Q_{n}^{∗} ∈ K[X] .

Für jedes m ∈ ℕ betrachten wir den Differentialoperator

D_{m} := ∑_{i=0}^{m} \frac{1}{i!} P^{i}Q_{m−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i}

auf A(B). Ersichtlich ist D_{1} = D = D_{P,Q}. Allgemein gilt

(∗) D_{m} = \frac{P^{m} · (P^{−1}D)^{m}}{m!} .

Dies folgt per Induktion aus der Rechnung

\frac{(P^{−1} · D)^{m+1}}{(m + 1)!} = \frac{P^{−1} · D}{m + 1} (∑_{i=0}^{m} \frac{1}{i!} R_{m−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i})

\begin{matrix}= & \frac{1}{m + 1} [∑_{i=0}^{m} \frac{1}{i!} (\frac{dR_{m−i}^{∗}}{dX} · (\frac{d}{dX} )^{i} + R_{m−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i+1} + R_{1}^{∗}R_{m−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i})] \\ = & \frac{1}{m + 1} [∑_{i=0}^{m} \frac{1}{i!} ((m + 1 − i) R_{m+1−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i} + R_{m−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i+1})] \\ = & \frac{1}{m + 1} [∑_{i=0}^{m+1} \frac{m + 1 − i}{i!} R_{m+1−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i} + ∑_{i=1}^{m+1} \frac{1}{(i − 1)!}R_{m+1−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i}] \\ = & \frac{1}{m + 1} [∑_{i=0}^{m+1} \frac{m + 1 − i}{i!} R_{m+1−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i} + ∑_{i=0}^{m+1} \frac{i}{i!} R_{m+1−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i}] \\ = & ∑_{i=0}^{m+1} \frac{1}{i!} R_{m+1−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i} \\ = & P^{−(m+1)} · ∑_{i=0}^{m+1} \frac{1}{i!} P^{i}Q_{m+1−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i} \\ = & P^{−(m+1)}D_{m+1} . \end{matrix}

Im Beweis des nachfolgenden Lemmas werden wir sehen, daß auf Grund unserer Voraussetzung R_{n}^{∗} ≠ 0 und damit Q_{n}^{∗} ≠ 0 gilt für alle n ≥ 1.

Lemma 10.2: Im Falle ρ_{a}(D, r) < r haben wir: i. D ist ein injektiver Fredholmoperator; ii. es existiert ein m ≥ 1 mit |R_{m}^{∗}|_{a}(r)r^{m} > max_{0≤i<m} |R_{i}^{∗}|_{a}(r)r^{i};

iii. für jedes m wie in ii. gilt

ind(D|A(B)) = −\frac{1}{m} · (Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B( ˆ\overline{K})) .

Beweis: Wegen Satz 9.10 ist ρ_{a}(D^{∗}, r) = ρ_{a}(D, r) < r und somit

( \overline{lim}_{n⟶∞} |R_{n}^{∗}|_{a}(r)^{\frac{1}{n}})^{−1} < r .

Da mit R_{m}^{∗} = 0 auch R_{n}^{∗} = 0 für alle n ≥ m gelten würde, ergibt sich einerseits

R_{n}^{∗} ≠ 0 für alle n ≥ 0 .

Andererseits folgt

sup_{n≥0} |R_{n}^{∗}|_{a}(r)r^{n} = ∞ .

Also muß es ein m ≥ 1 mit der in ii. behaupteten Eigenschaft geben, und wir halten ein solches m fest. Wie in Lemma 7.1 sieht man, daß der Differentialoperator \frac{1}{i!} (\frac{d}{dX} )^{i} auf A(B) eine Operatornorm ≤ r^{−i} besitzt. Also ist

∥ ∑_{i=1}^{m} \frac{1}{i!} P^{i}Q_{m−i}^{∗} · (\frac{d}{dX} )^{i} ∥ ≤ max_{1≤i≤m} |P^{m}R_{m−i}^{∗}|_{a}(r) · r^{−i}

= max_{0≤i<m} r^{i−m} · |R_{i}^{∗}|_{a}(r) · |P^{m}|_{a}(r)
< |R_{m}^{∗}|_{a}(r) · |P^{m}|_{a}(r) = |Q_{m}^{∗}|_{a}(r) .

Der Operator D_{m} auf A(B) zerlegt sich folglich in

D_{m} = Q_{m}^{∗} + D̃_{m}

mit ∥D̃_{m}∥ < ∥Q_{m}^{∗} · ∥. Wegen Q_{m}^{∗} ≠ 0 ist Q_{m}^{∗}· nach §8 Beispiel I) ein injektiver Fredholmoperator mit

−ind(Q_{m}^{∗}·) = Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B( ˆ\overline{K}) .

Wegen Bemerkung 10.1 können wir nun Satz 8.7 anwenden und erhalten jedenfalls, daß D_{m} ein injektiver Fredholmoperator ist mit

−ind(D_{m}) = −ind(Q_{m}^{∗}·) = Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B( ˆ\overline{K}) .

Auf Grund der Voraussetzung ρ_{a}(D, r) < r und Satz 9.8 muß D injektiv sein. Aus (∗) folgt

m · D_{m} = P^{m−1}DP^{−(m−1)} ∘ D_{m−1} und P^{m−1}DP^{−(m−1)} = D_{P,(m−1) \frac{dP}{dX} +Q} .

Da D_{m} schon als Fredholmoperator erkannt ist, ist der Cokern von D_{m} und damit auch der Cokern von P^{m−1}DP^{−(m−1)} endlich dimensional. Andererseits hat der Kern von D_{P,(m−1) \frac{dP}{dX} +Q} wegen Lemma 9.2 höchstens die Dimension 1. Also ist P^{m−1}DP^{−(m−1)} ein Fredholmoperator, wobei offensichtlich

ind(P^{m−1}DP^{−(m−1)}) = ind(D|P^{−(m−1)}A(B))

gilt. Nach §8 Beispiel I) ist A(B)/P A(B) endlich dimensional. In dem kommutativen Diagramm

\xymatrix{0 \ar[r] & A(B) \ar[d]_{D} \ar[r]^{⊆} & P^{−(m−1)}A(B) \ar[d]_{D} \ar[r] & P^{−(m−1)}A(B)/A(B) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A(B) \ar[r]^{⊆} & P^{−(m−1)}A(B) \ar[r] & P^{−(m−1)}A(B)/A(B) \ar[r] & 0}

hat also die rechte senkrechte Abbildung den Index 0. Also folgt aus Lemma 8.1, daß

ind(P^{m−1}DP^{−(m−1)}) = ind(D|P^{−(m−1)}A(B)) = ind(D)

gilt. Wegen Lemma 8.2 ist damit auch D_{m−1} ein Fredholmoperator mit

ind(D) + ind(D_{m−1}) = ind(D_{m}) .

Daraus ergibt sich induktiv, daß D ein Fredholmoperator ist mit

m · ind(D) = ind(D_{m}) = − Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B( ˆ\overline{K}) .

Lemma 10.3: Für i = 0, 1 seien r_{i} ∈ |K^{×}| mit ρ_{a}(D, r_{i}) < r_{i} und

j := ind(D|A_{r_{0}}(a)) = ind(D|A_{r_{1}}(a)) ;

außerdem habe P keine Nullstellen in \{x ∈ ˆ \overline{K} : min(r_{0}, r_{1}) < |x − a| < max(r_{0}, r_{1})\}; bezeichnet ℓ die Anzahl der Nullstellen von P in B_{min(r_{0},r_{1})}(a)( ˆ\overline{K}), so gilt

ρ_{a}(D, r_{0})r_{0}^{−(j+ℓ)} = ρ_{a}(D, r_{1})r_{1}^{−(j+ℓ)} .

Beweis: Wegen Lemma 10.2 ist j jedenfalls definiert. Aus Symmetriegründen genügt es, die Ungleichung

ρ_{a}(D, r_{0})r_{0}^{−(j+ℓ)} ≥ ρ_{a}(D, r_{1})r_{1}^{−(j+ℓ)}

zu beweisen. Dazu führen wir die Annahme

ρ_{a}(D, r_{0}) < ρ_{a}(D, r_{1}) (\frac{r_{0}}{r_{1}} )^{j+ℓ} =: ρ

zum Widerspruch. Mit Satz 9.10 gilt dann

ρ_{a}(D^{∗}, r_{0}) = ρ_{a}(D, r_{0}) < min(r_{0}, ρ) =: s

und somit

sup_{n≥0} |R_{n}^{∗}|_{a}(r_{0})s^{n} = ∞ .

Also existiert ein m ≥ 1 mit

|R_{m}^{∗}|_{a}(r_{0})s^{m} > max_{0≤i<m} |R_{i}^{∗}|_{a}(r_{0})s^{i} .

Es folgt

|R_{m}^{∗}|_{a}(r_{0})ρ^{m} > max_{0≤i<m} |R_{i}^{∗}|_{a}(r_{0})ρ^{i} ≥ 1

und

|R_{m}^{∗}|_{a}(r_{0})r_{0}^{m} > max_{0≤i<m} |R_{i}^{∗}|_{a}(r_{0})r_{0}^{i} .

Nach Lemma 10.2 impliziert letztere Ungleichung, daß

−mj = Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B_{r_{0}}(a)( ˆ\overline{K}) .

Erstere Ungleichung bedeutet

|R_{m}^{∗}|_{a}(r_{0})ρ_{a}(D, r_{1})^{m} (\frac{r_{1}}{r_{0}} )^{−m(j+ℓ)} = |R_{m}^{∗}|_{a}(r_{0})ρ^{m} > 1 .

Aus der Schwarzschen Ungleichung 7.4 folgt

|Q_{m}^{∗}|_{a}(r_{1}) ≥ |Q_{m}^{∗}|_{a}(r_{0}) (\frac{r_{1}}{r_{0}} )^{−mj} .

Für P^{m} ergibt sich auf Grund unserer Voraussetzung genauer

|P^{m}|_{a}(r_{1}) = |P^{m}|_{a}(r_{0}) (\frac{r_{1}}{r_{0}} )^{mℓ} .

Wir erhalten

|R_{m}^{∗}|_{a}(r_{1}) ≥ |R_{m}^{∗}|_{a}(r_{0}) (\frac{r_{1}}{r_{0}} )^{−m(j+ℓ)}

und damit

|R_{m}^{∗}|_{a}(r_{1})ρ_{a}(D, r_{1})^{m} > 1 .

Wegen Satz 9.10 ist einerseits ρ_{a}(D, r_{1}) = ρ_{a}(D^{∗}, r_{1}). Andererseits sei (L, y) ein generischer Punkt von B_{r_{1}}(a); dann gilt |R_{m}^{∗}|_{a}(r_{1}) = |R_{m}^{∗}(y)|. Also folgt

|R_{m}^{∗}(y)|ρ_{a}(D^{∗}, r_{1})^{m} > 1 ,

was ein Widerspruch zu Lemma 9.11 (für D^{∗}) ist.

Es ist zweckmäßig, die logarithmische Version der Konvergenzradiusfunktion

v_{a}(D, .) := log(ρ_{a}(D, exp(.))) : ℝ ⟶ ℝ

einzuführen. Sie ist natürlich stetig mit v_{a}(D, t) ≤ t. Wir schreiben d^{+}v_{a}(D, t) bzw. d^{−}v_{a}(D, t) für die rechts- bzw. linksseitige Ableitung von v_{a}(D, .) im Punkte t (falls sie existiert).

Satz 10.4: Im Falle ρ_{a}(D, r) < r existiert die rechtsseitige Ableitung der Funktion v_{a}(D, .) im Punkte log r und ist gleich

d^{+}v_{a}(D, log r) = ind(D|A(B)) + (Anzahl der Nullstellen von P in B( ˆ\overline{K})) .

