Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 14.1.10, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. a) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{×} \ {1}. Zeigen Sie: Die durch f(x) = a^{x} definierte Funktion f : ℝ → ℝ_{+}^{×} besitzt eine Umkehrfunktion f^{−1} : ℝ_{+}^{×} → ℝ. Diese sei mit f^{−1}(y) =: log_{a} y bezeichnet. Zeigen Sie: log_{a} y = \frac{ln y}{ln a}.

b) Leiten Sie eine Reihendarstellung für ln \frac{1+x}{1−x} her und zeigen Sie:

ln 2 = ∑_{k=0}^{∞} \frac{2}{3(2k + 1)9^{k}} ,  ln 3 = ∑_{k=0}^{∞} (\frac{2}{3(2k + 1)9^{k}} + \frac{2}{5(2k + 1)25^{k}} ) ,

ln 5 = ∑_{k=0}^{∞} (\frac{4}{3(2k + 1)9^{k}} + \frac{2}{9(2k + 1)81^{k}} ) .

c) Diese Teilaufgabe erfordert einen Taschenrechner o.ä. Approximieren Sie ln 2, ln 3, ln 5 in b) durch endliche Summen mit k ∈ {0, 1} und geben Sie mit dieser Genauigkeit die ersten 3 Nachkommastellen von log_{10} 3 an.

Aufgabe 2. Zeigen Sie: Für alle x, y ∈ ℝ und z ∈ ] − 1, 1[ gilt

a) sin(2x) = 2 sin x cos x ,  cos(2x) = cos^{2} x − sin^{2} x = 1 − 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x − 1 ,
b) arsinh x = ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) ,  artanh z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + z}{1 − z} ,
c) arctan x + arctan y = arctan (\frac{x + y}{1 − xy} ) .

Bemerkung: Durch Wahl von x = y = \frac{1}{5} in c) erhält man 4 arctan \frac{1}{5} = arctan \frac{120}{119} = \frac{π}{4} + arctan \frac{1}{239}.

Aufgabe 3. a) Zeigen Sie: Für jedes n ∈ ℕ existieren Polynome T_{n} und U_{n} vom Grad n, so daß für alle x ∈ ℝ gilt

cos(nx) = T_{n}(cos x) , sin(nx) = sin x · U_{n−1}(cos x) .

b) Zeigen Sie: Für n ≥ 1 gelten die Rekursionsformeln

T_{n+1}(y) = 2yT_{n}(y) − T_{n−1}(y) ,  T_{0}(y) = 1 , T_{1}(y) = y ,
U_{n+1}(y) = 2yU_{n}(y) − U_{n−1}(y) ,  U_{0}(y) = 1 , U_{1}(y) = 2y .

c) Geben Sie sin(5x) und cos(3x) in dieser Form an.

b.w.

Aufgabe 4 Zeigen Sie:

a) Die durch f(x) = (cos x, sin x) definierte Abbildung f : [0, 2π[ → S^{1} ist bijektiv und (in jedem Punkt) stetig, aber die damit existierende Umkehrabbildung f^{−1} : S^{1} → [0, 2π[ ist in 1 ∈ S^{1} nicht stetig.

b) Es gibt keine bijektive stetige Abbildung f : [0, 2π[ → S^{1} mit stetiger Umkehrabbildung.

Bemerkung: Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen X, Y heißt Homöomorphismus, wenn f bijektiv ist und sowohl f als auch f^{−1} stetig sind. Zwei metrische Räume X, Y heißen homöomorph, wenn es einen Homöomorphismus f : X → Y gibt. Die Aufgabe zeigt also: S^{1} und [0, 2π[ sind nicht homöomorph.