Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 28.1.10, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 13

Aufgabe 1. Berechnen Sie folgende Grenzwerte:

a)  lim_{x→0} \frac{x sin x}{\sqrt{1 + x^{2}} − cos x}
b)  lim_{x→1} \frac{\sqrt{x} − 1}{ln x}
c)  lim_{x→ \frac{π}{2}} (x − \frac{π}{2}) tan x
d)  lim_{x→∞} ( cosh x)^{\frac{1}{x}}

Hinweis: Gegebenenfalls ist die Regel von de l’Hospital mehrfach anzuwenden, oder die Funktionen sind zunächst mittels Exponential- bzw Logarithmusfunktion umzuschreiben.

Aufgabe 2. Berechnen Sie die Lage aller Nullstellen, lokalen Extrema und Wendepunkte der Funktion

f(x) = (x^{3} − \frac{3}{2}x)e^{− \frac{x^{2}}{2}} , x ∈ ℝ .

Bei welchen lokalen Extrema handelt es sich um lokale Maxima, bei welchen um lokale Minima?

Aufgabe 3. Für n ∈ ℕ^{×} seien die Funktionen f, g : I → ℂ jeweils n-mal differenzierbar auf dem Intervall I ⊂ ℝ. Zeigen Sie: Die Funktion f · g ist n-mal differenzierbar auf I, und für alle x ∈ I gilt

(f · g)^{(n)}(x) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(n−k)}(x) · g^{(k)}(x) .

Aufgabe 4 a) Berechnen Sie das Taylor-Polynom 4. Ordnung der Funktion f(x) = e^{sin x} in x = 0.

b) Berechnen Sie das Taylor-Polynom 2. Ordnung der Funktion f(x) = \sqrt{4 + cos x} in x = \frac{π}{2}.