Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 29.10.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

a)  ∑_{k=0}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}  b)  ∑_{k=1}^{n}(2k − 1) = n^{2}

c)  ∑_{k=0}^{n} k^{3} = (\frac{n(n + 1)}{2})^{2}  d)  ∑_{k=0}^{n} k! · k = (n + 1)! − 1

Aufgabe 2. Für a, b ∈ ℝ_{+}^{×} heißt

i) A(a, b) := \frac{a+b}{2} das arithmetische Mittel,
ii) G(a, b) := \sqrt{ab} das geometrische Mittel,
iii) H(a, b) := \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} das harmonische Mittel.

Zeigen Sie: H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b), mit Gleichheit nur für a = b.

Aufgabe 3. Für 0 < a < b werden rekursiv Intervalle I_{n} = [a_{n}, b_{n}] definiert durch

a_{0} = a , b_{0} = b , a_{n} = G(a_{n−1}, b_{n−1}) , b_{n} = A(a_{n−1}, b_{n−1}) .

Zeigen Sie: (I_{n})_{n∈ℕ} ist eine Intervallschachtelung. Bemerkung: Die in allen Intervallen liegende reelle Zahl heißt das arithmetisch-geometrische Mittel von a, b.

Aufgabe 4. Diese Aufgabe erfordert einen Taschenrechner (o.ä.) mit Quadratwurzelfunktion. Man berechne, auf mindestens 7 Stellen nach dem Komma genau, die Zahlen a_{n}, b_{n}, s_{n}, p_{n} für n = 1, 2, 3, welche rekursiv definiert sind durch a_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}, b_{0} = 1, s_{0} = \frac{1}{2} und

a_{n} = G(a_{n−1}, b_{n−1}) ,  b_{n} = A(a_{n−1}, b_{n−1}) ,  s_{n} = s_{n−1} −2^{n}(b_{n}^{2} −a_{n}^{2}) ,  p_{n} = \frac{2b_{n}^{2}}{s_{n}} .

Was stellen Sie fest für p_{3}?