Der Algorithmus von Tate für elliptische Kurven

Freie wissenschaftliche Arbeit zur Erlangung des Grades eines Diplommathematikers am Mathematischen Fachbereich der Universität Ulm

Eingereicht von:

Urs Hartl Referent:

Prof. Dr. W. Lütkebohmert

Ulm, den 11. November 1995

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Grundlagen 5 2.1 Separierte und eigentliche Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Flache Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Glattheit und Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Gruppenschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Elliptische Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Aufblasungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Das Néron-Modell 20 3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Das minimale eigentliche und reguläre Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Der Algorithmus von Tate 26

5 Beweis des Algorithmus von Tate 32 5.1 Beweis von Schritt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2 Beweis von Schritt 2 (1.Teil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 Beweis von Schritt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4 Aufblasen des Weierstraß-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.5 Beweis von Schritt 2 (2.Teil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.6 Beweis von Schritt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.7 Beweis von Schritt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.8 Beweis von Schritt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.9 Beweis von Schritt 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.10 Beweis von Schritt 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.11 Beweis von Schritt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.12 Beweis von Schritt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.13 Beweis von Schritt 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Kapitel 1

Einleitung

Ausgangspunkt für diese Diplomarbeit ist die folgende Situation. Eine elliptische Kurve E über einem Zahlkörper K sei gegeben durch eine kubische Gleichung in projektiven Koordinaten. Multipliziert man diese Gleichung mit ihrem Hauptnenner, so ist E über O_{K}, dem Ring der ganzen Zahlen in K definiert. Sei nun P ein Primideal in O_{K}. Dann kann man die elliptische Kurve E modulo P reduzieren und erhält so eine Kurve Ẽ. Die Frage ist nun, was ist Ẽ? Anders formuliert, man betrachtet eine Kurve W über O_{K}, deren Faser über dem generischen Primideal (0) von O_{K} die elliptische Kurve E/K ist und fragt, was ist die Faser Ẽ über P. Man interessiert sich speziell für zwei wichtige Eigenschaften dieser Reduktion.

Zum einen, da E/K projektiv ist, läßt sich jeder K-wertige Punkt von E zu einem O_{K}/Pwertigen Punkt von Ẽ reduzieren.

Zum anderen besitzt die elliptische Kurve E eine Gruppenstruktur und man fragt, ob sich diese unter der Reduktion zu einer Gruppenstruktur auf Ẽ fortsetzt.

Mehrere Fälle können eintreten.

1. Ẽ ist eine elliptische Kurve. Dieser Fall wird gute Reduktion genannt.

2. Ẽ ist eine Kurve mit einem gewöhnlichen Doppelpunkt. Dieser Fall wird multiplikative Reduktion genannt.

3. Ẽ ist eine Kurve mit einer Spitze. Dieser Fall wird additive Reduktion genannt.

Diese Tatsache wird in den Sätzen 2.27 und 2.29 bewiesen.

In den Fällen 2. und 3. besitzt Ẽ einen singulären Punkt P und die Gruppenverknüpfungen sind an P nicht definiert (vergleiche Satz 3.2). Andererseits gibt es aber K-wertige Punkte von E, die zu P reduziert werden. In Bezug auf die beiden obigen Eigenschaften ist man also in dem Dilemma, daß weder das Entfernen noch das Behalten von P beide Eigenschaften ermöglicht.

Die Lösung dafür ist nun ein sogenanntes Néron-Modell, das beide Eigenschaften besitzt (vergleiche Kapitel 3). Dieses erhält man schrittweise. Die Reduzierung modulo P ist ein lokaler Vorgang über dem diskreten Bewertungsring O_{K,P}. Also konstruiert man zuerst für alle Primideale P von O_{K} ein lokales Néron-Modell für E über O_{K,P} und versucht dann diese zu einem globalen Néron-Modell E über O_{K} zusammenzukleben. Wir wollen in dieser Arbeit nur den lokalen Fall E/R über einem diskreten Bewertungsring R studieren.

Die Frage die Anstoß zu dieser Diplomarbeit gab, ist nun, wo sich die ursprüngliche Kurve W/R im Néron-Modell E/R wiederfinden läßt. Dazu untersucht man die spezielle Faser von E über dem maximalen Ideal von R. Ein mächtiges Werkzeug für diese Untersuchung ist der Algorithmus von Tate für elliptische Kurven. Er berechnet die Struktur der speziellen Faser des Néron-Modells E und alle mit ihr zusammenhängenden Daten.

Nach einer vorbereitenden Zusammenstellung der benötigten Konzepte aus der algebraischen Geometrie in Kapitel 2 wird in Kapitel 3 die genaue Definition eines Néron-Modells gegeben und seine Existenz gezeigt. In Kapitel 4 wird der Algorithmus von Tate vorgestellt. Der ausführliche Beweis, daß der Algorithmus korrekt ist und die richtigen Daten liefert, schließt sich in Kapitel 5 an.

Hier sei noch ein Hinweis zur Notation gegeben. Für einen Ring R beziehungsweise einen graduierten Ring S werden die Punkte von Spec R beziehungsweise P roj S in dieser Arbeit durch die enstsprechenden Primideale der Ringe bezeichnet. Zum Beispiel wird der Punkt von P_{K}^{2} = Proj K [X, Y, Z] mit den Koordinaten X = 0 und Y = 0 durch das Primideal (X, Y) von K [X, Y, Z] bezeichnet.

Grundlagen aus der algebraischen Geometrie

An Grundbegriffen zum Verständnis sollten die Definitionen eines Schemas, eines Morphismus von Schemata, sowie eines Produkts von Schemata bekannt sein. Ferner wird eine gewisse Vertrautheit mit dem Garbenbegriff vorausgesetzt. Diese Vorkenntnisse entsprechen etwa dem in Hartschorne [Ha], Chapter II, Abschnitte 1 bis 5 Beschriebenen.

Ein integres Schema X ist in dieser Arbeit ein Schema X, bei dem für jede offene Menge U ⊂ X der Ring O_{X}(U) integer ist. Ein Schema X ist genau dann integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

2.1 Separierte und eigentliche Morphismen

In diesem Abschnitt sollen kurz die Begriffe ”separiert“ und ”eigentlich“ vorgestellt werden. Beides sind Eigenschaften von Morphismen von Schemata, die bekannten Eigenschaften von gewöhnlichen topologischen Räumen entsprechen. Separiert entspricht hausdorffsch und eigentlich entspricht der gewöhnlichen Vorstellung von eigentlich, nämlich daß die Urbilder kompakter Mengen kompakt sind.

Definition 2.1 Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata. Der Diagonalmorphismus ist der eindeutig bestimmte Morphismus Δ : X → X ×_{Y} X, dessen Komposition mit beiden Projektionen pr_{1}, pr_{2} : X ×_{Y} X → X die Identität auf X ist. Der Morphismus f heißt separiert, falls der Diagonalmorphismus eine abgeschlossene Einbettung ist. In diesem Fall heißt X separiert über Y.

Für die Definition von eigentlich benötigt man zuerst noch folgende Begriffe:

Definition 2.2 Ein Morphismus f : X → Y ist von endlichem Typ, falls es eine offene affine Überdeckung V_{i} = Spec B_{i} von Y gibt, so daß für jedes i das Urbild f^{−1}(V_{i}) von endlich vielen offenen affinen Teilmengen U_{ij} = Spec A_{ij} überdeckt werden kann, wobei jedes A_{ij} eine endlich erzeugte B_{i}-Algebra ist.

Definition 2.3 Ein Morphismus heißt abgeschlossen, falls das Bild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist. Ein Morphismus f : X → Y von Schemata heißt universell abgeschlossen, falls f abgeschlossen ist und für jeden Morphismus Y′ → Y der durch Basiserweiterung erhaltene zugehörige Morphismus f′ : X′ → Y′ ebenfalls abgeschlossen ist.

Definition 2.4 Ein Morphismus f : X → Y heißt eigentlich, falls f separiert, von endlichem Typ und universell abgeschlossen ist.

Für die folgenden Kriterien benötigt man den Begriff des noetherschen Schemas.

Definition 2.5 Ein Schema X heißt noethersch, falls es eine endliche Überdeckung mit offenen affinen Teilmengen Spec A_{i} besitzt, bei der jeder Ring A_{i} noethersch ist.

Es gelten die folgenden Kriterien für separierte sowie eigentliche Morphismen.

Satz 2.6 (Bewertungskriterium für separiert) Sei f : X → Y ein Morphismus von endlichem Typ und X noethersch. So ist f separiert genau dann, wenn folgende Bedingung gilt: Für jeden Körper K und jeden Bewertungsring R mit Quotientenkörper K sei T = Spec R, U = Spec K und i : U → T der von der Inklusion R ⊂ K induzierte Morphismus. Zu jedem Morphismus von T nach Y und jedem Morphismus von U nach X, die ein kommutierendes Diagramm ergeben,

[figure: U; T; X; Y; i; f]

gibt es höchstens einen Morphismus von T nach X, der das gesamte Diagramm kommutativ macht.

\underline{Beweis:} Siehe Hartshorne [Ha] Chapter II, Theorem 4.3 .

Satz 2.7 (Bewertungskriterium für eigentlich) Sei f : X → Y ein Morphismus von endlichem Typ und X noethersch. So ist f eigentlich genau dann, wenn folgende Bedingung gilt: Für jeden Körper K und jeden Bewertungsring R mit Quotientenkörper K sei T = Spec R, U = Spec K und i : U → T der von der Inklusion R ⊂ K induzierte Morphismus. Zu jedem Morphismus von T nach Y und jedem Morphismus von U nach X, die ein kommutierendes Diagramm ergeben,

[figure: U; T; X; Y; i; f]

gibt es genau einen Morphismus von T nach X, der das gesamte Diagramm kommutativ macht.

\underline{Beweis:} Siehe Hartshorne [Ha] Chapter II, Theorem 4.7 .

Viele eigentliche Morphismen erhält man durch folgendes

Korollar 2.8 Alle in den folgenden Aussagen erwähnten Schemata seien noethersch.

(a) Eine abgeschlossene Einbettung ist eigentlich.

(b) Die Komposition zweier eigentlicher Morphismen ist eigentlich.

(c) Eigentliche Morphismen sind stabil unter Basiserweiterung.

(d) Falls f : X → Y und f′ : X′ → Y′ eigentliche Morphismen von Schemata über einem Basisschema S sind, so ist der Produktmorphismus f × f′ : X ×_{S} X′ → Y ×_{S} Y′ ebenfalls eigentlich.

\underline{Beweis:} Siehe Hartshorne [Ha] Chapter II, Corollary 4.8 .

Wir werden hauptsächlich an der Situation eines abgeschlossenen Unterschemas in einem projektiven Raum interessiert sein. Deshalb wollen wir uns nun der Frage nach ”eigentlich“ in dieser Situation zuwenden.

Satz 2.9 Sei R ein noetherscher Ring und n eine natürliche Zahl. Dann ist P_{R}^{n}, der projektive Raum über R eigentlich über R.

\underline{Beweis:} Vergleiche Hartshorne [Ha] Chapter II, Theorem 4.9 .

Somit erhält man, daß auch ein Produkt von projektiven Räumen über R eigentlich über R ist. Weiter ist ein abgeschlossenes Unterschema eines Produkts von P_{R}^{n} eigentlich über R.

2.2 Flache Morphismen

Hier soll kurz der Begriff eines flachen Morphismus vorgestellt werden. Betrachtet man die Fasern eines flachen Morphismus, so erhält man eine flache Familie von Schemata. Dies ist die algebraische Formulierung der intuitiven Idee einer ”stetigen Familie von Schemata“. Wir wollen uns auf die im folgenden benötigten Eigenschaften von Flachheit beschränken.

Zur Vorbereitung sei zunächst an die Definition eines flachen Moduls erinnert.

Definition 2.10 Sei A ein Ring und M ein A-Modul. M heißt flach über A, falls der Tensorfunktor N ↦ M ⊗_{A} N ein exakter Funktor für A-Module N ist.

Satz 2.11 Ein A-Modul M ist flach genau dann, wenn für jedes endlich erzeugte Ideal I ⊂ A die Abbildung I ⊗ M → M injektiv ist.

\underline{Beweis:} Siehe Bourbaki [Bo], Chapter I, Section 3, Proposition 1 .

Korollar 2.12 Sei A ein Hauptidealring. Ein A-Modul M ist flach über A genau dann, wenn M torsionsfrei ist.

\underline{Beweis:} Nach Satz 2.11 muß man prüfen, ob für jedes Ideal I ⊂ A die Abbildung I ⊗ M → M injektiv ist. Da aber I Hauptideal ist, also etwa von t erzeugt wird, ist die Injektivität äquivalent zu der Aussage t m ≠ 0 für 0 ≠ m ∈ M. Damit folgt die Behauptung. □

Die Definition eines flachen Morphismus beruht nun auf der eines flachen Moduls.

Definition 2.13 Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata und sei F ein O_{X}-Modul. F heißt flach über Y an einem Punkt x ∈ X, wenn der Halm F_{x} ein flacher O_{Y,y}-Modul ist, wobei y = f(x) und F_{x} durch die natürliche Abbildung f^{#} : O_{Y,y} → O_{X,x} ein O_{Y,y}-Modul ist. Wir sagen F ist flach über Y, wenn F an jedem Punkt flach über Y ist. X heißt flach über Y, wenn O_{X} flach über Y ist.

Satz 2.14 Sei A ein Hauptidealring mit Quotientenkörper K und X ein integres A-Schema, dessen generische Faser X_{K} := X ⊗_{A} K nicht leer ist. Dann ist X flach über A.

\underline{Beweis:} Mit A ist auch A_{P} Hauptidealring für jedes Primideal P. Also genügt es nach Korollar 2.12 zu zeigen, daß für jedes x ∈ X oberhalb von P, der lokale Ring O_{X,x} torsionsfrei als A_{P}- Modul ist.

Sei Spec B eine affine Umgebung von x und Q das zu x gehörige Primideal in B. Der Morphismus Spec B → Spec A sei gegeben durch ϕ : A → B. Da X integer ist, ist B Integritätsring. Sei nun \frac{b}{t} ∈ B_{Q} und \frac{a}{s} ∈ A_{P}. Falls \frac{b}{t} ϕ(\frac{a}{s}) = 0 in B_{Q} ist, so folgt b ϕ(a) = 0 in B, also entweder b = 0 oder ϕ(a) = 0 in B. Also genügt es zu zeigen, daß ϕ : A → B injektiv ist.

Da die generische Faser X_{K} nicht leer ist, liegt das Primideal (0) ⊂ B über (0) ⊂ A und man hat den Ringmorphismus A_{(0)} = K ↪ B_{(0)} = Quot (B). Dieser ist injektiv. Da außerdem A ↪ K injektiv ist und das Diagramm

[figure: B; A; B_{(0)} = Quot (B); A_{(0)} = K; ϕ; ϕ]

kommutiert, folgt ϕ : A → B ist injektiv. □

2.3 Glattheit und Regularität

Aus der Analysis ist die Idee der Mannigfaltigkeit vertraut. In der Algebraischen Geometrie gibt es für die gleiche Vorstellung die beiden Begriffe Glattheit und Regularität. Glattheit ist eine relative Eigenschaft, das heißt eine Eigenschaft von Morphismen von Schemata. Demgegenüber ist Regularität eine Eigenschaft von Schemata, die jedoch leider etwas unhandlich ist. Wir wollen zunächst auf die Glattheit eingehen.

Definition 2.15 Ein Morphismus f : X → S von Schemata X und S heißt glatt von relativer Dimension r in einem Punkt x ∈ X, falls es eine offene Umgebung U von x und eine S-Einbettung

j : U ↪ A_{S}^{n}

von U in einen linearen Raum A_{S}^{n} mit folgenden Eigenschaften gibt:

(a) die Idealgarbe, die j(U) als Unterschema von A_{S}^{n} definiert, wird lokal bei y := j(x) von n − r Schnitten g_{r+1}, …, g_{n} erzeugt und

(b) die Differentiale dg_{r+1}, …, dg_{n} sind linear unabhängig über dem Restklassenkörper k(y).

Ein Morphismus heißt glatt, falls er in allen Punkten glatt ist. (Vergleiche Bosch, Lütkebohmert, Raynaud [BLR], Chapter 2.2, Definition 3 .)

Beispiel 2.15.1 Die Räume A_{S}^{n} und P_{S}^{n} sind glatt über S von relativer Dimension n.

Für die Glattheit von Morphismen hat man folgendes Kriterium.

Satz 2.16 (Jacobi-Kriterium) Seien X und Z Schemata über S und j : X ↪ Z eine abgeschlossene Einbettung. Die Idealgarbe I von O_{Z}, welche X als Unterschema von Z definiert, sei lokal durch endlich viele Schnitte erzeugt. Sei x ein Punkt von X und z := j(x). Z sei als S-Schema glatt in z von relativer Dimension n. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) Als S-Schema ist X glatt in x von relativer Dimension r.

(b) Es gibt lokale Schnitte g_{r+1}, …, g_{n} von O_{Z}, die I_{z} erzeugen, so daß die Differentiale dg_{r+1}(z), …, dg_{n}(z) linear unabhängig über dem Restklassenkörper k(z) sind.

\underline{Beweis:} Vergleiche Bosch, Lütkebohmert, Raynaud [BLR], Chapter 2.2, Proposition 7 .

Als nächstes wollen wir uns dem Begriff der Regularität zuwenden.

Definition 2.17 Sei A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal M. A heißt regulär, falls seine Krull-Dimension gleich der Dimension des Vektorraums M/M^{2} über A/M ist.

Definition 2.18 Ein Schema X heißt regulär in einem Punkt P, falls der lokale Ring O_{X,P} regulär ist. Andernfalls heißt X in P singulär. X heißt regulär, falls es in jedem Punkt regulär ist.

Um zu prüfen, ob ein Schema regulär ist, kann man sich auf die abgeschlossenen Punkte beschränken. Denn jeder lokale Ring eines nichtabgeschlossenes Punktes ist Lokalisierung eines lokalen Rings eines abgeschlossenes Punktes an einem Primideal und es gilt der

Satz 2.19 Sei A ein regulärer lokaler Ring. Dann ist jede Lokalisierung von A an einem Primideal ebenfalls regulär.

\underline{Beweis:} Siehe Matsumura [Ma], Korollar zu Theorem 45, Seite 139 .

Lemma 2.20 Sei A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal M und Restklassenkörper k. Dann gilt dim_{k} M/M^{2} ≥ dim A.

\underline{Beweis:} Siehe Atiyah-Macdonald [AM], Chapter 11, Corollary 11.15, Seite 121 .

Satz 2.21 Sei R ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal (π) und Restklassenkörper k und X ein integres, noethersches, flaches Schema über R. Sei P ∈ X ein abgeschlossener Punkt, das heißt P ∈ X_{k} := X ⊗_{R} k. Falls X_{k} in P regulär ist, so ist auch X in P regulär.

\underline{Beweis:} Sei dim O_{X_{k},P} = n. Das bedeutet, es gibt eine Kette P̃_{0} ⊂ P̃_{1} ⊂ … ⊂ P̃_{n} =: M̃ verschiedener Primideale von O_{X_{k},P}. Diese kommt wegen O_{X_{k},P} = O_{X,P} /πO_{X,P} von einer Kette verschiedener Primideale P_{0} ⊂ P_{1} ⊂ … ⊂ P_{n} =: M von O_{X,P}, wobei (π) ⊂ P_{0} ist. Da X integer ist, ist außerdem (0) ein Primideal in O_{X,P}. Nun ist (0) ≠ (π), denn sonst wäre π = 0 in O_{X,P} und damit O_{X,P} nicht R-torsionsfrei. Dies steht aber nach Korollar 2.12 im Widerspruch zur Flachheit von X über dem diskreten Bewertungsring R. Somit ist (0) ⊂ P_{0} ⊂ P_{1} ⊂ … ⊂ P_{n} eine Kette verschiedener Primideale und es ist dim O_{X,P} ≥ n + 1. Also bleibt nach Lemma 2.20 zu zeigen: Die Dimension des O_{X,P} /M-Vektorraums M/M^{2} ist höchstens n + 1.

Da O_{X_{k},P} regulär und n-dimensional ist, gilt für den O_{X_{k},P} /M̃-Vektorraum M̃/M̃^{2}

M̃/M̃^{2} = ⨁_{i=1}^{n} f̃_{i} (O_{X_{k},P} /M̃)

mit Basisvektoren f̃_{1}, …, f̃_{n} ∈ M̃/M̃^{2}. Diese besitzen wegen M̃ = M/πO_{X,P} Repräsentanten f_{1}′, …, f_{n}′ ∈ M. Sei f_{i} := f_{i}′ + M^{2} ∈ M/M^{2}.

\underline{Behauptung:} Es ist M/M^{2} = ∑_{i=1}^{n} f_{i} (O_{X,P} /M) + (π + M^{2}) (O_{X,P} /M).

Die Inklusion ”⊃“ ist klar, da f_{i} und π + M^{2} ∈ M/M^{2} sind.

Für ”⊂“ sei a ∈ M. Dazu sei ã := a + πO_{X,P} ∈ M̃ = M/πO_{X,P}. Dann gilt in M̃/M̃^{2}

ã + M̃^{2} = ∑_{i=1}^{n} f̃_{i} b_{i} für eindeutig bestimmte b_{i} ∈ O_{X_{k},P} /M̃ = O_{X,P} /M.

Nach der Wahl von Repräsentanten b_{i}′ ∈ O_{X,P} für die b_{i} ist somit in O_{X_{k},P} = O_{X,P} /πO_{X,P}

ã − ∑_{i=1}^{n} (f_{i}′ + πO_{X,P}) (b_{i}′ + πO_{X,P}) = m̃ ∈ M̃^{2}.

Wegen M̃^{2} = M^{2}/(M^{2} ∩ πO_{X,P}) gibt es einen Repräsentanten m ∈ M^{2} für m̃. Damit ist

a − ∑_{i=1}^{n} f_{i}′ b_{i}′ − m = π b′ ∈ πO_{X,P} für ein b′ ∈ O_{X,P}

in O_{X,P}. Also erhält man modulo M^{2} die folgende Gleichheit, welche ”⊂“ zeigt:

a + M^{2} = ∑_{i=1}^{n} f_{i} b_{i} + (π + M^{2}) b mit b := b′ + M ∈ O_{X,P} /M.

Somit ist die Dimension des O_{X,P} /M-Vektorraums M/M^{2} höchstens n + 1. Dies zeigt, daß O_{X,P} regulär und damit X in P regulär ist. □

Über das Verhältnis von Glattheit und Regularität gelten folgende Sätze

Satz 2.22 Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper K und Restklassenkörper k. Sei X ein integres R-Schema von endlichem Typ über R, dessen generische Faser X_{K} := X ⊗_{R} K nicht leer ist. So ist X ein glattes R-Schema genau dann, wenn X_{K}(K̄) und X_{k}(k̄) keine singulären Punkte enthalten.

\underline{Beweis:} Siehe Silverman [Si 2], Chapter IV, Proposition 2.9 .

Korollar 2.23 Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper K und Restklassenkörper k. Sei X ein integres, noethersches R-Schema von endlichem Typ über R, dessen generische Faser X_{K} nicht leer ist. P ∈ X_{k} sei ein abgeschlossener Punkt, welcher glatt über R ist. Dann ist X regulär in P.

\underline{Beweis:} Aus Satz 2.22 folgt, daß X_{k} in P regulär ist. Da die generische Faser X_{K} von X nicht leer ist, ist X flach über R nach Satz 2.14. Wegen Satz 2.21 ist dann auch X regulär in P. □

2.4 Gruppenschemata

Definition 2.24 Sei S ein Schema. Ein Gruppenschema über S ist ein S-Schema π : G → S zusammen mit S-Morphismen

σ_{0} : S ⟶ G,  i : G ⟶ G,  μ : G ×_{S} G ⟶ G,

so daß die folgenden Diagramme kommutieren:

(i) Einselement

[figure: S ×_{S} G; G ×_{S} G; G; pr_{2}; μ; σ_{0} × id; G ×_{S} S; G ×_{S} G; G; pr_{1}; μ; id × σ_{0}]

(ii) Inverses

Hier ist Δ : G → G ×_{S} G der Diagonalmorphismus (Definition 1.1).

(iii) Assoziativität Beispiel 2.24.1 Das additive Gruppenschema G_{a} über Z ist das Schema G_{a} = Spec Z[T]. Das Gruppengesetz auf G_{a} ist durch

[figure: G ×_{S} G; G ×_{S} G; G; G; S; Δ; π; σ_{0}; id × i; μ; G ×_{S} G; G ×_{S} G; G; G; S; Δ; π; σ_{0}; i × id; μ]

[figure: G ×_{S} G ×_{S} G; G ×_{S} G; G ×_{S} G; G; id × μ; μ; μ × id; μ]

Spec Z[T_{1}, T_{2}] = G_{a} ×_{Z} G_{a} ⟶ G_{a} = Spec Z[T]

und den Ringmorphismus Z[T] → Z[T_{1}, T_{2}]; T ↦ T_{1} + T_{2} induziert. Für jeden Ring R ist G_{a}(R) = R, wobei das Gruppengesetz durch die Addition in R gegeben ist. Das additive Gruppenschema G_{a/S} über einem beliebigen Schema S ist das Gruppenschema G_{a} ×_{Z} S, das man durch Basiserweiterung erhält. Speziell ist G_{a/R} = Spec R[T].

Beispiel 2.24.2 Das multiplikative Gruppenschema G_{m} über Z ist das Schema G_{m} = Spec Z[T, T^{−1}]. Das Gruppengesetz auf G_{m} ist durch

Spec Z[T_{1}, T_{1}^{−1}, T_{2}, T_{2}^{−1}] = G_{m} ×_{Z} G_{m} ⟶ G_{m} = Spec Z[T, T^{−1}]

und den Ringmorphismus Z[T, T^{−1}] → Z[T_{1}, T_{1}^{−1}, T_{2}, T_{2}^{−1}]; T ↦ T_{1}T_{2} induziert. Für jeden Ring R ist G_{m}(R) = R^{×}, wobei das Gruppengesetz durch die Multiplikation in R^{×} gegeben ist. Das multiplikative Gruppenschema G_{m/S} über einem beliebigen Schema S ist das Gruppenschema G_{m} ×_{Z} S, das man durch Basiserweiterung erhält. Speziell ist G_{m/R} = Spec R[T, T^{−1}].

Beispiel 2.24.3 Im nächsten Abschnitt wird ein weiteres Beispiel für ein Gruppenschema gegeben. Jede elliptische Kurve E/K über einem Körper K ist ein Gruppenschema über K. (Siehe Satz 2.26)

2.5 Elliptische Kurven

Hier sollen nur kurz einige, im folgenden unmittelbar benötigte Tatsachen über elliptische Kurven erwähnt werden. Für eine gründliche Einführung sei auf die Bücher von Silverman [Si 1] und Husemöller [Hu] über elliptische Kurven verwiesen.

Definition 2.25 Sei K ein Körper. Eine elliptische Kurve über K ist eine glatte kubische Kurve E ⊂ P_{K}^{2}, die durch eine Weierstraß-Gleichung

Y^{2}Z + a_{1}XY Z + a_{3}Y Z^{2} = X^{3} + a_{2}X^{2}Z + a_{4}XZ^{2} + a_{6}Z^{3}

mit Koeffizienten a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{6} ∈ K gegeben ist.

Der elliptischen Kurve E werden folgende Größen zugeordnet:

b_{2} = a_{1}^{2} + 4a_{2},  b_{4} = a_{1}a_{3} + 2a_{4},  b_{6} = a_{3}^{2} + 4a_{6},
b_{8} = a_{1}^{2}a_{6} + 4a_{2}a_{6} − a_{1}a_{3}a_{4} + a_{2}a_{3}^{2} − a_{4}^{2} = (b_{2}b_{6} − b_{4}^{2})/4,
Δ = − b_{2}^{2}b_{8} − 8b_{4}^{3} − 27b_{6}^{2} + 9b_{2}b_{4}b_{6}.

Δ heißt die Diskriminante von E.

Satz 2.26 Sei K ein Körper und E/K eine elliptische Kurve über K. Dann ist E ein Gruppenschema über K.

\underline{Beweis:} Vergleiche Silverman [Si 1] Chapter III, Section 3, speziell Theorem 3.6 und Proposition 3.1 .

Satz 2.27 Sei k ein perfekter Körper und E eine kubische Kurve in P_{k}^{2}, gegeben durch die Gleichung

F (X, Y, Z) = Y^{2}Z + a_{1}XY Z + a_{3}Y Z^{2} − X^{3} − a_{2}X^{2}Z − a_{4}XZ^{2} − a_{6}Z^{3} = 0.

Dann gilt:

(a) Ist die Diskriminante Δ ≠ 0, so ist E glatt und eine elliptische Kurve über k.

(b) Ist die Diskriminante Δ = 0, so gibt es genau einen Punkt von E, der nicht glatt über k ist. Dieser ist k-wertig.

\underline{Beweis:} Nach dem Jacobi-Kriterium (2.16) hat man die partiellen Ableitungen von F zu betrachten.

Der Punkt mit den Koordinaten X = Z = 0 ist glatt über k, da dort Y ≠ 0 und

\frac{∂F}{∂Z} (0, 1, 0) = 1 ≠ 0 ist.

Für die restlichen Punkte sei x := \frac{X}{Z} , y := \frac{Y}{Z} und f := F (x, y, 1). Dann ist

f = y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y − x^{3} − a_{2}x^{2} − a_{4}x − a_{6},
\frac{∂f}{∂x} = a_{1}y − 3x^{2} − 2a_{2}x − a_{4},
\frac{∂f}{∂y} = 2y + a_{1}x + a_{3}.

Wir unterscheiden nun zwei Fälle:

\underline{1. char(k) = 2} In diesem Fall ist

b_{2} = a_{1}^{2},  b_{4} = a_{1}a_{3},  b_{6} = a_{3}^{2},
b_{8} = a_{1}^{2}a_{6} + a_{1}a_{3}a_{4} + a_{2}a_{3}^{2} + a_{4}^{2} und
Δ = a_{1}^{6}a_{6} + a_{1}^{5}a_{3}a_{4} + a_{1}^{4}a_{2}a_{3}^{2} + a_{1}^{4}a_{4}^{2} + a_{1}^{3}a_{3}^{3} + a_{3}^{4}.

