Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Zusatzaufgaben zur Mathematik für Physiker I

Die Aufgaben werden direkt in den Übungen am 22./23.12. besprochen. Es ist keine Abgabe erforderlich

Aufgabe 1. (Fibonacci-Zahlen) Es sei x_{0} := 0, x_{1} := 1 und x_{n} = x_{n−1} + x_{n−2} für n ∈ ℕ, n ≥ 2.

a) Zeigen Sie:

x_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n}) .  (1)

b) Für n ≥ 1 sei y_{n} := \frac{x_{n+1}}{x_{n}}. Geben Sie y_{1} und eine Rekursionsformel an, die y_{n+1} durch y_{n} ausdrückt. Folgern Sie: 1 ≤ y_{n} ≤ 2.

c) Zeigen Sie unter Verwendung von (1): Es gibt Konstanten C, M ∈ ℝ mit M > 1, so daß |\frac{y_{n+1}}{y_{n}} − 1| ≤ \frac{C}{M^{n}} für alle n ≥ 1.

d) Zeigen Sie dann: (y_{n})_{n∈ℕ^{×}} ist Cauchy-Folge, und berechnen Sie den Grenzwert g = lim_{n→∞} y_{n}.

Aufgabe 2. Zeigen Sie: Für a_{0} = 0 und a_{n} := \sqrt{2 + a_{n−1}} gilt: (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert. Bestimmen Sie lim_{n→∞} a_{n}.

Aufgabe 3. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz

\begin{matrix}a) ∑_{n=5}^{∞} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{3} + 1}} & b) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}} & c) ∑_{n=6}^{∞} \frac{1}{n(n − 1)} \\ d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{n!3^{n}} & e) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}} \end{matrix}

Aufgabe 4. Es sei (a_{n})_{n∈ℕ^{×}} eine beschränkte Folge reeller Zahlen, d.h. es gebe ein M ∈ ℝ mit |a_{n}| ≤ M ∀ n ≥ 1. Zeigen Sie:

a) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n} konvergiert für |x| < 1.

b) Ist a_{1} ≠ 0, so hat f(x) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n} auf ]− \frac{|a_{1}|}{2M}, \frac{|a_{1}|}{2M}[ nur die triviale Nullstelle x = 0.