Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 19.11.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 5 Aufgabe 1. Begründen Sie, weshalb die in a)–d) definierten Reihen konvergent bzw. divergent sind:

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{n! 2^{n}}  b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} \sqrt[n]{2}}{\sqrt{n^{2} + n}}
c) ∑_{n=2}^{∞} \frac{(\sqrt[n]{n} − 1)(−n)^{n}}{(n + 1)^{n}}  d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{4}{\sqrt{n(n + 1)(n + 2)}}

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}  b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2} + 4n}
c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{x^{n}}{(\sqrt{1 + x^{2}})^{n}} ,  x ∈ ℝ

d) die rationale Zahl \frac{p}{q}, mit p, q ∈ ℕ^{×} teilerfremd, welche dem periodischen Dezimalbruch 0, \overline{293706} entspricht. Aufgabe 3. Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende Nullfolge.

a) Zeigen Sie:

∑_{n=0}^{∞} a_{n} < ∞ ⇔ ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} < ∞ .

b) Beweisen Sie unter Verwendung von a) die bereits bekannte Eigenschaft

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} < ∞ mit s ∈ ℚ_{+}^{×} ⇔ s > 1 .

Aufgabe 1. Berechnen Sie unter Verwendung von ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} die folgenden Reihen:

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{2}}  b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}}
c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 1)}  d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 1)^{2}}