Falls a_{1} ≠ 0, so folgt aus \frac{∂f}{∂x} = \frac{∂f}{∂y} = 0, daß x = \frac{a_{3}}{a_{1}} ∈ k und y = \frac{a_{3}^{2}}{a_{1}^{3}} + \frac{a_{4}}{a_{1}} ∈ k der einzige

nicht glatte Punkt sein könnte. In f eingesetzt ergibt dies wegen a_{1}xy + a_{3}y = 0

\frac{a_{3}^{4}}{a_{1}^{6}} + \frac{a_{4}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{a_{3}^{3}}{a_{1}^{3}} + \frac{a_{2}a_{3}^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{a_{3}a_{4}}{a_{1}} + a_{6} = \frac{Δ}{a_{1}^{6}} .

(a) Δ ≠ 0 ⇒ der Punkt x = \frac{a_{3}}{a_{1}} , y = \frac{a_{3}^{2}}{a_{1}^{3}} + \frac{a_{4}}{a_{1}} liegt nicht auf E. Somit ist E glatt über k

und eine elliptische Kurve.

(b) Δ = 0 ⇒ der einzige singuläre Punkt auf E ist der k-wertige Punkt mit den Koordi-

naten x = \frac{a_{3}}{a_{1}} , y = \frac{a_{3}^{2}}{a_{1}^{3}} + \frac{a_{4}}{a_{1}} .

Falls a_{1} = 0, so folgt im Fall (a) aus Δ ≠ 0, daß auch a_{3} ≠ 0 ist. Somit ist \frac{∂f}{∂y} = a_{3} ≠ 0

und E ist glatt.

Im Fall (b) folgt aus Δ = 0, daß auch a_{3} = 0 ist. Somit ist \frac{∂f}{∂y} = a_{3} = 0 für alle x, y.

Wegen \frac{∂f}{∂x} = 0 ist dann x^{2} = a_{4}. Da k perfekt ist, gilt x = \sqrt{a_{4}} ∈ k. Dies ist der

einzige in Frage kommende x-Wert. In f eingesetzt erhält man y^{2} = a_{2}a_{4} + a_{6}. Da k perfekt ist, ist y = \sqrt{a_{2}a_{4} + a_{6}} ∈ k. Der einzige nicht glatte Punkt von E/k ist also x = \sqrt{a_{4}}, y = \sqrt{a_{2}a_{4} + a_{6}} und dieser ist k-wertig.

\underline{2. char(k) ≠ 2}

Aus \frac{∂f}{∂y} = 0 folgt y = − \frac{a_{1}x + a_{3}}{2} . In f und \frac{∂f}{∂x} eingesetzt, ergibt dies

\begin{aligned}x^{3} + & \frac{a_{1}^{2} + 4a_{2}}{4} x^{2} + & \frac{a_{1}a_{3} + 2a_{4}}{2} x & + \frac{a_{3}^{2} + 4a_{6}}{4} = & x^{3} + & \frac{b_{2}}{4} x^{2} + & \frac{b_{4}}{2} x & + \frac{b_{6}}{4} & =: & P = 0 & , \\ 3x^{2} + & \frac{a_{1}^{2} + 4a_{2}}{2} x + & \frac{a_{1}a_{3} + 2a_{4}}{2} & = & 3x^{2} + & \frac{b_{2}}{2} x + & \frac{b_{4}}{2} & = & P′ = 0 & . \end{aligned}

Die Diskriminante von P ist wegen 4b_{8} = b_{2}b_{6} − b_{4}^{2} gleich \frac{Δ}{16}.

(a) Δ ≠ 0 ⇒ P hat nur einfache Nullstellen. Das bedeutet, daß P und P′ keine gemeinsame Nullstelle haben. Somit ist E glatt über k und eine elliptische Kurve.

(b) Δ = 0 ⇒ P hat genau eine mehrfache Nullstelle, da sein Grad gleich drei ist. Diese ist gemeinsame Nullstelle von P und P′. Da k perfekt ist, liegt sie in k. Somit gibt es genau einen Punkt von E, der nicht glatt über k ist und dieser ist k-wertig. □

Satz 2.28 Sei K ein Körper und E eine elliptische Kurve in P_{K}^{2}, gegeben durch die Gleichung

F (X, Y, Z) = Y^{2}Z + a_{1}XY Z + a_{3}Y Z^{2} − X^{3} − a_{2}X^{2}Z − a_{4}XZ^{2} − a_{6}Z^{3} = 0.

Eine zulässige Variablentransformation der elliptischen Kurve ist von der Form

X = u^{2}X̄ + rZ̄,  Y = u^{3}Ȳ + su^{2}X̄ + tZ̄  und  Z = Z̄,

mit s, r, t ∈ K und u ∈ K^{×}. Sie führt E über in die zu E isomorphe elliptische Kurve Ē ⊂ P_{K}^{2} mit der Gleichung

F̄(X̄, Ȳ , Z̄) = Ȳ^{2}Z̄ + ā_{1}X̄Ȳ Z̄ + ā_{3}Ȳ Z̄^{2} − X̄^{3} − ā_{2}X̄^{2}Z̄ − ā_{4}X̄Z̄^{2} − ā_{6}Z̄^{3} = 0,

wobei die ā_{i} und die Diskriminante Δ̄ von Ē durch die folgenden Umrechnungen gegeben sind

u ā_{1} = a_{1} + 2s,
u^{2}ā_{2} = a_{2} − sa_{1} + 3r − s^{2},
u^{3}ā_{3} = a_{3} + ra_{1} + 2t,
u^{4}ā_{4} = a_{4} − sa_{3} + 2ra_{2} − (t + rs)a_{1} + 3r^{2} − 2st,
u^{6}ā_{6} = a_{6} + ra_{4} + r^{2}a_{2} + r^{3} − ta_{3} − rta_{1} − t^{2},
u^{12}Δ̄ = Δ.

\underline{Beweis:} Siehe Husemöller [Hu], Chapter 3, Remarks 2.4 und 3.2 .

Satz 2.29 Sei k ein Körper und E eine kubische Kurve in P_{k}^{2}, gegeben durch die Gleichung

F = Y^{2}Z + a_{1}XY Z − X^{3} − a_{2}X^{2}Z = 0,

welche wir über dem Körper k′ = k(α) = k(β) in (Y −αX)(Y −βX)Z = X^{3} faktorisieren. E enthält einen einzigen singulären Punkt, nämlich X = Y = 0. Somit gilt für das offene Unterschema E_{ns} der nichtsingulären Punkte von E:

E_{ns} = Spec (k[X, Y, Z]/(F))_{(Y^{2}+a_{1}XY −a_{2}X^{2})},

wobei (k[X, Y, Z]/(F))_{(Y^{2}+a_{1}XY −a_{2}X^{2})} der Unterring der Elemente von Grad Null in

k[X, Y, Z, \frac{1}{Y^{2}+a_{1}XY −a_{2}X^{2}} ]/(F) ist. Es gilt:

1. \underline{Multiplikative Reduktion falls α ≠ β:} Der Ringmorphismus

k′[T, T^{−1}] ⟶ (k′[X, Y, Z]/(F))_{(Y −αX)(Y −βX)}; T ↦ \frac{Y − βX}{Y − αX}

definiert einen Isomorphismus E_{ns} → G_{m/k′} über k′.

(a) \underline{split, falls k′ = k, das heißt α, β ∈ k:} Die Abbildung E_{ns}(k) → G_{m/k}(k) = k^{×} ist ein Isomorphismus auf die multiplikative Gruppe von k.

(b) \underline{non-split, falls k′ ≠ k, das heißt α, β ∉ k:} Die Abbildung definiert einen Isomorphismus E_{ns}(k) → {a ∈ k′ : N_{k}^{k′}(a) = 1} auf die multiplikative Gruppe der Elemente von k′ mit Norm 1 über k.

2. \underline{Additive Reduktion falls α = β:} Der Ringmorphismus

k′[T] ⟶ (k′[X, Y, Z]/(F))_{(Y −αX)(Y −βX)}; T ↦ \frac{X}{Y − αX}

definiert einen Isomorphismus E_{ns} → G_{a/k′} über k′. Die Abbildung E_{ns}(k′) → G_{a}(k′) = k′ ist ein Isomorphismus auf die additive Gruppe von k′. Man beachte, daß bei perfektem Körper k gilt k′ = k.

\underline{Beweis:} Nach Satz 2.27 hat E einen einzigen singulären Punkt, nämlich X = Y = 0.

Im multiplikativen Fall führen wir die neuen Variablen

u = \frac{Y − βX}{Y − αX}  und  v = \frac{Z}{Y − αX} .

ein. Mit der Gleichheit

(Y − αX)^{3}(u − 1)^{3} = (α − β)^{3}X^{3} = (α − β)^{3}(Y − αX)(Y − βX)Z

erhält man als Gleichung für E_{ns} in (u, v)-Koordinaten (α − β)^{3}uv = (u − 1)^{3}. Dabei werden Geraden in X, Y, Z mit Gleichung AX + BY + CZ = 0 in Geraden in u, v mit Gleichung A′u + B′v + C′ = 0 transformiert, wobei

A = − αC′ − βA′,  B = A′ + C′,  und  C = B′  ist.

Dies bedeutet, daß Geraden, die nicht durch den Punkt X = Y = 0 gehen, B′ = C ≠ 0 in k′ haben. Falls nun (u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}) und (u_{3}, v_{3}) drei Punkte von E_{ns} sind, die auf der Geraden v = λu + δ liegen, so faktorisiert man

0 = (u − 1)^{3} − (α − β)^{3}u(λu + δ) = (u − u_{1})(u − u_{2})(u − u_{3})

und erhält somit u_{1}u_{2}u_{3} = 1 in der multiplikativen Gruppe. Das Einselement X = Z = 0 von E_{ns} wird auf u = 1 abgebildet. Das bedeutet, daß die Zuordnung T ↦ u das Gruppengesetz von E_{ns} in das Gruppengesetz von G_{m/k′} überführt.

Durch die Zuordnung

\frac{X}{Y − αX} = \frac{u − 1}{α − β} , \frac{Y}{Y − αX} = \frac{αu − β}{α − β} und \frac{Z}{Y − αX} = \frac{1}{u} (\frac{u − 1}{α − β} )^{3}

ist der inverse Morphismus gegeben. Dies zeigt, daß E_{ns} → G_{m/k′} ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist E_{ns}(k′) ≅ G_{m/k′}(k′) ein Isomorphismus von Gruppen.

Falls nun k′ ≠ k ist, so haben die Elemente u = \frac{Y − βX}{Y − αX} ∈ k′ für X, Y ∈ k die Norm

N_{k}^{k′}(u) = u u′ = \frac{Y − βX}{Y − αX} · \frac{Y − αX}{Y − βX} = 1,

da α′ = β und β′ = α die Konjugierten von einander in k′ über k sind. Umgekehrt sei a ∈ k′ mit Norm 1. Dann gibt es ein c ∈ k′, so daß w = c+ac′ ≠ 0 ist und aus w′ = c′ +a′c folgt

a w′ = a c′ + a a′ c = c + a c′ = w.

Somit ist a = \frac{w}{w′} = \frac{Y − βX}{Y − αX} mit X, Y ∈ k, da w ∈ k′ = k(β). Damit ist 1. bewiesen.

Im additiven Fall führen wir die neuen Variablen

u = \frac{X}{Y − αX}  und  v = \frac{Z}{Y − αX} .

ein. Mit der Gleichheit

(Y − αX)^{2}Z = X^{3} = (Y − αX)^{3}u^{3}

erhält man als Gleichung für E_{ns} in (u, v)-Koordinaten v = u^{3}. Dabei werden Geraden in X, Y, Z mit Gleichung AX+BY +CZ = 0 in Geraden in u, v mit Gleichung A′u+B′v+C′ = 0 transformiert, wobei

A = A′ − αC′,  B = C′,  und  C = B′  ist.

Dies bedeutet, daß Geraden, die nicht durch den Punkt X = Y = 0 gehen, B′ = C ≠ 0 in k′ haben. Falls nun (u_{1}, v_{1}), (u_{2}, v_{2}) und (u_{3}, v_{3}) drei Punkte von E_{ns} sind, die auf der Geraden v = λu + δ liegen, so faktorisiert man

0 = u^{3} − (λu + δ) = (u − u_{1})(u − u_{2})(u − u_{3})

und erhält somit u_{1} + u_{2} + u_{3} = 0 in der additiven Gruppe. Das Einselement X = Z = 0 von E_{ns} wird auf u = 0 abgebildet. Das bedeutet, daß die Zuordnung T ↦ u das Gruppengesetz von E_{ns} in das Gruppengesetz von G_{a/k′} überführt.

Durch die Zuordnung

\frac{X}{Y − αX} = u,  \frac{Y}{Y − αX} = 1 + αu  und  \frac{Z}{Y − αX} = u^{3}

ist der inverse Morphismus gegeben. Dies zeigt, daß E_{ns} → G_{a/k′} ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist E_{ns}(k′) ≅ G_{a/k′}(k′) ein Isomorphismus von Gruppen. □

2.6 Aufblasungen

Beim Beweis des Algorithmus von Tate sind Aufblasungen das wesentliche Instrument, mit dem das Néron-Modell konstruiert wird. Deshalb soll hier eine kurze Einführung dazu gegeben werden.

Konstruktion 2.30 Sei X ein noethersches Schema und I eine kohärente Idealgarbe auf X. Man betrachte die Garbe S = ⨁_{d≥0} I^{d} von graduierten O_{X}-Algebras, wobei I^{0} = O_{X} und I^{d} die d-fache Tensorpotenz von I ist.

Für jede offene affine Teilmenge U = Spec A von X sei S(U) die graduierte A-Algebra Γ(U, S|_{U}). Dann betrachte man P roj S(U) und den durch A → S(U) gegebenen Morphismus ϕ_{U} : P roj S(U) → U. Falls f ∈ A und U_{f} = Spec A_{f}, so ist P roj S(U_{f}) ≅ ϕ_{U}^{−1}(U_{f}), da S quasi-kohärent ist. Es folgt damit, wenn U, V offene affine Teilmengen von X sind, daß ϕ_{U}^{−1}(U ∩ V) natürlich isomorph zu ϕ_{V}^{−1}(U ∩ V) ist. Diese Isomorphismen gestatten es, die Schemata P roj S(U) zusammenzukleben. Man erhält ein Schema Proj S zusammen mit einem Morphismus ϕ : Proj S → X, so daß für jede offene affine Teilmenge U ⊂ X gilt ϕ^{−1}(U) ≅ P roj S(U). (Vergleiche Hartshorne [Ha], Chapter II.7 Construction, Seite 160 .)

X̃ := Proj S heißt die Aufblasung (’Blowing up’) von X bezüglich der kohärenten Idealgarbe I. Falls Y das zu I gehörende abgeschlossene Unterschema von X ist, heißt X̃ auch die Aufblasung von X entlang Y.

Satz 2.31 Sei X ein noethersches Schema, I eine kohärente Idealgarbe und sei ϕ : X̃ → X die Aufblasung von I. Sei Y das zu I gehörende abgeschlossene Unterschema von X und U = X − Y. Dann ist ϕ : ϕ^{−1}(U) ⟶ U ein Isomorphismus.

\underline{Beweis:} Es ist I|_{U} ≅ O_{U} und somit ϕ^{−1}(U) = Proj O_{U}[T] = U. (Siehe Hartshorne [Ha], Chapter II, Proposition 7.13 .) □

Bemerkung 2.31.1 Eine direkte Konsequenz dieses Satzes ist folgende nützliche Eigenschaft von Aufblasungen. Falls man statt des Schemas X ein offenes Unterschema X′ mit Y ⊂ X′ aufbläst und diese Aufblasung dann entlang ϕ^{′−1}(X′ − Y) ≅ X′ − Y mit X zusammenklebt, so erhält man das gleiche Schema wie das, welches man durch Aufblasung von X entlang Y bekäme. Dies gestattet es, das aufzublasende Schema vorher sozusagen ”zurechtzuschneiden“, um die Aufblasung einfacher zu machen.

Satz 2.32 Sei Y abgeschlossenes Unterschema eines noetherschen Schemas X und V ein abgeschlossenes Unterschema von Y. Sei ϕ : X̃ → X die Aufblasung von X entlang V und sei ψ : Ỹ → Y die Aufblasung von Y entlang V. Dann ist Ỹ ein abgeschlossenes Unterschema von X̃ und ψ = ϕ|_{Y}. Ỹ heißt dann die strikte Transformation von Y unter der Aufblasung ϕ : X̃ → X. Falls insbesondere Y irreduzibel und V echte Teilmenge von Y ist, so erhält man Ỹ als den Abschluß Ỹ = \overline{ϕ^{−1}(Y − V)} in X̃.

\underline{Beweis:} Vergleiche Hartshorne [Ha], Chapter II, Proposition 7.15 .

Das Néron-Modell

Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper K und E/K eine elliptische Kurve, die durch eine Weierstraß-Gleichung mit Koeffizienten aus R gegeben ist. Diese Weierstraß-Gleichung definiert ein abgeschlossenes Unterschema W ⊂ P_{R}^{2}. Dieses ist eigentlich über R und folglich liftet jeder Punkt von E(K) eindeutig zu einem Punkt in W(R).

Eine weitere wichtige Eigenschaft der elliptischen Kurve E ist, daß sie ein Gruppenschema ist. Das Gruppengesetz dehnt sich zu einer rationalen Abbildung W ×_{R} W − − − > W aus, die aber im allgemeinen kein Morphismus ist. Somit ist W nicht notwendig ein Gruppenschema über R. Nimmt man stattdessen den glatten Ort W^{0} von W über R, so erhällt man ein R-Gruppenschema. Doch leider hat man dabei obige Punkt-Liftungs-Eigenschaft verloren.

Ein Néron-Modell für E/K ist nun ein Schema E/R, das sowohl ein R-Gruppenschema ist, als auch die Punkt-Liftungs-Eigenschaft hat. Wir wollen seine Definition angeben und kurz auf seine Existenz eingehen.

3.1 Definition

Definition 3.1 Sei R ein Dedekindring mit Quotientenkörper K und sei E/K eine elliptische Kurve. Ein Néron-Modell für E/K ist ein glattes, separiertes Schema E/R von endlichem Typ über R, dessen generische Faser gleich E/K ist und das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt, die Néron Mapping Property genannt wird:

Sei X /R ein glattes R-Schema mit generischer Faser X/K und sei ϕ_{K} : X_{/K} → E_{/K} ein K-Morphismus. Dann existiert genau ein R-Morphismus ϕ_{R} : X_{/R} → E_{/R}, der ϕ_{K} fortsetzt.

( \begin{matrix}Néron \\ Mapping \\ Property \end{matrix} )

Bemerkung 3.1.1 Das Néron-Modell E(R) für E/K ist ein Gruppenschema. (Siehe Bosch, Lütkebohmert, Raynaud [BLR], Chapter 4.3, Theorem 6 und Chapter 4.4, Corollary 4 .)

Bemerkung 3.1.2 Der wichtigste Fall der Néron Mapping Property ist X = Spec R und X = Spec K. Dann ist die Menge der K-Abbildungen genau gleich der Gruppe der K-rationalen Punkte E(K) und die Menge der R-Morphismen gleich der Gruppe der R-rationalen Punkte E(R). Also besagt die Néron Mapping Property, daß die natürliche Abbildung

E(R) ⟶ E(K)

surjektiv ist. Da E über R separiert ist, ist sie eine Bijektion.

Satz 3.2 Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper K und E/K eine elliptische Kurve, die durch eine minimale Weierstraß-Gleichung

Y^{2}Z + a_{1}XY Z + a_{3}Y Z^{2} = X^{3} + a_{2}X^{2}Z + a_{4}XZ^{2} + a_{6}Z^{3}

mit Koeffizienten in R gegeben ist. Diese Weierstraß-Gleichung definiert ein Schema W ⊂ P_{R}^{2}. Sei W^{0} ⊂ W das größte Unterschema von W, welches glatt über R ist. Dann gilt:

(a) Sowohl W/R als auch W^{0}/R haben generische Faser E/K.

(b) Der Additions- und Inversions-Morphismus von E setzen sich fort zu R-Morphismen

W^{0} ×_{R} W^{0} ⟶ W^{0}  und  W^{0} ⟶ W^{0},

die W^{0} zu einem Gruppenschema über R machen.

\underline{Beweis:} Vergleiche Silverman [Si 2], Chapter IV, Theorem 5.3 .

Ad a) Aufgrund der Sätze 2.22 und 2.27 ist W^{0} entweder gleich W oder W^{0} ist W minus einen Punkt der speziellen Faser. Damit folgt Behauptung a).

Ad b) Die Addition und Invertierung auf E/K induzieren rationale Abbildungen

μ : W ×_{R} W − − − > W  und  i : W − − − > W.

Diese erfüllen die Gruppenaxiome auf dem offenen dichten Unterschema E ⊂ W, da E ein Gruppenschema ist. Deshalb erfüllen sie die Gruppenaxiome auf dem größten offenen Unterschema, auf dem sie definiert sind. Eine längere Rechnung (Silverman [Si 2], Chapter IV, Theorem 5.3) zeigt nun, daß dieses W^{0} enthält und

μ : W^{0} ×_{R} W^{0} ⟶ W^{0}  und  i : W^{0} ⟶ W^{0}

Morphismen sind. □

Bemerkung 3.2.1 W wird das Weierstraß-Modell für E/K genannt.

Nun wollen wir uns der Frage nach der Existenz eines Néron-Modells zuwenden. Dazu müssen wir etwas ausholen.

3.2 Das minimale eigentliche und reguläre Modell

Um ein Néron-Modell für eine elliptische Kurve zu konstruieren, werden wir ihr Weierstraß-Modell desingularisieren und dabei ein sogenanntes minimales eigentliches und reguläres Modell erhalten. Deshalb soll kurz erwähnt werden, was dies ist und wie daraus die Existenz eines Néron-Modells folgt.

Satz 3.3 Sei R ein Dedekindring mit Quotientenkörper K und C/K eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht g. Dann gilt:

(a) [Abhyankar, Lipman] Es existert ein reguläres Schema C/R, eigentlich und flach über R, dessen generische Faser isomorph zu E/K ist. C/R heißt ein eigentliches und reguläres Modell für E/K.

(b) [Lichtenbaum, Shafarevich] Falls g ≥ 1 ist, so existert ein reguläres Schema C^{min}/R, eigentlich und flach über R, dessen generische Faser isomorph zu E/K ist und das die folgende Minimalitätseigenschaft erfüllt: Sei C/R ein anderes solches Schema und sei ein Isomorphismus der generischen Faser von C auf die generische Faser von C^{min} gegeben. Dann ist die induzierte birationale Abbildung

C − − −> C^{min}

ein R-Morphismus. C^{min}/R heißt das minimale eigentliche und reguläre Modell für E/K. Es ist eindeutig bis auf R-Isomorphie.

\underline{Beweis:}

(a) Siehe Abhyankar [Ab] und Lipman [Lm], Seite 151 .

(b) Siehe Lichtenbaum [Lb], Theorem 4.4, Seite 404 und Shafarevich [Sh], Lectures 6, 7 und 8, speziell Seite 155 .

Siehe Silverman [Si 2], Chapter IV, Theorem 4.5 für weitere Literatur zu diesem Satz.

Satz 3.4 Sei R ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, E/K eine elliptische Kurve, C/R ein minimales eigentliches und reguläres Modell für E/K und sei E/R das größte Unterschema von C/R, welches glatt über R ist. Dann ist E/R ein Néron-Modell für E/K.

\underline{Beweis:} Siehe Silverman [Si 2], Chapter IV, Theorem 6.1 .

Bemerkung 3.4.1 Das Gruppenschema E/R besitzt ein Einselement, welches ein R-wertiger Punkt σ_{0} ∈ E(R) ist. Das Bild σ_{0}(R) des Einselements ist eine Kurve in E, die für P ∈ Spec R die spezielle Faser E_{P} in dem Punkt σ_{0}(P) schneidet. Die Zusammenhangskomponente von E_{P}, die σ_{0}(P) enthält, heißt die Eins-Komponente von E_{P}. Das Schema, das man durch Entfernen aller von den Eins-Komponenten verschiedenen Komponenten erhält, heißt die zusammenhängende Komponente von E und wird mit E^{0} bezeichnet. E^{0} ist ein Untergruppenschema von E. Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen daß

E^{0} ≅ W^{0}

gilt (siehe Korollar 4.1). Dabei werden hier die allgemeinen Existenzsätze Satz 3.3 und Satz 3.4 nicht benutzt. Sondern der Algorithmus von Tate konstruiert explizit ein minimales eigentliches und reguläres Modell und ein Néron-Modell für E/K und beweist damit die Existenz der beiden Modelle im Fall elliptischer Kurven.

Diese Konstruktion verläuft folgendermaßen. Der Algorithmus von Tate konstruiert durch fortgesetztes Aufblasen der singulären Punkte des Weierstraß-Modells W/R ein eigentliches, reguläres Schema über R. Um dieses als minimales eigentliches und reguläres Modell für E/K zu erkennen, wird die folgende Kodaira-Néron-Klassifikation der Fasern eines minimalen eigentlichen und regulären Modells einer elliptischen Kurve verwendet.

Satz 3.5 Sei R ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal P, Quotientenkörper K und algebraisch abgeschlossenem Restklassenkörper k. Sei E/K eine elliptische Kurve und C/R ein minimales eigentliches und reguläres Modell für E/K. Dann hat die spezielle Faser C_{P} eine der folgenden Gestalten. (Vergleiche Abbildung 3.1 auf Seite 25 . Die kleinen Zahlen in Abbildung 3.1 geben die Vielfachheiten der Komponenten an.)

Typ I_{0} C_{P} ist eine elliptische Kurve.

Typ I_{1} C_{P} ist eine rationale Kurve mit einem Doppelpunkt (’node’).

Typ I_{n} C_{P} besteht aus n in einem n-Eck angeordneten nichtsingulären rationalen

Kurven, bei n ≥ 2.

Typ II C_{P} ist eine rationale Kurve mit einer Spitze (’cusp’).

Typ III C_{P} besteht aus zwei nichtsingulären rationalen Kurven, die sich in einem

Punkt tangential schneiden.

Typ IV C_{P} besteht aus drei nichtsingulären rationalen Kurven, die sich in einem

Punkt transversal schneiden.

Typ I_{0}^{∗} C_{P} besteht aus einer nichtsingulären rationalen Kurve mit Vielfachheit 2 und vier nichtsingulären rationalen Kurven mit Vielfachheit 1, die erstere in je einem Punkt transversal schneiden.

Typ I_{n}^{∗} C_{P} besteht aus einer Kette von n + 1 nichtsingulären rationalen Kurven mit Vielfachheit 2 und je zwei nichtsingulären rationalen Kurven mit Vielfachheit 1, die die Enden der Kette in je einem Punkt transversal schneiden.

Typ IV^{∗} C_{P} besteht aus sieben nichtsingulären rationalen Kurven, die wie in Ab-

bildung 3.1 angeordnet sind.

Typ III^{∗} C_{P} besteht aus acht nichtsingulären rationalen Kurven, die wie in Abbil-

dung 3.1 angeordnet sind.

Typ II^{∗} C_{P} besteht aus neun nichtsingulären rationalen Kurven, die wie in Abbildung 3.1 angeordnet sind.

\underline{Beweis:} Siehe Silverman [Si 2], Chapter IV, Theorem 8.2 .

Bemerkung 3.5.1

Neben der eben angegebenen Notation von Kodaira gibt es noch eine weitere gebräuchliche, die auf Néron zurückgeht. Dabei sind folgende Bezeichnungen jeweils äquivalent.

Kodaira I_{0} I_{n} II III IV I_{0}^{∗} I_{n}^{∗} IV^{∗} III^{∗} II^{∗}
Néron a b_{n} c1 c2 c3 c4 c5_{n} c6 c7 c8

Bemerkung 3.5.2 Aus der Bewertung der Größen Δ, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{6}, b_{2}, b_{4} sowie b_{6}, die der Algorithmus von Tate berechnet, ersieht man wie sich diese Typen nach Ringerweiterungen R ↪ R′ im Falle semistabiler Reduktion verändern.

Sei π der uniformisierende Parameter von R und π′ der uniformisierende Parameter von R′. Im Falle char R/(π) ≠ 2, 3 gilt:

Gute Reduktion: Die Typen II, III, IV, I_{0}^{∗}, IV^{∗}, III^{∗} und II^{∗} werden zu Typ I_{0}.

Multiplikative Reduktion: Der Typ I_{n}^{∗} wird zu Typ I_{rn}, wobei π R′ = (π′)^{r} und r gerade ist.

KAPITEL 3. DAS NÉRON-MODELL 25

Abbildung 3.1: Die Kodaira-Néron-Klassifikation für die spezielle Faser

Reduktions- Anzahl der  Konfiguration
Typ  Komponenten  (mit Vielfachheiten)
I_{0}  1  _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}1
I_{1}  1  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}1
I_{n}  n  [figure: 1; 1; 1]
II  1  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}  1
III  2  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} 1  1
IV  3  [figure: 1; 1; 1]
I_{0}^{∗}  5  2 1 1  1 1
I_{n}^{∗}  n + 5  2 1 1  2  2 2 1 1
IV^{∗}  7  [figure: 2; 2; 2; 1; 1; 1; 3]
III^{∗}  8  1  3  2  3  1 2  2 4
II^{∗}  9  4  3  5  3  1 2  4 6  2

Der Algorithmus von Tate

In diesem und dem folgenden Kapitel sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper K, uniformisierendem Parameter π, perfektem Restklassenkörper k und normierter Bewertung v. k̄ sei der algebraische Abschluß von k. Zu einem R-Schema X soll mit X̃ die spezielle Faser X̃ := X ⊗_{R} k bezeichnet werden.