Beweis: Wähle ein m ≥ 1 wie in Lemma 10.2.ii. Auf Grund der Stetigkeit der Funktionen ρ_{a}(D, .) (Satz 9.4) und |R_{n}^{∗}|_{a}(.) (Satz 7.3) finden wir ein ε_{0} > 0, so daß gilt:

- ρ_{a}(D, ρ) < ρ für alle ρ ∈ [r, r + ε_{0}];

- |R_{m}^{∗}|_{a}(ρ)ρ^{m} > max_{0≤i<m} |R_{i}^{∗}|_{a}(ρ)ρ^{i} für alle ρ ∈ [r, r + ε_{0}];

- P hat keine Nullstellen in \{x ∈ ˆ \overline{K} : r < |x − a| < r + ε_{0}\};

- Q_{m}^{∗} hat keine Nullstellen in \{x ∈ ˆ \overline{K} : r < |x − a| < r + ε_{0}\}. Betrachte zunächst ein r_{1} ∈ [r, r + ε_{0}] ∩ |K|. Aus Lemma 10.2 folgt, daß D|A_{r_{1}}(a) ein Fredholmoperator ist mit

ind(D|A_{1}(a)) = −\frac{1}{m} · (Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B_{r_{1}}(a)( ˆ\overline{K}))

= −\frac{1}{m} · (Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B( ˆ\overline{K}))
= ind(D|A(B)) .

Also können wir Lemma 10.3 anwenden und erhalten

ρ_{a}(D, r_{1}) = ρ_{a}(D, r) (\frac{r_{1}}{r} )^{k}

mit

k := ind(D|A(B)) + (Anzahl der Nullstellen von P in B( ˆ\overline{K})) .

Da sich die Konvergenzradiusfunktion ρ_{a}(D, .) beim Übergang von K zu ˆ \overline{K} nicht ändert, können wir dieses Argument über ˆ \overline{K}, d. h. für alle r_{1} ∈ [r, r + ε_{0}] ∩ | ˆ\overline{K}| wiederholen. Nach Lemma 1.9 liegt aber [r, r + ε_{0}] ∩ | ˆ\overline{K}| dicht in [r, r + ε_{0}]. Wegen der Stetigkeit von ρ_{a}(D, .) haben wir deswegen

ρ_{a}(D, ε) = \frac{ρ_{a}(D, r)}{r^{k}}ε^{k} für alle ε ∈ [r, r + ε_{0}] .

Das bedeutet

v_{a}(D, t) = v_{a}(D, log r) + k(t − log r) für alle t ∈ [log r, log(r + ε_{0})] .

Lemma 10.5: i. In jedem Punkt t ∈ ℝ mit v_{a}(D, t) < t existiert sowohl die linkswie die rechtsseitge Ableitung von v_{a}(D, .); ist m ≥ 1 zu ε := exp t wie in Lemma 10.2.ii gewählt, so ist

\begin{aligned}d^{+}v_{a}(D, t) & = & −\frac{1}{m} · (Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B_{ε}(a)( ˆ\overline{K})) \\ & & + (Anzahl der Nullstellen von P in B_{ε}(a)( ˆ\overline{K})) \end{aligned}

und

\begin{aligned}d^{−}v_{a}(D, t) & = & −\frac{1}{m} · (Anzahl der Nullstellen von Q_{m}^{∗} in B_{ε}^{−}(a)( ˆ\overline{K})) \\ & & + (Anzahl der Nullstellen von P in B_{ε}^{−}(a)( ˆ\overline{K})) ; \end{aligned}

außerdem sind beide Ableitungen ganze Zahlen ≤ deg(P); ii. seien t_{0} < t_{1} in ℝ mit v_{a}(D, t) < t für alle t_{0} ≤ t ≤ t_{1}; dann ist die Funktion v_{a}(D, .) auf dem Intervall [t_{0}, t_{1}] stückweise linear; iii. seien t_{0} < t_{1} in ℝ mit v_{a}(D, t) < t für alle t_{0} < t < t_{1} und so, daß P keine Nullstellen in \{x ∈ ˆ \overline{K} : exp t_{0} < |x − a| < exp t_{1}\} besitzt; dann ist die Funktion v_{a}(D, .) auf (t_{0}, t_{1}) konkav. Beweis: Durch Übergang zu einer Erweiterung können wir |K| = ℝ_{≥0} annehmen. Im Beweis von Satz 10.4 wurde gezeigt, daß v_{a}(D, .) auf einem geeigneten Intervall [t, τ_{1}] linear ist mit einer Steigung, welche der behaupteten Formel genügt. Außerdem ist der erste Summand in dieser Formel als Index eines injektiven Fredholmoperators (Lemma 10.2) eine ganze Zahl ≤ 0. In einem Intervall [t_{0}, t_{1}] wie in ii. besitzt also jeder Punkt t eine offene Umgebung U_{t}, auf welcher v_{a}(D, .) stückweise linear ist. Die U_{t} bilden eine offene Überdeckung von [t_{0}, t_{1}]. Die Existenz einer endlichen Teilüberdeckung impliziert dann, daß v_{a}(D, .) auf [t_{0}, t_{1}] stückweise linear ist. Unter der Voraussetzung an P in iii. folgt aus den expliziten Formeln in i. sofort, daß in jedem Punkt t ∈ (t_{0}, t_{1}) gilt

d^{−}v_{a}(D, t) ≥ d^{+}v_{a}(D, t) .

Satz 10.6: Es gelte ρ_{a}(D, r) < r, und P besitze keine Nullstellen in B^{−}( ˆ\overline{K}); dann haben wir: i. d := d^{−}v_{a}(D, log r) ≤ 0;

ii. ρ_{a}(D, r) ≤ ε(D, a) ≤ ρ_{a}(D, r) · (\frac{ρ_{a}(D,r)}{r})^{\frac{d}{1−d}} ; iii. ρ_{a}(D, r) = ε(D, a) genau dann, wenn d = 0. Beweis: Wieder können wir |K| = ℝ_{≥0} annehmen. i. Wir haben d^{−}v_{a}(D, log r) = d^{+}v_{a}(D, log r_{0}) für ein geeignetes r_{0} < r mit ρ_{a}(D, r_{0}) < r_{0}. Auf Grund der Voraussetzung und Satz 10.4 gilt also

d^{−}v_{a}(D, log r) = ind(D|A_{r_{0}}(a)) .

Nach Lemma 10.2.i ist der rechte Index ≤ 0. ii. und iii. Die linke Ungleichung in ii. wurde in Lemma 9.5 bewiesen. Nach Satz 9.9 hat D(u) = 0 keine Lösung in A(B^{−}). Also muß

ρ := ε(D, a) < r

gelten. Wegen unserer Voraussetzung an P und Lemma 9.2 ist aber u_{a} eine Lösung von D(u) = 0 in A(B_{ρ}^{−}(a)). Nach Satz 9.8 gilt also

ρ_{a}(D, ρ) = ρ .

Andererseits haben wir keine Lösung in A(B_{r′}^{−}(a)) für alle ρ < r′ ≤ r. Wieder nach Satz 9.9 erhalten wir folglich

ρ_{a}(D, r′) < r′ für alle ρ < r′ ≤ r .

Wegen Lemma 10.5 ist die Funktion v_{a}(D, .) auf (log ρ, log r) stückweise linear und konkav. Außerdem können wir das Argument in i. für alle ρ < r′ ≤ r wiederholen und erhalten, daß alle Steigungen von v_{a}(D, .) auf (log ρ, log r) ganze Zahlen ≤ 0 sind. Also tritt der Fall d = 0 genau dann ein, wenn v_{a}(D, .) konstant auf [log ρ, log r] ist bzw. ρ_{a}(D, .) konstant auf [ρ, r] ist bzw.

ε(D, a) = ρ = ρ_{a}(D, ρ) = ρ_{a}(D, r)

gilt. Damit ist iii. gezeigt. Die rechte Ungleichung in ii. ist äquivalent zu

log ρ ≤ v_{a}(D, log r) + \frac{d}{1 − d} (v_{a}(D, log r) − log r)

bzw.

d(log r − log ρ) ≤ v_{a}(D, log r) − v_{a}(D, log ρ) .

Letzteres ist klar auf Grund der genannten Eigenschaften der Funktion v_{a}(D, .).

§11 Ein Beispiel

Sei K = ℂ_{p}. Wir fixieren ein ℓ ∈ ℕ und ein π ∈ ℂ_{p} mit |π|^{p−1} = |p| und betrachten den Differentialoperator

D := \frac{d}{dx} − πℓx^{ℓ−1} .

Offensichtlich gilt D(u_{0}) = 0 für die Potenzreihe

u_{0} := exp(πX^{ℓ}) = ∑_{n≥0} \frac{π^{n}}{n!} X^{ℓn} .

Also ist u_{0} die Potenzreihe aus Lemma 9.2. Nach Lemma 2.2.i haben wir

n^{− \frac{1}{ℓn}} · |p|^{\frac{1}{ℓn}} ≤ |\frac{π^{n}}{n!} |^{\frac{1}{ℓn}} = |p|^{\frac{1}{ℓ(p−1)}} · |n!|^{− \frac{1}{ℓn}} ≤ |p|^{\frac{1}{ℓn(p−1)}} .

Somit hat die Reihe u_{0} den Konvergenzradius

ε(D, 0) = 1 .

Aus Satz 9.9 folgt, daß

ρ_{0}(D, ε) \{ \begin{matrix}= ε & für ε ≤ 1, \\ < ε & für ε > 1. \end{matrix}

Sei (L, y) ein generischer Punkt für B_{ε}(0); insbesondere ist |y| = ε. Es gilt

u_{y} ′′ = exp(πy^{ℓ})^{−1} exp(π((X − y) + y)^{ℓ})′′
′′ = exp(πy^{ℓ})^{−1} exp(π(∑_{i=0}^{ℓ} \binom{ℓ}{i}y^{ℓ−i}(X − y)^{i}))′′

= ∏_{i=1}^{ℓ} exp(π\binom{ℓ}{i}y^{ℓ−i}(X − y)^{i}) .

Da der Konvergenzradius von exp(πX) gleich 1 ist, haben wir

ε_{i} := Konvergenzradius von exp(π\binom{ℓ}{i}y^{ℓ−i}(X − y)^{i})
= |\binom{ℓ}{i}y^{ℓ−i}|^{− \frac{1}{i}} = ε^{1− \frac{ℓ}{i}} |\binom{ℓ}{i}|^{− \frac{1}{i}} .

Außerdem ist

ε(D, y) ≥ min(ε_{1}, …, ε_{ℓ})

mit Gleichheit, falls das Minimum genau einmal angenommen wird.

1. Fall: 1 ≤ ℓ ≤ p − 1 und ε > 1. Dann sind die ε_{i} = ε^{1− \frac{ℓ}{i}} paarweise verschieden und damit

ε(D, y) = ε^{1−ℓ} .

Aus Lemma 9.7 folgt dann, daß

ρ_{0}(D, ε) = ε^{1−ℓ} für ε ≥ 1 ,

und aus Satz 10.4, daß

ind(D|A_{r}(0)) = −(ℓ − 1) für r ∈ (1, ∞) ∩ p^{ℚ} .

2. Fall: ℓ = p und ε > 1. Dann sind ε_{p} = 1 und ε_{i} = ε^{1− \frac{p}{i}} · p^{\frac{1}{i}} = ε (\frac{p}{ε^{p}} )^{\frac{1}{i}} für 1 ≤ i ≤ p − 1 und damit

ε(D, y) = \{ \begin{matrix}1 & für 1 < ε < p^{\frac{1}{p−1}} , \\ pε^{1−p} & für ε > p^{\frac{1}{p−1}} . \end{matrix}

Aus Stetigkeitsgründen folgt dann, daß

ρ_{0}(D, ε) = \{ \begin{matrix}1 & für 1 ≤ ε ≤ p^{\frac{1}{p−1}} , \\ pε^{1−p} & für ε ≥ p^{\frac{1}{p−1}} , \end{matrix}

und daß für r ∈ p^{ℚ} gilt

ind(D|A_{r}(0)) = \{ \begin{matrix}0 & für 1 < r < p^{\frac{1}{p−1}} , \\ −(p − 1) & für r ≥ p^{\frac{1}{p−1}} . \end{matrix}

§12 Beschränkte analytische Funktionen

Sei K ein beliebiger nicht-archimedischer Körper und B^{−} = B_{r}^{−}(a) ein affinoider offener Ball.

Lemma 12.1: Für f(x) = ∑_{n≥0} a_{n}(x − a)^{n} ∈ A(B^{−}) sind äquivalent:

i. sup_{n≥0} |a_{n}|r^{n} < ∞;

ii. sup_{x∈B^{−}( ˆ\overline{K})} |f(x)| < ∞;

iii. die Funktion |f|_{a}(.) : (0, r) ⟶ ℝ_{>0} ist beschränkt. Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt

∥f∥_{r} := sup_{n≥0} |a_{n}|r^{n} = sup_{x∈B^{−}( ˆ\overline{K})} |f(x)| = sup_{0<ε<r} |f|_{a}(ε) .

