Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 5.11.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Man gebe Realteil, Imaginärteil und Betrag der folgenden komplexen Zahlen an:

a) \frac{1}{1 − 2i}  b) \frac{2 − 3i}{3 + 2i}  c) (\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} − i})^{n} ,  n ∈ ℕ

Aufgabe 2. Man gebe sämtliche Lösungen folgender Gleichungen in der Form z = x + iy an:

a) z^{4} = −1  b) z^{2} + (1 + i)z + 2 − i = 0

Aufgabe 3. Die Normalform einer kubischen Gleichung ist

z^{3} + pz + q = 0 , p, q ∈ ℝ .

a) Rechnen Sie nach, daß für D := (\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3} > 0 die Lösungen dieser kubischen Gleichung gegeben sind durch die Cardanischen Formeln

z_{1} = u + v ,  z_{2} = ( − \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})u + ( − \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2})v
z_{3} = ( − \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2})u + ( − \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})v

mit

u = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} + \sqrt{D}} ,  v = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} − \sqrt{D}} .

Dabei ist \sqrt[3]{a} = −\sqrt[3]{−a} für a < 0.

b) Man bestimme die Lösungen von z^{3} + 6z + 2 = 0.

(bitte wenden)

Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal

1. Konstruiere in der Gaußschen Zahlenebene den Einheitskreis S mit Mittelpunkt 0 und Radius 1. Die Schnittpunkte des Kreises mit der x-Achse seien A = 1 ∈ ℂ und B = −1 ∈ ℂ.

2. Konstruiere das Lot L auf \overline{AB} durch 0 (y-Achse). Sei D einer der Schnittpunkte mit dem Einheitskreis S. Konstruiere den Mittelpunkt G von \overline{0D}.

3. Zeichne um G einen Kreisbogen mit Radius |\overline{GB}|. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit L(= y-Achse), welcher innerhalb S liegt, sei H.

4. Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius |\overline{0H}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{2} und A_{3}.

5. Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius |\overline{A_{2}A_{3}}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{1} und A_{4}, wobei A_{1}, A_{2} auf der gleichen Seite von \overline{AB} liegen.

Dann sind (A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}) die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks.

A_{2} A_{3}  0 B  A A_{1} A_{4} D G H

Aufgabe 4.

a) Zeigen Sie: Die Länge |\overline{0H}| =: h = g^{−1} ist das Inverse des goldenen Schnittes, h = \frac{\sqrt{5}−1}{2}.

b) Zeigen Sie, daß die Koordinaten z_{n} = x_{n} + iy_{n} der Eckpunkte A_{n}, mit n = 1, 2, 3, 4, gegeben sind durch

z_{1} = \overline{z_{4}} = \frac{h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3 + h} , z_{2} = \overline{z_{3}} = −\frac{1 + h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{2 − h} .

Hinweis: Für das Inverse des goldenen Schnittes gilt h^{2} = 1 − h.

c) Beweisen Sie die Identitäten (z_{1})^{2} = z_{2}, (z_{2})^{2} = z_{4}, z_{2}z_{3} = 1 und z_{1}z_{4} = 1.