Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 26.11.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Man bestimme die durch f = q ·g +r, deg(r) < deg(g) definierten Polynome q, r für

a) f(z) = (2 + i)z^{3} + (3 + 2i)z^{2} + (2 + 2i)z ,  g(z) = (2 + i)z − 1
b) f(z) = z^{3} + z^{2} + z + 1 ,  g(z) = (1 − i)z^{2} + iz + 1

Dabei sind die Koeffizienten von z^{k} in q, r als komplexe Zahlen der Form α + iβ zu schreiben!

Aufgabe 2.

a) Für α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ und ν_{1}, …, ν_{n} ∈ ℕ^{×} sei f(z) = (z −α_{1})^{ν_{1}} ⋯ (z −α_{n})^{ν_{n}} ein Polynom vom Grad ν_{1} + ⋯ + ν_{n}. Beweisen Sie: Es gibt eindeutig bestimmte Koeffizienten b_{k,j_{k}} ∈ ℂ mit k = 1, …, n und j_{k} = 1, … ν_{k}, so daß für alle z ∈ ℂ \ {α_{1}, …, α_{n}} gilt

\frac{1}{f(z)} = ∑_{k=1}^{n} ∑_{j_{k}=1}^{ν_{k}} \frac{b_{k,j_{k}}}{(z − α_{k})^{j_{k}}} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{b_{k,1}}{(z − α_{k})^{1}} + \frac{b_{k,2}}{(z − α_{k})^{2}} + ⋯ + \frac{b_{k,ν_{k}}}{(z − α_{k})^{ν_{k}}} ) .

(Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung.)

b) Man berechne die Partialbruchzerlegung von \frac{1}{f(z)} für f(z) = (z − 1)(z − 2)^{2}(z − 3).

Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a) f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} z^{n}  b) f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n! (n + k)!}(\frac{z}{2})^{2n+k} , k ∈ ℕ

c) f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}z^{2n+1}}{2n + 1}  d) f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}\sqrt{n!}}{2^{n}}z^{n}

Aufgabe 4. Es sei f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n)!} z^{2n}. Beweisen Sie:

a) Der Konvergenzradius von f ist ∞.

b) Für alle z ∈ ℂ gilt 2f(z) · f(z) = f(2z) + 1.

Hinweis: Man verwende 2 = 1^{2k} + (−1)^{2k} und 0 = 1^{2k+1} + (−1)^{2k+1} für k ∈ ℕ.