Beweis: Wir wählen eine Folge 0 < r_{1} < … < r_{j} < … < r in | ˆ\overline{K}|, welche gegen r konvergiert. Nach dem Maximumprinzip 6.4 gilt

sup_{n≥0} |a_{n}|r_{j}^{n} = |f|_{a}(r_{j}) = sup_{x∈B_{r_{j}} (a)( ˆ\overline{K})} |f(x)|

für alle j ≥ 1. Daraus folgen die Behauptungen durch Übergang zum Limes.

Definition: Eine Funktion f ∈ A(B^{−}), welche die äquivalenten Bedinungen aus Lemma 12.1 erfüllt, heißt beschränkt. Wir setzen

A^{b}(B^{−}) := {f ∈ A(B^{−}) : f ist beschränkt} .

Nach §1 Beispiel B ist (A^{b}(B^{−}), ∥ ∥_{r}) ein K-Banachraum. Da die Funktionen |f|_{a}(.) monoton steigend und stetig sind, ist mit jedem | |_{a}(ε) auch das Supremum ∥ ∥_{r} multiplikativ auf A^{b}(B^{−}).

Lemma 12.2: Die Funktion f ∈ A(B^{−}) habe keine Nullstellen in B^{−}( ˆ\overline{K}); dann ist f beschränkt. Beweis: Dies folgt aus Satz 6.9 (mit ˆ \overline{K} als Grundkörper).

Wegen Lemma 12.1.i ist die Ableitung \frac{d}{dx} auf A^{b}(B^{−}) wohldefiniert mit Operatornorm ≤ 1. Insbesondere ist auch unser Differentialoperator

D_{P,Q} : A^{b}(B^{−}) ⟶ A^{b}(B^{−})

wohldefiniert.

Satz 12.3: Der Körper K habe die Charakteristik 0, und P habe keine Nullstellen in B^{−}( ˆ\overline{K}); dann sind äquivalent: i. ρ_{a}(D, r) = r; ii. ker(D|A^{b}(B^{−})) ≠ 0, Beweis: Dies folgt aus Satz 9.9 und Lemma 12.2.

Satz 12.4: Der Körper K sei p-adisch; ist ker(D|A^{b}(B^{−})) ≠ 0, so ist D|A^{b}(B^{−}) kein Fredholmoperator. Beweis: Sei c ∈ K^{×} mit |c| = r^{−1}. Für jedes k ∈ ℕ setzen wir

u_{k}(x) := ∑_{n≥1} p^{−kn}c^{p^{kn}}(x − a)^{p^{kn}} .

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist ( \overline{lim}_{n⟶∞} p^{kn/p^{kn}}r^{−1})^{−1} = r. Also gilt

u_{k} ∈ A(B^{−}) .

Wir behaupten, daß die {u_{k}}_{k∈ℕ} linear unabhängig sind modulo A^{b}(B^{−}). Sei also I ⊆ ℕ eine endliche nichtleere Teilmenge, und seien λ_{k} ∈ K^{×} für k ∈ I. Zu zeigen ist, daß die Linearkombination

∑_{k∈I} λ_{k}u_{k} = ∑_{i≥1} b_{i}(x − a)^{i}

nicht in A^{b}(B^{−}) liegt. Sei dazu k_{0} die kleinste Zahl in I und setze m := ∏_{k_{0}≠k∈I} k.

Jede natürliche Zahl der Form

n = k_{0}(m^{ℓ} + 1) mit ℓ ∈ ℕ

ist durch k_{0}, aber durch kein anderes k ∈ I teilbar. Folglich sind die Werte

|b_{p^{n}}|r^{p^{n}} = |λ_{k_{0}}p^{−n}c^{p^{n}}|r^{p^{n}} = |λ_{k_{0}}|p^{n}

unbeschränkt. Hingegen liegen die Ableitungen

u′_{k} = \frac{du_{k}}{dx} = ∑_{n≥1} c^{p^{kn}}(x − a)^{p^{kn}−1}

offensichtlich in A^{b}(B^{−}). Sei nun 0 ≠ u ∈ ker(D|A^{b}(B^{−})). Dann gilt

D(u_{k}u) = P (u′_{k}u + u_{k} \frac{du}{dx}) − Qu_{k}u = P u′_{k}u ∈ A^{b}(B^{−}) .

Wir zeigen schließlich, daß die {D(u_{k}u)}_{k∈ℕ} linear unabhängig sind modulo D(A^{b}(B^{−})). Seien dazu λ_{k} ∈ K für k ∈ I und f ∈ A^{b}(B^{−}), so daß

D (∑_{k∈I} λ_{k}u_{k}u) = ∑_{k∈I} λ_{k}D(u_{k}u) = D(f)

gilt. Wegen Satz 9.8 haben wir dann

∑_{k∈I} λ_{k}u_{k}u = μu + f

für ein μ ∈ K. Also ist

(−μ + ∑_{k∈I} λ_{k}u_{k})u = f .

Nun sind u und f aber beschränkt. Aus Lemma 12.1.iii folgt leicht, daß auch −μ + ∑_{k∈I} λ_{k}u_{k} und damit ∑_{k∈I} λ_{k}u_{k} beschränkt sind. Nach dem zuvor Gezeigten im-

pliziert das λ_{k} = 0 für alle k ∈ I.

§13 Wann gilt ρ_{a}(D, r) = r?

Es treten wieder unsere Standardvoraussetzungen vom Anfang dieses Kapitels in Kraft.

Lemma 13.1: Sei ρ_{a}(D_{P,Q}, r) < r; dann existiert ein δ > 0, so daß für alle \frac{T}{S} ∈ K(X) mit |\frac{T}{S} − \frac{Q}{P}|_{a}(r) < δ ebenfalls ρ_{a}(D_{S,T} , r) < r gilt. Beweis: Wir können K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Sei m ≥ 1 wie in Lemma 10.2.ii gewählt. Im dortigen Beweis hatten wir eine Zerlegung

D_{m} = Q_{m}^{∗} + D̃_{m}

mit ∥D̃_{m}∥ < ∥Q_{m}^{∗} ·∥ = |Q_{m}^{∗}|_{a}(r) als Operatoren auf A(B) etabliert. Man prüft nach, daß dasselbe auch im Sinne von Operatoren auf (A^{b}(B^{−}), ∥ ∥_{r}) gilt. Wir wollen nun wiederum Satz 8.7 anwenden und müssen uns dazu zuerst überlegen, daß der injektive Multiplikationsoperator

A^{b}(B^{−}) ⟶^{Q_{m}^{∗}·} A^{b}(B^{−})

(im Beweis von Lemma 10.2 wurde Q_{m}^{∗} ≠ 0 gezeigt) ein stetiges Linksinverses der Operatornorm |Q_{m}^{∗}|_{a}(r)^{−1} besitzt. Wie im Beweis von Bemerkung 10.1 genügt es, ein stetiges Linksinverses der Operatornorm ≤ |Q_{m}^{∗}|_{a}(r)^{−1} zu konstruieren. Da K algebraisch abgeschlossen ist, können wir Q_{m}^{∗} in Linearfaktoren zerlegen, und es genügt einen Multiplikationsoperator der Form

A^{b}(B^{−}) ⟶^{(x−b)·} A^{b}(B^{−})

zu betrachten. Im Falle b ∉ B^{−} liegt wegen Lemma 12.2 ein topologischer Isomorphismus vor, und die inverse Abbildung leistet das Gewünschte. Sei also |b − a| < r. Durch Verschiebung des Entwicklungspunktes können wir dann jede Funktion f ∈ A^{b}(B^{−}) entwickeln in

f(x) = ∑_{n≥0} a_{n}(x − b)^{n}

mit sup_{n≥0} |a_{n}|r^{n} < ∞. Die Abbildung

\begin{aligned}ι_{b} : & A^{b}(B^{−}) & ⟶ & A^{b}(B^{−}) \\ & f(x) = ∑_{n≥0} a_{n}(x − b)^{n} & ⟼ & ∑_{n≥1} a_{n}(x − b)^{n−1} = \frac{f(x) − f(b)}{x − b} \end{aligned}

ist offensichtlich ein stetiges Linksinverses mit

∥ι_{b}(f)∥_{r} = \frac{∥f − f(b)∥_{r}}{∥x − b∥_{r}} ≤ |x − b|_{a}(r)^{−1} · ∥f∥_{r} .

Also können wir Satz 8.7 in der Tat anwenden und erhalten, daß

D_{m} = \frac{P^{m} · (P^{−1}D)^{m}}{m!} = \frac{P^{m} · (P^{−1}D)^{m−1} · P^{−1}}{m!} ∘ D

und damit auch D ein stetiges Linksinverses besitzt. Bevor wir dies ausnutzen, gehen wir aber zu einem generischen Punkt (L, y) von B über (also insbesondere B_{r}(a)(L) = B_{r}(y)(L)) und wenden obige Überlegungen auf D als Operator auf

(A^{b}(B_{r}^{−}(y)(L)), ∥ ∥_{r})

an. Da P keine Nullstellen in B_{r}^{−}(y)(L) besitzt, ist es nach Lemma 12.2 invertierbar in A^{b}(B_{r}^{−}(y)(L)). Also ist der Operator P^{−1}D wohldefiniert. Mit D besitzt auch P^{−1}D ein stetiges Linksinverses. Bezeichne D̃ ein letzteres und sei δ := ∥D̃∥^{−1}. Unter unserer Voraussetzung folgt

∥P^{−1}D_{P,Q} − S^{−1}D_{S,T} ∥ = |\frac{Q}{P} − \frac{T}{S} |_{y}(r) = |\frac{Q}{P} − \frac{T}{S} |_{a}(r) < δ = ∥D̃∥^{−1}

in der Operatornorm auf A^{b}(B_{r}^{−}(y)(L)). Wiederum können wir jetzt Satz 8.7 anwenden und erhalten, daß S^{−1}D_{S,T} ein Linksinverses besitzt. Insbesondere ist S^{−1}D_{S,T} und damit auch D_{S,T} injektiv auf A^{b}(B_{r}^{−}(y)(L)). Mit Satz 12.3 (für L als Grundkörper) folgt daraus ρ_{a}(D_{S,T} , r) < r.

Bemerkung 13.2: Zu endlich vielen gegebenen Punkten x_{1}, … x_{ℓ} ∈ B existiert ein b ∈ B( ˆ\overline{K}), so daß x_{1}, …, x_{ℓ} ∉ B_{r}^{−}(b)( ˆ\overline{K}). Beweis: Sei c ∈ K mit |c| = r. Mittels der Transformation x ⟼ \frac{x−a}{c} reduziert sich die Behauptung auf den Spezialfall a = 0 und r = 1. Da der Restklassenkörper \overline{k} von ˆ \overline{K} unendlich ist, finden wir ein b ∈ B( ˆ\overline{K}), dessen Restklasse in \overline{k} verschieden ist von den Restklassen der x_{1}, …, x_{ℓ}.

Satz 13.3: Ist K p-adisch, so sind äquivalent: i. ρ_{a}(D, r) = r; ii. es existiert eine Folge \{u_{n}\}_{n∈ℕ} in ˆ \overline{K}(X) mit lim_{n⟶∞} |\frac{Q}{P} − \frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a}(r) = 0. Beweis: Wir können K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Zunächst gelte ii. Sei u_{n} = \frac{T_{n}}{S_{n}} und damit \frac{u′_{n}}{u_{n}} = \frac{T′_{n}}{T_{n}} − \frac{S′_{n}}{S_{n}} = \frac{T′_{n}S_{n}−T_{n}S′_{n}}{S_{n}T_{n}}. Weiter sei (L, y) ein generischer Punkt von B. Dann ist u_{n} ∈ A(B_{r}^{−}(y)(L)) eine Lösung von D^{(n)}(u) = 0 für D^{(n)} := D_{S_{n},T_{n},T′_{n}S_{n}−T_{n}S′_{n}}. Aus Satz 9.8 (für L als Grundkörper) folgt also ρ_{a}(D^{(n)}, r) = ρ_{y}(D^{(n)}, r) = r für alle n ∈ ℕ. Wegen Lemma 13.1 muß dann auch ρ_{a}(D, r) = r gelten. Nun nehmen wir umgekehrt i. an. Wegen Bemerkung 13.2 finden wir ein b ∈ B, so daß P keine Nullstellen und damit alle R_{i}^{∗} keine Pole in B_{r}^{−}(b) haben. Nach Satz 9.10 und Lemma 9.11 gilt

|R_{i}^{∗}|_{b}(r)r^{i} = |R_{i}^{∗}|_{a}(r)r^{i} ≤ 1 für alle i ∈ ℕ .