Der Algorithmus von Tate ist eine Folge von Anweisungen, um zu einer elliptischen Kurve E/K das minimale eigentliche und reguläre Modell C/R und das Néron-Modell E/R zu konstruieren. Alle angegebenen Werte können dann von dem Néron-Modell abgelesen werden. Da der Algorithmus sich schlecht als Satz formulieren läßt, soll zuvor ein Ergebnis angegeben weden. Dieses ist eine Folgerung, die während der Konstruktion des Néron-Modells gezogen werden kann und sie soll deshalb als Korollar formuliert werden.

Korollar 4.1 Die elliptische Kurve E/K sei durch eine minimale Weierstraß-Gleichung gegeben. Diese Gleichung definiert ein abgeschlossenes Unterschema W ⊂ P_{R}^{2} über R. Sei W^{0} das größte Unterschema von W, welches glatt über R ist. Dann ist

W^{0} ≅ E^{0},

das heißt, W^{0} ist die zusammenhängende Komponente des Néron-Modells E/R für E/K.

Der Algorithmus von Tate berechnet zu einer elliptischen Kurve E/K die folgenden zugehörigen Werte:

Typ den Reduktionstyp der speziellen Faser C̃ über k̄. Als Bezeichnung hierfür werden die Kodaira-Symbole aus Satz 3.5 verwendet.

m(E/K) die Anzahl der Komponenten von C, die über k̄ definiert sind ohne Vielfachheit gezählt.

v(D_{E/K}) die Bewertung der minimalen Diskriminante von E/K. c(E/K) die Ordnung der Komponentengruppe Ẽ(k)/Ẽ^{0}(k). Diese ist gleich der

Anzahl der Komponenten der speziellen Faser C̃, welche Vielfachheit 1 haben und über k definiert sind.

Für diese Größen werden auch folgende Symbole verwendet

m = m(E/K), c = c(E/K),

wenn die elliptische Kurve E und der Körper K aus dem Kontext klar sind.

Der Algorithmus von Tate beginnt mit einer beliebigen Weierstraß-Gleichung

y^{2} + a_{1}xy + a_{3}y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6}

für E/K und desingularisiert das zugehörige Weierstraß-Modell durch Aufblasungen. Man erhält ein minimales eigentliches und reguläres Modell C. Von diesem kann man dann die gesamten Informationen ablesen. Auf dem Weg dorthin werden einige Annahmen gemacht. Diese sind kummulativ und werden der Übersicht halber eingerahmt .

Durch eine Variablentransformation kann man erreichen, daß die Weierstraß-Gleichung Koeffizienten a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{6} ∈ R hat. Die zugehörigen Größen seien wie üblich

b_{2} = a_{1}^{2} + 4a_{2},
b_{4} = a_{1}a_{3} + 2a_{4},
b_{6} = a_{3}^{2} + 4a_{6},
b_{8} = a_{1}^{2}a_{6} + 4a_{2}a_{6} − a_{1}a_{3}a_{4} + a_{2}a_{3}^{2} − a_{4}^{2} = (b_{2}b_{6} − b_{4}^{2})/4,
Δ = − b_{2}^{2}b_{8} − 8b_{4}^{3} − 27b_{6}^{2} + 9b_{2}b_{4}b_{6}.

Es wird nicht vorausgesetzt, daß die ursprüngliche Weierstraß-Gleichung minimal ist. Wenn der Algorithmus terminiert, so wird die resultierende Weierstraß-Gleichung minimal sein.

\underline{Schritt 1}

Falls π |̸ Δ, so ist die spezielle Faser Ẽ eine elliptische Kurve über k und man hat

Typ I_{0},  v(Δ) = 0,  m = 1,  c = 1.

\underline{Schritt 2}

Sei π | Δ . Dann hat die spezielle Faser Ẽ genau einen singuläre Punkt. Dieser ist k-wertig und wird durch eine geeignete Translation nach x = y = π = 0 verschoben. Dadurch wird

π | a_{3}, a_{4}, a_{6} .

Falls π |̸ b_{2}, so sei k′ der Zerfällungskörper des Polynoms T^{2} + ã_{1}T − ã_{2} über k. Man hat

Typ I_{n},  v(Δ) = n ≥ 1,  m = n.

Ferner, falls k′ = k ist, so hat E split multiplikative Reduktion und es ist

Ẽ^{0}(k) ≅ k^{×}  und  c = n.

Falls k′ ≠ k ist, so hat E non-split multiplikative Reduktion und es ist

Ẽ^{0}(k) ≅ \{α ∈ k′ : N_{k}^{k′}(α) = 1\} und \{ \begin{matrix}c = 1 falls & n ungerade ist, \\ c = 2 falls & n gerade ist. \end{matrix}

Von jetzt an hat Ẽ eine Spitze und Ẽ^{0}(k) ≅ k^{+} . Die Weierstraß-Gleichung wird nun transformiert, so daß die a_{i} durch immer höhere Potenzen von π teilbar werden. Dabei wird folgende Notation verwendet:

a_{i,r} := π^{−r}a_{i}.

\underline{Schritt 3} Sei π | b_{2} . Falls π^{2} |̸ a_{6}, so hat man

Typ II,  m = 1,  c = 1.

\underline{Schritt 4} Sei π^{2} | a_{6} . Daraus folgt π^{2} | b_{6}, b_{8}. Falls π^{2} |̸ a_{4}, so hat man

Typ III,  m = 2,  c = 2.

\underline{Schritt 5} Sei π^{2} | a_{4} . Daraus folgt π^{2} | b_{4} und π^{3} | b_{8}. Falls π^{3} |̸ b_{6}, so sei k′ der Zerfällungskörper des Polynoms T^{2} + ã_{3,1}T − ã_{6,2} über k. Man hat

Typ IV,  m = 3,  \{ \begin{matrix}c = 3 falls & k′ = k, \\ c = 1 falls & k′ ≠ k. \end{matrix}

\underline{Schritt 6} Sei π^{3} | b_{6} . Dann kann man

\begin{matrix}y^{2} + a_{1}y − a_{2} ≡ & (y − s)^{2} mod π \\ y^{2} + a_{3,1}y − a_{6,2} ≡ & (y − t)^{2} mod π \end{matrix}

mit s, t ∈ R faktorisieren und die Translation y → y + sx + πt liefert das Ergebnis π | a_{1}, a_{2}, π^{2} | a_{3}, a_{4}, π^{3} | a_{6} . Nun betrachte man die Faktorisierung von

P (T) := T^{3} + ã_{2,1}T^{2} + ã_{4,2}T + ã_{6,3}

über k̄. Für konkrete Berechnungen sei angemerkt, daß P folgende Diskriminante hat Diskr(P) = π^{−6}( − 4a_{2}^{3}a_{6} + a_{2}^{2}a_{4}^{2} − 4a_{4}^{3} − 27a_{6}^{2} + 18a_{2}a_{4}a_{6}).

Falls P (T) drei verschiedene Nullstellen in k̄ hat, also wenn π |̸ Diskr(P), so hat man

Typ I_{0}^{∗},  m = 5,  c = 1 + #{α ∈ k : P (α) = 0}.

\underline{Schritt 7}

Falls P (T) eine einfache und eine doppelte Nullstelle in k̄ hat, so hat man

Typ I_{n}^{∗},  m = n + 5,  c = 2 oder 4.

Bei char(k) ≠ 2 gilt zusätzlich n = v(Δ) − 6 und somit m = v(Δ) − 1. Für beliebige Charakteristik char(k) können die Werte von n und c durch folgende Unterprozedur bestimmt werden.

Schritt 7 (Unterprozedur)

Durch eine Translation verschiebe man x so, daß die doppelte Nullstelle von P (T) gleich T = 0 ist. Damit wird π^{2} |̸ a_{2}, π^{3} | a_{4} und π^{4} | a_{6}. Falls das Polynom y^{2} + ã_{3,2}y − ã_{6,4} zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat, so sei k′ sein Zerfällungskörper über k. Dann hat man

Typ I_{1}^{∗},  m = 6,  \{ \begin{matrix}c = 4 falls & k′ = k, \\ c = 2 falls & k′ ≠ k. \end{matrix}

Falls y^{2} + ã_{3,2}y − ã_{6,4} eine doppelte Nullstelle in k̄ hat, so translatiere man y so, daß diese zu y = 0 wird. Damit wird π^{3} | a_{3} und π^{5} | a_{6}. Falls das Polynom ã_{2,1}x^{2} + ã_{4,3}x + ã_{6,5} zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat, so sei k′ sein Zerfällungskörper über k. Dann hat man

Typ I_{2}^{∗},  m = 7,  \{ \begin{matrix}c = 4 falls & k′ = k, \\ c = 2 falls & k′ ≠ k. \end{matrix}

Falls ã_{2,1}x^{2} + ã_{4,3}x + ã_{6,5} eine doppelte Nullstelle in k̄ hat, so translatiere man x so, daß diese zu x = 0 wird. Damit wird π^{4} | a_{4} und π^{6} | a_{6}. Falls das Polynom y^{2} + ã_{3,3}y − ã_{6,6} zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat, so sei k′ sein Zerfällungskörper über k. Dann hat man

Typ I_{3}^{∗},  m = 8,  \{ \begin{matrix}c = 4 falls & k′ = k, \\ c = 2 falls & k′ ≠ k. \end{matrix}

Falls y^{2} + ã_{3,3}y − ã_{6,6} eine doppelte Nullstelle in k̄ hat, und so weiter. Man führe diese Prozedur fort, bis das auftretende quadratische Polynom zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat. Der Prozeß bricht schließlich ab, da nach je zwei Schritten a_{3}, a_{4} und a_{6} durch mindestens eine zusätzliche Potenz von π teilbar gemacht wurden. Das bedeutet, daß auch b_{4}, b_{6} und b_{8} durch mindestens eine zusätzliche Potenz von π teilbar sind und somit gilt das gleiche für Δ. Da aber Δ bei allen durchgeführten Translationen invariant ist, bricht die Prozedur schließlich ab.

\underline{Schritt 8}

Nun habe P (T) eine dreifache Nullstelle in k̄. Durch eine Translation von x kann diese zu T = 0 gemacht werden. Damit wird π^{2} | a_{2}, π^{3} | a_{4} und π^{4} | a_{6} . Falls das Polynom y^{2} + ã_{3,2}y − ã_{6,4} zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat, so sei k′ sein Zerfällungskörper über k. Dann hat man

Typ IV^{∗},  m = 7,  \{ \begin{matrix}c = 3 falls & k′ = k, \\ c = 1 falls & k′ ≠ k. \end{matrix}

\underline{Schritt 9}

Habe nun y^{2} + ã_{3,2}y − ã_{6,4} eine doppelte Nullstelle in k̄. Durch eine Translation von y kann diese zu y = 0 gemacht werden. Damit wird π^{3} | a_{3} und π^{5} | a_{6} . Falls π^{4} |̸ a_{4}, so hat man

Typ III^{∗},  m = 8,  c = 2.

\underline{Schritt 10}

Sei π^{4} | a_{4} . Falls π^{6} |̸ a_{6}, so hat man

Typ II^{∗},  m = 9,  c = 1.

\underline{Schritt 11}

Schließlich sei π^{6} | a_{6} . Dann war die ursprüngliche Weierstraß-Gleichung nicht minimal. Die Transformation (x, y) = (π^{2}x′, π^{3}y′) führt zu der Gleichung

y^{′2} + a_{1,1}x′y′ + a_{3,3}y′ = x^{′3} + a_{2,2}x^{′2} + a_{4,4}x′ + a_{6,6}

mit Koeffizienten in R und Diskriminante Δ′ = π^{−12}Δ. Man gehe nun zurück zu Schritt 1 und beginne den Algorithmus mit dieser Gleichung erneut. Man beachte dabei, daß man zu Schritt 11 nur endlich oft gelangen kann, da bei jedem Mal die Diskriminante der ursprünglichen Weierstraß-Gleichung durch einen zusätzlichen Faktor π^{12} teilbar sein wird. Da aber Δ ≠ 0 in R ist, wird der Algorithmus terminieren.

Tabelle 4.1: Schematische Übersicht des Algorithmus von Tate

Schritt  Bedingungen  Resultat
1.  π |̸ Δ  ⟹ Typ I_{0}
2.  π | Δ , π |̸ b_{2}  ⟹ Typ I_{n}
3.  π | Δ , π | b_{2} , π^{2} |̸ a_{6}  ⟹ Typ II
4.  π | Δ , π | b_{2} , π^{2} | a_{6} , π^{2} |̸ a_{4}  ⟹ Typ III
5.  π | Δ , π | b_{2} , π^{2} | a_{6} , π^{2} | a_{4} , π^{3} |̸ b_{6}  ⟹ Typ IV
π | Δ , π | b_{2} , π^{2} | a_{6} , π^{2} | a_{4} , π^{3} | b_{6}  ⟹ Translation : π | a_{1}, a_{2}, π^{2} | a_{3}, a_{4}, π^{3} | a_{6}.

Ermöglicht es, P (T) = T^{3} + ã_{2,1}T^{2} + ã_{4,2}T + ã_{6,3} ∈ k[T] zu betrachten.

6. P hat drei einfache Nullstellen ⟹ Typ I_{0}^{∗}
7.  P hat eine einfache und eine doppelte Nullstelle ⟹ Translation : π^{2} |̸ a_{2}, π^{3} | a_{4}, π^{4} | a_{6}.

Ermöglicht es, Q_{1}(y) = y^{2} + ã_{3,2}y − ã_{6,4} ∈ k[y] zu betrachten.

7. a) Q_{1} hat zwei verschiedene Nullstellen ⟹ Typ I_{1}^{∗}

Q_{1} hat eine doppelte Nullstelle ⟹ Translation : π^{2} |̸ a_{2}, π^{3} | a_{3}, π^{5} | a_{6}. Ermöglicht es, Q_{2}(x) = ã_{2,1}x^{2} + ã_{4,3}x − ã_{6,5} ∈ k[x] zu betrachten.

7. b) Q_{2} hat zwei verschiedene Nullstellen ⟹ Typ I_{2}^{∗}

Q_{2} hat eine doppelte Nullstelle ⟹ Translation : π^{2} |̸ a_{2}, π^{4} | a_{4}, π^{6} | a_{6}. Ermöglicht es, Q_{3}(y) = y^{2} + ã_{3,3}y − ã_{6,6} ∈ k[y] zu betrachten.

7. c) Q_{3} hat zwei verschiedene Nullstellen ⟹ Typ I_{3}^{∗}

Q_{3} hat eine doppelte Nullstelle ⟹ …

8.  P hat eine dreifache Nullstelle ⟹ Translation : π^{2} | a_{2}, π^{3} | a_{4}, π^{4} | a_{6}.
Ermöglicht es, Q_{1}(y) = y^{2} + ã_{3,2}y − ã_{6,4} ∈ k[y] zu betrachten.
Q_{1} hat zwei verschiedene Nullstellen  ⟹ Typ IV^{∗}
9.  Q_{1} hat eine doppelte Nullstelle ⟹ Translation : π^{3} | a_{3}, π^{5} | a_{6}.
π^{4} |̸ a_{4}  ⟹ Typ III^{∗}
10.  π^{4} | a_{4} , π^{6} |̸ a_{6}  ⟹ Typ II^{∗}
11.  π^{4} | a_{4} , π^{6} | a_{6}  ⟹ Transformation : Δ′ = π^{−12}Δ.  Gehe zurück zu 1.

Beweis des Algorithmus von Tate

Der Algorithmus von Tate beginnt mit dem durch eine Weierstraß-Gleichung gegebenen Schema. Daraus wird durch fortgesetztes Aufblasen der singulären Punkte ein minimales eigentliches und reguläres Modell C/R für E/K konstruiert. Das Néron-Modell E ist dann der über R glatte Ort von C. Das Aufblasen dient dazu, die Nullstellen der Polynome P, Q_{1}, Q_{2}, … von Tabelle 4.1 in der Reduktion modulo π auseinanderzuhalten.

5.1 Beweis von Schritt 1

Die Bedingung π |̸ Δ bedeutet, daß W glatt über R ist. Nach Korollar 2.23 ist W regulär und somit E = C = W und die spezielle Faser ist vom Typ I_{0}.

5.2 Beweis von Schritt 2 (1.Teil)

In Schritt 2 haben wir π | Δ und π |̸ b_{2}.

Nach Satz 2.27 bedeutet dies, daß die spezielle Faser W̃ einen singulären k-wertigen Punkt hat. Durch eine Translation kann dieser auf X = Y = π = 0 verschoben werden. Dies bedeutet, daß ã_{3} = ã_{4} = ã_{6} = 0, also π | a_{3}, a_{4}, a_{6} wird.

Sei zunächst v(Δ) = 1. Dieser Fall wird durch folgendes Lemma erledigt.

Lemma 5.1 Sei R ein diskreter Bewertungsring mit Quotientenkörper K. Die elliptische Kurve E/K sei gegeben durch eine Weierstraß-Gleichung

Y^{2}Z + a_{1}XY Z + a_{3}Y Z^{2} = X^{3} + a_{2}X^{2}Z + a_{4}XZ^{2} + a_{6}Z^{3}

mit Koeffizienten in R. Sei W ⊂ P_{R}^{2} das durch diese Gleichung definierte R-Schema und sei W^{0}/R das größte Unterschema von W, welches glatt über R ist.

(a) Falls v(Δ) = 1 ist, so ist W regulär, C = W und E = W^{0}. Die Kurve E hat Reduktionstyp I_{1}.

(b) Falls π | a_{3}, a_{4}, a_{6} und π^{2} |̸ a_{6}, so ist W regulär, C = W und E = W^{0}. Die Kurve E hat Reduktionstyp I_{1}, falls π |̸ b_{2} und Reduktionstyp II, falls π | b_{2}.

\underline{Beweis:} Wie eben beschrieben bedeutet π | Δ, daß man π | a_{3}, a_{4} und a_{6} erhalten kann. Dies bedeutet, daß π | b_{4}, b_{6} und b_{8}. Falls v(Δ) = 1, so muß v(b_{2}^{2}b_{8}) = 1 sein, da alle anderen Summanden in der Formel für Δ durch π^{2} teilbar sind. Damit folgt v(b_{8}) = 1 und π |̸ b_{2}. Nun ist aber

b_{8} = b_{2}a_{6} − a_{1}a_{3}a_{4} + a_{2}a_{3}^{2} − a_{4}^{2}

und aus v(b_{8}) = 1 folgt v(a_{6}) = 1.

Aus π | a_{3}, a_{4}, a_{6} und π^{2} |̸ a_{6} folgt nun folgendermaßen, daß W regulär ist:

Nach Satz 2.19 genügt es die Regularität der abgeschlossenen Punkte zu überprüfen. Sei also P ∈ W̃ ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{W,P}.

P ≠ (X, Y, π): Wegen Satz 2.27 ist P glatt über R. Aus Korollar 2.23 folgt dann, daß P regulärer Punkt von W ist.

P = (X, Y, π): dann ist M = (X, Y, π). Da v(a_{6}) = 1 hat man

π ∼ a_{6} = Y^{2} + a_{1}XY + a_{3}Y − X^{3} − a_{2}X^{2} − a_{4}X.

Es folgt M = (X, Y) und P ist regulär.

Somit ist W regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} auch eigentlich über R.

Die spezielle Faser von W ist durch Y^{2} +a_{1}XY = X^{3} +a_{2}X^{2} in P_{k}^{2} gegeben. Sie hat einen Doppelpunkt (’node’) und ist vom Typ I_{1}, falls Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} − a_{2}X_{1}^{2} zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat, also wenn π |̸ b_{2}. Sie hat eine Spitze (’cusp’) und ist vom Typ II, falls Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} − a_{2}X_{1}^{2} eine doppelte Nullstelle in k̄ hat, also wenn π | b_{2}. Somit folgt, daß W ein minimales eigentliches und reguläres Modell von E/K ist und deshalb C = W und E = W^{0} ist. Da aus v(Δ) = 1 folgt π |̸ b_{2}, ist Lemma 5.1 bewiesen. □

Sei nun v(Δ) ≥ 2. Dann folgt wie im Beweis von Lemma 5.1 wegen π |̸ b_{2}, daß π^{2} | a_{6}. Dieser Fall wird in Abschnitt 5.4 behandelt.

5.3 Beweis von Schritt 3

In Schritt 3 ist π | a_{3}, a_{4}, a_{6}, b_{2}, π^{2} |̸ a_{6}. Dies ist die Voraussetzung von Lemma 5.1 und so folgt die Behauptung aus Lemma 5.1.

5.4 Aufblasen des Weierstraß-Modells

Sei nun π | a_{3}, a_{4} und π^{2} | a_{6}. Dann ist W = P roj R [X, Y, Z]/(F), wobei

F = Y^{2}Z + a_{1}XY Z + πa_{3,1}Y Z^{2} − X^{3} − a_{2}X^{2}Z − πa_{4,1}XZ^{2} − π^{2}a_{6,2}Z^{3}.

Dies bedeutet, daß F ∈ (X, Y, π)^{2} ⊂ R [X, Y, Z] liegt. Daraus folgt, daß X, Y, π mod M^{2} linear unabhängig über k = O_{W,P} /M sind und daß P singulärer Punkt ist. Dies sieht man folgendermaßen:

Es sei die Linearkombination λ_{1}X+λ_{2}Y +λ_{3}π ∈ M^{2} mit λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ k. Nun ist zu zeigen, daß λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0 ist. Wegen k = R/(π) lassen sich λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} durch Repräsentanten aus R ersetzen. Dann ist λ_{1}X + λ_{2}Y + λ_{3}π ∈ M^{2} ∩ R [X, Y, Z]/(F). λ_{1}X + λ_{2}Y + λ_{3}π ist zwar nur modulo F bestimmt, aber da F ∈ (X, Y, π)^{2} ⊂ R [X, Y, Z] ist, gilt λ_{1}X + λ_{2}Y + λ_{3}π ∈ (X, Y, π)^{2} ⊂ R [X, Y, Z]. Man betrachte nun den Einsetzhomomorphismus

R [X, Y, Z] ⟶ R;  (X, Y, Z) ↦ (rπ, sπ, 1)  für feste r, s ∈ R.

Darunter wird (X, Y, π)^{2} in (π)^{2} abgebildet. Das bedeutet λ_{1}rπ + λ_{2}sπ + λ_{3}π ∈ (π)^{2}, also λ_{1}r + λ_{2}s + λ_{3} ∈ (π). Wählt man nun r = s = π, so erhält man λ_{3} ∈ (π) und λ_{1}r + λ_{2}s ∈ (π). mit r = π und s = 1 ergibt sich λ_{2} ∈ (π) und λ_{1}r ∈ (π) und mit r = 1 bekommt man λ_{1} ∈ (π), also λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0 in k.

Der Punkt (X, Y, π) ∈ W ist also singulär und wird gemäß Abschnitt 2.6 aufgeblasen.

5.4.1 Aufblasen von W entlang (X, Y, π)

I = (X, Y, π), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Über den affinen, offenen Mengen ergibt sich:

\underline{Y ≠ 0 :} U_{Y} = Spec R [\frac{X}{Y} , \frac{Z}{Y}]

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X}{Y} , \frac{Z}{Y}][X′_{1}, Y′_{1}, Z′_{1}] → S(U_{Y}) durch die Zuordnung (X′_{1}, Y′_{1}, Z′_{1}) ↦ (\frac{X}{Y} , 1, π).

Ihr Kern ist I_{Y} = (X′_{1} − Y′_{1} \frac{X}{Y} , Z′_{1} − Y′_{1}π, X′_{1}π − Z′_{1} \frac{X}{Y}).

Also ergibt sich S(U_{Y}) ≅ R [\frac{X}{Y} , \frac{Z}{Y}][Y′_{1}] und damit P roj S(U_{Y}) ≅ Spec R [\frac{X}{Y} , \frac{Z}{Y}].

ϕ_{Y} : P roj S(U_{Y}) → U_{Y} ist gegeben durch R [\frac{X}{Y} , \frac{Z}{Y}] → S(U_{Y}) und ist ein Isomorphismus.

\underline{X ≠ 0 :} analog zu Y ≠ 0 ergibt sich, daß ϕ_{X} : P roj S(U_{X}) → U_{X} ein Isomorphismus ist.

\underline{Z ≠ 0 :} U_{Z} = Spec R [\frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z}]

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z}][X_{1}, Y_{1}, Z_{1}] → S(U_{Z}) durch die Zuord-

nung (X_{1}, Y_{1}, Z_{1}) ↦ (\frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z} , π).
Ihr Kern ist I_{Z} = (X_{1} \frac{Y}{Z} − Y_{1} \frac{X}{Z} , X_{1}π − Z_{1} \frac{X}{Z} , Y_{1}π − Z_{1} \frac{Y}{Z}).
Also ergibt sich S(U_{Z}) ≅ R [\frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z}][X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/I_{Z}.
ϕ_{Z} : P roj S(U_{Z}) → U_{Z} ist gegeben durch R [\frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z}] → S(U_{Z}).

Über Y ≠ 0, Z ≠ 0 werden P roj S(U_{Y}) und P roj S(U_{Z}) zusammengeklebt durch

(X′_{1}, Y′_{1}, Z′_{1}) = (\frac{Z}{Y} X_{1}, \frac{Z}{Y} Y_{1}, Z_{1}) beziehungsweise (\frac{Y}{Z} X′_{1}, \frac{Y}{Z} Y′_{1}, Z′_{1}) = (X_{1}, Y_{1}, Z_{1}).

Dadurch erhält man Proj S als Unterschema von P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{2}. Die drei Morphismen ϕ_{X}, ϕ_{Y} und ϕ_{Z} setzen sich zusammen zu dem Morphismus ϕ : Proj S ⟶ P roj R [X, Y, Z]. Die strikte Transformation von W erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{1} := \overline{ϕ^{−1}(W − \{(X, Y, π)\})} in Proj S. Über dem affinen Teil Z ≠ 0 von W liegen dabei folgende Teile von V_{1}:

In X_{1} ≠ 0 : ⇒ \frac{Y}{Z} = \frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{X}{Z} und π = \frac{Z_{1}}{X_{1}} \frac{X}{Z} . Damit folgt

X_{1}^{2}·\frac{F}{Z^{3}} = (\frac{X}{Z} )^{2} (Y_{1}^{2}+a_{1}X_{1}Y_{1}+a_{3,1}Y_{1}Z_{1}−\frac{X}{Z} X_{1}^{2}−a_{2}X_{1}^{2}−a_{4,1}X_{1}Z_{1}−a_{6,2}Z_{1}^{2}) = 0 .

Falls \frac{X}{Z} = 0, so folgt \frac{Y}{Z} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(W_{1} − \{(X, Y, π)\}). Also bleibt nur

F_{1}^{∗} := Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1} − \frac{X}{Z} X_{1}^{2} − a_{2}X_{1}^{2} − a_{4,1}X_{1}Z_{1} − a_{6,2}Z_{1}^{2} = 0.

In Y_{1} ≠ 0 : ⇒ \frac{X}{Z} = \frac{X_{1}}{Y_{1}} \frac{Y}{Z} und π = \frac{Z_{1}}{Y_{1}} \frac{Y}{Z} . Damit folgt

Y_{1}^{2}·\frac{F}{Z^{3}} = (\frac{Y}{Z} )^{2} (Y_{1}^{2}+a_{1}X_{1}Y_{1}+a_{3,1}Y_{1}Z_{1}−\frac{X}{Z} X_{1}^{2}−a_{2}X_{1}^{2}−a_{4,1}X_{1}Z_{1}−a_{6,2}Z_{1}^{2}) = 0 .

Falls \frac{Y}{Z} = 0, so folgt \frac{X}{Z} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(W_{1} − \{(X, Y, π)\}). Also bleibt nur F_{1}^{∗} = 0.

In Z_{1} ≠ 0 : ⇒ \frac{X}{Z} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} π und \frac{Y}{Z} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} π. Damit folgt

Z_{1}^{2} · \frac{F}{Z^{3}} = π^{2}(Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1} − \frac{X}{Z} X_{1}^{2} − a_{2}X_{1}^{2} − a_{4,1}X_{1}Z_{1} − a_{6,2}Z_{1}^{2}) = 0 .

Falls π = 0, so folgt \frac{X}{Z} = \frac{Y}{Z} = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(W_{1} − \{(X, Y, π)\}). Also bleibt nur F_{1}^{∗} = 0.

Man bekommt also V_{1} durch das Ideal (F_{1}^{∗}) in Proj S.

5.4.2 Einbettung von V_{1} in den P_{R}^{2}

Es gilt V_{1} ≅ P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}) ⊂ P_{R}^{2}, wobei

F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + a_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − a_{2}X_{1}^{2}Z_{1} − a_{4,1}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,2}Z_{1}^{3}.

Um dies zu sehen, betrachte man folgende Überdeckung von V_{1} durch offene Mengen:

• In Z ≠ 0, X_{1} ≠ 0 ist V_{1} in Spec R [\frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z} , \frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} ] durch folgende Gleichungen gegeben:

\frac{Y}{Z} = \frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{X}{Z} ,  π = \frac{Z_{1}}{X_{1}} \frac{X}{Z}  und

(\frac{Y_{1}}{X_{1}} )^{2} + a_{1} \frac{Y_{1}}{X_{1}} + a_{3,1} \frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{Z_{1}}{X_{1}} − \frac{X}{Z} − a_{2} − a_{4,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} − a_{6,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} = 0 .

Somit gibt es einen R-Isomorphismus von Spec R [\frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} ]/(\frac{F_{1}}{X_{1}^{3}} ) auf das Unter-

schema V_{1} − (\overline{\{(Z)\}} ∪ \overline{\{(X_{1})\}}) vermöge des Ringisomorphismus

\frac{X}{Z} ↦ (\frac{Y_{1}}{X_{1}} )^{2} + a_{1} \frac{Y_{1}}{X_{1}} + a_{3,1} \frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{Z_{1}}{X_{1}} − a_{2} − a_{4,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} − a_{6,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} ,

\frac{Y}{Z} ↦ \frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{X}{Z} ,  \frac{Y_{1}}{X_{1}} ↦ \frac{Y_{1}}{X_{1}}  und  \frac{Z_{1}}{X_{1}} ↦ \frac{Z_{1}}{X_{1}} .

• In Z ≠ 0, Z_{1} ≠ 0 ist V_{1} in Spec R [\frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z} , \frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ] durch folgende Gleichungen gege-

ben:

\frac{X}{Z} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} π,  \frac{Y}{Z} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} π  und  \frac{F_{1}^{∗}}{Z_{1}^{2}} = 0 .

