Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Probeklausur zur Mathematik für Physiker I

Die Klausur wird aus zwei Teilen bestehen:

• Im Teil A, den es in der Probeklausur nicht gibt, wird eine Auswahl grundlegender Definitionen und Sätze abgefragt.

• Teil B sind Aufgaben, die mit denen der Probeklausur vergleichbar sind. Alle Lösungsschritte sind nachvollziehbar zu begründen.

Einziges zugelassenes Hilfsmittel ist ein selbst zusammengestelltes A4-Blatt (ein- oder zweiseitig) mit Notizen.

\underline{Teil B}

Aufgabe 1. Bestimmen Sie, falls existent, folgende Grenzwerte:

a) lim_{n→∞} \sqrt[n]{(1 + n^{2})}  b) lim_{x→∞}(\sqrt{4x + x^{2}} − \sqrt{x^{2} + x})  c) lim_{x→0} \frac{ln(cos x)}{x tan x}

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!z^{n}}{(2n)^{n}}  b) ∑_{n=0}^{∞} (\frac{1 + i}{2 − i})^{n} \frac{z^{n}}{n + 1}  c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{(n^{2})}}{n^{2}}

Aufgabe 3. Es sei

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −3 \\ 2 \end{matrix} ) ,  v_{2} = ( \begin{matrix}4 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) ,  v_{3} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) ,  w = ( \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} ) .

a) Zeigen Sie: (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ist Basis des ℝ^{3}.

b) Bestimmen Sie λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℂ mit w = ∑_{i=1}^{3} λ_{i}v_{i}

c) Für welche λ, μ ∈ ℝ ist ( \begin{matrix}1 \\ λ \\ μ \end{matrix} ) ∈ span_{ℝ}(v_{1}, v_{3})?

Aufgabe 4. Durch x_{0} := 2 und x_{n+1} := \frac{15 − 4x_{n}^{2} + x_{n}^{4}}{4x_{n}} für n ≥ 0 werde eine Folge

(x_{n})_{n∈ℕ} definiert. Zeigen Sie: lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt{3} Aufgabe 5. Eine Funktion f : [0, 1] → ℝ nehme jeden Funktionswert genau zweimal an. Zeigen Sie: f ist nicht stetig.

Aufgabe 6. Es sei f(x) = \frac{x(x^{2} − 1)}{(1 + x^{2})^{2}}

a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f : ℝ → ℝ. Handelt es sich um lokale Miniuma oder lokale Maxima?

b) Bestimmen Sie das Taylor-Polynom 3. Ordnung von f im Punkt a = 0.