Wir definieren

u_{n} := ∑_{i=0}^{n}(b − .)^{i}R_{i}^{∗} ∈ K(X) .

Aus der Relation

(i + 1)R_{i+1}^{∗} = (R_{i}^{∗})′ + R_{i}^{∗}R_{1}^{∗}

folgt

\begin{aligned}R_{1}^{∗}u_{n} + un^{′} & = & ∑_{i=0}^{n}(b − .)^{i}(R_{1}^{∗}R_{i}^{∗} + (R_{i}^{∗})′) − ∑_{i=1}^{n} i(b − .)^{i−1}R_{i}^{∗} \\ & = & (n + 1)(b − .)^{n}R_{n+1}^{∗} \end{aligned}

und damit

|u_{n}|_{b}(r) · | − \frac{Q}{P} + \frac{un^{′}}{u_{n}} |_{b}(r) = |n + 1||R_{n+1}^{∗}|_{b}(r)r^{n} ≤ \frac{|n + 1|}{r} .

Nun ist sicherlich

|u_{n}|_{b}(r) ≤ max_{i} |R_{i}^{∗}|_{b}(r)r^{i} ≤ 1

und

u_{n}(b) = R_{0}^{∗}(b) = 1 .

Da u_{n} keinen Pol in B_{r}^{−}(b) besitzt, muß also |u_{n}|_{b}(r) = 1 gelten (vergleiche den Beweis von Lemma 9.5). Somit erhalten wir

|\frac{Q}{P} − \frac{un^{′}}{u_{n}} |_{a}(r) = |\frac{Q}{P} − \frac{un^{′}}{u_{n}} |_{b}(r) ≤ \frac{|n + 1|}{r} .

Die Teilfolge {u_{p^{j}−1}}_{j∈ℕ} erfüllt ii.

Bevor wir dieses Resultat ausnutzen können, müssen wir ein paar Dinge über rationale Funktionen bereit stellen. Sei K jetzt algebraisch abgeschlossen. Die rationale Funktion 0 ≠ R ∈ K(X) habe die Pole a_{1}, …, a_{ℓ} ∈ K mit den Multiplizitäten m_{1}, …, m_{ℓ} > 0. Nach dem Satz von der Partialbruchzerlegung existiert eine eindeutig bestimmte Darstellung der Form

R = λ + R_{∞} + ∑_{j=1}^{ℓ} ∑_{i=1}^{m_{j}} c_{ij}(X − a_{j})^{−i}

mit λ ∈ K, R_{∞} ∈ XK[X] und c_{ij} ∈ K. Wir setzen

R_{a_{j}} := ∑_{i=1}^{m_{j}} c_{ij}(X − a_{j})^{−i} und res_{a_{j}}(R) := c_{1j} .

Für den affinoiden Ball B^{−} = B_{r}^{−}(a) definieren wir ferner

res_{B^{−}}(R) := ∑_{a_{j}∈B^{−}} res_{a_{j}}(R) .

Bemerkung 13.4: res_{B^{−}}(\frac{R′}{R}) ∈ ℤ. Beweis: Schreiben wir R = b · ∏_{k}(X − b_{k})^{n_{k}} mit b, b_{k} ∈ K und n_{k} ∈ ℤ\{0}, so gilt

\frac{R′}{R} = ∑_{k} n_{k}(X − b_{k})^{−1}

und damit res_{B^{−}}(\frac{R′}{R}) = ∑_{b_{k}∈B^{−}} n_{k} ∈ ℤ.

Wir fassen nun in obiger Partialbruchzerlegung die Terme

\begin{aligned}R_{B^{−}} & := & ∑_{a_{j}∈B^{−}} R_{a_{j}} , \\ R̃_{B^{−}} & := & (R_{∞} − R_{∞}(a)) + ∑_{a_{j}∉B^{−}} (R_{a_{j}} − R_{a_{j}}(a)) , \\ μ & := & λ + ∑_{a_{j}∉B^{−}} R_{a_{j}}(a) \end{aligned}

zusammen und erhalten die Zerlegung

R = μ + R_{B^{−}} + R̃_{B^{−}} mit R_{B^{−}}(∞) = 0 und R̃_{B^{−}}(a) = 0 .

Lemma 13.5: |R|_{a}(r) = max(|μ|, |R_{B^{−}}|_{a}(r), |R̃_{B^{−}}|_{a}(r)). Beweis: Die obige Zerlegung ändert sich nicht, wenn wir B^{−} durch B_{r′}^{−}(a) ersetzen, so lange r′ < r genügend nahe bei r ist. Da beide Seiten in der Behauptung stetige Funktionen in r sind (Satz 7.3), genügt es also, die analoge Behauptung für B_{r′}^{−}(a) zu beweisen. Auf diese Weise können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit zusätzlich annehmen, daß alle Pole |a_{j}| ≠ r erfüllen. Ist c ∈ K^{×} mit |c| = r, so läßt sich der Fall B_{r}^{−}(a) durch die Variablensubstitution cX + a auf den Fall B_{1}^{−}(0) zurückführen. Im Folgenden nehmen wir also a = 0, r = 1 und |a_{j}| ≠ 1 an. Trivialerweise gilt

|R|_{0}(1) ≤ max(|μ|, |R_{B^{−}}|_{0}(1), |R̃_{B^{−}}|_{0}(1)) .

Im Falle, daß |R_{B^{−}}|_{0}(1) und |R̃_{B^{−}}|_{0}(1) beide < |μ| sind, ist auch die umgekehrte Ungleichung trivial.

1. Fall: Es gelte

|R_{B^{−}}|_{0}(1) ≥ max(|μ|, |R̃_{B^{−}}|_{0}(1)) .

Durch Skalierung von R können wir |R_{B^{−}}|_{0}(1) = 1 annehmen. Zu zeigen ist dann, daß |R|_{0}(1) = 1 gilt. In dieser Situation können wir aber alle beteiligten rationalen Funktionen modulo 𝔪 reduzieren zu rationalen Funktionen in k(X) über dem Restklassenkörper k von K. In k(X) erhalten wir die Zerlegung

R mod 𝔪 = (μ mod 𝔪) + (R_{B^{−}} mod 𝔪) + (R̃_{B^{−}} mod 𝔪) .

Ersichtlich hat R_{B^{−}} mod 𝔪 nur in 0 ∈ k einen Pol, während R̃_{B^{−}} mod 𝔪 da gerade keinen Pol besitzt (im Hauptnenner von R̃_{B^{−}} hat der konstante Koeffizient maximalen Betrag). Also ist R mod 𝔪 ≠ 0, d. h. |R|_{0}(1) = 1, falls R_{B^{−}} mod 𝔪 ≠ 0 gilt. Letzteres ist aber wegen |R_{B^{−}}|_{0}(1) = 1 der Fall.

2. Fall: Es gelte

|R̃_{B^{−}}|_{0}(1) ≥ max(|μ|, |R_{B^{−}}|_{0}(1)) .

Wir setzen Q := R(X^{−1}). Wegen Q_{B^{−}}(X) = R̃_{B^{−}}(X^{−1}) und Q̃_{B^{−}}(X) = R_{B^{−}}(X^{−1}) ist dieser Fall äquivalent zum ersten Fall für die rationale Funktion Q.

Lemma 13.6: |res_{B^{−}}(R)| ≤ r · |R|_{a}(r) . Beweis: Sei c ∈ K^{×} mit |c| = r. Es gilt

|R|_{a}(r) = |R(cX + a)|_{0}(1) und res_{B^{−}}(R) = c · res_{B_{1}^{−}(0)}(R(cX + a)) .

Also brauchen wir nur den Fall a = 0 und r = 1 zu betrachten. Wegen Lemma 13.5 genügt es |res_{B^{−}}(R)| ≤ |R_{B^{−}}|_{0}(1) zu zeigen. Mit J := {j : a_{j} ∈ B^{−}} und e := ∑_{j∈J} m_{j}

gilt

R_{B^{−}} = \frac{(∑_{j∈J} c_{1j}) X^{e−1} + …}{∏_{j∈J}(X − a_{j})^{m_{j}}} .

Wegen |a_{j}| < 1 für alle j ∈ J ist |Nenner|_{0}(1) = 1. Also ergibt sich

|res_{B^{−}}(R)| = | ∑_{j∈J} c_{1j}| ≤ |Zähler|_{0}(1) = |R_{B−}|_{0}(1) .

Ist K nicht algebraisch abgeschlossen, so ist jedenfalls res_{B^{−}}(R) ∈ ˆ \overline{K} definiert. Man prüft nach, daß in der Tat res_{B^{−}}(R) ∈ K gilt.

Corollar 13.7: Sei K p-adisch; gilt ρ_{a}(D, r) = r, so ist res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}) ∈ ℤ_{p}.

Beweis: Nach Satz 13.3 finden wir eine Folge \{u_{n}\}_{n∈ℕ} in ˆ \overline{K}(X) mit lim_{n⟶∞} |\frac{Q}{P} −

\frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a}(r) = 0. Aus Lemma 13.6 folgt dann

res_{B^{−}} (\frac{Q}{P}) = lim_{n⟶∞} res_{B^{−}} (\frac{u′_{n}}{u_{n}} ) .

Wegen Bemerkung 13.2 liegt die rechte Seite im Abschluß von ℤ in K, also in ℤ_{p}.

Satz 13.8: Sei K p-adisch, und sei α ∈ K; für den Differentialoperator D = D_{X−a,α} sind äquivalent: i. ρ_{a}(D, r) = r; ii. α ∈ ℤ_{p}. Beweis: Die Implikation von i. nach ii. ist ein Spezialfall von Corollar 13.7. Umgekehrt sei α ∈ ℤ_{p}. Dann finden wir ein Folge {m_{n}}_{n∈ℕ} in ℤ mit lim_{n⟶∞} m_{n} = α. Für

u_{n} := (X − a)^{m_{n}} gilt ersichtlich \frac{u′_{n}}{u_{n}} = \frac{m_{n}}{X−a} und damit

lim_{n⟶∞} |\frac{α}{X − a} − \frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a} (r) = 0 .

Also folgt i. aus Satz 13.3.

Von jetzt an sei K stets p-adisch! Wann ist der Differentialoperator D_{X−a,α} auf A(B) ein Fredholmoperator? Wegen Satz 13.8 und Lemma 10.2 ist das sicherlich der Fall für α ∉ ℤ_{p}. Zu jedem α ∈ K definieren wir

λ(α) := \underline{lim}_{n⟶∞} |α − n|^{\frac{1}{n}} .

Wegen |α − n| ≤ max(|α|, 1) gilt stets

λ(α) ≤ 1 .

Da ℤ_{p} kompakt ist, gilt für α ∉ ℤ_{p} sicherlich inf_{n∈ℕ}|α − n| > 0 und damit

λ(α) = 1 .

Definition: Ein α ∈ ℤ_{p} mit λ(α) < 1 heißt Liouville-Zahl.

Satz 13.9: Sei K p-adisch, und sei α ∈ K; für den Differentialoperator D = D_{X−a,α} sind äquivalent: i. D|A(B^{−}) ist ein Fredholmoperator; ii. λ(α) = 1 . Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt

ind(D|A(B^{−})) = 0 .

Beweis: Seien f(x) = ∑_{n≥0} a_{n}(x − a)^{n} und g(x) = ∑_{n≥0} b_{n}(x − a)^{n} in K[[x − a]] mit

D(f) = g. Also ist

∑_{n≥0}(n − α)a_{n}(x − a)^{n} = ∑_{n≥0} b_{n}(x − a)^{n} ,

d. h.

a_{n} = \frac{b_{n}}{n − α} für alle n ≠ −α .

Für die Konvergenzradien ergibt sich die Ungleichung

ε_{f} ≥ λ(α)ε_{g} .

