Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 21.1.10, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Berechnen Sie die Ableitungen f′(x) für

a) f(x) = x arccos x ,  x ∈ ] − 1, 1[
b) f(x) = x^{(x^{2})} ,  x ∈ ℝ_{+}^{×}
c) f(x) = ln(\sqrt{x^{2} + 1}) ,  x ∈ ℝ
d) f(x) = arctan(ln x) ,  x ∈ ℝ_{+}^{×}

Aufgabe 2. Für n ∈ ℕ sei f(x) = \{ \begin{matrix}x^{n} cos \frac{1}{x} & für x ≠ 0 \\ 0 & für x = 0 \end{matrix}

Für welche n ∈ ℕ ist f : ℝ → ℝ im Punkt x_{0} = 0

a) nicht stetig

b) stetig, aber nicht differenzierbar

c) differenzierbar, aber f′ ist nicht stetig in x_{0} = 0

d) differenzierbar, und f′ ist stetig in x_{0} = 0

Aufgabe 3. Beweisen Sie mittels Differentiation:

∑_{k=1}^{n−1} k sin(kx) = \frac{n sin((n − 1)x) − (n − 1) sin(nx)}{4 sin^{2} \frac{x}{2}} , x ∈ ℝ \ 2πℤ , n ∈ ℕ^{×}

Hinweis: k sin(kx) = Im(ke^{ikx}) = Im(k(e^{ix})^{k})

Aufgabe 4 Für n ∈ ℕ sei a_{0}, a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ mit a_{n} ≠ 0 und f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}e^{−x^{2}}.

Zeigen Sie:

a) Die Funktion f : ℝ → ℝ besitzt höchstens n + 1 lokale Extrema.

b) Ist n ungerade, dann werden das globale Minimum und das globale Maximum in je einem dieser lokalen Extrema angenommen.

c) Berechnen Sie die Punkte x_{1}, x_{2} ∈ ℝ, an denen die Funktion f(x) = (x − 2)e^{−x^{2}} ihr Minimum bzw. Maximum annimmt.