Somit gibt es einen R-Isomorphismus von Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ]/(\frac{F_{1}}{Z_{1}^{3}} ) auf das Unterschema

V_{1} − (\overline{\{(Z)\}} ∪ \overline{\{(Z_{1})\}}) vermöge des Ringisomorphismus

\frac{X}{Z} ↦ \frac{X_{1}}{Z_{1}} π, \frac{Y}{Z} ↦ \frac{Y_{1}}{Z_{1}} π, \frac{Y_{1}}{X_{1}} ↦ \frac{Y_{1}}{X_{1}} und \frac{Z_{1}}{X_{1}} ↦ \frac{Z_{1}}{X_{1}} ,

denn \frac{F_{1}^{∗}}{Z_{1}^{2}} wird dabei auf \frac{F_{1}}{Z_{1}^{3}} abgebildet.

• In Z ≠ 0 folgt aus X_{1} = Z_{1} = 0 wegen F_{1}^{∗} = 0 auch Y_{1} = 0. Somit liegen in Z ≠ 0, X_{1} = Z_{1} = 0 keine Punkte von V_{1}. Punkte von V_{1} in Z = 0, X ≠ 0 liegen auch in Y ≠ 0, da dort P roj S(U_{X}) ≅ U_{X} und F = 0 ist. Und da aus Z = F = 0 auch X = 0 folgt, handelt es sich dabei nur um den Punkt X = Z = 0. Dieser Punkt liegt wegen Y ≠ 0 in dem Teil von V_{1}, in dem gilt

G := 1 + a_{1} \frac{X}{Y} + a_{3} \frac{Z}{Y} − a_{2} (\frac{X}{Y} )^{2} − a_{4} \frac{X}{Y} \frac{Z}{Y} − a_{6} (\frac{Z}{Y} )^{2} ≠ 0.

Also betrachte man als dritte offene Menge

V_{1} − (\overline{\{(Y)\}} ∪ \overline{\{(G)\}}) = Spec (R [\frac{X}{Y} , \frac{Z}{Y}]/ (\frac{F}{Y^{3}} ))_{G}

Diese ist isomorph zu Spec (R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ]/ (\frac{F_{1}}{Y_{1}^{3}} ))_{G_{1}}, wobei

G_{1} := 1 + a_{1} \frac{X_{1}}{Y_{1}} + a_{3,1} \frac{Z_{1}}{Y_{1}} − a_{2} (\frac{X_{1}}{Y_{1}} )^{2} − a_{4,1} \frac{X_{1}}{Y_{1}} \frac{Z_{1}}{Y_{1}} − a_{6,2} (\frac{Z_{1}}{Y_{1}} )^{2}

ist, vermöge des Ringmorphismus

\frac{X_{1}}{Y_{1}} ↦ \frac{X}{Y} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ↦ π \frac{Z}{Y} .

Dabei beachte man daß \frac{F_{1}}{Y_{1}^{3}} auf π \frac{F}{Y^{3}} , sowie G_{1} auf G abgebildet wird und daß

\frac{F}{Y^{3}} = \frac{Z}{Y} G − (\frac{X}{Y} )^{3} = 0 ist. Dieser Ringmorphismus ist ein Isomorphismus, denn

die Inverse ist wegen \frac{F_{1}}{Y_{1}^{3}} = \frac{Z_{1}}{Y_{1}} G_{1} − π (\frac{X_{1}}{Y_{1}} )^{3} = 0 gegeben durch

\frac{X}{Y} ↦ \frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z}{Y} ↦ \frac{1}{G_{1}} · (\frac{X_{1}}{Y_{1}} )^{3} .

Diese drei Isomorphismen lassen sich zusammenkleben, da je zwei von ihnen auf dem gemeinsamen Definitionsbereich übereinstimmen. Sie kommen dort von der Zuordnung

X_{1} ↦ X,  Y_{1} ↦ Y,  Z_{1} ↦ πZ.

P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}) wird überdeckt von den offenen Mengen X_{1} ≠ 0, Z_{1} ≠ 0 und Y_{1} ≠ 0. Aus X_{1} = Z_{1} = 0 folgt G_{1} ≠ 0. Deshalb wird P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}) auch von den Bildern der drei Isomorphismen überdeckt.

Somit bekommt man V_{1} = P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}), mit

F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + a_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − a_{2}X_{1}^{2}Z_{1} − a_{4,1}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,2}Z_{1}^{3}.

Ṽ_{1} besteht aus folgenden Komponenten:

• C_{1} = P roj k [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(Z_{1}) und

• C_{2} = P roj k [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(G_{1}), wobei

G_{1} = Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1} − a_{2}X_{1}^{2} − a_{4,1}X_{1}Z_{1} − a_{6,2}Z_{1}^{2}.

Es ist dabei W^{0} = V_{1} − C_{2}, denn nach Satz 2.32 ist W^{0} = V_{1} − ϕ^{−1}({(X, Y, π)}) und unter obigem Isomorphismus wird ϕ^{−1}({(X, Y, π)}) auf C_{2} abgebildet. Da W^{0} regulär ist, bleibt es bei allen weiteren Aufblasungen unberührt. W^{0} enthält den Punkt (X_{1}, Z_{1}, π). Falls die ursprüngliche Weierstraß-Gleichung minimal gewesen ist, so ist dies das neutrale Element der Addition auf E_{k}. Somit besteht E^{0} aus E/K und der Komponente C_{1}, das heißt es gilt

W^{0} = E^{0}.

Damit ist das Korollar 4.1 bewiesen.

Die weitere Untersuchung von V_{1} hängt jetzt davon ab, ob b_{2} von π geteilt wird oder nicht. Sie wird dementsprechend in den Abschnitten 5.5 und 5.6 fortgesetzt.

5.5 Beweis von Schritt 2 (2.Teil)

In Schritt 2 ist noch der Fall v(Δ) ≥ 2 zu behandeln. Dabei ist π | a_{3}, a_{4}, π^{2} | a_{6} und π |̸ b_{2} = a_{1}^{2} + 4a_{2}. b_{2} ist die Diskriminante von Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} − a_{2}X_{1}^{2}. Dies bedeutet, daß Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} − a_{2}X_{1}^{2} zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat.

Die bisherige Aufblasung von W in Abschnitt 5.4 führte zu V_{1} = P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}), wobei

F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + a_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − a_{2}X_{1}^{2}Z_{1} − a_{4,1}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,2}Z_{1}^{3}

war. Ṽ_{1} bestand aus den beiden Komponenten C_{1} und C_{2}.

Die Komponente C_{1} hat dabei Vielfachheit eins, denn πX_{1}^{3} = Z_{1}G_{1}. Da X_{1} und G_{1} auf C_{1} nicht identisch verschwinden, sind sie Einheiten in dem lokalen Ring O_{V_{1},η} des generischen Punktes η von C_{1}. Deshalb ist π Uniformisierende für C_{1}, das heißt Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{1},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{1}. Dies bedeutet, daß C_{1} einfach ist.

5.5.1 Untersuchung von C_{2}:

\underline{C_{2} ∩ \{Z_{1} = 0\}:} Y_{1}^{2} + ã_{1}X_{1}Y_{1} − ã_{2}X_{1}^{2} = 0 hat über k̄ die Punkte Y_{1} + αX_{1} = 0 und Y_{1} + βX_{1} = 0 mit α + β = ã_{1} und αβ = −ã_{2}. Dabei ist α ≠ β.

\underline{C_{2} ∩ \{X_{1} = 0\}:} Y_{1}^{2} + ã_{3,1}Y_{1}Z_{1} − ã_{6,2}Z_{1}^{2} = 0 hat über k̄ die Punkte Y_{1} + γZ_{1} = 0 und Y_{1} + δZ_{1} = 0 mit γ + δ = ã_{3,1} und γδ = −ã_{6,2}.

Nun gilt:

C_{2} ist über k̄ reduzibel

⟺ es zerfällt in Y_{1} + αX_{1} + γZ_{1} = 0 und Y_{1} + βX_{1} + δZ_{1} = 0 (oder in Y_{1} + αX_{1} + δZ_{1} = 0 und Y_{1} + βX_{1} + γZ_{1} = 0 )

⟺ G̃_{1} = (Y_{1} + αX_{1} + γZ_{1})(Y_{1} + βX_{1} + δZ_{1})

= Y_{1}^{2} + (α + β)X_{1}Y_{1} + (γ + δ)Y_{1}Z_{1} + αβX_{1}^{2} + (αδ + βγ)X_{1}Z_{1} + γδZ_{1}^{2} = Y_{1}^{2} + ã_{1}X_{1}Y_{1} + ã_{3,1}Y_{1}Z_{1} − ã_{2}X_{1}^{2} + (αδ + βγ)X_{1}Z_{1} − ã_{6,2}Z_{1}^{2}

(oder γ und δ vertauscht)

⟺ − ã_{4,1} = αδ + βγ (oder − ã_{4,1} = αγ + βδ)

⟺ ã_{4,1} ist Nullstelle von p(T) = (T + αδ + βγ)(T + αγ + βδ) ∈ k̄ [T].

Es ist aber

p(T) = T^{2} + (αγ + αδ + βγ + βδ)T + (α^{2}γδ + β^{2}γδ + γ^{2}αβ + δ^{2}αβ)
= T^{2} + (α + β)(γ + δ)T + (α^{2} + β^{2})γδ + (γ^{2} + δ^{2})αβ

und wegen α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} − 2αβ = ã_{1}^{2} + 2ã_{2} und γ^{2} + δ^{2} = (γ + δ)^{2} − 2γδ = ã_{3,1}^{2} + 2ã_{6,2} also

p(T) = T^{2} + ã_{1}ã_{3,1}T + (ã_{1}^{2} + 2ã_{2})(−ã_{6,2}) + (ã_{3,1}^{2} + 2ã_{6,2})(−ã_{2}) ∈ k [T].

Somit ist p(ã_{4,1}) = − b̃_{8,2} und man sieht:

C_{2} zerfällt über k̄ in zwei Geraden ⟺ π^{3} | b_{8} ⟺ π^{3} | Δ. Die letzte Äquivalenz gilt wegen π^{3} | − 8b_{4}^{3} − 27b_{6}^{2} + 9b_{2}b_{4}b_{6}.

Also haben wir als ein erstes Resultat:

v(Δ) = 2 ⟺ C_{2} ist irreduzibel über k̄ und ist als Kegelschnitt ≅ P1 ; k̄.

v(Δ) ≥ 3 ⟺ C_{2} zerfällt über k̄ und Vk̄ besteht aus C_{1}, C_{2} und C_{3}.

Sei nun v(Δ) ≥ 3. Der Schnittpunkt von C_{2} und C_{3} über k̄ ist ohne Einschränkung Y_{1} + αX_{1} + γZ_{1} = Y_{1} + βX_{1} + δZ_{1} = π = 0.

Wegen α − β ≠ 0 ist er Y_{1} + αX_{1} + γZ_{1} = X_{1} + \frac{γ − δ}{α − β} Z_{1} = π = 0. Da

\frac{γ − δ}{α − β} = \frac{αγ − αδ − βγ + βδ}{(α − β)^{2}} = \frac{−2(αδ + βγ) + αγ + αδ + βγ + βδ}{(α − β)^{2}}

= \frac{2ã_{4,1} + ã_{3,1}ã_{1}}{ã_{1}^{2} + 4ã_{2}} ∈ k

ist, gibt es ein r ∈ R mit r ≡ −\frac{γ − δ}{α − β} mod π.

Die Translation X_{1} → X_{1} + rZ_{1}, Y_{1} → Y_{1}, Z_{1} → Z_{1} führt zu

γ → − α \frac{γ − δ}{α − β} + γ = \frac{αδ − αγ + αγ − βγ}{α − β} = \frac{αδ − βγ}{α − β}  und zu
δ → − β \frac{γ − δ}{α − β} + δ = \frac{βδ − βγ + αδ − βγ}{α − β} = \frac{αδ − βγ}{α − β} ,

also zu γ = δ. Diese Translation bewirkt auf der generischen Faser E/K die Translation X → X + rπZ, Y → Y, Z → Z. Nach Satz 2.28 bedeutet dies, daß die Annahmen π | a_{3}, a_{4}, π^{2} | a_{6} dadurch nicht zerstört werden.

Da γ nun doppelte Nullstelle von T^{2} + ã_{3,1}T − ã_{6,2} und k perfekt ist, folgt γ ∈ k. Somit gibt es ein t ∈ R mit t ≡ −γ mod π.

Eine weitere Translation X_{1} → X_{1}, Y_{1} → Y_{1} + tZ_{1}, Z_{1} → Z_{1} führt zu γ = δ = 0. Sie bewirkt auf der generischen Faser E/K die Translation X → X, Y → Y + tπZ, Z → Z.

Deshalb kann man nach Satz 2.28 ohne Einschränkung annehmen, daß π | a_{3,1}, a_{4,1}, a_{6,2}. Damit gilt π |̸ b_{2}, π^{2} | b_{4}, π^{3} | b_{6}, b_{8}. Man erhällt

F_{1} = Z_{1}(Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} + πa_{3,2}Y_{1}Z_{1} − a_{2}X_{1}^{2} − πa_{4,2}X_{1}Z_{1} − πa_{6,3}Z_{1}^{2}) − πX_{1}^{3}.

Der Schnittpunkt von C_{2} und C_{3} ist jetzt (X_{1}, Y_{1}, π).

5.5.2 Die singulären Punkte von V_{1}

Da P_{R}^{2} ein reguläres dreidimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von drei Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{1} höchstens drei Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{1} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{1},P}.

Für v(Δ) = 2

\underline{Auf V_{1} − C_{2}} liegen keine singulären Punkte, da V_{1} − C_{2} ≅ W^{0} und W^{0} regulär ist.

\underline{P ∈ C_{1} ∩ C_{2}:} dann ist M = (Z_{1}, g(X_{1}, Y_{1}), π) und X_{1} ∉ M, da sonst wegen G_{1} = 0 auch Y_{1} ∈ M wäre, was jedoch nicht sein kann, da dann X_{1} = Y_{1} = Z_{1} = 0 wäre. Das heißt X_{1} ist invertierbar in O_{V_{1},P}. Damit ist π = \frac{Z_{1}G_{1}}{X_{1}^{3}} und also M = (Z_{1}, g(X_{1}, Y_{1})), das heißt P ist regulär.

\underline{C_{2} − C_{1}} ist als Schema ein regulärer Kegelschnitt in P_{k}^{2} und damit nach Satz 2.21 auch als Teilmenge von V_{1} regulär.

Die Komponente C_{2} hat ebenfalls Vielfachheit eins, denn πX_{1}^{3} = Z_{1}G_{1}. Da X_{1} und Z_{1} auf C_{2} nicht identisch verschwinden, sind sie Einheiten in dem lokalen Ring O_{V_{1},η} des generischen Punktes η von C_{2}. Deshalb ist π Uniformisierende für C_{2}, das heißt Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{1},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{2}. Dies bedeutet, daß C_{2} einfach ist.

V_{1} ist regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} auch eigentlich über R. Da C_{1} und C_{2} über k̄ isomorph zu P1 ; k̄ sind und sich in zwei verschiedenen Punkten transversal schneiden hat man den Reduktionstyp I_{2}, es folgt, daß V_{1} minimal ist und C = V_{1}. Es ist m = 2 und c = 2.

Für v(Δ) ≥ 3

\underline{Auf V_{1} − (C_{2} ∪ C_{3})} liegen keine singulären Punkte, da V_{1} − (C_{2} ∪ C_{3}) ≅ W^{0} und W^{0} regulär ist.

\underline{P ∈ C_{1} ∩ (C_{2} ∪ C_{3}):} dann ist M = (Z_{1}, g(X_{1}, Y_{1}), π) und X_{1} ∉ M, da sonst wegen G_{1} = 0 auch Y_{1} ∈ M wäre, was jedoch nicht sein kann. Das heißt X_{1} ist invertierbar in O_{V_{1},P}. Damit ist π = \frac{Z_{1}G_{1}}{X_{1}^{3}} und also M = (Z_{1}, g(X_{1}, Y_{1})), das heißt P ist regulär.

\underline{P ∈ (C_{2} ∪ C_{3}) − C_{1}, P ≠ \{(X_{1}, Y_{1}, π)\} :} dann ist M = (g(X_{1}, Y_{1}), p(X_{1}, Y_{1}, Z_{1}), π), wobei G_{1} ≡ g(X_{1}, Y_{1}) · h mod (p, π) in R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}], da G_{1} ∈ M. Also etwa g̃ = Y_{1}−αX_{1} falls α ∈ k oder g̃ = Y_{1}^{2}+ã_{1}X_{1}Y_{1}−ã_{2}X_{1}^{2} falls α ∉ k.

Es ist Z_{1} ∉ M und auch h ∉ M, da sonst wegen α ≠ β folgen würde, daß X_{1} ∈ M und damit Y_{1} ∈ M wäre. Dies bedeutete aber P = (X_{1}, Y_{1}, π). Somit gilt

g ≡ \frac{π}{hZ_{1}} (a_{3,2}Y_{1}Z_{1}^{2} − X_{1}^{3} − a_{4,2}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,3}Z_{1}^{3}) mod (p, π).

Das bedeutet M = (p(X_{1}, Y_{1}, Z_{1}), π) und P ist regulär.

Sei jetzt P = (X_{1}, Y_{1}, π) : dann ist M = (X_{1}, Y_{1}, π), und Z_{1} ∉ M.

Aus v(Δ) = 3 folgt v(b_{8}) = 3, da alle Summanden in Δ außer b_{2}b_{8} durch π^{5} teilbar sind und v(b_{2}) = 0 ist. Wegen b_{8} = b_{2}a_{6} − a_{1}a_{3}a_{4} + a_{2}a_{3}^{2} − a_{4}^{2} und π^{2} | a_{3}, a_{4} folgt v(a_{6}) = v(b_{2}a_{6}) = v(b_{8}) = 3. Somit ist

π ∼ a_{6,2} = \frac{1}{Z_{1}^{3}} (Y_{1}^{2}Z_{1} + a_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + πa_{3,2}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − a_{2}X_{1}^{2}Z_{1} − πa_{4,2}X_{1}Z_{1}^{2}),

M = (X_{1}, Y_{1}) und P ist regulär.

Die Komponenten C_{2} und C_{3} haben Vielfachheit eins, denn es ist

πX_{1}^{3} ≡ (Y_{1} + αX_{1} + γZ_{1})(Y_{1} + βX_{1} + δZ_{1})Z_{1} mod π.

Da X_{1}, Z_{1} und ohne Einschränkung Y_{1} + βX_{1} + δZ_{1} auf C_{2} nicht identisch verschwinden, sind sie Einheiten in dem lokalen Ring O_{V_{1},η} des generischen Punktes η von C_{2}. Deshalb ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{1},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{2}. Dies bedeutet, daß C_{2} einfach ist. Ebenso ist C_{3} einfach.

Also ist V_{1} regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} auch eigentlich über R. Da C_{1}, C_{2} und C_{3} über k̄ isomorph zu P1 ; k̄ sind und je zwei der Komponenten sich in einem Punkt transversal schneiden hat man den Reduktionstyp I_{3}, es folgt, daß V_{1} minimal ist und C = V_{1}. Es ist m = 3 und c = 3, falls k′ = k und c = 1, falls k′ ≠ k.

Aus v(Δ) ≥ 4 folgt v(b_{8}) ≥ 4, da alle Summanden in Δ außer b_{2}b_{8} durch π^{5} teilbar sind und v(b_{2}) = 0 ist. Daraus folgt wie eben v(a_{6}) ≥ 4.

Man hat nun

F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + a_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + πa_{3,2}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − a_{2}X_{1}^{2}Z_{1} − πa_{4,2}X_{1}Z_{1}^{2} − π^{2}a_{6,4}Z_{1}^{3} .

Somit ist F_{1} ∈ (X_{1}, Y_{1}, π)^{2} ⊂ R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}] und deshalb folgt wie in Abschnitt 5.4, daß X_{1}, Y_{1}, π mod M^{2} über k = O_{V_{1},P} /M linear unabhängig sind und daß P singulärer Punkt ist.

5.5.3 Aufblasen von V_{1} entlang (X_{1}, Y_{1}, π)

Wir haben bisher: π^{2} | a_{3}, a_{4}, π^{4} | a_{6}, π^{2} | b_{4}, π^{4} | b_{6}, b_{8}, π^{4} | Δ.

V_{1} = P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}),  mit
F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + a_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + πa_{3,2}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − a_{2}X_{1}^{2}Z_{1} − πa_{4,2}X_{1}Z_{1}^{2} − π^{2}a_{6,4}Z_{1}^{3}.

Sei nun

I = (X_{1}, Y_{1}, π), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

\underline{Y_{1} ≠ 0 :} U_{Y_{1}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ] Da (X_{1}, Y_{1}, π) nicht in U_{Y_{1}} liegt, erhält man P roj S(U_{Y_{1}}) ≅ Spec R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ]. ϕ_{Y_{1}} : P roj S(U_{Y_{1}}) → U_{Y_{1}} ist der Isomorphismus R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ] → R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ].

\underline{X_{1} ≠ 0 :} analog zu Y_{1} ≠ 0 \underline{Z_{1} ≠ 0 :} U_{Z_{1}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ]

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][X_{2}, Y_{2}, Z_{2}] → S(U_{Z_{1}}) durch die Zuordnung (X_{2}, Y_{2}, Z_{2}) ↦ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π). Ihr Kern ist I_{Z_{1}} = (X_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − Y_{2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} , X_{2}π − Z_{2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} , Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ). Also ergibt sich S(U_{Z_{1}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][X_{2}, Y_{2}, Z_{2}]/I_{Z_{1}}. ϕ_{Z_{1}} : P roj S(U_{Z_{1}}) → U_{Z_{1}} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ] → S(U_{Z_{1}}).

Durch Zusammenkleben bekommt man Proj S als Unterschema von P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{2} und den Morphismus ϕ : Proj S ⟶ P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]. Die strikte Transformation von V_{1} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{2} := \overline{ϕ^{−1}(V_{1} − \{(X_{1}, Y_{1}, π)\})} in Proj S. Über dem affinen Teil Z_{1} ≠ 0 von V_{1} liegen dabei folgende Teile von V_{2}:

In X_{2} ≠ 0 : ⇒ \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{X_{2}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{2}}{X_{2}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Damit folgt

X_{2}^{2} · \frac{F_{1}}{Z_{1}^{3}} = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} ( Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} −

− π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} − a_{2}X_{2}^{2} − a_{4,2}X_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2} ) = 0.

Falls \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{1} − \{(X_{1}, Y_{1}, π)\}). Also bleibt nur

F_{2} := Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} − π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} − a_{2}X_{2}^{2} − a_{4,2}X_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2} = 0.

In Y_{2} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{2}}{Y_{2}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{2}}{Y_{2}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} . Damit folgt

Y_{2}^{2} · \frac{F_{1}}{Z_{1}^{3}} = (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} )^{2} ( Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} −

− π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} − a_{2}X_{2}^{2} − a_{4,2}X_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2} ) = 0.

Falls \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{1} − \{(X_{1}, Y_{1}, π)\}). Also bleibt nur F_{2} = 0.

In Z_{2} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{2}}{Z_{2}} π und \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π. Damit folgt

Z_{2}^{2}· \frac{F_{1}}{Z_{1}^{3}} = π^{2}(Y_{2}^{2}+a_{1}X_{2}Y_{2}+a_{3,2}Y_{2}Z_{2}−π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2}−a_{2}X_{2}^{2}−a_{4,2}X_{2}Z_{2}−a_{6,4}Z_{2}^{2}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{1} − \{(X_{1}, Y_{1}, π)\}).

Also bleibt nur F_{2} = 0.

Man bekommt also V_{2} durch das Ideal (F_{2}) in Proj S. Ṽ_{2} besteht aus folgenden Komponenten:

• \underline{Z_{1} = 0} ⇒ X_{1} ≠ 0 oder Y_{1} ≠ 0. Dies ist die Komponente C_{1} von V_{1}, die in R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}] liegt. Sie ist ein P_{k}^{1} mit dem Parameter \frac{X_{1}}{Y_{1}} beziehungsweise \frac{Y_{1}}{X_{1}} . Sei jetzt Z_{1} ≠ 0. Aus π = 0 folgt dann Z_{2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0. Sei zuerst

• \underline{Z_{2} = 0}. Wegen F_{2} = 0 folgt daraus \underline{Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} − a_{2}X_{2}^{2} = 0}. Da nicht zugleich X_{2} = Y_{2} = Z_{2} = 0 sein kann, folgt X_{2} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{X_{2}} \frac{X_{1}}{Z_{1}}} . Dies sind die Komponenten C_{2} und C_{3} von V_{1}. Der Parameter ist \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Zuletzt fehlt noch

• \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0} ⇒ \underline{Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} − a_{2}X_{2}^{2} − a_{4,2}X_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2} = 0} wegen F_{2} = 0. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{4}. Ihr Parameter ist \frac{X_{2}}{Z_{2}} beziehungsweise \frac{Z_{2}}{X_{2}} .

Die Komponenten C_{2} und C_{3} haben dabei Vielfachheit eins. Denn πX_{2} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} und aus F_{2} = 0 folgt

(Y_{2} + αX_{2})(Y_{2} + βX_{2})\frac{X_{1}}{Z_{1}} ≡ πX_{2}(−a_{3,2}Y_{2} + (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} X_{2} + a_{4,2}X_{2} + a_{6,4}Z_{2}) mod π.

Die Terme Y_{2} +βX_{2} und \frac{X_{1}}{Z_{1}} verschwinden nicht identisch auf C_{2} und sind somit Einheiten in dem lokalen Ring O_{V_{2},η} des generischen Punktes η von C_{2}. Deshalb ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{2}. Dies bedeutet, daß C_{2} einfach ist. Ebenso ist C_{3} einfach. Die Untersuchung von C_{4} verläuft analog der von C_{2} in Abschnitt 5.5.1: \underline{C_{4} ∩ \{Z_{2} = 0\} :} Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} − a_{2}X_{2}^{2} = (Y_{2} + αX_{2})(Y_{2} + βX_{2}) = 0 über k̄ \underline{C_{4} ∩ \{X_{2} = 0\} :} Y_{2}^{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2} = (Y_{2} + γ′Z_{2})(Y_{2} + δ′Z_{2}) = 0 über k̄ Man erhält C_{4} irreduzibel über k̄ ⟺ π^{5} | b_{8} ⟺ π^{5} | Δ. Die Resultate sind also:

v(Δ) = 4 ⟺ C_{4} ist irreduzibel über k̄ und ≅ P1 ; k̄.

v(Δ) ≥ 5 ⟺ C_{4} zerfällt über k̄ in die zwei Komponenten

C_{4} : Y_{2} + αX_{2} + γ′Z_{2} = 0  und  C_{5} : Y_{2} + βX_{2} + δ′Z_{2} = 0.

Sei nun v(Δ) ≥ 5. Wie in Abschnitt 5.5.1 kann man dann ohne Einschränkung annehmen, daß π | a_{3,2}, a_{4,2}, a_{6,4}. Damit gilt π |̸ b_{2}, π^{3} | b_{4}, π^{5} | b_{6}, b_{8}. Man erhällt

F_{2} = Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} + πa_{3,3}Y_{2}Z_{2} − π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} − a_{2}X_{2}^{2} − πa_{4,3}X_{2}Z_{2} − πa_{6,5}Z_{2}^{2}.

5.5.4 Die singulären Punkte von V_{2}

Da P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres fünfdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von fünf Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{2} höchstens fünf Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{2} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{2},P}.

Die Untersuchung wird gleichzeitig für v(Δ) = 4 und v(Δ) ≥ 5 durchgeführt. Bei v(Δ) = 4 ist die Komponente C_{4} irreduzibel über k̄. Bei v(Δ) ≥ 5 ist jeweils C_{4} durch (C_{4} ∪ C_{5}) zu ersetzen. Die Aussagen behalten dabei ihre Gültigkeit.

\underline{Auf V_{2} − C_{4}} liegen keine singulären Punkte, da V_{2} − C_{4} ≅ V_{1} − \{(X_{1}, Y_{1}, π)\} und somit regulär ist.

\underline{P ∈ C_{4} ∩ (C_{2} ∪ C_{3}):} dann ist M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Z_{2}, g(X_{2}, Y_{2}), π), wobei G_{2} ≡ g(X_{2}, Y_{2})·h mod π in R [X_{2}, Y_{2}] und G_{2} = Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} − a_{2}X_{2}^{2} ∈ M ist. Es ist X_{2} ∉ M, da sonst wegen G_{2} = 0 auch Y_{2} ∈ M wäre. Außerdem ist h ∉ M, da sonst wegen α ≠ β folgen würde, daß X_{2} ∈ M. Nun betrachte man die affine Umgebung X_{2} ≠ 0 von P. Dort gilt \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{X_{2}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{2}}{X_{2}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Ferner ist

g ≡ \frac{π}{h}(−a_{3,3}Y_{2}Z_{2} + \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} + a_{4,3}X_{2}Z_{2} + a_{6,5}Z_{2}^{2}) mod π.

Das bedeutet M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , Z_{2}) und P ist regulär. Man beachte, daß es bei dieser Überlegung keine Rolle spielt, ob der Term \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} noch eine Potenz von π als zusätzlichen Faktor besitzt.

Für v(Δ) = 4 gilt:

\underline{C_{4} − (C_{2} ∪ C_{3})} ist als Schema isomorph zu P_{k}^{1}, also ein regulärer Kegelschnitt und damit nach Satz 2.21 auch als Teilmenge von V_{2} regulär.

Die Vielfachheit der Komponente C_{4} ist eins. Da Z_{2} auf C_{4} nicht identisch verschwindet, ist es eine Einheit in O_{V_{2},η}, dem lokalen Ring des generischen Punktes η von C_{4}. Damit ist \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{2}}{Z_{2}} π, \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π und

Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} − a_{2}X_{2}^{2} − a_{4,2}X_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2} = π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2}.

Also ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{4}. Dies bedeutet, daß C_{4} einfach ist.

