Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 12.11.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Begründen Sie, weshalb die in a),b),c) definierten Folgen (a_{n})_{n∈ℕ^{×}} konvergent bzw. divergent sind, und bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert:

a) a_{n} = \frac{1}{(\sqrt{2})^{n}} \binom{n}{k} ,  k ∈ ℕ
b) a_{n} = (\frac{12 + 5i}{13})^{n}

c) a_{n} = \sqrt[n]{∑_{k=0}^{n} 2^{n−k}x^{k}} ,  x ∈ ℝ_{+}^{×}

Aufgabe 2. Berechnen Sie

lim_{n→∞}(\sqrt{n + 2} − \sqrt{n}) ,  lim_{n→∞}(\sqrt{n^{2} + 3n} − n) ,  lim_{n→∞}(\sqrt{n + 2\sqrt{n}} − \sqrt{n}) .

Aufgabe 3. Für x ∈ ℝ_{+}^{×} und beliebiges y ∈ ]0, \frac{2}{x}[ sei eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} rekursiv definiert durch a_{0} = y und a_{n+1} = 2a_{n} − xa_{n}^{2}.

i) Zeigen Sie: a_{n} ∈ ]0, \frac{1}{x}] für alle n ∈ ℕ^{×}.
ii) Zeigen Sie: (a_{n})_{n∈ℕ^{×}} ist monoton wachsend.
iii) Berechnen Sie lim_{n→∞} a_{n}.
iv) Geben Sie a_{1}, a_{2}, a_{3} an für x = 7 und y = \frac{1}{10}.

Aufgabe 4. (Berechnung von lim_{n→∞}(1 + \frac{r}{n})^{n} für r ∈ ℚ)

i) Zeigen Sie, daß für p ∈ ℕ^{×} die Folge ((1 + \frac{p}{n})^{n})_{n∈ℕ^{×}} monoton wachsend und beschränkt ist, und berechnen Sie den Grenzwert.

ii) Zeigen Sie, daß für p, q ∈ ℕ^{×} die Folge (\sqrt[q]{(1 + \frac{p}{n})^{n}})_{n∈ℕ^{×}} monoton wachsend und beschränkt ist, und berechnen Sie den Grenzwert. Zeigen Sie, daß die Folge ((1 + \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ^{×}} den gleichen Grenzwert hat.

iii) Zeigen Sie, daß für p, q ∈ ℕ^{×} die für n > \frac{p}{q} definierte Folge ((1 − \frac{p}{qn})^{n})_{n∈ℕ,n> \frac{p}{q}}

konvergent ist, und berechnen Sie den Grenzwert.