Es gelte nun zunächst λ(α) = 1. Dann liegt also mit g auch f in A(B^{−}). Ist α ∉ ℤ_{≤0}, so bedeutet dies die Bijektivität von D. ist α = −n_{0} ∈ ℤ_{≤0}, so ist

ker(D|A(B^{−})) = K · (x − a)^{n_{0}}

und

\begin{matrix}A(B^{−})/D(A(B^{−})) & ⟶^{≅} & K \\ ∑_{n≥0} b_{n}(x − a)^{n} & ⟼ & b_{n_{0}} . \end{matrix}

Jetzt nehmen wir λ(α) < 1 an und müssen unendlich viele Funktionen g_{i} ∈ A(B^{−}) konstruieren, welche modulo D(A(B^{−})) linear unabhängig sind. Dazu fixieren wir ein ε ∈ ℝ mit λ(α) < ε < 1 und ein c ∈ K^{×} mit |c| = r. Nach Annahme ist die Menge

N := \{n ≥ 0 : 0 < |n − α|^{\frac{1}{n}} < ε\}

unendlich. Wir schreiben N als unendliche disjunkte Vereinigung

N = ⋃_{i∈I}^{·} N_{i}

von unendlichen Teilmengen N_{i} und setzen

g_{i}(x) := ∑_{n∈N_{i}} c^{−n}(x − a)^{n} .

Offensichtlich ist g_{i} ∈ A^{b}(B^{−}). Seien i_{1}, …, i_{ℓ} ∈ I und λ_{1}, …, λ_{ℓ} ∈ K^{×} mit

λ_{1}g_{i_{1}} + … + λ_{ℓ}g_{i_{ℓ}} = D(f)

für ein f(x) = ∑_{n≥0} a_{n}(x − a)^{n} in A(B^{−}). Dann gilt insbesondere

(n − α)a_{n} = λ_{1}c^{−n}

und

|a_{n}|^{\frac{1}{n}} = \frac{|λ_{1}|^{\frac{1}{n}}}{r · |n − α|^{\frac{1}{n}}} > \frac{|λ_{1}|^{\frac{1}{n}}}{rε}

für alle n ∈ N_{i_{1}}. Es ergibt sich der Widerspruch

\frac{1}{r} ≥ ε_{f}^{−1} = \overline{lim}_{n⟶∞} |a_{n}|^{\frac{1}{n}} ≥ \frac{1}{rε} > \frac{1}{r} .

Lemma 13.10: Sei K p-adisch, und seien \frac{Q_{1}}{P_{1}} = (\frac{Q}{P})_{B^{−}} und \frac{Q_{2}}{P_{2}} = \frac{Q}{P} − \frac{Q_{1}}{P_{1}} ; gilt ρ_{a}(D, r) = r, so auch ρ_{a}(D_{P_{1},Q_{1}}, r) = ρ_{a}(D_{P_{2},Q_{2}}, r) = r. Beweis: (Übrigens gilt in jedem Falle (\frac{Q}{P})_{B^{−}} ∈ K(X).) Nach Satz 13.3 haben wir

eine Folge \{u_{n}\}_{n∈ℕ} in ˆ \overline{K}(X) mit

lim_{n⟶∞} |\frac{Q}{P} − \frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a}(r) = 0 .

Wir zerlegen jedes u_{n} = v_{n}w_{n} in ein Produkt von rationalen Funktionen v_{n}, w_{n} ∈ ˆ\overline{K}(X), so daß:

- Alle Nullstellen und Pole von v_{n} liegen in B^{−}( ˆ\overline{K});

- w_{n} hat keine Nullstellen und Pole in B^{−}( ˆ\overline{K}). Dann ist

\frac{v′_{n}}{v_{n}} = (\frac{u′_{n}}{u_{n}} )_{B^{−}} und \frac{w′_{n}}{w_{n}} = \frac{u′_{n}}{u_{n}} − (\frac{u′_{n}}{u_{n}} )_{B^{−}} .

Lemma 13.5 besagt deswegen, daß

max (|\frac{Q_{1}}{P_{1}} − \frac{v′_{n}}{v_{n}} |_{a}(r), |\frac{Q_{2}}{P_{2}} − \frac{w′_{n}}{w_{n}} |_{a}(r)) = |\frac{Q}{P} − \frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a}(r) .

Also folgt die Behauptung aus Satz 13.3.

Satz 13.11: Sei K p-adisch; für den Differentialoperator D = D_{P,Q} gelte ρ_{a}(D, r) = r; außerdem besitze P genau eine Nullstelle c ∈ B^{−}( ˆ\overline{K}), und diese sei einfach; dann sind äquivalent: i. D|A(B^{−}) ist ein Fredholmoperator; ii. res_{c}(\frac{Q}{P}) ist keine Liouville-Zahl. Sind diese Bedingungen erfüllt, so gilt

ind(D|A(B^{−})) = 0 .

Beweis: Notwendigerweise gilt c ∈ B^{−}, und wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit c = a annehmen. Sei α := res_{a}(\frac{Q}{P}) ∈ K. Dann ist

(\frac{Q}{P})_{B^{−}} = \frac{α}{X − a} .

Nach Lemma 13.10 gilt also

ρ_{a}(D_{X−a,α}, r) = ρ_{a}(D_{P_{2},Q_{2}}, r) = r ,

wobei

\frac{Q_{2}}{P_{2}} = \frac{Q}{P} − \frac{α}{X − a} .

Die Bedinung ii. ist wegen Satz 13.9 dazu äquivalent, daß D_{X−a,α}|A(B^{−}) ein Fredholmoperator mit Index 0 ist. Andererseits kann auf Grund unserer Voraussetzungen P_{2} ohne Nullstellen in B^{−}( ˆ\overline{K}) gewählt werden. Nach Satz 9.9 existiert dann ein v ∈ A(B^{−})^{×} mit D_{P_{2},Q_{2}}(v) = 0. Man prüft nach, daß das Diagramm

\xymatrix{A(B^{−}) \ar[d]^{≅}_{v·} \ar[r]^{D_{X−a,α}} & A(B^{−}) \ar[d]^{\frac{P}{X−a} v·}_{≅} \\ A(B^{−}) \ar[r]_{D_{P,Q}} & A(B^{−})}

kommutativ ist.

Übungsaufgabe: Es gelte ρ_{a}(D, r) = r; besitzt das Polynom P keine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}), so ist D|A(B^{−}) ein Fredholmoperator mit Index 1.

Der in Satz 13.11 betrachtete Spezialfall ist nicht so weit von dem allgemeinen Fall “ρ_{a}(D, r) = r” entfernt, wie man auf den ersten Blick denken mag. In der folgenden Diskussion nehmen wir an, daß ρ_{a}(D, r) = r gilt. Wir schreiben

(\frac{Q}{P})_{B^{−}} = \frac{Q_{1}}{P_{1}} ,

wobei alle Nullstellen von P_{1} in B^{−}( ˆ\overline{K}) liegen mögen. Nach Lemma 13.10 gilt ρ_{a}(D_{P_{1},Q_{1}}, r) = r. Wegen Corollar 13.7 haben wir ferner

α := res_{B^{−}} (\frac{Q}{P}) = res_{B^{−}} (\frac{Q_{1}}{P_{1}} ) ∈ ℤ_{p} .

Einerseits existiert also nach Satz 13.3 eine Folge \{v_{n}\}_{n} in ˆ \overline{K}(X) mit lim_{n⟶∞} |\frac{Q_{1}}{P_{1}} −

\frac{v′_{n}}{v_{n}} |_{a}(r) = 0. Andererseits finden wir wie im Beweis von Satz 13.8 eine Folge \{u_{n}\}_{n}

in K(X) mit lim_{n⟶∞} |\frac{α}{x−a}| − \frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a}(r) = 0. Für \frac{Q_{2}}{P_{2}} := \frac{Q_{1}}{P_{1}} − \frac{α}{X−a} ist also lim_{n⟶∞} |\frac{Q_{2}}{P_{2}} −

\frac{(v_{n}/u_{n})′}{v_{n}/u_{n}} |_{a}(r) = 0, und wir können wieder mit Satz 13.3 schließen, daß auch

ρ_{a}(D_{P_{2},Q_{2}}, r) = r

gilt. Genauer setzen wir P_{2}(X) := (X − a)P_{1}(X) und Q_{2}(X) := (X − a)Q_{1}(X) − αP_{1}(X). Man beachte, daß nicht nur alle Nullstellen von P_{2} in B^{−}( ˆ\overline{K}) liegen, sondern daß wegen deg(Q_{1}) < deg(P_{1}) auch

lim_{x⟶∞} \frac{Q_{2}(x)}{P_{2}(x)} = 0

gilt. Dies besagt sozusagen, daß die rationale Funktione \frac{Q_{2}}{P_{2}} keine Pole in dem “affinoiden Ball”

B_{\frac{1}{r}} (∞_{a})( ˆ\overline{K}) := \{x ∈ ˆ \overline{K} : |x − a| ≥ r\} ∪ \{∞\}

besitzt. Wir formalisieren diese Feststellung, in dem wir die Bijektion

\begin{matrix}B_{\frac{1}{r}} (∞_{a})( ˆ\overline{K}) & ⟶^{∼} & B_{\frac{1}{r}} (0)( ˆ\overline{K}) \\ x & ⟼ & \frac{1}{x − a} \end{matrix}

betrachten und definieren

A_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) := \{f (\frac{1}{x − a}) : f ∈ A_{\frac{1}{r}} (0)\} .

Der Ableitung \frac{d}{dx} auf A_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) entspricht unter dem Isomorphismus

\begin{matrix}A_{\frac{1}{r}} (0) & ⟶^{≅} & A_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) \\ f(x) & ⟼ & f (\frac{1}{x − a}) \end{matrix}

der Operator f(x) ⟼ −x^{2} \frac{df}{dx}. Wie im Beweis von Lemma 13.6 diskutiert wurde, können wir die führenden Koeffizienten der Polynome P_{1} und Q_{1} als

P_{1}(X) = X^{d} + … und Q_{1}(X) = αX^{d−1} + …

voraussetzen. Dann sind

S(X) := −X^{d+1}P_{1} (\frac{1}{X} + a)

und

T (X) := −X^{d−1}Q_{1} (\frac{1}{X} + a) + αX^{d}P_{1} (\frac{1}{X} + a)

Polynome; dabei besitzt S genau eine Nullstelle in B_{\frac{1}{r}} (0)( ˆ\overline{K}), nämlich eine einfache Nullstelle in X = 0, und T besitzt ebenfalls eine Nullstelle bei X = 0. Folglich hat die rationale Funktion

\frac{T}{S} (X) := \frac{Q_{1} (\frac{1}{X} + a)}{X^{2}P_{1} (\frac{1}{X} + a)} − \frac{α}{X} = \frac{1}{X^{2}} · (\frac{Q_{2}}{P_{2}} ) (\frac{1}{X} + a)

keine Pole in B_{\frac{1}{r}} (0)( ˆ\overline{K}). Ist \{u_{n}\}_{n} eine Folge in ˆ \overline{K}(X) mit lim_{n⟶∞} |\frac{Q_{2}}{P_{2}} − \frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a}(r) = 0,

so setzen wir v_{n}(X) := _{\frac{1}{u_{n}(\frac{1}{X} +a)}} und erhalten

\frac{v′_{n}}{v_{n}} (X) = \frac{1}{X^{2}} · (\frac{u′_{n}}{u_{n}} ) (\frac{1}{X} + a)

und somit

lim_{n⟶∞} |\frac{T}{S} − \frac{v′_{n}}{v_{n}} |_{0} (\frac{1}{r}) = r^{2} · lim_{n⟶∞} |\frac{Q_{2}}{P_{2}} − \frac{u′_{n}}{u_{n}} |_{a}(r) = 0 .

Nach Satz 13.3 gilt folglich

ρ_{0} (D_{S,T} , \frac{1}{r}) = \frac{1}{r} .

Damit können wir Satz 9.9 anwenden und erhalten die Existenz einer Funktion v ∈ A(B−_{\frac{1}{r}}(0))^{×} mit D_{X^{−1}S,X^{−1}T} (v) = 0, d. h. \frac{v′}{v} = \frac{T}{S}. Definieren wir

A(B−_{\frac{1}{r}}(∞_{a})) := \{f (\frac{1}{x − a}) : f ∈ A(B−_{\frac{1}{r}}(0))\} ,

so liegt u(x) := v(\frac{1}{x−a}) in A(B−_{\frac{1}{r}}(∞_{a}))^{×} und erfüllt

\frac{u′}{u} (x) = −\frac{1}{(x − a)^{2}} · (\frac{v′}{v} ) (\frac{1}{x − a}) = − (\frac{Q_{2}}{P_{2}} ) (x) = −\frac{Q_{1}}{P_{1}} (x) + \frac{α}{x − a}

und damit

\frac{Q}{P} + \frac{u′}{u} = \frac{Q}{P} − \frac{Q_{1}}{P_{1}} + \frac{α}{x − a} .

