Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 17.12.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Es sei (V, ⟨ , ⟩) euklidischer Vektorraum, ∥v∥ = \sqrt{⟨v, v⟩} und v, w ∈ V. Zeigen Sie:

(a) ∥v∥ = ∥w∥ ⟺ ⟨v − w, v + w⟩ = 0.

(b) ∥v − w∥ = ∥v + w∥ ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

(c) ∥v + w∥^{2} = ∥v∥^{2} + ∥w∥^{2} ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

(d) Für w ≠ v gilt: ∥v − 2\frac{∥v∥^{2}}{∥v − w∥^{2}} (v − w)∥ = ∥v∥ ⟺ ⟨v, w⟩ = 0.

Aufgabe 2. Welche der folgenden Abbildungen N_{i} : ℝ^{3} → ℝ_{+} definiert eine Norm? (Begründung erforderlich)

a)  N_{1}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{(x_{1} − 2x_{2})^{2} + (2x_{2} − x_{3})^{2} + (x_{3} − x_{1})^{2}} ,
b)  N_{2}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{|x_{1} − 2x_{2}| + |x_{2} − 2x_{3}| + |x_{3} − 2x_{1}|} ,
c)  N_{3}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = \sqrt{(x_{1} − 2x_{2})^{2} + (x_{2} − 2x_{3})^{2} + (x_{3} − 2x_{1})^{2}} ,
d)  N_{4}((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = (\sqrt{|x_{1}|} + \sqrt{|x_{2}|} + \sqrt{|x_{3}|})^{2}

Aufgabe 3. a) Es sei X eine nichtleere Menge und x, y ∈ X. Zeigen Sie:

d(x, y) = \{ \begin{matrix}0 & falls x = y \\ 1 & falls x ≠ y \end{matrix}

definiert einen Abstand auf X.

b) Es sei (X, d) ein metrischer Raum und x, y ∈ X. Zeigen Sie:

d′(x, y) = 1 − \frac{1}{1 + d(x, y)}

definiert einen weiteren Abstand auf X. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß für a, b ≥ 0 gilt \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} − \frac{1}{1 + a + b} ≤ 1.

Aufgabe 4. a) Geben Sie eine Familie (I_{n})_{n∈ℕ} offener Intervalle I_{n} ⊂ ℝ an, so daß ⋂_{i=0}^{∞} I_{n} = [0, 1] abgeschlossen ist.

b) Geben Sie eine Familie (I_{n})_{n∈ℕ} abgeschlossener Intervalle I_{n} ⊂ ℝ an, so daß ⋃_{i=0}^{∞} I_{n} = ]0, 1[ offen ist.