Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 10.12.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Gegeben seien folgende Vektoren v_{1}, v_{2}, v_{3}, w_{1}, w_{2}, w_{3} ∈ ℝ^{3}:

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −3 \\ 2 \end{matrix} ) ,  v_{2} = ( \begin{matrix}−2 \\ 3 \\ −3 \end{matrix} ) ,  v_{3} = ( \begin{matrix}4 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) ,

w_{1} = ( \begin{matrix}7 \\ 5 \\ 1 \end{matrix} ) ,  w_{2} = ( \begin{matrix}8 \\ 9 \\ −8 \end{matrix} ) ,  w_{3} = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ −3 \end{matrix} ) ,

a) Zeigen Sie: (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ist Basis des ℝ^{3}.

b) Bestimmen Sie für i = 1, 2, 3 die 9 Koeffizienten λ_{1i}, λ_{2i}, λ_{3i} der Zerlegung w_{i} = λ_{1i}v_{1} + λ_{2i}v_{2} + λ_{3i}v_{3}.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Dimensionen der Untervektorräume V, W, V +W, V ∩W ⊂ ℝ^{5}, wenn V = span(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) und W = span(w_{1}, w_{2}, w_{3}), mit

v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ,  v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ,  v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ,  v_{4} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ,

w_{1} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ,  w_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ,  w_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Aufgabe 3. Es sei P_{n}[x] der Vektorraum der reellen Polynome in x vom Grad ≤ n und

V = {p(x) ∈ P_{4}[x] : p(1) = p(−1) = 0} , W = P_{2}[x] .

a) Zeigen Sie: V ⊂ P_{4}[x] ist Untervektorraum.

b) Geben Sie je eine Basis von V, W, V + W, V ∩ W an.

Aufgabe 4. Es seien W_{1}, …, W_{n} endlich-dimensionale Untervektorräume von V und W = W_{1} + ⋯ + W_{n}. Zeigen Sie:

dim_{K}(W) = ∑_{i=1}^{n} dim_{K}(W_{i})  ⇔  von Null verschiedene Vektoren w_{1} ∈ W_{1}, …, w_{k} ∈ W_{k} sind linear unabhängig.