Also ist V_{2} regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{2} auch eigentlich über R. Die Komponenten C_{1} bis C_{4} sind über k̄ isomorph zu P1 ; k̄ und in einem Viereck angeordnet. Deshalb hat man den Reduktionstyp I_{4}, es folgt, daß V_{2} minimal ist und C = V_{2}. Die Komponenten C_{1} und C_{4} sind über k definiert. Die Komponenten C_{2} und C_{3} sind nur dann über k definiert, wenn k′ = k ist. Somit ist m = 4 und c = 4, falls k′ = k und c = 2, falls k′ ≠ k.

Für v(Δ) ≥ 5 gilt:

\underline{P ∈ (C_{4} ∪ C_{5}) − (C_{2} ∪ C_{3}), P ≠ C_{4} ∩ C_{5}:} dann ist M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , g(X_{2}, Y_{2}), p(X_{2}, Y_{2}, Z_{2}), π), wobei G_{2} ≡ g(X_{2}, Y_{2}) · h mod (p, π) in R [X_{2}, Y_{2}, Z_{2}], da G_{2} ∈ M ist.

Wegen P ∉ C_{2} ∪ C_{3} ist Z_{2} ∉ M. Außerdem ist h ∉ M, da sonst wegen α ≠ β folgen würde, daß X_{2} ∈ M und damit Y_{2} ∈ M wäre. Dies bedeutete aber P = C_{4} ∩ C_{5}. Nun betrachte man die affine Umgebung Z_{2} ≠ 0 von P. Dort gilt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{2}}{Z_{2}} π und \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π. Ferner ist

g ≡ \frac{π}{h}(−a_{3,3}Y_{2}Z_{2} + \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} + a_{4,3}X_{2}Z_{2} + a_{6,5}Z_{2}^{2}) mod (p, π).

Das bedeutet M = (p(X_{2}, Y_{2}, Z_{2}), π) und P ist regulär. Man beachte, daß es bei dieser Überlegung wieder keine Rolle spielt, ob der Term \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} noch eine Potenz von π als zusätzlichen Faktor besitzt.

Sei jetzt P = C_{4} ∩ C_{5} : dann ist M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , X_{2}, Y_{2}, π), und Z_{2} ∉ M.

Aus v(Δ) = 5 folgt v(b_{8}) = 5, da alle Summanden in Δ außer b_{2}b_{8} durch π^{8} teilbar sind und v(b_{2}) = 0 ist. Wegen b_{8} = b_{2}a_{6} − a_{1}a_{3}a_{4} + a_{2}a_{3}^{2} − a_{4}^{2} und π^{3} | a_{3}, a_{4} folgt v(a_{6}) = v(b_{2}a_{6}) = v(b_{8}) = 5. Somit ist

π ∼ a_{6,4} = \frac{1}{Z_{2}^{2}} (Y_{2}^{2} + a_{1}X_{2}Y_{2} + πa_{3,3}Y_{2}Z_{2} − π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2} − a_{2}X_{2}^{2} − πa_{4,3}X_{2}Z_{2}).

P liegt in der affinen Umgebung Z_{2} ≠ 0. Dort gilt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{2}}{Z_{2}} π und \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π. Also ist M = (X_{2}, Y_{2}) und P ist regulär.

Die Vielfachheit der Komponenten C_{4} und C_{5} ist eins. Da Z_{2} auf C_{4} nicht identisch verschwindet, ist es eine Einheit in O_{V_{1},η}, dem lokalen Ring des generischen Punktes η von C_{4}. Damit ist \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{2}}{Z_{2}} π, \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π und

(Y_{2} + αX_{2} + γ′Z_{2})(Y_{2} + βX_{2} + δ′Z_{2}) = π \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{2}^{2}.

Da ohne Einschränkung Y_{2} + βX_{2} + δ′Z_{2} auf C_{4} nicht identisch verschwindet und also eine Einheit in O_{V_{1},η} ist, ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{1},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{4}. Dies bedeutet, daß C_{4} einfach ist. Ebenso ist C_{5} einfach.

Also ist V_{2} regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{2} auch eigentlich über R. Die Komponenten C_{1} bis C_{5} sind über k̄ isomorph zu P1 ; k̄ und in einem Fünfeck angeordnet. Deshalb hat man den Reduktionstyp I_{5}, es folgt, daß V_{2} minimal ist und C = V_{2}. Die Komponente C_{1} ist über k definiert. Die Komponenten C_{2} bis C_{5} sind nur dann über k definiert, wenn k′ = k ist. Somit ist m = 5 und c = 5, falls k′ = k und c = 1, falls k′ ≠ k.

Aus v(Δ) ≥ 6 folgt v(b_{8}) ≥ 6, da alle Summanden in Δ außer b_{2}b_{8} durch π^{8} teilbar sind und v(b_{2}) = 0 ist. Daraus folgt wie eben v(a_{6}) ≥ 6. Also hat man F_{2} ∈ M^{2} und deshalb folgt wie in Abschnitt 5.4, daß X_{2}, Y_{2}, π mod M^{2} über k = O_{V_{2},P} /M linear unabhängig sind und P singulär ist.

5.5.5 Aufblasen von V_{2} entlang (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , X_{2}, Y_{2}, π)

Dazu betrachte man folgendes offene Unterschema von V_{2}:

V_{2} − (\overline{\{(Z_{1})\}} ∪ \overline{\{(Z_{2})\}}) = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{X_{2}}{Z_{2}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ]/ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} − \frac{X_{2}}{Z_{2}} π, \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π, \frac{F_{2}}{Z_{2}^{2}} )

≅ Spec R [\frac{X_{2}}{Z_{2}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ]/((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{1} \frac{X_{2}}{Z_{2}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + πa_{3,3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} −

− π^{2} (\frac{X_{2}}{Z_{2}} )^{3} − a_{2} (\frac{X_{2}}{Z_{2}} )^{2} − πa_{4,3} \frac{X_{2}}{Z_{2}} − π^{2}a_{6,6}).

Diese Isomorphie ergibt sich vermöge des Ringmorphismus

R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{X_{2}}{Z_{2}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] ⟶ R [\frac{X_{2}}{Z_{2}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ];

\frac{X_{1}}{Z_{1}} ↦ \frac{X_{2}}{Z_{2}} π, \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ↦ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π, \frac{X_{2}}{Z_{2}} ↦ \frac{X_{2}}{Z_{2}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ↦ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} .

Und man betrachte das offene Unterschema von V_{1}

V_{1} − \overline{\{(Z_{1})\}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ]/((\frac{Y_{1}}{Z_{1}} )^{2} + a_{1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} + πa_{3,2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − π (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} −

− a_{2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} − πa_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − π^{2}a_{6,4}).

Diese beiden Schemata sind durch fast dieselbe Gleichung gegeben. Nur a_{3,2}, a_{4,2} und

a_{6,4} sind durch a_{3,3}, a_{4,3} und a_{6,6} zu ersetzen. Und die Potenz von π in π (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} erhöht sich um eins. Deshalb verlaufen alle weiteren Aufblasungen wie die in Abschnitt 5.5.3 beschriebene.

Da Δ unter allen dabei durchgeführten Translationen invariant ist und vor jeder weiteren Aufblasung durch ein zusätzliches π^{2} teilbar sein muß, endet dieser Prozeß. Man erhält ein reguläres Schema V, das als abgeschlossenes Unterschema eines Produkts von P_{R}^{m} auch eigentlich über R ist.

Da mit jeder zusätzliche Potenz von π, durch die Δ teilbar ist eine Komponente zu V_{k} hinzukommt, folgt mit v(Δ) = n induktiv, daß die spezielle Faser vom Typ I_{n} ist. Somit ist V minimal und V = C. Es gilt n = m.

Falls k′ = k ist, so sind alle Komponenten über k definiert und c = n. Falls k′ ≠ k und n gerade ist, so sind die Komponenten C_{2}, C_{3} und C_{4}, C_{5} und … und C_{n−2}, C_{n−1} nicht über k definiert. Nur C_{1} und C_{n} sind über k definiert und c = 2. Falls k′ ≠ k und n ungerade ist, so sind die Komponenten C_{2}, C_{3} und C_{4}, C_{5} und … und C_{n−1}, C_{n} nicht über k definiert. Nur C_{1} ist über k definiert und c = 1. Die restliche Behauptung von Schritt 2 folgt nun aus Satz 2.29.

5.6 Beweis von Schritt 4

Am Ende von Abschnitt 5.4 haben wir das Schema V_{1} = P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}), mit

F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + a_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − a_{2}X_{1}^{2}Z_{1} − a_{4,1}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,2}Z_{1}^{3} erhalten. In der Untersuchung von V_{1} ist noch der Fall π | b_{2} zu behandeln. Also sei von jetzt an π | b_{2} = a_{1}^{2} + 4a_{2}. b_{2} ist die Diskriminante von Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} − a_{2}X_{1}^{2}. Dies bedeutet, daß Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} − a_{2}X_{1}^{2} eine doppelte Nullstelle in k̄ hat. Da k perfekt ist, liegt diese bereits in k. Das heißt es gibt ein s ∈ R mit:

Y_{1}^{2} + a_{1}X_{1}Y_{1} − a_{2}X_{1}^{2} ≡ (Y_{1} − sX_{1})^{2} mod π

Die Translation X_{1} → X_{1}, Y_{1} → Y_{1} + sX_{1}, Z_{1} → Z_{1} führt zu π | a_{1}, a_{2}. Sie bewirkt auf E/K die Translation X → X, Y → Y + sX, Z → Z. Nach Satz 2.28 werden deshalb unsere Annahmen π | a_{3}, a_{4} und π^{2} | a_{6} nicht zerstört. In Schritt 4 ist somit π | a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, π^{2} | a_{6}, π^{2} |̸ a_{4}. Die bisherige Aufblasung von W in Abschnitt 5.4 lieferte als Ergebnis das Schema

V_{1} = P roj R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(F_{1}),  mit
F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + πa_{1,1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − πa_{2,1}X_{1}^{2}Z_{1} − a_{4,1}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,2}Z_{1}^{3}.

V_{1} hat die beiden Komponenten

C_{1} = P roj k [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(Z_{1}) und C_{2} = P roj k [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}]/(G_{1}), wobei G_{1} = Y_{1}^{2} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1} − a_{6,2}Z_{1}^{2} − a_{4,1}X_{1}Z_{1} ist. \underline{Auf V_{1} − C_{2}} liegen keine singulären Punkte, da V_{1} − C_{2} ≅ W^{0} und W^{0} regulär ist. \underline{Sei P = C_{1} ∩ C_{2}} und M das maximale Ideal in O_{V_{1},P}. Dann ist M = (Y_{1}, Z_{1}, π) und X_{1} ∉ M. Damit ist

π = \frac{1}{X_{1}^{3}} (Y_{1}^{2}Z_{1} + πa_{1,1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1}^{2} − πa_{2,1}X_{1}^{2}Z_{1} − a_{4,1}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,2}Z_{1}^{3})

und also M = (Y_{1}, Z_{1}), das heißt P ist regulär.

\underline{Auf C_{2} − C_{1}} liegen keine singulären Punkte, da C_{2} ein regulärer Kegelschnitt, also über k̄ isomorph zu P1 ; k̄ ist. Nach Satz 2.21 ist somit C_{2} auch als Teilmenge von V_{1} regulär.

Wie in Abschnitt 5.5 sieht man, daß die Komponente C_{1} Vielfachheit eins hat.

Die Komponente C_{2} hat ebenfalls Vielfachheit eins, denn Z_{1}G_{1} ≡ πX_{1}^{3} mod π. Da Z_{1} auf C_{2} nicht identisch verschwindet, ist es eine Einheit in dem lokalen Ring O_{V_{1},η} des generischen Punktes η von C_{2}. Deshalb ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{1},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{2}. Dies bedeutet, daß C_{2} einfach ist.

Also ist V_{1} regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} auch eigentlich über R. Da sich C_{1} und C_{2} in einem einzigen Punkt tangential schneiden hat man den Reduktionstyp III, es folgt, daß V_{1} minimal ist und C = V_{1}. Es ist m = 2 und c = 2.

5.7 Beweis von Schritt 5

Gegenüber Schritt 4 in Abschnitt 5.6 ändert sich hier nur π^{2} | a_{4} und π^{3} |̸ b_{6}. Das bedeutet, daß G_{1} ≡ Y_{1}^{2} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1} − a_{6,2}Z_{1}^{2} mod π ist. b̃_{6,2} ist die Diskriminante von G̃_{1} und π^{3} |̸ b_{6} heißt, daß C_{2} über k̄ in die zwei verschiedenen Komponenten

C_{2} : Y_{1} − αZ_{1} = π = 0  und  C_{3} : Y_{1} − βZ_{1} = π = 0

zerfällt. C_{1}, C_{2} und C_{3} schneiden sich alle drei transversal in dem einen Punkt (Y_{1}, Z_{1}, π).

\underline{Auf V_{1} − C_{2}} liegen keine singulären Punkte, da V_{1} − C_{2} ≅ W^{0} und W^{0} regulär ist.

\underline{Der Punkt C_{1} ∩ C_{2} ∩ C_{3}} ist aus gleichem Grund wie in Abschnitt 5.6 regulär.

\underline{Sei P ∈ (C_{2} ∪ C_{3}) − C_{1}} dann ist M = (g(Y_{1}, Z_{1}), p(X_{1}, Y_{1}, Z_{1}), π), wobei G_{1} ≡ g(Y_{1}, Z_{1}) · h mod (p, π) in R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}] ist, da G_{1} ∈ M ist. Wegen P ∉ C_{1} ist Z_{1} ∉ M. Außerdem ist h ∉ M, da sonst wegen α ≠ β auch Z_{1} ∈ M wäre. Also ist

g ≡ \frac{1}{hZ_{1}} πX_{1}^{3} mod (p, π)

und damit M = (p, π). Somit ist P regulär.

Wie in Abschnitt 5.5 sieht man, daß die Komponente C_{1} Vielfachheit eins hat.

Die Komponenten C_{2} und C_{3} haben ebenfalls Vielfachheit eins, denn es ist

Z_{1}(Y_{1} − αZ_{1})(Y_{1} − βZ_{1}) ≡ πX_{1}^{3} mod π.

Da Z_{1} und Y_{1} −βZ_{1} auf C_{2} nicht identisch verschwindet, sind sie Einheiten in dem lokalen Ring O_{V_{1},η} des generischen Punktes η von C_{2}. Deshalb ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{1},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{2}. Dies bedeutet, daß C_{2} einfach ist. Ebenso ist C_{3} einfach.

Also ist V_{1} regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} auch eigentlich über R. Man hat den Reduktionstyp IV. Deshalb ist V_{1} minimal und es folgt C = V_{1}. Es ist m = 3. Falls k′ = k, so sind alle drei Komponenten über k definiert und c = 3. Falls k′ ≠ k, so ist nur die Komponente C_{1} über k definiert und c = 1.

5.8 Beweis von Schritt 6

Sei nun π^{3} | b_{6}. Das bedeutet, daß Y_{1}^{2} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1} − a_{6,2}Z_{1}^{2} eine doppelte Nullstelle in k̄ hat. Da k perfekt ist liegt diese in k und es gibt ein t ∈ R mit:

Y_{1}^{2} + a_{3,1}Y_{1}Z_{1} − a_{6,2}Z_{1}^{2} ≡ (Y_{1} − tZ_{1})^{2} mod π.

Die Translation X_{1} → X_{1}, Y_{1} → Y_{1} + tZ_{1}, Z_{1} → Z_{1} führt dann zu π | a_{3,1}, a_{6,2}. Sie bewirkt auf E/K die Translation X → X, Y → Y + tπZ, Z → Z.

Nach Satz 2.28 ist somit π | a_{1}, a_{2}, π^{2} | a_{3}, a_{4}, π^{3} | a_{6} und

F_{1} = Y_{1}^{2}Z_{1} + πa_{1,1}X_{1}Y_{1}Z_{1} + πa_{3,2}Y_{1}Z_{1}^{2} − πX_{1}^{3} − πa_{2,1}X_{1}^{2}Z_{1} − πa_{4,2}X_{1}Z_{1}^{2} − πa_{6,3}Z_{1}^{3}.

Ṽ_{1} besteht aus den Geraden C_{1} : Z_{1} = 0 mit Vielfachheit eins und C_{2} : Y_{1} = 0 mit Vielfachheit zwei.

5.8.1 Die singulären Punkte von V_{1}

\underline{Auf V_{1} − C_{2}} liegen keine singulären Punkte, da V_{1} − C_{2} ≅ W^{0} und W^{0} regulär ist.

\underline{Der Punkt C_{1} ∩ C_{2}} ist aus gleichem Grund wie in Abschnitt 5.6 nicht singulär.

\underline{Auf C_{2}} liegen singuläre Punkte auf \overline{\{(Y_{1}, X_{1}^{3} − a_{2,1}X_{1}^{2}Z_{1} − a_{4,2}X_{1}Z_{1}^{2} − a_{6,3}Z_{1}^{3}, π)\}}, da dort F_{1} ∈ M^{2} ist (Vergleiche Abschnitt 5.4).

Also wird als nächstes die doppelte Gerade C_{2} : Y_{1} = π = 0 aufgeblasen.

5.8.2 Aufblasen von V_{1} entlang (Y_{1}, π)

I = (Y_{1}, π), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Über den affinen, offenen Mengen ergibt sich:

\underline{Y_{1} ≠ 0 :} U_{Y_{1}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ]

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ][Y′′_{2}, Z′′_{2}] → S(U_{Y_{1}}) durch die Zuordnung

(Y′′_{2}, Z′′_{2}) ↦ (1, π).
Ihr Kern ist I_{Y_{1}} = (Z′′_{2} − Y′′_{2}π).

Also ergibt sich S(U_{Y_{1}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ][Y′′_{2}] und damit P roj S(U_{Y_{1}}) ≅ Spec R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ].

ϕ_{Y_{1}} : P roj S(U_{Y_{1}}) → U_{Y_{1}} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Y_{1}} , \frac{Z_{1}}{Y_{1}} ] → S(U_{Y_{1}}).

\underline{X_{1} ≠ 0 :} U_{X_{1}} = Spec R [\frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} ] Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} ][Y′_{2}, Z′_{2}] → S(U_{X_{1}}) durch die Zuordnung (Y′_{2}, Z′_{2}) ↦ (\frac{Y_{1}}{X_{1}} , π). Ihr Kern ist I_{X_{1}} = (Y′_{2}π − Z′_{2} \frac{Y_{1}}{X_{1}} ). Also ergibt sich S(U_{X_{1}}) ≅ R [\frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} ][Y′_{2}, Z′_{2}]/I_{X_{1}}. ϕ_{X_{1}} : P roj S(U_{X_{1}}) → U_{X_{1}} ist gegeben durch R [\frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} ] → S(U_{X_{1}}).

\underline{Z_{1} ≠ 0 :} U_{Z_{1}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ] Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][Y_{2}, Z_{2}] → S(U_{Z_{1}}) durch die Zuordnung (Y_{2}, Z_{2}) ↦ (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π). Ihr Kern ist I_{Z_{1}} = (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ). Also ergibt sich S(U_{Z_{1}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][Y_{2}, Z_{2}]/I_{Z_{1}}. ϕ_{Z_{1}} : P roj S(U_{Z_{1}}) → U_{Z_{1}} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ] → S(U_{Z_{1}}).

Über X_{1} ≠ 0, Z_{1} ≠ 0 werden P roj S(U_{X_{1}}) und P roj S(U_{Z_{1}}) zusammengeklebt durch

(Y′_{2}, Z′_{2}) = (\frac{Z_{1}}{X_{1}} Y_{2}, Z_{2})  beziehungsweise  (\frac{X_{1}}{Z_{1}} Y′_{2}, Z′_{2}) = (Y_{2}, Z_{2}).

Dadurch erhält man Proj S als Unterschema von P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1} und den Morphismus ϕ : Proj S ⟶ P_{R}^{2}. Die strikte Transformation von V_{1} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{2} := \overline{ϕ^{−1}(V_{1} − \overline{\{(Y_{1}, π)\}})} in Proj S. Über dem affinen Teil X_{1} ≠ 0 von V_{1} liegen dabei folgende Teile von V_{2}:

In Y′_{2} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{Z′_{2}}{Y′_{2}} \frac{Y_{1}}{X_{1}} . Damit ist

Y′_{2} · \frac{F_{1}}{X_{1}^{3}} = \frac{Y_{1}}{X_{1}} (\frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{1,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{3,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Y′_{2} − Z′_{2}−

− a_{2,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Z′_{2} − a_{4,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Z′_{2} − a_{6,3} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{3} Z′_{2}) = 0.

Falls \frac{Y_{1}}{X_{1}} = 0, so folgt π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{1} − \overline{\{(Y_{1}, π)\}}). Also bleibt nur

F′_{2} := \frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{1,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{3,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Y′_{2} −

− Z′_{2} − a_{2,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Z′_{2} − a_{4,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Z′_{2} − a_{6,3} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{3} Z′_{2} = 0.

In Z′_{2} ≠ 0 : ⇒ \frac{Y_{1}}{X_{1}} = \frac{Y′_{2}}{Z′_{2}} π. Damit ist

Z′_{2} · \frac{F_{1}}{X_{1}^{3}} = π (\frac{Y_{1}}{X_{1}} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{1,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{3,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Y′_{2} − Z′_{2}−

− a_{2,1} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Z′_{2} − a_{4,2} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Z′_{2} − a_{6,3} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{3} Z′_{2}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{Y_{1}}{X_{1}} = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{1} − \overline{\{(Y_{1}, π)\}}). Also bleibt nur F′_{2} = 0.

Und über dem affinen Teil Z_{1} ≠ 0 von V_{1} liegen folgende Teile von V_{2}:

In Y_{2} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{Z_{2}}{Y_{2}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} . Damit ist

Y_{2} · \frac{F_{1}}{Z_{1}^{3}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{3,2}Y_{2} − (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2}−

− a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} − a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} − a_{6,3}Z_{2}) = 0.

Falls \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{1} − \overline{\{(Y_{1}, π)\}}). Also bleibt nur

F_{2} := \frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{3,2}Y_{2} −

− (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2} − a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} − a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} − a_{6,3}Z_{2} = 0.

In Z_{2} ≠ 0 : ⇒ \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π. Damit ist

Z_{2} · \frac{F_{1}}{Z_{1}^{3}} = π (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{3,2}Y_{2} − (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2}−

− a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} − a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} − a_{6,3}Z_{2}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{1} − \overline{\{(Y_{1}, π)\}}). Also bleibt nur F_{2} = 0.

Man bekommt also V_{2} : durch das Ideal (F′_{2}) in P roj S(U_{X_{1}}) und durch das Ideal (F_{2}) in P roj S(U_{Z_{1}}).

Ṽ_{2} besteht aus folgenden Komponenten:

• \underline{Z_{1} = 0} ⇒ X_{1} ≠ 0 und wegen F′_{2} = 0 ⇒ \underline{Z′_{2} = 0} oder
⇒ Y_{1} ≠ 0 ⇒ \underline{Z′′_{2} = 0}.

Dies ist die Komponente C_{1} von V_{1}, die in R [X_{1}, Y_{1}, Z_{1}] liegt. Sie ist ein P1 ; k̄ mit dem Parameter \frac{X_{1}}{Y_{1}} beziehungsweise \frac{Y_{1}}{X_{1}} .

Sei jetzt Z_{1} ≠ 0. Aus π = 0 folgt dann Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0. Sei zuerst

• \underline{Z_{2} = 0} ⇒ Y_{2} ≠ 0 und wegen F_{2} = 0 ⇒ \underline{\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{2} von V_{1}.

Der Parameter ist \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Nun fehlt noch

• \underline{\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0} ⇒ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2} + a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} + a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} + a_{6,3}Z_{2} = 0. Da wir die Komponente

C_{2} : \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = Z_{2} = 0 schon haben, bleibt noch

\underline{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} + a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} + a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{6,3} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung

neu hinzugekommen, sie heiße C_{3}. Ihr Parameter ist \frac{Y_{2}}{Z_{2}} beziehungsweise \frac{Z_{2}}{Y_{2}} .

Die Komponente C_{1} hat dabei Vielfachheit eins. Denn πY′_{2} = Z′_{2} \frac{Y_{1}}{X_{1}} und da Y′_{2} ≠ 0 und \frac{Y_{1}}{X_{1}} auf C_{1} nicht identisch verschwindet, ist π ∼ Z′_{2} in dem lokalen Ring O_{V_{2},η} des generischen Punktes η von C_{1}. Aus F′_{2} = 0 folgt

\frac{Z_{1}}{X_{1}} (\frac{Y_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{1,1}Y′_{2} + πa_{3,2} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} − a_{2,1}Z′_{2} − a_{4,2} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Z′_{2} − a_{6,3} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Z′_{2}) = Z′_{2}.

Der Term in Klammern verschwindet nicht identisch auf C_{1} und ist somit eine Einheit in O_{V_{2},η}. Deshalb ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{1}. Dies bedeutet, daß C_{1} einfach ist.

Die Komponente C_{2} ist doppelt. Denn π = \frac{Z_{2}}{Y_{2}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} und F_{2} ergibt nach \frac{Y_{1}}{Z_{1}} aufgelöst

\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Z_{2}}{Y_{2}} (−a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − a_{3,2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} + (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} + a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} + a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{6,3}) .

Der Term in Klammern verschwindet nicht identisch auf C_{2} und ist somit eine Einheit in dem lokalen Ring O_{V_{2},η} des generischen Punktes η von C_{2}. Deshalb sind \frac{Z_{2}}{Y_{2}} und \frac{Y_{1}}{Z_{1}} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{2}. Somit ist die Ordnung von π auf C_{2} gleich 2. Dies bedeutet, daß C_{2} doppelt ist.

5.8.3 Die singulären Punkte von V_{2}

Da P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1} ein reguläres vierdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von vier Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{2} höchstens vier Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{2} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{2},P}.

\underline{Auf V_{2} − (C_{2} ∪ C_{3})} liegen keine singulären Punkte, da V_{2} − (C_{2} ∪ C_{3}) ≅ V_{1} − C_{2} ≅ W^{0} und somit regulär ist.

KAPITEL 5. BEWEIS DES ALGORITHMUS VON TATE 53 \underline{P = C_{1} ∩ C_{2}:} dann ist X_{1} ≠ 0 und M = (\frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} , Z′_{2}, π). Somit ist Y′_{2} ∉ M und es gilt π = \frac{Z′_{2}}{Y′_{2}} \frac{Y_{1}}{X_{1}} und

Z′_{2} = \frac{Z_{1}}{X_{1}} (\frac{Y_{1}}{X_{1}} Y′_{2} + πa_{1,1}Y′_{2} + πa_{3,2} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Y′_{2} − a_{2,1}Z_{2} − a_{4,2} \frac{Z_{1}}{X_{1}} Z_{2} − a_{6,3} (\frac{Z_{1}}{X_{1}} )^{2} Z_{2}) .

Das bedeutet M = (\frac{Y_{1}}{X_{1}} , \frac{Z_{1}}{X_{1}} ) und P ist regulär. \underline{P ∈ C_{2} − C_{1}:} dann ist Z_{1} ≠ 0 und M = (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Z_{2}, p (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Y_{2}, Z_{2}) , π). Somit ist Y_{2} ∉ M und es gilt π = \frac{Z_{2}}{Y_{2}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} und

\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = − π (a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{3,2}) + \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ((\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} + a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} + a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{6,3}) .

Das bedeutet M = (Z_{2}, p) und P ist regulär. Insgesammt ergibt sich also, daß C_{1} ∪ C_{2} regulär ist.

5.8.4 Untersuchung von C_{3}:

Die Struktur der Komponente C_{3} hängt von der Art der Nullstellen des Polynoms G_{2} := (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} + a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} + a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{6,3} in k̄ ab. In Schritt 6 hat dieses nun zunächst drei verschiedene Nullstellen in k̄. Das heißt, daß C_{3} über k̄ in drei Geraden zerfällt:

C_{3} : \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} + α = 0, C_{4} : \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} + β = 0 und C_{5} : \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} + γ = 0.

\underline{P ∈ (C_{3} ∪ C_{4} ∪ C_{5}) − C_{2}:} dann ist Z_{1} ≠ 0, Z_{2} ≠ 0 und M = (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} , g(\frac{X_{1}}{Z_{1}} ), p(Y_{2}, Z_{2}), π), wobei G_{2} ≡ g (\frac{X_{1}}{Z_{1}} ) · h mod π in R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} ] ist. Es ist h ∉ M. Denn sonst wäre auch der größte gemeinsame Teiler von g und h mod π in M, da k [\frac{X_{1}}{Z_{1}} ] Hauptidealring ist. Dieser ist aber 1. Also gilt

\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π und g ≡ \frac{1}{hZ_{2}} (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + π (a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + a_{3,2}Y_{2})) mod π.

Das bedeutet M = (p, π) und P ist regulär. Die Komponenten C_{3}, C_{4} und C_{5} haben dabei Vielfachheit eins. Denn πY_{2} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} Z_{2} und da Y_{2} und Z_{2} auf C_{3} nicht identisch verschwinden, gilt π ∼ \frac{Y_{1}}{Z_{1}} in dem lokalen Ring O_{V_{2},η} des generischen Punktes η von C_{3}. Aus F_{2} = 0 folgt

(\frac{X_{1}}{Z_{1}} + α)(\frac{X_{1}}{Z_{1}} + β)(\frac{X_{1}}{Z_{1}} + γ)Z_{2} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{3,2}Y_{2}.

Die Terme (\frac{X_{1}}{Z_{1}} +β)(\frac{X_{1}}{Z_{1}} +γ)Z_{2} verschwindet nicht identisch auf C_{3} und sind somit Einheiten in O_{V_{2},η}. Deshalb ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{3}. Dies bedeutet, daß C_{3} einfach ist. Ebenso sind C_{4} und C_{5} einfach.

Also ist V_{2} regulär und als abgeschlossenes Unterschema von P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1} auch eigentlich über R. Die spezielle Faser von V_{2} besteht aus der doppelten Komponente C_{2} und den vier einfachen Komponenten C_{1}, C_{3}, C_{4} und C_{5}, die C_{2} transversal schneiden. Also hat man den Reduktionstyp I_{0}^{∗}, es folgt, daß V_{2} minimal ist und C = V_{2}. Es ist m = 5. Die Komponente C_{1} ist über k definiert und die Komponenten C_{3}, C_{4} und C_{5} gehören zu den Nullstellen von G_{2}. Also ist c, die Anzahl der über k definierten Komponenten um eins größer, als die Anzahl der Nullstellen von G_{2} in k.