Wir fassen zusammen.

Bemerkung 13.12: Gilt ρ_{a}(D, r) = r, so existiert ein u ∈ A(B−_{\frac{1}{r}}(∞_{a}))^{×} mit:

– R := \frac{Q}{P} + \frac{u′}{u} ∈ K(X);

– der Nenner von R besitzt keine oder genau eine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}), nämlich a, und diese ist dann einfach;

– res_{B^{−}}(R) = res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}) ∈ ℤ_{p}.

Wirklich brauchbar wird diese Beobachtung erst nach einer Verschärfung der Voraussetzung. Um das Ergebnis zu formulieren zu können, benötigen wir den Raum der überkonvergenten Funktionen

A^{†}(B) := A_{r}^{†}(a) := ⋃_{ε>r} A_{ε}(a) .

Dies ist ein Unterring von A(B), welcher isomorph ist zum Ring aller Potenzreihen in x − a, welche ε-konvergent sind für ein ε > r bzw. deren Konvergenzradius > r ist. Außerdem definieren wir

A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) := \{f (\frac{1}{x − a}) : f ∈ A†_{\frac{1}{r}} (0)\} .

Satz 13.13: Sei K p-adisch; es existiere ein 0 < ε_{0} < r, so daß ρ_{a}(D, ε) = ε gilt für alle ε_{0} ≤ ε ≤ r; dann gibt es ein u ∈ A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×} mit:

i. R := \frac{Q}{P} + \frac{u′}{u} ∈ K(X);

ii. der Nenner von R besitzt keine oder genau eine Nullstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}), nämlich a, und diese ist dann einfach; iii. res_{B^{−}}(R) = res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}) ∈ ℤ_{p} .

Beweis: Die Funktion v ∈ A(B−_{\frac{1}{r}}(0))^{×} aus obiger Diskussion ist bis auf skalare Vielfache eindeutig bestimmt. Es genügt zu zeigen, daß v in A(B_{δ}(0))^{×} liegt für ein δ > \frac{1}{r}. Dazu können wir K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Dann finden wir ein r_{0} ∈ |K^{×}| mit ε_{0} ≤ r_{0} < r und so, daß P keine Nullstellen in \{x ∈ ˆ \overline{K} : r_{0} ≤ |x − a| < r\} besitzt. Nun wiederhole man obige Diskussion für r_{0} statt r (wobei sich α und \frac{Q_{1}}{P_{1}} nicht ändern). Wir erhalten v ∈ A(B−_{\frac{1}{r_{0}}} (0))^{×}.

Wir führen folgende Redeweisen ein.

Definition: i. Zwei rationale Funktionen R und R̃ in K(X) heißen (a, r)-äquiva-lent, falls ein u ∈ A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×} existiert mit R̃ − R = \frac{u′}{u}. ii. Der Differentialoperator D_{P,Q} heißt (a, r)-singulär-regulär, falls gilt:

- ρ_{a}(D_{P,Q}, r) = r;

- \frac{Q}{P} ist (a, r)-äquivalent zu einer rationalen Funktion in K(X), welche keine oder

genau eine Polstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}) besitzt, die dann außerdem einfach ist.

Wegen \frac{(uv)′}{uv} = \frac{u′}{u} + \frac{v′}{v} ist die (a, r)-Äquivalenz wirklich eine Äquivalenzrelation.

Lemma 13.14: Für \frac{Q}{P} und \frac{Q_{1}}{P_{1}} in K(X) gilt:

1. Ist \frac{Q_{1}}{P_{1}} − \frac{Q}{P} = \frac{v′}{v} für ein v ∈ A(B^{−})^{×}, so ist

ρ_{a}(D_{P_{1},Q_{1}}, ε) = ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) für alle 0 ≤ ε ≤ r ;

ii. ist \frac{Q_{1}}{P_{1}} − \frac{Q}{P} = \frac{v′}{v} für ein v ∈ A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×}, so existiert ein 0 < ε_{0} < r mit

ρ_{a}(D_{P_{1},Q_{1}}, ε) = ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) für alle ε_{0} ≤ ε ≤ r .

Beweis: Wir wählen 0 ≤ ε_{0} < r so, daß v^{±1} auf \{x ∈ ˆ \overline{K} : ε_{0} ≤ |x−a| < r\} konvergieren. Wegen der Stetigkeit von ρ_{a} in ε (Satz 9.4) brauchen wir die behauptete Gleichheit nur für ε_{0} < ε < r zu zeigen. Sei (L, y) ein generischer Punkt von B_{ε}(a). Wegen |y − a| = ε ist B_{ε}^{−}(y) ⊆ {x ∈ L : ε_{0} ≤ |x − a| < r} und damit v ∈ A(B_{ε}^{−}(y)(L))^{×}. Seien u_{y} bzw. u_{1,y} die Lösungen von D_{P,Q}(u) = 0 bzw. D_{P_{1},Q_{1}}(u) = 0 aus Lemma 9.2. Also

\frac{u′_{1,y}}{u_{1,y}} = \frac{Q_{1}}{P_{1}} = \frac{Q}{P} + \frac{v′}{v} = \frac{u′_{y}}{u_{y}} + \frac{v′}{v} = \frac{(u_{y}v)′}{u_{y}v}

und damit cu_{1,y} = u_{y}v mit einem geeigneten Skalar c ∈ K^{×}. Daraus folgt sofort

min(ε, ε(D_{P_{1},Q_{1}}, y)) = min(ε, ε(D_{P,Q}, y))

und mit Lemma 9.7 die Behauptung.

Lemma 13.15: Sei K p-adisch; der Differentialoperator D_{P,Q} sei (a, r)-singulär-regulär; die rationale Funktion \frac{Q}{P} ist dann (a, r)-äquivalent zu einer rationalen Funk-

tion in K(X), für welche a die einzige eventuelle Polstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}) ist, und welche dann zudem einfach ist. Beweis: Auf Grund der Voraussetzung und Lemma 13.14.ii können wir annehmen, daß

(\frac{Q}{P})_{B^{−}} = \frac{α}{X − c}

gilt für ein c ∈ B^{−}. Nach Corollar 13.7 ist α = res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}) ∈ ℤ_{p}. Da ℤ dicht in ℤ_{p} ist, liegen die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten

\binom{α}{i} := \frac{α(α − 1) … (α − i + 1)}{i!}

für i ≥ 0 wiederum in ℤ_{p}. Also hat die Potenzreihe

(1 + x)^{α} := ∑_{i=0}^{∞} \binom{α}{i}x^{i}

den Konvergenzradius 1 und liegt in A(B_{1}^{−}(0))^{×}. Somit ist (1 + (a − c)x)^{α} ∈ A†_{\frac{1}{r}} (0)^{×} und

u(x) := (1 + (a − c)\frac{1}{x − a})^{α} = (\frac{x − c}{x − a})^{α} ∈ A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×} .

Wegen \frac{u′}{u} = \frac{α}{x−c} − \frac{α}{x−a} hat \frac{Q}{P} − \frac{u′}{u} höchstens einen (einfachen) Pol in a.

Satz 13.16: Sei K p-adisch; dann sind äquivalent: i. Es existiert ein 0 < ε_{0} < r, so daß ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) = ε für alle ε_{0} ≤ ε ≤ r; ii. D_{P,Q} ist (a, r)-singulär-regulär. Beweis: Die Implikation von i. nach ii. ist Satz 13.13. Sei also umgekehrt D_{P,Q} nun (a, r)-singulär-regulär. Nach Lemma 13.15 existiert ein u ∈ A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×}, so daß die

rationale Funktion \frac{Q_{1}}{P_{1}} := \frac{Q}{P} + \frac{u′}{u} als eventuelle einzige (einfache) Polstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}) den Punkt a besitzt. Aus Lemma 13.14.ii folgt einerseits

ρ_{a}(D_{P_{1},Q_{1}}, r) = ρ_{a}(D_{P,Q}, r) = r

und andererseits, daß es genügt, die Aussage i. für D_{P_{1},Q_{1}} statt D_{P,Q} zu beweisen. Sei α := res_{B^{−}}(\frac{Q_{1}}{P_{1}} ). Nach Corollar 13.7 gilt α ∈ ℤ_{p}. Im Beweis von Satz 13.11 bzw. in Satz 9.9 haben wir gesehen, daß ein v ∈ A(B^{−})^{×} existiert mit

D_{P_{2},Q_{2}}(v) = 0 für \frac{Q_{2}}{P_{2}} := \frac{Q_{1}}{P_{1}} − \frac{α}{X − a} .

Also ist

\frac{Q_{1}}{P_{1}} = \frac{α}{X − a} + \frac{v′}{v}

und Lemma 13.14.i reduziert uns auf den Beweis von i. für den Differentialoperator D_{X−a,α}. Wegen α ∈ ℤ_{p} ist Letzteres aber in Satz 13.8 enthalten.

Bemerkung 13.17: Sei K p-adisch, und sei 0 < r_{0} < r mit r_{0} ∈ | ˆ\overline{K}|; es gelte ρ_{a}(D_{P,Q}, r_{0}) = r_{0} und ρ_{a}(D_{P,Q}, r) = r; besitzt \frac{Q}{P} keine Pole in \{x ∈ ˆ \overline{K} : r_{0} ≤ |x − a| < r}, so ist

ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) = ε für alle r_{0} ≤ ε ≤ r .

Beweis: Wir können K als algebraisch abgeschlossen annehmen. Wenn man den Beweis von Satz 13.13 nocheinmal durchgeht, sieht man, daß nur die gegenwärtigen Voraussetzungen benötigt wurden, um die Existenz eines u ∈ A(B−_{\frac{1}{r_{0}}} (∞_{a}))^{×} zu

zeigen, so daß \frac{Q_{1}}{P_{1}} := \frac{Q}{P} + \frac{u′}{u} eine rationale Funktion mit höchstens einer (einfachen)

Polstelle in B^{−}( ˆ\overline{K}) bei a ist. Unter Benutzung von Lemma 13.14.ii und der Stetigkeit von ρ_{a} folgt daraus

ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) = ρ_{a}(D_{P_{1},Q_{1}}, ε) für alle r_{0} ≤ ε ≤ r .

Nun kann man wie im zweiten Teil des Beweises von Satz 13.16 weiterargumentieren.

Auf A_{\frac{1}{r}} (0) haben wir die Norm ∥f∥_{\frac{1}{r}} = |f|_{0}(\frac{1}{r}) = max_{x∈\overline{K},|x|= \frac{1}{r}} |f(x)|. Dementsprechend

haben wir auf A_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) die Norm |f|_{a}(r) = max_{x∈\overline{K},|x−a|=r} |f(x)|. Die Polynome und also

erst recht die rationalen Funktionen ohne Pole in B_{\frac{1}{r}} (0)( ˆ\overline{K}) liegen dicht in dem Ba-

nachraum A_{\frac{1}{r}} (0). Folglich liegen die rationalen Funktionen ohne Pole in B_{\frac{1}{r}} (∞_{a})( ˆ\overline{K}) dicht in A_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) bezüglich | |_{a}(r).

Lemma 13.18: Sei R ∈ K(X); existiert ein u ∈ A_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×} mit R = \frac{u′}{u}, so gilt res_{B^{−}}(R) = 0. Beweis: Wir finden eine Folge \{u_{n}\}_{n} rationaler Funktionen ohne Pole in B_{\frac{1}{r}} (∞_{a})( ˆ\overline{K})

mit lim_{n⟶∞} |u − u_{n}|_{a}(r) = 0. Wegen Lemma 13.6 gilt res_{B^{−}}(R) = lim_{n⟶∞} res_{B^{−}}(\frac{u′_{n}}{u_{n}}).

