Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 22.10.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 1

Seien X, Y Mengen, dann versteht man unter einer Abbildung von X nach Y eine Vorschrift f, die jedem x ∈ X eindeutig ein f(x) ∈ Y zuordnet. Wir schreiben f : X → Y für die Abbildung zwischen Mengen und f : x ↦ f(x) für die Zuordnung der Elemente.

Eine Abbildung f : X → Y heißt • injektiv, falls für x, x′ ∈ X aus f(x) = f(x′) stets x = x′ folgt

• surjektiv, falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X gibt mit y = f(x)

• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist

Aufgabe 1. Man prüfe folgende Abbildungen f : ℝ^{2} → ℝ^{2} auf Injektivität und Surjektivität (Begründung oder Gegenbeispiel):

a) f : (x, y) ↦ (y + 2, x − 1)

b) f : (x, y) ↦ (xy, x + y)

Aufgabe 2. Man zeige: Ist X eine endliche Menge (d.h. X besteht aus endlich vielen Elementen), dann gilt für eine Abbildung f : X → X:

f injektiv ⇔ f surjektiv

Bemerkung: Das Beispiel f(n) := n+1 einer injektiven, aber nicht surjektiven, Abbildung f : ℕ → ℕ zeigt, daß das für unendliche Mengen nicht gilt!

Aufgabe 3. Es sei M eine nichtleere Menge mit n unterscheidbaren Elementen. Zeigen Sie:

a) Die Anzahl aller Anordnungen der n Elemente von M ist n! . Bemerkung: Diese Anordnungen nennt man Permutationen der Menge M.

b) Für k ∈ \{0, …, n\} gibt es genau \binom{n}{k} k-elementige Teilmengen von M.

c) M besitzt 2^{n} Teilmengen.

Aufgabe 4 Es sei p eine Primzahl. Man beweise: Für beliebige n ∈ ℕ ist n^{p} − n durch p teilbar.