5.9 Beweis von Schritt 7

In Schritt 7 hat das Polynom G_{2} aus Abschnitt 5.8.4 eine doppelte und eine einfache Nullstelle in k̄. Da k perfekt ist, liegt die doppelte Nullstelle in k und besitzt einen Repräsentanten r ∈ R. Sie wird durch die Translation X_{1} → X_{1}+rZ_{1}, Y_{1} → Y_{1}, Z_{1} → Z_{1} auf \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0 verschoben. Also kann man ohne Einschränkung annehmen, daß π | a_{4,2}, a_{6,3} und π |̸ a_{2,1}. Die Translation bewirkt auf E/K den Übergang X → X + rπZ, Y → Y, Z → Z.

Nach Satz 2.28 wird damit π | a_{1}, a_{2}, π |̸ a_{2,1}, π^{2} | a_{3}, π^{3} | a_{4}, π^{4} | a_{6} und

F_{2} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{3,2}Y_{2} − (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2} − a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} − πa_{4,3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} − πa_{6,4}Z_{2}.

Ferner ist G_{2} ≡ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1}) mod π. Also zerfällt C_{3} über k in die Komponenten

C_{3} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0  und  C_{4} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0.

Wie in Abschnitt 5.8.2 gezeigt, hat die Komponente C_{1} Vielfachheit eins und die Komponente C_{2} Vielfachheit zwei.

Die Komponente C_{3} ist einfach. Denn πY_{2} = Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} und da Z_{2} und Y_{2} auf C_{3} nicht identisch verschwinden, ist π ∼ \frac{Y_{1}}{Z_{1}} in dem lokalen Ring O_{V_{2},η} des generischen Punktes η von C_{3}. Aus F_{2} = 0 folgt

\frac{Y_{1}}{Z_{1}} (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{3,2} − a_{4,3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Z_{2}}{Y_{2}} − a_{6,4} \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ) = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1}) .

Die Klammer auf der linken Seite und der Term (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} auf der rechten Seite der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{3} und sind somit Einheiten in O_{V_{2},η}. Somit ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{3}. Dies bedeutet, daß C_{3} einfach ist.

Da C_{1} und C_{3} einfache Komponenten sind und C_{2} eine doppelte Komponente ist, sollen die Namen von C_{2} und C_{3} vertauscht werden. Es ist dann

C_{2} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0  und  C_{3} : \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = Z_{2} = π = 0.

5.9.1 Die singulären Punkte von V_{2}

Da P_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1} ein reguläres vierdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von vier Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{2} höchstens vier Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{2} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{2},P}.

\underline{C_{1} ∪ C_{3}} ist regulär, wie wir in Abschnitt 5.8.3 gesehen hatten.

\underline{P ∈ C_{2} − C_{3}:} dann ist Z_{2} ≠ 0 und M = (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1}, p(Y_{2}, Z_{2}), π). Somit ist \frac{X_{1}}{Z_{1}} ∉ M und es gilt \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π und

\frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1} = \frac{1}{\begin{aligned}( & \frac{X_{1}}{Z_{1}} & ) \\ & & 2 \end{aligned}} (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + π (a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{4,3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − a_{6,4})) .

Das bedeutet M = (π, p) und P ist regulär.

\underline{Auf C_{4}} liegen singuläre Punkte in Z_{2} ≠ 0 auf \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Y_{2}^{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2}, π)\}}, da dort wegen Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = Y_{2}π gilt Z_{2}F_{2} ∈ M^{2} (Vergleiche Abschnitt 5.4).

Also wird als nächstes die doppelte Gerade C_{4} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0 aufgeblasen.

Dazu betrachte man das offene Unterschema von V_{2}

C_{4} ⊂ V_{2} − \overline{\{(Z_{1})\}} = P roj R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][Y_{2}, Z_{2}]/ (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , F_{2}) .

Da aber im Laufe des weiteren Vorgehens diese Aufblasung in leicht veränderter Form noch mehrmals vorkommen wird, werden wir nicht dieses Schema aufblasen, sondern das folgende

V_{2ν−2}^{∗} := P roj R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][Y_{2}, Z_{2}]/ (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , F_{2ν−2}^{∗} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Y_{2}, Z_{2})) ,

wobei  F_{2ν−2}^{∗} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Y_{2}, Z_{2}) := \frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{3,ν}Y_{2} −

− π^{ν−2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2} − a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} − πa_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} − πa_{6,2ν}Z_{2}.

Man beachte dabei, daß für ν = 2 genau V_{2} − \overline{\{(Z_{1})\}} ≅ V_{2}^{∗} ist.

5.9.2 Aufblasen von V_{2ν−2}^{∗} entlang (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π)

I = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

\underline{Y_{2} ≠ 0 :} U_{Y_{2}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ] Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ][X′_{3}, Y′_{3}, Z′_{3}] → S(U_{Y_{2}}) durch die Zuordnung (X′_{3}, Y′_{3}, Z′_{3}) ↦ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π). Ihr Kern ist I_{Y_{2}} = (Y′_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X′_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Z′_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X′_{3}π, Z′_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − Y′_{3}π). Also ergibt sich S(U_{Y_{2}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ][X′_{3}, Y′_{3}, Z′_{3}]/I_{Y_{2}}. ϕ_{Y_{2}} : P roj S(U_{Y_{2}}) → U_{Y_{2}} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ] → S(U_{Y_{2}}).

\underline{Z_{2} ≠ 0 :} U_{Z_{2}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}] → S(U_{Z_{2}}) durch die Zuordnung (X_{3}, Y_{3}, Z_{3}) ↦ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π). Ihr Kern ist I_{Z_{2}} = (Y_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3}π, Z_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − Y_{3}π). Also ergibt sich S(U_{Z_{2}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}]/I_{Z_{2}}. ϕ_{Z_{2}} : P roj S(U_{Z_{2}}) → U_{Z_{2}} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] → S(U_{Z_{2}}).

Über Y_{2} ≠ 0, Z_{2} ≠ 0 werden P roj S(U_{Y_{2}}) und P roj S(U_{Z_{2}}) zusammengeklebt durch (X′_{3}, Y′_{3}, Z′_{3}) = (X_{3}, Y_{3}, Z_{3}).

Dadurch erhält man Proj S als das zum Ideal I_{Z_{2}} gehörende Unterschema von Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ] ×_{R} P roj R [Y_{2}, Z_{2}] ×_{R} P roj R [X_{3}, Y_{3}, Z_{3}] = A_{R}^{2} ×_{R} P_{R}^{1} ×_{R} P_{R}^{2} und den Morphismus ϕ : Proj S ⟶ A_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1}. Die strikte Transformation von V_{2ν−2}^{∗} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{2ν−1} := \overline{ϕ^{−1}(V_{2ν−2}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π)\}})} in Proj S. Dabei ist V_{2ν−1} durch folgende Gleichungen gegeben:

In X_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Damit ist X_{3} · (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ) = \frac{X_{1}}{Z_{1}} (Y_{2}Z_{3} − Z_{2}Y_{3}) = 0 und

X_{3} · F_{2ν−2}^{∗} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} (Y_{2}Y_{3} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2}Z_{3} + a_{3,ν}Y_{2}Z_{3} − π^{ν−2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2}X_{3}−

− a_{2,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}X_{3} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}Z_{3} − a_{6,2ν}Z_{2}Z_{3}) = 0.

Falls \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu der Menge ϕ^{−1}(V_{2ν−2}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π)\}}). Also bleibt nur Y_{2}Z_{3} − Z_{2}Y_{3} = 0 und

F_{2ν−1}^{∗} := Y_{2}Y_{3} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2}Z_{3} + a_{3,ν}Y_{2}Z_{3} − π^{ν−2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2}X_{3} −

− a_{2,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}X_{3} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}Z_{3} − a_{6,2ν}Z_{2}Z_{3} = 0.

KAPITEL 5. BEWEIS DES ALGORITHMUS VON TATE 57 In Y_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{1}}{Z_{1}}

Damit ist Y_{3} · (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ) = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} (Y_{2}Z_{3} − Z_{2}Y_{3}) = 0 und

Y_{3} · F_{2ν−2}^{∗} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} (Y_{2}Y_{3} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2}Z_{3} + a_{3,ν}Y_{2}Z_{3} − π^{ν−2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2}X_{3}−

− a_{2,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}X_{3} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}Z_{3} − a_{6,2ν}Z_{2}Z_{3}) = 0.

Falls \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu der Menge ϕ^{−1}(V_{2ν−2}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π)\}}). Also bleibt nur Y_{2}Z_{3} − Z_{2}Y_{3} = F_{2ν−1}^{∗} = 0.

In Z_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} π und \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{3}}{Z_{3}} π

Damit ist Z_{3} · (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ) = π(Y_{2}Z_{3} − Z_{2}Y_{3}) = 0 und

Z_{3} · F_{2ν−2}^{∗} = π (Y_{2}Y_{3} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2}Z_{3} + a_{3,ν}Y_{2}Z_{3} − π^{ν−2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2}X_{3}−

− a_{2,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}X_{3} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}Z_{3} − a_{6,2ν}Z_{2}Z_{3}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0 und der Punkt gehört nicht zu der Menge ϕ^{−1}(V_{2ν−2}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π)\}}). Also bleibt nur Y_{2}Z_{3} − Z_{2}Y_{3} = F_{2ν−1}^{∗} = 0.

Man bekommt also V_{2ν−1} durch das Ideal (Y_{2}Z_{3} − Z_{2}Y_{3}, F_{2ν−1}^{∗}) in Proj S. Ṽ_{2ν−1} besteht aus folgenden Komponenten: π = 0 ⇒ Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = Z_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0

• \underline{Z_{3} = 0} ⇒ Z_{2}Y_{3} = 0. Sei zunächst \underline{Z_{2} = 0} ⇒ Y_{2} ≠ 0 und wegen F_{2ν−1}^{∗} = 0 ⇒ \underline{Y_{3} = 0} ⇒ X_{3} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{2ν−1} von V_{2ν−2}^{∗} mit dem Parameter \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Bei ν = 2 ist dies die Komponente C_{3} von V_{2}.

• \underline{Z_{3} = 0} ⇒ Z_{2}Y_{3} = 0. Es bleibt noch \underline{Y_{3} = 0} ⇒ X_{3} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0} und wegen F_{2ν−1}^{∗} = 0 ⇒ (π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1}) \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} = 0. Den Fall Z_{2} = 0 haben wir soeben als Komponente C_{2ν−1} schon behandelt. Also bleiben

∗ \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{2ν} von V_{2ν−2}^{∗} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} beziehungsweise \frac{Z_{2}}{Y_{2}} . Bei ν = 2 ist dies die Komponente C_{4} von V_{2}.

∗ \underline{π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1} = 0}. Bei ν = 2 ist dies die Komponente C_{2} von V_{2} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} beziehungsweise \frac{Z_{2}}{Y_{2}} . Bei ν > 2 tritt diese Komponente nicht auf, da ã_{2,1} ≠ 0 in k ist.

• \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = 0} ⇒ Y_{2}Z_{3} −Z_{2}Y_{3} = 0 und Y_{2}Y_{3} +a_{3,ν}Y_{2}Z_{3} −a_{6,2ν}Z_{2}Z_{3} = 0. Falls Z_{2} = 0, so folgt Y_{2} ≠ 0 und deshalb Y_{3} = Z_{3} = 0. Dies ist keine Komponente, sondern der Schnittpunkt der beiden Komponenten C_{2ν−1} und C_{2ν}. Also sei jetzt Z_{2} ≠ 0. Dann folgt

Z_{2} · (Y_{2}Y_{3} + a_{3,ν}Y_{2}Z_{3} − a_{6,2ν}Z_{2}Z_{3}) = Z_{3}(Y_{2}^{2} + a_{3,ν}Y_{2}Z_{2} − a_{6,2ν}Z_{2}^{2}) = 0.

Aus Z_{3} = 0 folgt Y_{3} = 0 wegen Z_{2} ≠ 0. Dieser Fall wurde soeben als Komponente C_{2ν} schon behandelt. Somit bleibt nur \underline{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,ν} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,2ν} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} − Y_{3} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{2ν+1}. Ihr Parameter ist \frac{X_{3}}{Z_{3}} beziehungsweise \frac{Z_{3}}{X_{3}} .

Die Komponente C_{2ν−1} ist dabei doppelt, da sie nicht in dem aufgeblasenen Unterschema \overline{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , π)} von V_{2ν−2}^{∗} lag.

Die Komponente C_{2ν} ist auch doppelt. Denn π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und da Z_{2} auf C_{2ν} nicht identisch verschwindet, gilt Y_{3} = Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} im lokalen Ring O_{V_{2ν−1},η} des generischen Punktes η von C_{2ν}. In F_{2ν−1}^{∗} eingesetzt, ergibt dies

\frac{X_{1}}{Z_{1}} (π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3} + a_{2,1}X_{3}) = Z_{3} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + a_{3,ν} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − a_{6,2ν}) .

Die Terme in Klammern auf beiden Seiten der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{2ν} und sind somit Einheiten in O_{V_{2ν−1},η}. Außerdem ist \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Deshalb sind Z_{3} und \frac{X_{1}}{Z_{1}} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2ν−1},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{2ν}. Somit ist die Ordnung von π auf C_{2ν} gleich 2. Dies bedeutet, daß C_{2ν} doppelt ist.

5.9.3 Die singulären Punkte von V_{2ν−1}

Da A_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres sechsdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von sechs Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{2ν−1} höchstens sechs Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{2ν−1} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{2ν−1},P}.

\underline{Auf V_{2ν−1} − (C_{2ν} ∪ C_{2ν+1})} liegen keine singulären Punkte, da V_{2ν−1} − (C_{2ν} ∪ C_{2ν+1}) ≅ V_{2ν−2}^{∗} − C_{2ν} und somit regulär ist. Bei ν = 2 steht hier, daß V_{2} − C_{4} regulär ist, was wir am Beginn von Abschnitt 5.9 herausgefunden hatten.

\underline{P = C_{2ν−1} ∩ C_{2ν}:} dann ist Y_{2} ≠ 0, X_{3} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Z_{2}}{Y_{2}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} , \frac{Y_{3}}{X_{3}} , π). Es ist π = \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Z_{3}}{X_{3}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{3}}{X_{3}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{Z_{2}}{Y_{2}} und

\frac{Y_{3}}{X_{3}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} (−a_{1,1} \frac{Z_{3}}{X_{3}} + π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Z_{2}}{Y_{2}} + a_{2,1} \frac{Z_{2}}{Y_{2}} + a_{4,ν+1} \frac{Z_{2}}{Y_{2}} \frac{Z_{3}}{X_{3}} ) +

+ \frac{Z_{3}}{X_{3}} (−a_{3,ν} + a_{6,2ν} \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ) .

Das bedeutet M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Z_{2}}{Y_{2}} ) und P ist regulär.

\underline{P ∈ C_{2ν} − C_{2ν−1}:} dann ist Z_{2} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Y_{3}, Z_{3}, p(Y_{2}, Z_{2}), π). Somit sind π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1} und X_{3} ∉ M. Es gilt π = \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Z_{3}}{X_{3}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{3}}{X_{3}} , Y_{3} = Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und

\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{1}{(π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1})X_{3}} (Y_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + Z_{3} (a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + a_{3,ν} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − a_{6,2ν})) .

Das bedeutet M = (Z_{3}, p) und P ist regulär.

5.9.4 Untersuchung von C_{2ν+1}

Die Struktur der Komponente C_{2ν+1} hängt von der Art der Nullstellen des Polynoms G_{2ν−1} := (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,ν} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,2ν} in k̄ ab.

Habe nun zunächst G_{2ν−1} zwei verschiedene Nullstellen in k̄. Also zerfällt C_{2ν+1} über k̄ in zwei Komponenten. Diese sollen mit C_{2ν+1} und C_{2ν+2} bezeichnet werden.

\underline{P ∈ (C_{2ν+1} ∪ C_{2ν+2}) − C_{2ν}:} dann ist Z_{2} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ), \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} − Y_{3}, p(X_{3}, Y_{3}, Z_{3}), π), wobei G_{2ν−1} ≡ g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) · h mod π in R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] ist. Es ist Z_{3} ∉ M, da sonst auch Y_{3} ∈ M und damit P ∈ C_{2ν} wäre. Außerdem ist h ∉ M, da sonst wegen der Verschiedenheit der beiden Nullstellen von G_{2ν−1} auch 1 ∈ M wäre. Also gilt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} π, \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{3}}{Z_{3}} π und

g ≡ \frac{1}{h} \frac{X_{1}}{Z_{1}} (−a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{2,1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{4,ν+1}) mod π.

Da auf V_{2ν−1} ohnehin \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} − Y_{3} gilt, bedeutet das M = (p, π) und P ist regulär.

Die Komponenten C_{2ν+1} und C_{2ν+2} haben Vielfachheit eins. Denn analog zu der vorangegangenen Folgerung M = (p, π) zeigt man, daß das maximale Ideal des lokalen Ringes O_{V_{2ν−1},η} des generischen Punktes η von C_{2ν+1} von π erzeugt wird. Dies bedeutet, daß π auf C_{2ν+1} mit Ordnung 1 verschwindet und C_{2ν+1} einfach ist. Ebenso ist C_{2ν+2} einfach.

Also ist V_{2ν−1} regulär und als abgeschlossenes Unterschema eines Produkts von P_{R}^{m} auch eigentlich über R. Die spezielle Faser von V_{2ν−1} besteht aus den vier einfachen Komponenten C_{1}, C_{2}, C_{2ν+1} und C_{2ν+2} und den doppelten Komponenten C_{3}, …, C_{2ν}. Also hat man den Reduktionstyp I_{n}^{∗} mit n = 2ν − 3, es folgt, daß V_{2ν−1} minimal ist und C ergibt sich durch Zusammenkleben von V_{2ν−1} mit all den Teilen, die bis hierher weggeschnitten wurden. Es ist m = 2ν + 2 = n + 5 und c = 4, falls die Nullstellen von G_{2ν} in k liegen und c = 2, falls sie nicht in k liegen. Die weitere Auswertung wird in Abschnitt 5.9.8 durchgeführt.

Habe nun G_{2ν−1} eine doppelte Nullstelle in k̄. Da k perfekt ist, liegt diese in k und wird durch die Translation Y_{2} → Y_{2} + tZ_{2}, Z_{2} → Z_{2} auf \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0 verschoben. Da auf E/K gilt \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y}{π^{ν}Z}, bewirkt diese auf E/K die Translation X → X, Y → Y + tπ^{ν}Z, Z → Z. Also kann man ohne Einschränkung annehmen, daß π | a_{3,ν}, a_{6,2ν}.

Nach Satz 2.28 wird π | a_{1}, a_{2}, π^{ν+1} | a_{3}, a_{4}, π^{2ν+1} | a_{6} und

F_{2ν−1}^{∗} = Y_{2}Y_{3} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2}Z_{3} + πa_{3,ν+1}Y_{2}Z_{3} − π^{ν−2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2}X_{3} −

− a_{2,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}X_{3} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2}Z_{3} − πa_{6,2ν+1}Z_{2}Z_{3}.

\underline{Auf C_{2ν+1}} liegen singuläre Punkte in Z_{2} ≠ 0, Z_{3} ≠ 0 auf \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , Y_{3}, a_{2,1}X_{3}^{2} + a_{4,ν+1}X_{3}Z_{3} + πa_{6,2ν+1}Z_{3}^{2}, π)\}}, da dort wegen Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = X_{3}π gilt Z_{3}F_{2ν−1}^{∗} ∈ M^{2} (Vergleiche Abschnitt 5.4). Also wird als nächstes die doppelte Gerade C_{2ν+1} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Y_{3} = π = 0 aufgeblasen. Dazu betrachte man das offene Unterschema von V_{2ν−1}

C_{2ν+1} ⊂ V_{2ν−1} − \overline{\{(Z_{2})\}} = P roj R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}]/I, wobei

I = (Y_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3}π, Z_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − Y_{3}π, Y_{3}Z_{2} − Z_{3}Y_{2}, F_{2ν−1}^{∗}) .

Dort gilt \underline{Y_{3} = Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}}} . Daraus folgt Z_{3} (\frac{Y_{1}}{Z_{1}} − π \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) = 0 und X_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = Y_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = X_{3}π \frac{Y_{2}}{Z_{2}} . Da aus Z_{3} = 0 folgt Y_{3} = 0 und damit X_{3} ≠ 0 erhält man \underline{\frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π \frac{Y_{2}}{Z_{2}}} . Damit wird Y_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} (Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3}π), Z_{3} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} − Y_{3}π = π \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} − π \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} = 0 und

\frac{1}{Z_{2}} F_{2ν−1}^{∗} = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} Z_{3} + a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} + πa_{3,ν+1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} −

− π^{ν−2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} X_{3} − a_{2,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3} − a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{3} − πa_{6,2ν+1}Z_{3}.

Also ist

V_{2ν−1} − \overline{\{(Z_{2})\}} ≅ P roj R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Z_{3}]/(Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3}π, \frac{1}{Z_{2}} F_{2ν−1}^{∗}) =: V_{2ν−1}^{∗}.

Die über Z_{2} ≠ 0 liegenden Komponenten von Ṽ_{2ν−1} sind:

C_{2ν} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = Z_{3} = π = 0, C_{2ν+1} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = π = 0

und bei ν = 2 noch C_{2} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1} = Z_{3} = π = 0.

5.9.5 Aufblasen von V_{2ν−1}^{∗} entlang (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)

I = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

\underline{X_{3} ≠ 0 :} U_{X_{3}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} ] Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} ][X′_{4}, Y′_{4}, Z′_{4}] → S(U_{X_{3}}) durch die Zuordnung (X′_{4}, Y′_{4}, Z′_{4}) ↦ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π). Ihr Kern ist I_{X_{3}} = (Y′_{4} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X′_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , Z′_{4} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X′_{4}π, Z′_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − Y′_{4}π). Also ergibt sich S(U_{X_{3}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} ][X′_{4}, Y′_{4}, Z′_{4}]/I_{X_{3}}. ϕ_{X_{3}} : P roj S(U_{X_{3}}) → U_{X_{3}} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} ] → S(U_{X_{3}}).

\underline{Z_{3} ≠ 0 :} U_{Z_{3}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Z_{3}} ] Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Z_{3}} ][X_{4}, Y_{4}, Z_{4}] → S(U_{Z_{3}}) durch die Zuordnung (X_{4}, Y_{4}, Z_{4}) ↦ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π). Ihr Kern ist I_{Z_{3}} = (Y_{4} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , Z_{4} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{4}π, Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − Y_{4}π). Also ergibt sich S(U_{Z_{3}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Z_{3}} ][X_{4}, Y_{4}, Z_{4}]/I_{Z_{3}}. ϕ_{Z_{3}} : P roj S(U_{Z_{3}}) → U_{Z_{3}} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Z_{3}} ] → S(U_{Z_{3}}).

Über X_{3} ≠ 0, Z_{3} ≠ 0 werden P roj S(U_{X_{3}}) und P roj S(U_{Z_{3}}) zusammengeklebt durch (X′_{4}, Y′_{4}, Z′_{4}) = (X_{4}, Y_{4}, Z_{4}).

Dadurch erhält man Proj S als das zum Ideal I_{Z_{3}} gehörende Unterschema von Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] ×_{R} P roj R [X_{3}, Z_{3}] ×_{R} P roj R [X_{4}, Y_{4}, Z_{4}] = A_{R}^{2} ×_{R} P_{R}^{1} ×_{R} P_{R}^{2} und den Morphismus ϕ : Proj S ⟶ A_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1}. Die strikte Transformation von V_{2ν−1}^{∗} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{2ν} := \overline{ϕ^{−1}(V_{2ν−1}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\}})} in Proj S. Dabei ist V_{2ν} durch folgende Gleichungen gegeben:

In X_{4} ≠ 0 : ⇒ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{4}}{X_{4}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} .

Damit ist X_{4} · (Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3}π) = \frac{X_{1}}{Z_{1}} (Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4}) = 0 und

X_{4}^{2} · \frac{F_{2ν−1}^{∗}}{Z_{2}} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}(πY_{4}^{2} + πa_{1,1}X_{4}Y_{4} + πa_{3,ν+1}Y_{4}Z_{4} −

− π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{4}^{2} − a_{2,1}X_{4}^{2} − a_{4,ν+1}X_{4}Z_{4} − a_{6,2ν+1}Z_{4}^{2}) = 0,

denn es ist (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} Z_{3} = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} )^{2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{3} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}π (\frac{Y_{4}}{X_{4}} )^{2} , a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{3} = a_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} πX_{3} und πa_{3,ν+1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} = πa_{3,ν+1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{3} = πa_{3,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} . Falls \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2ν−1}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\}}). Also bleibt nur Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4} = 0.

Falls X_{3} = 0, so folgt wegen X_{4} ≠ 0 auch Z_{3} = 0, was nicht sein kann. Also bleibt nur

F_{2ν} := πY_{4}^{2} + πa_{1,1}X_{4}Y_{4} + πa_{3,ν+1}Y_{4}Z_{4} −

− π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{4}^{2} − a_{2,1}X_{4}^{2} − a_{4,ν+1}X_{4}Z_{4} − a_{6,2ν+1}Z_{4}^{2} = 0.

In Y_{4} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und π = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} .

Damit ist Y_{4} · (Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3}π) = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} (Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4}) = 0 und

Y_{4} · \frac{F_{2ν−1}^{∗}}{Z_{2}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3}Y_{4} + πa_{1,1}X_{3}Y_{4} + πa_{3,ν+1}Z_{3}Y_{4}−

− π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}X_{4} − a_{2,1}X_{3}X_{4} − a_{4,ν+1}X_{3}Z_{4} − a_{6,2ν+1}Z_{3}Z_{4}) = 0,

denn es ist a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{3} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} πa_{1,1}X_{3} und a_{4,ν+1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{3} = a_{4,ν+1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{X_{4}}{Y_{4}} Z_{3} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} a_{4,ν+1} \frac{Z_{4}}{Y_{4}} X_{3}. Falls \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2ν−1}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\}}). Also bleibt nur Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4} = 0 und

F′_{2ν} := \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3}Y_{4} + πa_{1,1}X_{3}Y_{4} + πa_{3,ν+1}Z_{3}Y_{4} −

− π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}X_{4} − a_{2,1}X_{3}X_{4} − a_{4,ν+1}X_{3}Z_{4} − a_{6,2ν+1}Z_{3}Z_{4} = 0.

In Z_{4} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{4}}{Z_{4}} π und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{Z_{4}} π.

Damit ist Z_{4} · (Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3}π) = π(Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4}) = 0 und

Z_{4}^{2} · \frac{F_{2ν−1}^{∗}}{Z_{2}} = πZ_{3}(πY_{4}^{2} + πa_{1,1}X_{4}Y_{4} + πa_{3,ν+1}Y_{4}Z_{4} −

− π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{4}^{2} − a_{2,1}X_{4}^{2} − a_{4,ν+1}X_{4}Z_{4} − a_{6,2ν+1}Z_{4}^{2}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2ν−1}^{∗} − \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\}}). Also bleibt nur Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4} = 0. Falls Z_{3} = 0, so folgt wegen Z_{4} ≠ 0 auch X_{3} = 0, was nicht sein kann. Also bleibt nur F_{2ν} = 0.

Man bekommt also V_{2ν} durch das Ideal (Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4}, F′_{2ν}) in P roj S(U_{Y_{4}}) und durch das Ideal (Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4}, F_{2ν}) in P roj S(U_{X_{4}}) und P roj S(U_{Z_{4}}).

Ṽ_{2ν} besteht aus folgenden Komponenten:

• \underline{X_{4} = Z_{4} = 0} ⇒ Y_{4} ≠ 0 ⇒ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} = \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0}. Es ergibt sich entweder \underline{Z_{3} = 0}. Dies ist

die Komponente C_{2ν} von V_{2ν−1}^{∗} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} . Oder es ergibt sich

• \underline{X_{4} = Z_{4} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{2ν+1} von V_{2ν−1}^{∗} mit dem Para-

meter \frac{Z_{3}}{X_{3}} .

Sei nun zunächst X_{4} ≠ 0. Dann folgt \frac{Z_{4}}{X_{4}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0 und es ergibt sich entweder

• \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0} ⇒ \underline{Z_{3} = 0} und wegen F_{2ν} = 0 ⇒ \underline{π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1} = 0}. Dies ist die Komponente C_{2} von V_{3}^{∗}. Sie tritt nur bei ν = 2 auf, da ã_{2,1} ≠ 0 in k. Deswegen folgt dann aus \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} , daß \underline{\frac{Y_{4}}{X_{4}} = (ã_{2,1})^{−1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}}} . Der Parameter ist \frac{Y_{2}}{Z_{2}} . Oder es ergibt sich

• \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0} ⇒ \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0} und a_{2,1}X_{4}^{2} + a_{4,ν+1}X_{4}Z_{4} + a_{6,2ν+1}Z_{4}^{2} = 0 wegen F_{2ν} = 0. Außerdem ist Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4} = 0. Falls Z_{3} = 0, so folgt X_{3} ≠ 0 und deshalb Z_{4} = 0. Wegen ã_{2,1} ≠ 0 ist dann auch X_{4} = 0. Dies ist keine Komponente, sondern der Schnittpunkt der beiden Komponenten C_{2ν} und C_{2ν+1}. Also sei jetzt Z_{3} ≠ 0. Dann folgt

Z_{3}^{2} · (a_{2,1}X_{4}^{2} + a_{4,ν+1}X_{4}Z_{4} + a_{6,2ν+1}Z_{4}^{2}) = Z_{4}^{2}(a_{2,1}X_{3}^{2} + a_{4,ν+1}X_{3}Z_{3} + a_{6,2ν+1}Z_{3}^{2}) = 0.