Aus Bemerkung 13.4 wissen wir, daß res_{B^{−}}(\frac{u′_{n}}{u_{n}}) gleich der Differenz aus der Anzahl der Nullstellen und der Anzahl der Polstellen (jeweils mit Multiplizitäten) von u_{n} in B^{−}( ˆ\overline{K}) ist. Da eine rationale Funktion genauso viele Null- wie Polstellen in ˆ \overline{K} ∪ \{∞\} besitzt, folgt, daß −res_{B^{−}}(\frac{u′_{n}}{u_{n}}) gleich der Anzahl der Nullstellen von

u_{n} in B_{\frac{1}{r}} (∞_{a})( ˆ\overline{K}) ist. Für genügend großes n ist |u − u_{n}|_{a}(r) < |u|_{a}(r). Dann ist \frac{1}{1− \frac{u−un}{u}} = ∑_{i≥0}(\frac{u−u_{n}}{u})^{i} konvergent in A_{\frac{1}{r}} (∞_{a}). Somit ist 1 − \frac{u−u_{n}}{u} und damit auch

u_{n} = u − (u − u_{n}) = u(1 − \frac{u−u_{n}}{u}) eine Einheit in A_{\frac{1}{r}} (∞_{a}). Also folgt res_{B^{−}}(\frac{u′_{n}}{u_{n}}) = 0 für genügend großes n.

Corollar 13.19: Sind R, R̃ ∈ K(X) (a, r)-äquivalent, so gilt

res_{B^{−}}(R̃) = res_{B^{−}}(R) .

§14 Der Robba-Ring

Eine Laurentreihe (in einer Variablen) mit Koeffizienten in K ist eine formale Reihe

F (X) = ∑_{n∈ℤ}a_{n}X^{n} mit a_{n} ∈ K .

Sind 0 < δ ≤ ε, so heißt F (X) (δ, ε)-konvergent, falls

lim_{n⟶∞} |a_{−n}|δ^{−n} = lim_{n⟶∞} |a_{n}|ε^{n} = 0 .

Parallel dazu betrachten wir für ein a ∈ K und eine beliebige Erweiterung L von K den Kreisring

B_{δ,ε}(a)(L) := {x ∈ L : δ ≤ |x − a| ≤ ε} .

Für jede (δ, ε)-konvergente Laurentreihe F konvergiert die Funktion f(x) = F (x−a) auf B_{δ,ε}(a)(L). Den Vektorraum aller solchen Funktionen auf B_{δ,ε}(a) bezeichnen wir mit A_{δ,ε}(a). Dies ist ein Ring, welcher A_{ε}(a) und A_{\frac{1}{δ}} (∞_{a}) als Unterringe enthält. Für jedes δ ≤ ε′ ≤ ε ist

|f|_{a}(ε′) := max_{n∈ℤ}|a_{n}|ε^{′n}

eine Norm auf A_{δ,ε}(a) . Bezeichne B = B_{r}(a) weiterhin unseren affinoiden Ball mit zugehörigem affinoiden offenen Ball B^{−} = B_{r}^{−}(a). Der Robba-Ring von B^{−} ist der Ring

R(B^{−}) : = ⋃_{0<δ<r} ⋂_{δ≤ε<r} A_{δ,ε}(a)
= alle Laurentreihen in x − a, welche (δ, ε)-konvergent
sind für ein 0 < δ < r und alle δ ≤ ε < r .

Zu jedem einzelnen f ∈ R(B^{−}) existiert ein 0 < δ < r, so daß f auf {x ∈ L : δ ≤ |x − a| < r} konvergiert. Aber es gibt keinen Punkt, in dem alle Funktionen in R(B^{−}) konvergieren. Wie die Notation schon andeutet, ist R(B^{−}) unabhängig von der Wahl des Punktes a ∈ B^{−}. Ist nämlich b ∈ B^{−}, so gilt

A_{δ,ε}(b) = A_{δ,ε}(a) für |a − b| < δ ≤ ε .

Offensichtlich sind A(B^{−}) und A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) Unterringe von R(B^{−}). Aber wir haben auch die exakte Sequenz

0 ⟶ A(B^{−}) ⟶^{⊆} R(B^{−}) ⟶^{γ_{a}} \frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) ⟶ 0 ,

wobei

γ_{a} (∑_{n∈ℤ}a_{n}(x − a)^{n}) := ∑_{n<0} a_{n}(x − a)^{n}

natürlich kein Ringhomomorphismus ist.

Bemerkung 14.1: Jede rationale Funktion ≠ 0 in K(X) ist invertierbar in R(B^{−}). Beweis: Es genügt zu zeigen, daß jedes Polynom S ≠ 0 invertierbar in R(B^{−}) ist. Dazu zerlegen wir S = S_{0}S_{1} in ein Produkt von Polynomen S_{0} und S_{1} so, daß S_{0} bzw. S_{1} alle Nullstellen bzw. keine Nullstellen in B^{−}( ˆ\overline{K}) besitzt. Wir wissen schon (vgl. den Beweis von Satz 9.9), daß S_{1} invertierbar in A(B^{−}) ist. Andererseits hat das Polynom X^{deg(S_{0})}S_{0}(\frac{1}{X} + a) keine Nullstelle in B_{\frac{1}{r}} (0)( ˆ\overline{K}). Ein analoges Argument liefert daher, daß X^{deg(S_{0})}S_{0}(\frac{1}{X} + a) invertierbar in A†_{\frac{1}{r}} (0) ist. Folglich ist

(X − a)^{− deg(S_{0})}S_{0} invertierbar in A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) .

Die Ableitung

\frac{d}{dx} : f(x) = ∑_{n∈ℤ}a_{n}(x − a)^{n} ⟼ f′(x) := ∑_{n∈ℤ\\{0\}}na_{n}(x − a)^{n−1}

ist wohldefiniert auf allen A_{δ,ε}(a) und damit auch auf R(B^{−}). Wir sehen also, daß der Differentialoperator

D_{P,Q} : R(B^{−}) ⟶ R(B^{−})

wohldefiniert ist.

Lemma 14.2: Hat D_{P,Q}|R(B^{−}) endlichen Index, so ist D_{P,Q}|A(B^{−}) ein Fredholmoperator. Beweis: Das Diagramm

\xymatrix{0 \ar[r] & A(B^{−}) \ar[r]^{⊆} \ar[d]^{D_{P,Q}} & R(B^{−}) \ar[r]^{γ_{a}} \ar[d]^{D_{P,Q}} & \frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) \ar[r] \ar@{-->}[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & A(B^{−}) \ar[r]^{⊆} & R(B^{−}) \ar[r]^{γ_{a}} & \frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) \ar[r] & 0}

ist kommutativ mit exakten Zeilen. Wegen des Schlangenlemmas genügt es also zu zeigen, daß der Kern des gestrichelten Pfeiles endlich dimensional ist. Da γ_{a} ein Projektor auf \frac{1}{x−a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) ist, ist der gestrichelte Pfeil gleich dem Kompositum

\frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) ⟶^{⊆} R(B^{−}) ⟶^{D_{P,Q}} R(B^{−}) ⟶^{γ_{a}} \frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) .

Es existiert ein N ∈ ℕ, so daß sich dieses Kompositum schreiben läßt als

\frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) ⟶^{D_{P,Q}} (x − a)^{N}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) ⟶^{γ_{a}} \frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) .

Der Kern der linken Abbildung ist endlich dimensional nach Voraussetzung. Der Kern der rechten Abbildung hat die Dimension N + 1. Also ist der Kern des Kompositums endlich dimensional.

Ohne Beweis zitieren wir die sogenannte Motzkin-Zerlegung (Ann. Inst. Fourier 27 (1), S. 67 - 82, 1977).

Satz 14.3: Jede Einheit f ∈ R(B^{−})^{×} besitzt eine Produktzerlegung

f = (x − a)^{m}gh

mit m ∈ ℤ, g ∈ A(B^{−})^{×} und h ∈ A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×}; dabei ist μ(f) := m eindeutig durch f bestimmt.

Definition: Zwei rationale Funktionen R und R̃ in K(X) heißen B^{−}-äquivalent, falls ein f ∈ R(B^{−})^{×} existiert mit R̃ − R = \frac{f′}{f}.

Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir für ein Polynom 0 ≠ S ∈ K[X] im Folgenden mit n_{B^{−}}(S) die Anzahl der Nullstellen von S (mit Multiplizität) in B^{−}( ˆ\overline{K}).

Satz 14.4: Sei K algebraisch abgeschlossen, und seien \frac{Q}{P} und \frac{Q_{1}}{P_{1}} zwei B^{−}-äqui-valente rationale Funktionen in K(X); hat D_{P,Q}|R(B^{−}) endlichen Index, so auch D_{P_{1},Q_{1}}|R(B^{−}), und es gilt

ind(D_{P,Q}|R(B^{−})) = ind(D_{P_{1},Q_{1}}|R(B^{−}))

und

ind(D_{P,Q}|A(B^{−})) + n_{B^{−}}(P) = ind(D_{P_{1},Q_{1}}|A(B^{−})) + n_{B^{−}}(P_{1}) .

Beweis: Sei \frac{Q_{1}}{P_{1}} − \frac{Q}{P} = \frac{f′}{f} mit f ∈ R(B^{−})^{×}. Das kommutative Diagramm

\xymatrix{R(B^{−}) \ar[r]^{D_{P,Q}} \ar[d]_{f·}^{≅} & R(B^{−}) \ar[d]_{≅}^{\frac{P_{1}}{P} f·} \\ R(B^{−}) \ar[r]_{D_{P_{1},Q_{1}}} & R(B^{−})}

(beachte Bemerkung 14.1) zeigt, daß mit D_{P,Q}|R(B^{−}) auch D_{P_{1},Q_{1}}|R(B^{−}) den gleichen endlichen Index hat. Nach Lemma 14.2 sind ferner D_{P,Q}|A(B^{−}) und P_{P_{1},Q_{1}}|A(B^{−}) beides Fredholmoperatoren. Es bleibt also, die behauptete Identität für ihre Indizes zu zeigen. Wegen Lemma 8.2 und §8 Beispiel II) ist diese äquivalent zu

ind(P_{1}D_{P,Q}|A(B^{−})) = ind(P D_{P_{1},Q_{1}}|A(B^{−})) .

Sei f = (x − a)^{m}gh eine Motzkin-Zerlegung von f. Es genügt, die beiden Fälle f = (x − a)^{m} und f = gh zu betrachten.

1. Fall: Sei f = (x − a)^{m}. Dann haben wir das kommutative Diagramm

\xymatrix{A(B^{−}) \ar[r]^{P_{1}D_{P,Q}} \ar[d]_{(x−a)^{m}·} & A(B^{−}) \ar[d]^{(x−a)^{m}·} \\ A(B^{−}) \ar[r]_{P D_{P_{1},Q_{1}}} & A(B^{−}) .}

Die Identität folgt also wiederum mit Lemma 8.2 und §8 Beispiel II).

2. Fall: Sei f = gh. Zunächst haben wir das kommutative Diagramm

\xymatrix{A(B^{−}) \ar[r]^{P_{1}D_{P,Q}} \ar[d]_{g·}^{≅} & A(B^{−}) \ar[d]_{≅}^{g·} \\ A(B^{−}) \ar[r]_{P_{1}D_{P,Q}−P_{1}P \frac{g′}{g}} & A(B^{−})}

und ein analoges auf R(B^{−}). Außerdem gilt

P_{1}D_{P,Q} − P_{1}P \frac{g′}{g} = P D_{P_{1},Q_{1}} + P P_{1} \frac{h′}{h} .

Also reduziert sich die behauptete Identität auf

ind(P D_{P_{1},Q_{1}} + P P_{1} \frac{h′}{h} |A(B^{−})) = ind(P D_{P_{1},Q_{1}}|A(B^{−})) .

Wegen Bemerkung 14.1 haben wir andererseits

ind(P D_{P_{1},Q_{1}}|R(B^{−})) = ind(D_{P_{1},Q_{1}}|R(B^{−})) = ind(D_{P,Q}|R(B^{−}))

= ind(P_{1}D_{P,Q}|R(B^{−})) = ind(P_{1}D_{P,Q} − P_{1}P \frac{g′}{g} |R(B^{−}))

= ind(P D_{P_{1},Q_{1}} + P P_{1} \frac{h′}{h} |R(B^{−})) .

Unter Verwendung der kurzen exakten Sequenz

0 ⟶ A(B^{−}) ⟶^{⊆} R(B^{−}) ⟶^{γ_{a}} \frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) ⟶ 0

und Lemma 8.1 folgt, daß die gesuchte Identität gleichbedeutend ist mit

ind(γ_{a} ∘ (P D_{P_{1},Q_{1}} + P P_{1} \frac{h′}{h})|\frac{1}{x − a}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})) = ind(γ_{a} ∘ P D_{P_{1},Q_{1}}|\frac{1}{x − a}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})) .