Aus Z_{4} = 0 folgt X_{4} = 0 wegen Z_{3} ≠ 0. Dieser Fall wurde soeben als Komponente C_{2ν+1} schon behandelt. Somit bleibt nur \underline{a_{2,1} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{2} + a_{4,ν+1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{6,2ν+1} = 0} und

\underline{\frac{X_{3}}{Z_{3}} Z_{4} − X_{4} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie

heiße C_{2ν+2}. Ihr Parameter ist \frac{Y_{4}}{Z_{4}} beziehungsweise \frac{Z_{4}}{Y_{4}} .

• Sei nun Z_{4} ≠ 0. Dann folgt \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0} und wegen F_{2ν} = 0 folgt außerdem a_{2,1}X_{4}^{2} + a_{4,ν+1}X_{4}Z_{4} + a_{6,2ν+1}Z_{4}^{2} = 0. Ferner ist Z_{3}X_{4} − X_{3}Z_{4} = 0. Wie soeben

folgt daraus \underline{a_{2,1} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{2} + a_{4,ν+1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{6,2ν+1} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} Z_{4} − X_{4} = 0}. Dies ist wieder die neue Komponente C_{2ν+2}.

Die Komponenten C_{2ν−1} und C_{2ν} sind dabei doppelt, da sie nicht in dem aufgeblasenen Unterschema \overline{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)} von V_{2ν−1}^{∗} lagen.

Die Komponente C_{2ν+1} ist auch doppelt. Denn π = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und da Z_{3} auf C_{2ν+1} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{X_{4}}{Y_{4}} = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{X_{3}}{Z_{3}} im lokalen Ring O_{V_{2ν},η} des generischen Punktes η von C_{2ν+1}. In F′_{2ν} eingesetzt, ergibt dies

\frac{Y_{2}}{Z_{2}} (1 + a_{1,1} \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{3,ν+1} \frac{Z_{4}}{Y_{4}} ) =

\frac{Z_{4}}{Y_{4}} (π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{2} + a_{2,1} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{2} + a_{4,ν+1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{6,2ν+1}) .

Die Terme in Klammern auf beiden Seiten der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{2ν+1} und sind somit ein Einheiten in O_{V_{2ν},η}. Deshalb sind \frac{Z_{4}}{Y_{4}} und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{2ν},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{2ν+1}. Somit ist die Ordnung von π auf C_{2ν+1} gleich 2. Dies bedeutet, daß C_{2ν+1} doppelt ist.

5.9.6 Die singulären Punkte von V_{2ν}

Da A_{R}^{2} ×_{Spec R} P_{R}^{1} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres sechsdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von sechs Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{2ν−1} höchstens sechs Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{2ν} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{2ν},P}.

\underline{Auf V_{2ν} − (C_{2ν+1} ∪ C_{2ν+2})} liegen keine singulären Punkte, da V_{2ν} − (C_{2ν+1} ∪ C_{2ν+2}) ≅ V_{2ν−1}^{∗} − C_{2ν+1} und somit regulär ist.

\underline{P = C_{2ν} ∩ C_{2ν+1}:} dann ist Y_{4} ≠ 0, X_{3} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} , \frac{X_{4}}{Y_{4}} , \frac{Z_{4}}{Y_{4}} , π). Es ist \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{4}}{Y_{4}} = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{4}}{Y_{4}} und

\frac{X_{4}}{Y_{4}} = \frac{1}{π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{2,1}} (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{X_{3}} + πa_{1,1} + πa_{3,ν+1} \frac{Z_{3}}{X_{3}} − a_{4,ν+1} \frac{Z_{4}}{Y_{4}} − a_{6,2ν+1} \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{Z_{4}}{Y_{4}} ) .

Das bedeutet M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{X_{3}} ) und P ist regulär.

\underline{P ∈ C_{2ν+1} − C_{2ν}:} dann ist Z_{3} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , p(X_{3}, Z_{3}), X_{4}, Z_{4}, π). Somit ist Y_{4} ∉ M und es gilt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{4} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} Z_{4} und

\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = −πa_{1,1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} − πa_{3,ν+1} + π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{X_{3}}{Z_{3}} \frac{X_{4}}{Y_{4}} + a_{2,1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} \frac{X_{4}}{Y_{4}} + a_{4,ν+1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} \frac{Z_{4}}{Y_{4}} + a_{6,2ν+1} \frac{Z_{4}}{Y_{4}} .

Das bedeutet M = (Z_{4}, p) und P ist regulär.

5.9.7 Untersuchung von C_{2ν+2}

Die Struktur der Komponente C_{2ν+2} hängt von der Art der Nullstellen des Polynoms G_{2ν} := a_{2,1} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{2} + a_{4,ν+1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{6,2ν+1} in k̄ ab.

Habe nun zunächst G_{2ν} zwei verschiedene Nullstellen in k̄. Also zerfällt C_{2ν+2} über k̄ in zwei Komponenten. Diese sollen mit C_{2ν+2} und C_{2ν+3} bezeichnet werden.

\underline{P ∈ (C_{2ν+2} ∪ C_{2ν+3}) − C_{2ν+1}:} dann ist Z_{3} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , g(\frac{X_{3}}{Z_{3}} ), \frac{X_{3}}{Z_{3}} Z_{4} − X_{4}, p(X_{4}, Y_{4}, Z_{4}), π), wobei G_{2ν} ≡ g(\frac{X_{3}}{Z_{3}} ) · h mod π in R [\frac{X_{3}}{Z_{3}} ] ist. Es ist Z_{4} ∉ M, da sonst auch X_{4} ∈ M und damit P ∈ C_{2ν+1} wäre. Außerdem ist h ∉ M, da sonst wegen der Verschiedenheit der beiden Nullstellen von G_{2ν} auch 1 ∈ M wäre. Also gilt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{4}}{Z_{4}} π, \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{Z_{4}} π und

g ≡ \frac{1}{h Z_{4}} (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} Y_{4} + πa_{1,1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} Y_{4} + πa_{3,ν+1}Y_{4} − π^{ν−2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{X_{3}}{Z_{3}} X_{4}) mod π.

Da auf V_{2ν} ohnehin \frac{X_{3}}{Z_{3}} Z_{4} − X_{4} gilt, bedeutet das M = (p, π) und P ist regulär.

Die Komponenten C_{2ν+2} und C_{2ν+3} haben Vielfachheit eins. Denn analog zu der vorangegangenen Folgerung M = (p, π) zeigt man, daß das maximale Ideal des lokalen Ringes O_{V_{2ν},η} des generischen Punktes η von C_{2ν+2} von π erzeugt wird. Dies bedeutet, daß π auf C_{2ν+2} mit Ordnung 1 verschwindet und C_{2ν+2} einfach ist. Ebenso ist C_{2ν+3} einfach.

Also ist V_{2ν} regulär und als abgeschlossenes Unterschema eines Produkts von P_{R}^{m} auch eigentlich über R. Die spezielle Faser von V_{2ν} besteht aus den vier einfachen Komponenten C_{1}, C_{2}, C_{2ν+2} und C_{2ν+3} und den doppelten Komponenten C_{3}, …, C_{2ν+1}. Also hat man den Reduktionstyp I_{n}^{∗} mit n = 2ν −2, es folgt, daß V_{2ν} minimal ist und C ergibt sich durch Zusammenkleben von V_{2ν} mit all den Teilen, die bis hierher weggeschnitten wurden. Es ist m = 2ν + 3 = n + 5 und c = 4, falls die Nullstellen von G_{2ν} in k liegen und c = 2, falls sie nicht in k liegen. Die weitere Auswertung wird in Abschnitt 5.9.8 durchgeführt.

Habe nun G_{2ν} eine doppelte Nullstelle in k̄. Da k perfekt ist, liegt diese in k und wird durch die Translation X_{3} → X_{3} + rZ_{3}, Z_{3} → Z_{3} auf \frac{X_{3}}{Z_{3}} = 0 verschoben. Da auf E/K gilt \frac{X_{3}}{Z_{3}} = \frac{X}{π^{ν}Z}, bewirkt diese auf E/K die Translation X → X + rπ^{ν}Z, Y → Y, Z → Z. Also kann man ohne Einschränkung annehmen, daß π | a_{4,ν+1}, a_{6,2ν+1}.

Nach Satz 2.28 wird π | a_{1}, a_{2}, π^{ν+1} | a_{3}, π^{ν+2} | a_{4}, π^{2ν+2} | a_{6}.

\underline{Auf C_{2ν+2}} liegen singuläre Punkte in Z_{4} ≠ 0 auf \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}, X_{4}, Y_{4}^{2} + a_{3,ν+1}Y_{4}Z_{4} − a_{6,2ν+2}Z_{4}^{2}, π)\}}, da dort F_{2ν} ∈ M^{2} ist (Vergleiche Abschnitt 5.4).

Also wird als nächstes die doppelte Gerade C_{2ν+2} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} = X_{4} = π = 0 aufgeblasen.

Dazu betrachte man das offene Unterschema V_{2ν} − \overline{\{(Z_{3})\}} von V_{2ν}, in dem C_{2ν+2} liegt.

Dort gilt \underline{X_{4} = Z_{4} \frac{X_{3}}{Z_{3}}} . Daraus folgt, daß Y_{4} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Z_{4} \frac{X_{3}}{Z_{3}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Y_{4}π \frac{X_{3}}{Z_{3}} und

Z_{4} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} − π \frac{X_{3}}{Z_{3}} ) = 0 ist. Da aus Z_{4} = 0 folgt X_{4} = 0 und damit Y_{4} ≠ 0 erhält

man \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = π \frac{X_{3}}{Z_{3}}} . Damit wird Y_{4} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} (Y_{4}π − Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) und Z_{4} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{4}π =

Z_{4}π \frac{X_{3}}{Z_{3}} − Z_{4}π \frac{X_{3}}{Z_{3}} = 0.

Aus X_{4} ≠ 0 folgt Z_{4} ≠ 0 und über Z_{4} ≠ 0 wird

\frac{F_{2ν}}{Z_{4}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Y_{4} + πa_{1,1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} Y_{4} + πa_{3,ν+1}Y_{4} − π^{ν−1} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{3} Z_{4} − a_{2,1} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{2} Z_{4} −

− πa_{4,ν+2} \frac{X_{3}}{Z_{3}} Z_{4} − πa_{6,2ν+2}Z_{4} = F_{2(ν+1)−2}^{∗} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , Y_{4}, Z_{4}) .

Und über Y_{4} ≠ 0 wird ebenfalls \frac{F′_{2ν}}{Z_{3}} = F_{2(ν+1)−2}^{∗} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , Y_{4}, Z_{4}).

Also ist V_{2ν} − \overline{\{(Z_{3})\}} ≅

≅ P roj R [\frac{X_{3}}{Z_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][Y_{4}, Z_{4}]/ (Y_{4}π − Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , F_{2(ν+1)−2}^{∗} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , Y_{4}, Z_{4})) = V_{2(ν+1)−2}^{∗}.

Damit verlaufen alle weiteren Aufblasungen wie die in Abschnitt 5.9.2 geschilderte.

Bei jedem Durchlaufen dieser Schleife werden a_{3}, a_{4} durch eine zusätzliche Potenz und a_{6} durch zwei zusätzliche Potenzen von π teilbar gemacht. Das bedeutet, daß auch b_{4} durch eine zusätzliche und b_{6} und b_{8} durch zwei zusätzliche Potenzen von π teilbar werden. Somit wird bei jedem Durchlauf Δ durch zwei zusätzliche Potenzen von π teilbar. Da aber Δ bei allen durchgeführten Translationen invariant ist, bricht der Prozeß schließlich ab.

5.9.8 Auswertung

Die Schleife bricht genau dann ab, wenn erstmals die Komponente

C_{2ν+1} : G_{2ν−1} = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + ã_{3,ν} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − ã_{6,2ν} = 0  bei n = 2ν − 3 ungerade,
C_{2ν+2} : G_{2ν} = a_{2,1} (\frac{X_{3}}{Z_{3}} )^{2} + a_{4,ν+1} \frac{X_{3}}{Z_{3}} + a_{6,2ν+1} = 0 bei n = 2ν − 2 gerade

von V_{n+2} über k̄ in zwei Geraden zerfällt.

Der Reduktionstyp ist dann I_{n}^{∗}, m = n + 5 und c = 4, falls diese beiden Geraden über k definiert sind und c = 2, falls sie nicht über k definiert sind. Bei char(k) ≠ 2 gilt ferner n = v(Δ) − 6. Dies sieht man so. Es gilt für die Diskriminanten der Polynome G_{2ν−1} und G_{2ν}

\begin{matrix}ã_{3,ν}^{2} + 4 ã_{6,2ν} = 0 ⟺ & π^{2ν+1} | & a_{3}^{2} + 4a_{6} = b_{6} und \\ ã_{4,ν+1}^{2} − 4 ã_{2,1} ã_{6,2ν+1} = 0 ⟺ & π^{2ν+3} | & a_{4}^{2} − 4a_{2}a_{6}. \end{matrix}

Bricht die Schleife bei n = 2ν − 3 ungerade ab, so folgt v(b_{6}) = 2ν und π^{2(ν−1)+3} = π^{2ν+1} | a_{4}^{2} − 4a_{2}a_{6}. Da π | a_{1}, a_{2}, π^{2} |̸ a_{2}, π^{ν} | a_{3}, a_{4} und π^{2ν} | a_{6} gilt, folgt π^{2ν+1} | a_{4}^{2} und damit π^{ν+1} | a_{4}. Also gilt π^{ν+1} | a_{1}a_{3} + 2a_{4} = b_{4}. In char(k) ≠ 2 ist nun v(b_{2}) = v(a_{2}) = 1 und deshalb v(b_{8}) = v(b_{2}b_{6} − b_{4}^{2}) = 2ν + 1. Wegen π^{3ν+3} | b_{4}^{3}, π^{4ν} | b_{6}^{2}, π^{3ν+2} | b_{2}b_{4}b_{6} folgt daraus schließlich v(Δ) = v(b_{2}^{2}b_{8}) = 2ν + 3 = n + 6.

Bricht die Schleife bei n = 2ν − 2 gerade ab, so folgt v(a_{4}^{2} − 4a_{2}a_{6}) = 2ν + 2 und π^{2ν+1} | b_{6}. Da π | a_{1}, a_{2}, π^{2} |̸ a_{2}, π^{ν} | a_{3}, π^{ν+1} | a_{4} und π^{2ν+1} | a_{6} folgt π^{2ν+1} | b_{6} − 4a_{6} = a_{3}^{2} und damit π^{ν+1} | a_{3}. Wegen π^{2ν+3} | a_{1}^{2}a_{6}, a_{2}a_{3}^{2}, a_{1}a_{3}a_{4} gilt v(b_{8}) = v(4a_{2}a_{6} − a_{4}^{2}) = 2ν + 2. Und da in char(k) ≠ 2 wieder v(b_{2}) = v(a_{2}) = 1 ist, folgt mit π^{3ν+3} | (a_{1}a_{3} + 2a_{4})^{3} = b_{4}^{3}, π^{4ν+2} | b_{6}^{2}, π^{3ν+3} | b_{2}b_{4}b_{6} endlich v(Δ) = v(b_{2}^{2}b_{8}) = 2ν + 4 = n + 6.

Damit sind die Behauptungen von Schritt 7 bewiesen.

5.10 Beweis von Schritt 8

In Abschnitt 5.8.4 waren die Komponente C_{3} von V_{2} und dazu die Nullstellen des Polynoms G_{2} = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} + a_{2,1} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} + a_{4,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + a_{6,3} in k̄ betrachtet worden. Die ersten beiden Möglichkeiten wurden in den Schritten 6 und 7 behandelt. Es steht noch der Fall aus, daß G_{2} eine dreifache Nullstelle in k̄ hat. Dies soll jetzt in Schritt 8 der Fall sein. Da k perfekt ist, liegt diese in k und besitzt einen Repräsentanten r ∈ R. Sie wird durch die Translation X_{1} → X_{1} + rZ_{1}, Y_{1} → Y_{1}, Z_{1} → Z_{1} auf \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0 verschoben. Also kann man ohne Einschränkung annehmen, daß π | a_{2,1}, a_{4,2}, a_{6,3}. Diese Translation bewirkt auf E/K den Übergang X → X + rπZ, Y → Y, Z → Z.

Nach Satz 2.28 wird π | a_{1}, π^{2} | a_{2}, a_{3}, π^{3} | a_{4}, π^{4} | a_{6} und

F_{2} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{3,2}Y_{2} − (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2} − πa_{2,2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} − πa_{4,3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} − πa_{6,4}Z_{2}.

Es war S(U_{Z_{1}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][Y_{2}, Z_{2}]/I_{Z_{1}} mit I_{Z_{1}} = (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ) und das Schema V_{2} war über Z_{1} ≠ 0 durch das Ideal (F_{2}) in P roj S(U_{Z_{1}}) gegeben (Vergleiche Abschnitt 5.8.2).

Die Komponenten C_{2} und C_{3} von V_{2} haben die Gestalt

C_{2} : \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = Z_{2} = π = 0  und  C_{3} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0.

Wie in Abschnitt 5.8.2 gezeigt, hat die Komponente C_{1} Vielfachheit eins und die Komponente C_{2} Vielfachheit zwei.

5.10.1 Die singulären Punkte von V_{2}

Wir haben bereits in Abschnitt 5.8.3 festgestellt, daß auf C_{1} ∪ C_{2} keine singulären Punkte liegen. Sei nun

A := \overline{\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Y_{2}^{2} + a_{3,2}Y_{2}Z_{2} − a_{6,4}Z_{2}^{2}, π)\}} ⊂ C_{3} − C_{2}.

\underline{P ∈ C_{3} − C_{2} − A:} dann ist Z_{1} ≠ 0, Z_{2} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , p(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ), π). Somit gilt \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π und

π = \frac{1}{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} (−πa_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} + πa_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} + πa_{4,3}) .

Das bedeutet M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , p) und P ist regulär.

\underline{Auf A:} liegen singuläre Punkte, da dort \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π gilt und deshalb F_{2} ∈ M^{2} ist (Vergleiche Abschnitt 5.4).

Also wird als nächstes das abgeschlossene Unterschema A von V_{2} aufgeblasen. Da das Polynom Y_{2}^{2} +ã_{3,2}Y_{2}Z_{2} −ã_{6,4}Z_{2}^{2} in Schritt 8 zwei verschiedene Nullstellen in k̄ hat, besteht A über k̄ aus zwei verschiedenen Punkten.

Dazu betrachte man das offene Unterschema von V_{2}

A ⊂ V_{2} − (\overline{\{(Z_{1})\}} ∪ \overline{\{(Z_{2})\}}) = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ]/(\frac{Y_{1}}{Z_{1}} − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π, F_{2})
≅ Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ]/(\frac{1}{Z_{2}} F_{2}),

wobei \frac{1}{Z_{2}} F_{2} = π (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + πa_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − πa_{6,4} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} − πa_{2,2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} − πa_{4,3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} ist.

5.10.2 Aufblasen von V_{2} entlang A

I = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}, π), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}] → S durch die Zuordnung (X_{3}, Y_{3}, Z_{3}) ↦ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}, π).

Ihr Kern ist I_{Z_{2}} = (Y_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}) , X_{3}π − Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} ,

Y_{3}π − Z_{3} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4})).

Also ergibt sich S ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}]/I_{Z_{2}}. ϕ : P roj S → A_{R}^{2} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] → S. Die strikte Transformation von V_{2} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{3} := \overline{ϕ^{−1}(V_{2} − A)} in Proj S. Dabei ist V_{3} durch folgende Gleichungen gegeben:

In X_{3} ≠ 0 : ⇒ (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} .

Damit ist X_{3}^{2}· \frac{F_{2}}{Z_{2}} = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} (Y_{3}Z_{3}+a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3}Z_{3}− \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2}−a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}Z_{3}−a_{4,3}X_{3}Z_{3}) = 0. Falls \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} +a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} −a_{6,4} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2} −A). Also bleibt nur

F_{3} := Y_{3}Z_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} − a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}Z_{3} − a_{4,3}X_{3}Z_{3} = 0.

In Y_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}) und π = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}).

Damit ist Y_{3}^{2} · \frac{F_{2}}{Z_{2}} = ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4})^{2} (Y_{3}Z_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} − − a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}Z_{3} − a_{4,3}X_{3}Z_{3}) = 0. Falls (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} +a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} −a_{6,4} = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2} −A). Also bleibt nur F_{3} = 0.

In Z_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} π und (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4} = \frac{Y_{3}}{Z_{3}} π.

Damit ist Z_{3}^{2} · \frac{F_{2}}{Z_{2}} = π^{2}(Y_{3}Z_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} − a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}Z_{3} − a_{4,3}X_{3}Z_{3}) = 0. Falls π = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} +a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} −a_{6,4} = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2} −A). Also bleibt nur F_{3} = 0.

Man bekommt also V_{3} = P roj R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}]/(I_{Z_{2}}, F_{3}).

Ṽ_{3} besteht aus folgenden Komponenten:

π = 0 ⇒ Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = Z_{3} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}) = 0

• \underline{Z_{3} = 0} ⇒ wegen F_{3} = 0, daß \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} = 0 ist. Sei zunächst \underline{X_{3} = 0} ⇒ Y_{3} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{3} von V_{2} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} . Sei nun

• \underline{Z_{3} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0} ⇒ X_{3} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}) = 0. Den Fall X_{3} = 0 haben wir soeben

als Komponente C_{3} schon behandelt. Also bleibt noch \underline{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{4}. Ihr Parameter ist \frac{Y_{3}}{X_{3}} beziehungsweise \frac{X_{3}}{Y_{3}} . Jetzt fehlt noch

• \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4} = 0}. Wegen F_{3} = 0 folgt Z_{3}(Y_{3} +a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3} −a_{4,3}X_{3}) = 0. Den Fall Z_{3} = 0 haben wir soeben als Komponente C_{4} schon behandelt. Also bleibt noch \underline{Y_{3} = −a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3} + a_{4,3}X_{3}}. Diese Komponente ist auch bei der Aufblasung neu

hinzugekommen, sie heiße C_{5}. Ihr Parameter ist \frac{X_{3}}{Z_{3}} beziehungsweise \frac{Z_{3}}{X_{3}} .

Die Komponente C_{3} ist dabei dreifach. Denn es gilt π = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}) und

\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}). Da der Term in Klammern in beiden Gleichungen auf C_{3} nicht identisch verschwindet, ist er eine Einheit im lokalen Ring O_{V_{3},η} des generischen Punktes η von C_{3}. Das bedeutet, daß π ∼ Z_{3} und \frac{X_{1}}{Z_{1}} ∼ X_{3} in O_{V_{3},η} ist. Weil nun

Z_{3}(Y_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3} − a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3} − a_{4,3}X_{3}) = \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2}

ist und in der Klammer alle Summanden außer Y_{3} auf C_{3} verschwinden, ist diese eine Einheit in O_{V_{3},η}. Deshalb ist sowohl \frac{X_{1}}{Z_{1}} als auch X_{3} Uniformisierende von C_{3} und die Ordnung von π auf C_{3} gleich 3. Dies bedeutet, daß C_{3} dreifach ist.

5.10.3 Untersuchung von C_{4} und C_{5}

Die Struktur der Komponenten C_{4} und C_{5} hängt von der Art der Nullstellen des Polynoms G_{3} := (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4} in k̄ ab.

In Schritt 8 hat G_{3} zwei verschiedene Nullstellen in k̄, das heißt π |̸ a_{3,2}^{2} +4a_{6,4}, also π^{5} |̸ b6. Dies bedeutet, daß C_{4} über k̄ in zwei Komponenten C_{4} und C_{6} und C_{5} über k̄ in zwei Komponenten C_{5} und C_{7} zerfällt.

Mit der Bezeichnung α ≠ β ∈ k̄ für die beiden Nullstellen von G_{3} bekommt man über k̄:

C_{4} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − α = Z_{3} = π = 0,

C_{5} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − α = Y_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3} − a_{4,3}X_{3} = π = 0,
C_{6} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − β = Z_{3} = π = 0,
C_{7} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − β = Y_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3} − a_{4,3}X_{3} = π = 0.

Die Komponenten C_{4} und C_{6} sind dabei doppelt. Denn über X_{3} ≠ 0 ist π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und

(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − α) (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − β) ≡ \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} mod π. Da (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − β) und Y_{3} auf C_{4} nicht identisch verschwin-

den, ist (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − α) ∼ \frac{X_{1}}{Z_{1}} im lokalen Ring O_{V_{3},η} des generischen Punktes η von C_{4}. In der Gleichung

Z_{3}(Y_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3} − a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3} − a_{4,3}X_{3}) = \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2}

sind sowohl die Klammer auf der linken Seite, als auch X_{3} auf der rechten Seite Einheiten in O_{V_{3},η}. Somit verschwinden \frac{X_{1}}{Z_{1}} und Z_{3} beide zur Ordnung 1 und π zur Ordnung 2 auf C_{4}. Also ist C_{4} und ebenso C_{6} doppelt.

Die Komponenten C_{5} und C_{7} sind einfach. Denn über Z_{3} ≠ 0 ist \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} π und

(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − α) (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − β) ≡ \frac{Y_{3}}{Z_{3}} π mod π. Da (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − β) auf C_{5} nicht identisch verschwindet,

liegt (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} − α) in dem von π erzeugten Ideal des lokalen Ringes O_{V_{3},η} des generischen Punktes η von C_{5}. In der Gleichung

Z_{3}(Y_{3} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{3} − a_{4,3}X_{3}) = \frac{X_{1}}{Z_{1}} (X_{3}^{2} + a_{2,2}X_{3}Z_{3})

sind diesmal sowoh Z_{3} auf der linken Seite, als auch die Klammer auf der rechten Seite Einheiten im lokalen Ring O_{V_{3},η} des generischen Punktes η von C_{5}. Somit erzeugt π das maximale Ideal von O_{V_{3},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{5}. Also ist C_{5} und ebenso C_{7} einfach.

5.10.4 Die singulären Punkte von V_{3}

Da A_{R}^{2}×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres fünfdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von fünf Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{3} höchstens fünf Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{3} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{3},P}.

\underline{Auf V_{3} − (C_{4} ∪ C_{5} ∪ C_{6} ∪ C_{7})} liegen keine singulären Punkte, da V_{3} − (C_{4} ∪ C_{5} ∪ C_{6} ∪ C_{7}) ≅ V_{2} − A und somit regulär ist.

\underline{P ∈ (C_{4} ∪ C_{6}) ∩ C_{3}:} dann ist M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ), X_{3}, Z_{3}, π), wobei G_{3} ≡ g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) · h mod π in R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] ist. Es ist Y_{3} ∉ M. Außerdem ist h ∉ M, da sonst wegen der Verschiedenheit der beiden Nullstellen von G_{3} auch 1 ∈ M wäre. Also gilt

Z_{3} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} (−a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} Z_{3} + \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3} + a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{3} + a_{4,3}Z_{3})

und damit \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}) und π = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ((\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4}). Das

bedeutet M = (X_{3}, g) und P ist regulär.

\underline{P ∈ (C_{4} ∪ C_{6}) − C_{3}:} dann ist X_{3} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ), p(X_{3}, Y_{3}), Z_{3}, π), wobei G_{3} ≡ g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) · h mod π in R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] ist. Es ist h ∉ M, da sonst wegen der Verschiedenheit der beiden Nullstellen von G_{3} auch 1 ∈ M wäre. Also gilt

\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Z_{3}}{X_{3}} (\frac{Y_{3}}{X_{3}} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{2,2} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − a_{4,3})

und damit π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und g ≡ \frac{1}{h} \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} mod π. Das bedeutet M = (Z_{3}, p) und P ist regulär.

\underline{P ∈ (C_{5} ∪ C_{7}) − (C_{4} ∪ C_{6}):} dann ist Z_{3} ≠ 0 und M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ), Y_{3} + (a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{4,3})X_{3}, p(X_{3}, Z_{3}), π), wobei wieder G_{3} ≡ g(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) · h mod π in R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] ist. Es ist h ∉ M, da sonst wegen der Verschiedenheit der beiden Nullstellen von G_{3} auch 1 ∈ M wäre. Also gilt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} π, g ≡ \frac{1}{h} \frac{Y_{3}}{Z_{3}} π mod π und

Y_{3} + (a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{4,3})X_{3} = \frac{1}{Z_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} (X_{3}^{2} + a_{2,2}X_{3}Z_{3}).

Das bedeutet M = (p, π) und P ist regulär.

Also ist V_{3} regulär und als abgeschlossenes Unterschema eines Produkts von P_{R}^{m} auch eigentlich über R. Man hat den Reduktionstyp IV^{∗} und es folgt, daß V_{3} minimal ist und C ergibt sich durch Zusammenkleben von V_{3} mit all den weggeschnittenen Teilen. Es ist m = 7 und c = 3, falls die Nulstellen von G_{3} in k liegen und c = 1, falls sie nicht in k liegen.

5.11 Beweis von Schritt 9

Zu den Annahmen von Schritt 8 kommt jetzt dazu, daß G_{3} = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + a_{3,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − a_{6,4} eine doppelte Nullstelle in k̄ hat. Da k perfekt ist, liegt diese in k und besitzt einen Repräsentanten t ∈ R. Sie wird durch die Translation Y_{2} → Y_{2}+tZ_{2}, Z_{2} → Z_{2} auf \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0 verschoben. Diese Translation bewirkt auf E/K den Übergang X → X, Y → Y + rπ^{2}Z, Z → Z.

Nach Satz 2.28 wird damit π | a_{1}, π^{2} | a_{2}, π^{3} | a_{3}, a_{4}, π^{5} | a_{6} und

F_{2} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Y_{2} + π^{2}a_{3,3}Y_{2} − (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} Z_{2} − πa_{2,2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} Z_{2} − πa_{4,3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} Z_{2} − π^{2}a_{6,5}Z_{2}.

Wie in Abschnitt 5.8.2 ist S(U_{Z_{1}}) ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ][Y_{2}, Z_{2}]/I_{Z_{1}} mit I_{Z_{1}} = (Y_{2}π − Z_{2} \frac{Y_{1}}{Z_{1}} ) und das Schema V_{2} ist über Z_{1} ≠ 0 durch das Ideal (F_{2}) in P roj S(U_{Z_{1}}) gegeben.

Die Komponenten C_{2} und C_{3} von V_{2} haben die Gestalt

C_{2} : \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = Z_{2} = π = 0  und  C_{3} : \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{1}}{Z_{1}} = π = 0.