Nun existiert aber ein N ∈ ℕ mit

(P D_{P_{1},Q_{1}} + P P_{1} \frac{h′}{h})(\frac{1}{x − a}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})) + P D_{P_{1},Q_{1}}(\frac{1}{x − a}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})) ⊆ (x − a)^{N}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) .

Deswegen genügt es schließlich zu zeigen, daß die beiden Operatoren

P D_{P_{1},Q_{1}} + P P_{1} \frac{h′}{h} und P D_{P_{1},Q_{1}} : \frac{1}{x − a}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) ⟶ (x − a)^{N} · A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})

den gleichen Index haben. Dies ist aber klar auf Grund des kommutativen Diagrammes

\xymatrix{\frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) \ar[r]^{P D_{P_{1},Q_{1}}+P P_{1} \frac{h′}{h}} \ar[d]_{h·}^{≅} & (x − a)^{N}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) \ar[d]_{≅}^{h·} \\ \frac{1}{x − a} A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) \ar[r]_{P D_{P_{1},Q_{1}}} & (x − a)^{N}A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a}) .}

Satz 14.5: Seien \frac{Q}{P} und \frac{Q_{1}}{P_{1}} zwei B^{−}-äquivalente rationale Funktionen in K(X); dann gilt: i. Es existiert ein 0 < ε_{0} < r mit

ρ_{a}(D_{P_{1},Q_{1}}, ε) = ρ_{a}(D_{P,Q}, ε) für alle ε_{0} ≤ ε ≤ r ;

ii. res_{B^{−}}(\frac{Q_{1}}{P_{1}} ) = res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}) + μ(f), falls \frac{Q_{1}}{P_{1}} − \frac{Q}{P} = \frac{f′}{f} mit f ∈ R(B^{−})^{×} . Beweis: i. Man wiederhole den Beweis von Lemma 13.14. ii. (Skizze) Die Abbildung

res_{B^{−}} : K(X) ⟶ K

setzt sich fort zu der Linearform

\begin{aligned}res : & R(B^{−}) & ⟶ & K \\ & ∑_{n∈ℤ}a_{n}(x − a)^{n} & ⟼ & a_{−1} . \end{aligned}

Es genügt also zu zeigen, daß gilt

res (\frac{f′}{f} ) = μ(f) für alle f ∈ R(B^{−}) .

Sei f = (x − a)^{m}gh eine Motzkin-Zerlegung von f. Dann ist

res (\frac{f′}{f} ) = res (\frac{m}{x − a}) + res (\frac{g′}{g} ) + res (\frac{h′}{h} ) = μ(f) + res (\frac{h′}{h} ) ,

da trivialerweise res|A(B^{−}) = 0. In Verallgemeinerung des Argumentes im Beweis von Lemma 13.18 zeigt man, daß

res (\frac{h′}{h} ) = 0 für alle h ∈ A†_{\frac{1}{r}} (∞_{a})^{×} .

Die B^{−}-Äquivalenz ist am besten in dem folgenden allgemeinen algebraischen Kontext zu verstehen.

Definition: Ein R(B^{−})-Differentialmodul ist ein Paar (M, D) bestehend aus einem freien R(B^{−})-Modul M von endlichem Rang und einem K-linearen Operator D : M ⟶ M, für welchen gilt

D(fm) = f′m + fD(m) für alle f ∈ R(B^{−}) und m ∈ M .

Natürlich heißen zwei R(B^{−})-Differentialmoduln (M_{1}, D_{1}) und (M_{2}, D_{2}) isomorph, wenn es einen R(B^{−})-linearen Isomorphismus

α : M_{1} ⟶^{≅} M_{2} mit D_{2} ∘ α = α ∘ D_{1}

gibt. Die Differentialmoduln von Rang 1 sind bis auf Isomorphie von der Form (R(B^{−}), D). Dabei sind (R(B^{−}), D_{1}) und (R(B^{−}), D_{2}) genau dann isomorph, wenn ein f ∈ R(B^{−})^{×} existiert mit

D_{1} − D_{2} = (\frac{f′}{f} ·) .

Als Ausblick sei das folgende Theorem von Christol/Mebkhout (vormals die sogenannte Robba-Vermutung) erwähnt.

Theorem: Hat der Differentialoperator D ∈ K[x, \frac{d}{dx}] auf R(B^{−}) einen Index, so ist dieser = 0.

§15 Der Indexsatz

Sei K p-adisch und algebraisch abgeschlossen. Sei B = B_{r}(a) ein affinoider Ball, B^{−} = B_{r}^{−}(a), D := D_{P,Q} und n_{B^{−}}(P) die Anzahl der Nullstellen von P in B^{−}.

Satz 15.1: Es liege nicht der Fall vor, daß D (a, r)-singular-regulär ist mit einer Liouville-Zahl res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}); dann gilt: i. D|A(B^{−}) ist ein Fredholmoperator; ii. die linksseitige Ableitung der Funktion v_{a}(D, .) im Punkte log r existiert; iii. ind(D|A(B^{−})) = d^{−}v_{a}(D, log r) − n_{B^{−}}(P). Beweis: 1. Fall: D sei (a, r)-singulär-regulär, aber α := res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}) sei keine Liouville-Zahl. Im Beweis von Satz 13.16 haben wir gesehen, daß \frac{Q}{P} B^{−}-äquivalent zu \frac{α}{X−a} ist (beachte dabei auch Corollar 13.19). Eine leichte Verallgemeinerung des Beweises von Satz 13.9 ergibt, daß D_{X−a,α} sowohl auf R(B^{−}) wie auf A(B^{−}) den Index 0 hat. Also folgt aus Satz 14.4, daß D_{P,Q} auf R(B^{−}) den Index 0 und auf A(B^{−}) den Index 1 − n_{B^{−}}(P) hat. Nach Satz 14.5.i und Satz 13.8 existiert ein 0 < ε_{0} < r, so daß ρ_{a}(D, ε) = ε für alle ε_{0} ≤ ε ≤ r. Also ist d^{−}v_{a}(D, log r) = 1.

2. Fall: Es existiere eine Folge 0 < ε_{1} < … < ε_{n} < … < r, welche gegen r konvergiert, und so daß ρ_{a}(D, ε_{n}) = ε_{n} für alle n ∈ ℕ gilt. Wegen der Stetigkeit von ρ_{a}(D, .) ist dann auch ρ_{a}(D, r) = r. Wir können sicherlich ein n_{0} ∈ ℕ so wählen, daß P keine Nullstellen in {x : ε_{n_{0}} ≤ |x − a| < r} besitzt. Wenden wir Bemerkung 13.17 auf eine Erweiterung L von K mit |L^{×}| = ℝ_{>0} an, so erhalten wir ρ_{a}(D, ε) = ε für alle ε_{n_{0}} ≤ ε ≤ r. Nach Satz 13.13 sind wir damit aber im ersten Fall.

3. Fall: Es existiere ein 0 < ε_{0} < r, so daß ρ_{a}(D, ε) < ε gilt für alle ε_{0} ≤ ε < r. Wir können dann zusätzlich annehmen, daß P keine Nullstellen in {x : ε_{0} ≤ |x − a| < r} besitzt. Nach Lemma 10.5 ist die Funktion v_{a}(D, t) auf [log ε_{0}, log r) stückweise linear und konkav, und alle links- wie rechtsseitigen Ableitungen sind ganze Zahlen. Genauer ist

d^{−}v_{a}(D, t) = n_{B^{−}}(P) − \frac{1}{m}n_{B_{exp t}^{−}(a)}(Q_{m}^{∗})

für ein m ∈ ℕ, welches von t ∈ [log ε_{0}, log r) abhängt. Mit ε := exp t ergibt sich also

d^{−}v_{a}(D, t) = −\frac{1}{m}(n_{B_{ε}^{−}(a)}(Zähler(R_{m}^{∗})) − n_{B_{ε}^{−}(a)}(Nenner(R_{m}^{∗})))
≥ −\frac{1}{m} · Anzahl der Polstellen von R_{m}^{∗} in B_{\frac{1}{ε}} (∞_{a}) .

Aus der Rekursionsformel für R_{m}^{∗} folgt aber

Anzahl der Polstellen von R_{m}^{∗} in B_{\frac{1}{ε}} (∞_{a})
≤ m · Anzahl der Polstellen von \frac{Q}{P} in B_{\frac{1}{ε}} (∞_{a}) .

Somit erhalten wir

d^{−}v_{a}(D, t) ≥ − Anzahl der Polstellen von \frac{Q}{P} in B_{\frac{1}{ε}} (∞_{a})
≥ − Anzahl der Polstellen von \frac{Q}{P} in B_{\frac{1}{ε_{0}}} (∞_{a}) ,

wobei der letzte Term unabhängig von t ist. Folglich existiert ein ε_{0} ≤ ε_{1} < r, so daß v_{a}(D, t) auf [log ε_{1}, log t) und damit auf [log ε_{1}, log r] linear ist. Nach Satz 10.4 ist dann

ind(D|A_{ρ}(a)) = d^{−}v_{a}(D, log r) − n_{B^{−}}(P)

für alle ρ ∈ [ε_{1}, r) ∩ |K|. Wir wählen eine Folge ε_{1} ≤ ρ_{1} < … < ρ_{i} < … < r in |K|, welche gegen r konvergiert. Dann ist

A_{ρ_{1}}(a) ⊇ … ⊇ A_{ρ_{1}}(a) ⊇ …

eine absteigende Folge von Banachräumen mit

A(B^{−}) = ⋂_{i∈ℕ}A_{ρ_{i}}(a) .

Die absteigende Folge der endlich dimensionalen Kerne ker(D|A_{ρ_{i}}(a)) muß konstant werden. Also folgt

ker(D|A(B^{−})) = ker(D|A_{ρ_{i}}(a)) für großes i .

Da der Index ind(D|A_{ρ_{i}}(a)) nicht von i abhängt, wird auch die Folge der Dimensionen der Vektorräume coker(D|A_{ρ_{i}}(a)) konstant. Alle Inklusionen A_{ρ_{i+1}}(a) ⊆ A_{ρ_{i}}(a) haben dichtes Bild, da in allen diesen Räumen die Polynome dicht liegen. Nach Satz 8.8 sind also für großes i die äußeren senkrechten Pfeile in dem kommutativen Diagramm

\xymatrix{0 \ar[r] & ker(D|A_{ρ_{i+1}}(a)) \ar[r] \ar[d]_{≅} & A_{ρ_{i+1}}(a) \ar[r]^{D} \ar[d]_{⊆} & A_{ρ_{i+1}}(a) \ar[r] \ar[d]_{⊆} & coker(D|A_{ρ_{i+1}}(a)) \ar[r] \ar[d]_{≅} & 0 \\ 0 \ar[r] & ker(D|A_{ρ_{i}}(a)) \ar[r] & A_{ρ_{i}}(a) \ar[r]^{D} & A_{ρ_{i}}(a) \ar[r] & coker(D|A_{ρ_{i}}(a)) \ar[r] & 0}

Isomorphismen von endlich dimensionalen Vektorräumen. Mit Hilfe der sogenannten Mittag-Leffler-Bedingung (EGA III 0.13.2.4) folgert man, daß die durch Übergang zum projektiven Limes entstehende Sequenz ebenfalls exakt ist. Das bedeutet insbesondere

coker(D|A(B^{−})) ≅ lim_{⟵_{i}} coker(D|A_{ρ_{i}}(a)) .

Für großes i ist die rechte Seite aber isomorph zu coker(D|A_{ρ_{i}}(a)) und damit

ind(D|A(B^{−})) = ind(D|A_{ρ_{i}}(a)) = d^{−}v_{a}(D, log r) − n_{B^{−}}(P) .

Bemerkung 15.2: Es gelte ρ_{a}(D, r) = r. Ist D (a, r)-singulär-regulär und res_{B^{−}}(\frac{Q}{P}) keine Liouville-Zahl, so ist

d^{−}v_{a}(D, log r) = 1 .

Ist D nicht (a, r)-singulär-regulär, so zeigen die Argumente im 3. Fall des obigen Beweises, daß

d^{−}v_{a}(D, log r) > 1 .