Wie in Abschnitt 5.8.2 gezeigt, hat die Komponente C_{1} Vielfachheit eins und die Komponente C_{2} Vielfachheit zwei.

5.11.1 Die singulären Punkte von V_{2}

\underline{Auf V_{2} − A} liegen keine singulären Punkte, wie in Abschnitt 5.10.1 festgestellt wurde. \underline{Auf A} liegt nur ein Punkt, nämlich P = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , Y_{2}, π). Dieser ist singulär, da dort F_{2} ∈ M^{2} ist und wird als nächstes aufgeblasen. Dazu betrachte man wie in Abschnitt 5.11.2 das offene Unterschema von V_{2}

P ∈ V_{2} − (\overline{\{(Z_{1})\}} ∪ \overline{\{(Z_{2})\}}) = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ]/(\frac{Y_{1}}{Z_{1}} − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} π, F_{2})
≅ Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ]/(\frac{1}{Z_{2}} F_{2}),

wobei \frac{1}{Z_{2}} F_{2} = π (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} + πa_{1,1} \frac{X_{1}}{Z_{1}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} + π^{2}a_{3,3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{3} − πa_{2,2} (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} − πa_{4,3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − π^{2}a_{6,5} ist. P ist dort gegeben durch (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π).

5.11.2 Aufblasen von V_{2} entlang (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)

Wir werden dabei nicht benutzen, daß π^{4} |̸ a_{4} in Schritt 9 gilt. Somit können wir diese Aufblasung auch in Schritt 10 verwenden.

I = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}] → S durch die Zuordnung (X_{3}, Y_{3}, Z_{3}) ↦ (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π). Ihr Kern ist I_{Z_{2}} = (Y_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}π − Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} , Y_{3}π − Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ). Also ergibt sich S ≅ R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}]/I_{Z_{2}}. ϕ : P roj S → A_{R}^{2} ist gegeben durch R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ] → S. Die strikte Transformation von V_{2} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{3} := \overline{ϕ^{−1}(V_{2} − \{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\})} in Proj S. Dabei ist V_{3} durch folgende Gleichungen gegeben:

In X_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} und π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} .

Damit ist X_{3}^{2} · \frac{F_{2}}{Z_{2}} = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} )^{2} (πY_{3}^{2} + πa_{1,1}X_{3}Y_{3} + πa_{3,3}Y_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} − πa_{2,2}X_{3}^{2} −

a_{4,3}X_{3}Z_{3} − a_{6,5}Z_{3}^{2}) = 0.

Falls \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0, so folgt \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2} − \{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\}). Also bleibt nur

F_{3} := πY_{3}^{2} + πa_{1,1}X_{3}Y_{3} + πa_{3,3}Y_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} − πa_{2,2}X_{3}^{2} − a_{4,3}X_{3}Z_{3} − a_{6,5}Z_{3}^{2} = 0.

In Y_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und π = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} .

Damit ist Y_{3}^{2} · \frac{F_{2}}{Z_{2}} = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} (πY_{3}^{2} + πa_{1,1}X_{3}Y_{3} + πa_{3,3}Y_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} − πa_{2,2}X_{3}^{2} − a_{4,3}X_{3}Z_{3} − a_{6,5}Z_{3}^{2}) = 0. Falls \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = π = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2} − \{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\}). Also bleibt nur F_{3} = 0.

In Z_{3} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} π und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{3}}{Z_{3}} π.

Damit ist Z_{3}^{2} · \frac{F_{2}}{Z_{2}} = π^{2}(πY_{3}^{2} +πa_{1,1}X_{3}Y_{3} +πa_{3,3}Y_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} −πa_{2,2}X_{3}^{2} −a_{4,3}X_{3}Z_{3} − a_{6,5}Z_{3}^{2}) = 0. Falls π = 0, so folgt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0 und der Punkt ist ∉ ϕ^{−1}(V_{2} − \{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\}). Also bleibt nur F_{3} = 0.

Man bekommt also V_{3} = P roj R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}]/(I_{Z_{2}}, F_{3}). Für die weitere Untersuchung in Schritt 9 sei jetzt π^{4} |̸ a_{4}. Ṽ_{3} besteht aus folgenden Komponenten: π = 0 ⇒ Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0

• \underline{Z_{3} = 0} ⇒ wegen F_{3} = 0, daß \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} = 0 ist. Sei zunächst \underline{X_{3} = 0} ⇒ Y_{3} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{3} von V_{2} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} . Sei nun

• \underline{Z_{3} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0} ⇒ X_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0. Den Fall X_{3} = 0 haben wir soeben als Komponente C_{3} schon behandelt. Also bleibt noch \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{4}. Ihr Parameter ist \frac{X_{3}}{Y_{3}} beziehungsweise \frac{Y_{3}}{X_{3}} . Jetzt fehlt noch

• \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Wegen F_{3} = 0 folgt Z_{3}(a_{4,3}X_{3} + a_{6,5}Z_{3}) = 0. Der Fall Z_{3} = 0 wurde soeben als Komponente C_{4} schon behandelt. Also bleibt noch \underline{a_{4,3}X_{3} + a_{6,5}Z_{3} = 0}. Auch diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{5}. Da ã_{4,3} ≠ 0 in k ist, ist ihr Parameter \frac{Y_{3}}{Z_{3}} beziehungsweise \frac{Z_{3}}{Y_{3}} .

Die Komponenten C_{3}, C_{4} und C_{5} schneiden sich alle drei in dem Punkt (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}, Z_{3}, π). Weitere Schnittpunkte gibt es nicht.

5.11.3 Die singulären Punkte von V_{3}

Da A_{R}^{2}×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres fünfdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von fünf Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{3} höchstens fünf Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{3} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{3},P}.

\underline{Auf V_{3} − (C_{4} ∪ C_{5})} liegen keine singulären Punkte, da V_{3}−(C_{4} ∪ C_{5}) ≅ V_{2}−\{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\} und somit regulär ist.

\underline{P ∈ C_{4} − C_{3}:} dann ist M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , p(X_{3}, Y_{3}), Z_{3}, π). Es ist X_{3} ∉ M, da P ∉ C_{3} ist. Also gilt π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} ,

\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{1}{X_{3}^{2}} ( π(Y_{3}^{2} + a_{1,1}X_{3}Y_{3} + a_{3,3}Y_{3}Z_{3} − a_{2,2}X_{3}^{2}) − Z_{3}(a_{4,3}X_{3} − a_{6,5}Z_{3}) )

und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Das bedeutet M = (p, Z_{3}) und P ist regulär.

\underline{P ∈ C_{5} − C_{3}:} dann ist M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , a_{4,3}X_{3} + a_{6,5}Z_{3}, p(Y_{3}, Z_{3}), π). Da P ∉ C_{3} ist, folgt Z_{3} ∉ M, denn sonst wäre wegen ã_{4,3} ≠ 0 auch X_{3} ∈ M. Also gilt \frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} π, \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{3}}{Z_{3}} π und

a_{4,3}X_{3} − a_{6,5}Z_{3} = \frac{1}{Z_{3}} ( π(Y_{3}^{2} + a_{1,1}X_{3}Y_{3} + a_{3,3}Y_{3}Z_{3} − a_{2,2}X_{3}^{2}) − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} ) .

Das bedeutet M = (p, π) und P ist regulär.

\underline{P = C_{3} ∩ C_{4} ∩ C_{5}} ist singulärer Punkt, denn M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}, Z_{3}, π) und die drei Erzeuger von I_{Z_{2}}, sowie F_{3} mod M^{2} ergeben

\frac{X_{1}}{Z_{1}} ≡ 0, 0 ≡ 0, π ≡ 0, und π ≡ 0 mod M^{2}.

Dies bedeutet, daß \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}, Z_{3} mod M^{2} in keiner Relation stehen und linear unabhängig über k = O_{V_{3},P} /M sind. Also ist P singulär und wird als nächstes aufgeblasen.

Dazu betrachte man das offene Unterschema von V_{3}

P ∈ V_{3} − \overline{\{(Y_{3})\}} = Spec R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ]/(\frac{X_{1}}{Z_{1}} − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , F_{3})
≅ Spec R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ]/(π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{1}{Y_{3}^{2}} F_{3}),

wobei \frac{1}{Y_{3}^{2}} F_{3} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} + πa_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} + πa_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} − πa_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} − a_{4,3} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − a_{6,5} (\frac{Z_{3}}{Y_{3}} )^{2} ist.

P ist dort gegeben durch (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π).

5.11.4 Aufblasen von V_{3} entlang (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)

Auch bei dieser Aufblasung werden wir nicht benutzen, daß in Schritt 9 gilt π^{4} |̸ a_{4}. Somit können wir auch sie in Schritt 10 nocheinmal verwenden.

I = (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ][W_{4}, X_{4}, Y_{4}, Z_{4}] → S durch die Zuordnung (W_{4}, X_{4}, Y_{4}, Z_{4}) ↦ (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ).

Ihr Kern ist I_{Y_{3}}^{∗} = (W_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} − X_{4}π, W_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − Y_{4}π, W_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − Z_{4}π, X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − Z_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ).

Also ergibt sich S ≅ R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ][W_{4}, X_{4}, Y_{4}, Z_{4}]/I_{Y_{3}}^{∗}. ϕ : P roj S → A_{R}^{3} ist gegeben durch R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ] → S. Die strikte Transformation von V_{3} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{4} := \overline{ϕ^{−1}(V_{3} − \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)\})} in Proj S. Dabei ist V_{4} durch folgende Gleichungen gegeben:

In W_{4} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{W_{4}} π, \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{W_{4}} π und \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{W_{4}} π.

Damit ist W_{4} · (π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = π(W_{4} − Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = 0 und

W_{4}^{2} · \frac{F_{3}}{Y_{3}^{2}} = π^{2}(Y_{4}Z_{4} + a_{1,1}W_{4}X_{4} + a_{3,3}W_{4}Z_{4} −

− (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} − πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{4,3}X_{4}Z_{4} − a_{6,5}Z_{4}^{2}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0 und der Punkt gehört nicht zu

ϕ^{−1}(V_{3} − \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)\}).
Also bleibt nur W_{4} = Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und
F_{4}^{∗} := Y_{4}Z_{4} + a_{1,1}W_{4}X_{4} + a_{3,3}W_{4}Z_{4} −

− (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} − πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{4,3}X_{4}Z_{4} − a_{6,5}Z_{4}^{2} = 0.

In X_{4} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{4}}{X_{4}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} .

Damit ist X_{4} · (π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = \frac{X_{3}}{Y_{3}} (W_{4} − Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = 0 und

X_{4}^{2} · \frac{F_{3}}{Y_{3}^{2}} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} (Y_{4}Z_{4} + a_{1,1}W_{4}X_{4} + a_{3,3}W_{4}Z_{4} −

− (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} − πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{4,3}X_{4}Z_{4} − a_{6,5}Z_{4}^{2}) = 0.

Falls \frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0, so folgt \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu ϕ^{−1}(V_{3} − \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{4} = Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und F_{4}^{∗} = 0.

In Y_{4} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} .

Damit ist Y_{4} · (π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} (W_{4} − Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = 0 und

Y_{4}^{2} · \frac{F_{3}}{Y_{3}^{2}} = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} )^{2} (Y_{4}Z_{4} + a_{1,1}W_{4}X_{4} + a_{3,3}W_{4}Z_{4} −

− (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} − πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{4,3}X_{4}Z_{4} − a_{6,5}Z_{4}^{2}) = 0.

Falls \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu ϕ^{−1}(V_{3} − \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{4} = Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und F_{4}^{∗} = 0.

In Z_{4} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} .

Damit ist Z_{4} · (π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} (W_{4} − Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) = 0 und

Z_{4}^{2} · \frac{F_{3}}{Y_{3}^{2}} = (\frac{Z_{3}}{Y_{3}} )^{2} (Y_{4}Z_{4} + a_{1,1}W_{4}X_{4} + a_{3,3}W_{4}Z_{4} −

− (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} X_{4}Y_{4} − πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{4,3}X_{4}Z_{4} − a_{6,5}Z_{4}^{2}) = 0.

Falls \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0, so folgt \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu ϕ^{−1}(V_{3} − \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{4} = Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und F_{4}^{∗} = 0.

Man bekommt V_{4} durch das Ideal (W_{4} − Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , F_{4}^{∗}) in Proj S. Dabei gilt

X_{4}π − W_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = X_{4}π − Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = X_{4} (π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) ,
Y_{4}π − W_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} =  = Y_{4} (π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) ,
Z_{4}π − W_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4}π − Y_{4} (\frac{Z_{3}}{Y_{3}} )^{2} = Z_{4} (π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ) .

Da mit Y_{4} = 0 auch W_{4} = 0 ist, aber nicht W_{4} = X_{4} = Y_{4} = Z_{4} = 0 sein kann, folgt daraus, daß π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0 ist. Somit ist V_{4} isomorph zu

P roj R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ][X_{4}, Y_{4}, Z_{4}]/(I_{Y_{3}}, π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , F_{4}), wobei

I_{Y_{3}} = (X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − Z_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) und

F_{4} := Y_{4}Z_{4} + a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}Y_{4} + a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4}Z_{4} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} − πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{4,3}X_{4}Z_{4} − a_{6,5}Z_{4}^{2}.

Ṽ_{4} besteht aus folgenden Komponenten: π = 0 ⇒ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0

• \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0} ⇒ Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0. Sei zunächst \underline{Y_{4} = 0}. Daraus folgt wegen F_{4} = 0, daß

(a_{4,3}X_{4} + a_{6,5}Z_{4})Z_{4} = 0 ist. Zuerst sei

∗ \underline{Z_{4} = 0} ⇒ X_{4} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}}} = 0. Dies ist die Komponente C_{4} von V_{3} mit dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} . Sei nun

∗ \underline{a_{4,3}X_{4} + a_{6,5}Z_{4} = 0} ⇒ Z_{4} ≠ 0, da sonst wegen ã_{4,3} ≠ 0 auch X_{4} = 0 wäre. Somit folgt noch \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}}} . Dies ist die Komponente C_{5} von V_{3} mit dem Parameter \frac{Z_{3}}{Y_{3}} . Es fehlt noch

• \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0}. Daraus folgt wegen F_{4} = 0, daß (Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4})Z_{4} = 0

ist. Zuerst sei

∗ \underline{Z_{4} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{6}. Ihr Parameter ist \frac{X_{4}}{Y_{4}} beziehungsweise \frac{Y_{4}}{X_{4}} .

∗ \underline{Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4} = 0}. Auch diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{7}. Ihr Parameter ist \frac{X_{4}}{Z_{4}} beziehungsweise \frac{Z_{4}}{X_{4}} . Sei jetzt

• \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0} ⇒ Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Z_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0. Der Fall \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0 wurde soeben als Komponenten C_{6} und C_{7} schon behandelt. Deshalb sei jetzt \underline{Z_{4} = 0}. Wegen F_{4} = 0 folgt daraus, daß (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} = 0 ist. Sei zunächst \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0} ⇒ X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0.

∗ \underline{X_{4} = 0}. Dies ist die Komponente C_{3} von V_{3} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} .

∗ \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Dieser Komponente haben wir soeben den Namen C_{6} gegeben. Ihr

Parameter ist \frac{X_{4}}{Y_{4}} beziehungsweise \frac{Y_{4}}{X_{4}} . Schließlich fehlen noch

• \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} = X_{4} = 0} ⇒ Y_{4} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{3}.

• \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} = Y_{4} = 0} ⇒ X_{4} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{4}. Diese Komponenten sind wie folgt angeordnet:

7  4  3  1 5  2 6

Die kleinen Zahlen geben dabei die Nummern der Komponenten an.

Die Komponenten haben folgende Vielfachheiten:

\underline{C_{3} ist dreifach.} Denn π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und da Y_{4} ≠ 0 ist und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} auf C_{3} nicht identisch verschwindet, gilt π ∼ \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ∼ Z_{4} und \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{4} im lokalen Ring O_{V_{4},η} des generischen Punktes η von C_{3}. In F_{4} eingesetzt erhält man

Z_{4}(Y_{4} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{4} + a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4} − a_{2,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} X_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4}) = Y_{4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}.

Der Term in Klammern auf der linken Seite und Y_{4} auf der rechten Seite der Gleichung sind auf C_{3} ungleich Null und somit Einheiten in O_{V_{4},η}. Wegen \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{4} sind also \frac{X_{3}}{Y_{3}} und X_{4} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{4},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{3}. Somit ist die Ordnung von Z_{4} und damit die von π auf C_{3} gleich 3. Dies bedeutet, daß C_{3} dreifach ist.

\underline{C_{4} ist doppelt.} Denn π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und da X_{4} ≠ 0 ist und \frac{X_{3}}{Y_{3}} auf C_{4} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ∼ Z_{4} und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ∼ Y_{4} im lokalen Ring O_{V_{4},η} des generischen Punktes η von C_{4}. In F_{4} eingesetzt erhält man

Z_{4}(Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4}) = Y_{4}((\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4} + a_{2,2} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4} − a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4} − a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Z_{4}).

Die Terme in Klammern auf beiden Seiten der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{4} und sind somit Einheiten in O_{V_{4},η}. Also sind \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und \frac{Z_{3}}{Y_{3}} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{4},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{4}. Somit ist die Ordnung von π auf C_{4} gleich 2. Dies bedeutet, daß C_{4} doppelt ist.

\underline{C_{5} ist einfach.} Denn π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und da Z_{4} ≠ 0 ist und \frac{Z_{3}}{Y_{3}} auf C_{5} nicht identisch verschwindet, gilt π ∼ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ∼ Y_{4} im lokalen Ring O_{V_{4},η} des generischen Punktes η von C_{5}. In F_{4} eingesetzt erhält man

Y_{4}(Z_{4} + a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4} + a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Z_{4} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4} − a_{2,2} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}) = Z_{4}(a_{4,3}X_{4} + a_{6,5}Z_{4}).

Der Term in Klammern auf der linken Seite und Z_{4} auf der rechten Seite der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{5} und sind somit Einheiten in O_{V_{4},η}. Da auf ganz V_{4} gilt X_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} −Z_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0, ist π Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{4},η} und verschwindet zur Ordnung 1 auf C_{5}. Dies bedeutet, daß C_{5} einfach ist.

5.11.5 Die singulären Punkte von V_{4}

Da A_{R}^{3} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres sechsdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von sechs Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{4} höchstens sechs Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{4} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{4},P}.

\underline{Auf V_{4} − (C_{6} ∪ C_{7})} liegen keine singulären Punkte, da V_{4} − (C_{6} ∪ C_{7}) ≅ V_{3} − \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)\} und somit regulär ist. \underline{P = C_{6} ∩ C_{3}:} dann ist M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , X_{4}, Z_{4}, π). Somit sind Y_{4}, Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4} ∉ M und es gilt π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und

Z_{4} = \frac{1}{Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4}} ((\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} + πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}Y_{4} − a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4}Z_{4}).

Das bedeutet M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{4}) und P ist regulär. \underline{P ∈ C_{6} − (C_{3} ∪ C_{7}):} dann ist X_{4} ≠ 0, Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4} ≠ 0 und M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , p(X_{4}, Y_{4}), Z_{4}, π). Es gilt π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und

Z_{4} = \frac{1}{Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4}} ((\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} + πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}Y_{4} − a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4}Z_{4}).

Das bedeutet M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , p) und P ist regulär. \underline{P ∈ C_{7} − C_{6}:} dann ist Z_{4} ≠ 0 und M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4}, p(X_{4}, Z_{4}), π). Es gilt π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und

Y_{4} − a_{4,3}X_{4} − a_{6,5}Z_{4} = \frac{1}{Z_{4}} ((\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} + πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}Y_{4} − a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4}Z_{4}).

Das bedeutet M = (\frac{Z_{3}}{Y_{3}} , p) und P ist regulär. \underline{Der Punkt P = C_{6} ∩ C_{7}} ist singulär, denn dort ist M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} − a_{4,3}X_{4}, Z_{4}, π) und deshalb X_{4} ∉ M. Die drei Erzeuger von I_{Y_{3}}, sowie π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und F_{4} mod M^{2} ergeben

\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ≡ a_{4,3} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ≡ 0, Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ≡ 0, π ≡ 0, und a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4} ≡ πa_{2,2}X_{4} mod M^{2}.

Dies bedeutet, daß \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} − a_{4,3}X_{4}, Z_{4} mod M^{2} in keiner Relation stehen und linear unabhängig über k = O_{V_{4},P} /M sind. Also ist P singulär und wird als nächstes aufgeblasen. Dazu betrachte man das offene Unterschema von V_{4}

P ∈ V_{4} − \overline{\{(X_{4})\}} = Spec R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ]/(I_{Y_{3}}, π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , F_{4})
≅ Spec R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ]/(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{1}{X_{4}^{2}} F_{4}),

wobei \frac{1}{X_{4}^{2}} F_{4} = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} −a_{4,3})\frac{Z_{4}}{X_{4}} +a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} +a_{3,3} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2}−(\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} −a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} −

a_{6,5} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} ist.

P ist dort gegeben durch (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π).

5.11.6 Aufblasen von V_{4} entlang (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)

I = (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} ), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ][W_{5}, X_{5}, Y_{5}, Z_{5}] → S durch die Zuordnung (W_{5}, X_{5}, Y_{5}, Z_{5}) ↦ (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} ).

Ihr Kern ist I_{Y_{4}}^{∗} = ( W_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} − X_{5}π, W_{5} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) − Y_{5}π, W_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5}π, X_{5} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) − Y_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3})).

Also ergibt sich S ≅ R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ][W_{5}, X_{5}, Y_{5}, Z_{5}]/I_{Y_{4}}^{∗}. ϕ : P roj S → A_{R}^{3} ist gegeben durch R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ] → S. Die strikte Transformation von V_{4} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{5} := \overline{ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\})} in Proj S. Dabei ist V_{5} durch folgende Gleichungen gegeben:

In W_{5} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{W_{5}} π, \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = \frac{Y_{5}}{W_{5}} π und \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{W_{5}} π.

Damit ist W_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = π(W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

W_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = π^{2}(Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} + a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} −

− \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0 und der Punkt liegt nicht in

ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).
Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und
F_{5}^{∗} := Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} + a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} −

− \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2} = 0.

In X_{5} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{5}}{X_{5}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{X_{5}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} .

Damit ist X_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = \frac{X_{3}}{Y_{3}} (W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

X_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} (Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} + a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} −

− \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls \frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0, so folgt \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = π = 0 und der Punkt liegt nicht in ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und F_{5}^{∗} = 0.

In Y_{5} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{5}}{Y_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}), \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{Y_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) und \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{Y_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}).

Damit ist Y_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3})(W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

Y_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3})^{2} (Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} + a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} −

− \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = 0, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = π = 0 und der Punkt liegt nicht in ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und F_{5}^{∗} = 0.

In Z_{5} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} und \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = \frac{Y_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} .

Damit ist Z_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = \frac{Z_{4}}{X_{4}} (W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

Z_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} (Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} + a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} −

− \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = π = 0 und der Punkt liegt nicht in ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und F_{5}^{∗} = 0.

Man bekommt also V_{5} durch das Ideal (W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}, F_{5}^{∗}) in Proj S. Dabei gilt

X_{5}π − W_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} =  X_{5}π − Z_{5} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{4}}{X_{4}}  = X_{5}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ),
Y_{5}π − W_{5} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) = Y_{5}π − Z_{5} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) = Y_{5}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ),
Z_{5}π − W_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} =  = Z_{5}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ).

Da mit Z_{5} = 0 auch W_{5} = 0 ist, aber nicht W_{5} = X_{5} = Y_{5} = Z_{5} = 0 sein kann, folgt daraus, daß π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0 ist. Somit ist V_{5} isomorph zu

P roj R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ][X_{5}, Y_{5}, Z_{5}]/(I_{X_{4}}, π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , F_{5}), wobei

I_{X_{4}} = ( X_{5} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) − Y_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) ) und

F_{5} := Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} + a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} − \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}.

Ṽ_{5} besteht aus folgenden Komponenten:

π = 0 ⇒ (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0

• \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0} ⇒ X_{5}(\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) = X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0. Sei zunächst \underline{X_{5} = 0}. Daraus folgt wegen F_{5} = 0, daß (Y_{5} − a_{6,5}Z_{5})Z_{5} = 0 ist. Zuerst sei

∗ \underline{Z_{5} = 0} ⇒ Y_{5} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}}} = 0. Dies ist die Komponente C_{6} von V_{4} mit dem

Parameter \frac{Y_{4}}{X_{4}} . Sei nun

∗ \underline{Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} = 0} ⇒ Z_{5} ≠ 0, da sonst auch Y_{5} = 0 wäre. Somit folgt noch \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = \frac{Y_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , also \underline{\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} − a_{6,5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{7}

von V_{4} mit dem Parameter \frac{Z_{4}}{X_{4}} . Es fehlt noch

• \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0}. Daraus folgt wegen F_{5} = 0, daß Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5} −

\frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2} = 0, also daß \underline{Y_{5}Z_{5} + a_{1,1}a_{4,3}X_{5}Z_{5} − a_{4,3}X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2} = 0} ist. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{8}. Da ã_{4,3} ≠ 0 ist, ist sie ein irreduzibler Kegelschnitt und folglich eine projektive Gerade. Ihr Parameter ist \frac{Y_{5}}{Z_{5}} beziehungsweise \frac{Z_{5}}{Y_{5}} .

• \underline{\frac{Y_{4}}{X_{4}} = 0} ⇒ a_{4,3}X_{5} + \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{5} = a_{4,3}Z_{5} + \frac{Z_{4}}{X_{4}} Y_{5} = 0 und noch (Y_{5} − a_{6,5}Z_{5})Z_{5} = 0 wegen F_{5} = 0. Da ã_{4,3} ≠ 0 ist, folgt Y_{5} ≠ 0, denn sonst wäre auch X_{5} = Z_{5} = 0. Sei nun zunächst

∗ \underline{Z_{5} = 0} ⇒ \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0} und \underline{\frac{X_{5}}{Y_{5}} = ã_{4,3}^{−1} \frac{X_{3}}{Y_{3}}} . Dies ist die Komponente C_{4} von V_{4} mit

dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} . Jetzt sei

∗ \underline{Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} = 0}. Diese Komponente gehört nur dann zu V_{5}, wenn ã_{6,5} ≠ 0 ist. Es gilt weiter \underline{a_{4,3} + a_{6,5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0} und \underline{\frac{X_{5}}{Y_{5}} = ã_{4,3}^{−1} \frac{X_{3}}{Y_{3}}} . Dies ist die Komponente

C_{5} von V_{4} mit dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} .

• \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0} ⇒ Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = Z_{5}(\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) = 0. Der Fall \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} = 0 wurde soeben als Komponente C_{8} schon behandelt. Deshalb sei jetzt \underline{Z_{5} = 0}. Wegen F_{5} = 0 folgt daraus, daß \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} = 0 ist. Sei zunächst \underline{\frac{Y_{4}}{X_{4}} = 0} ⇒ a_{4,3}X_{5} + \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{5} = 0. Da ã_{4,3} ≠ 0

ist, folgt Y_{5} ≠ 0, denn sonst wäre auch X_{5} = 0. Also ist \underline{\frac{X_{5}}{Y_{5}} = ã_{4,3}^{−1} \frac{X_{3}}{Y_{3}}} . Dies ist

wieder die Komponente C_{4} von V_{4} mit dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} .

• \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}} = Z_{5} = X_{5} = 0} ⇒ Y_{5} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{6}.

Die Komponenten schneiden sich in folgenden Punkten:

C_{6} ∩ C_{8} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5}, Z_{5}, π)\} und

C_{7} ∩ C_{8} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5}, Y_{5} − a_{6,5}Z_{5}, π)\}.

Diese beiden Punkte sind verschieden. Weitere Schnittpunkte von C_{8} mit anderen Komponenten gibt es nicht.

Die Komponenten haben folgende Vielfachheiten:

\underline{C_{6} ist vierfach.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5}(\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) = Y_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = Z_{5}(\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) und da Y_{5} ≠ 0 ist und \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} auf C_{6} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{5} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} ∼ Z_{5} im lokalen Ring O_{V_{5},η} des generischen Punktes η von C_{6}. Aus F_{5} = 0 folgt

Z_{5} (Y_{5} + a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5} + a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5} − a_{6,5}Z_{5}) = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} + a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) X_{5}^{2}.

Die Terme in Klammern auf beiden Seiten der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{6} und sind somit Einheiten in O_{V_{5},η}. Somit sind \frac{X_{3}}{Y_{3}} und X_{5} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{5},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{6}. Deshalb verschwinden Z_{5} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} zur Ordnung 2 auf C_{6} und π zur Ordnung 4. Dies bedeutet, daß C_{6} vierfach ist.

\underline{C_{7} ist doppelt.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und da Z_{5} ≠ 0 ist und \frac{Z_{4}}{X_{4}} auf C_{7} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{5} im lokalen Ring O_{V_{5},η} des generischen Punktes η von C_{7}. Aus F_{5} = 0 folgt

(Y_{5} − a_{6,5}Z_{5})Z_{5} = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5} + a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5} − a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} − a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} Z_{5}) X_{5}.

Der Term Z_{5} auf der linken Seite der Gleichung ist ≠ 0 und somit eine Einheit in O_{V_{5},η}. Also liegt Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} in dem von \frac{X_{3}}{Y_{3}} erzeugten Ideal von O_{V_{5},η}. Da Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = Z_{5}(\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) auf ganz V_{5} gilt, folgt daß auch \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3} − a_{6,5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{1}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} (Y_{5} − a_{6,5}Z_{5}) in diesem Ideal liegt. Also wird das maximale Ideal von O_{V_{5},η} von \frac{X_{3}}{Y_{3}} erzeugt. Da auch \frac{Y_{4}}{X_{4}} = a_{4,3} eine Einheit in O_{V_{5},η} ist, ist die Ordnung von π auf C_{7} gleich 2. Dies bedeutet, daß C_{7} doppelt ist.

\underline{C_{8} ist dreifach.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} −Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} −Z_{5}(\frac{Y_{4}}{X_{4}} −a_{4,3}) und da X_{5}, Y_{5}

und Z_{5} auf C_{8} nicht identisch verschwinden, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) ∼ \frac{Z_{4}}{X_{4}} im lokalen Ring O_{V_{5},η} des generischen Punktes η von C_{8}. Aus F_{5} = 0 folgt

Y_{5}Z_{5} + a_{1,1}a_{4,3}X_{5}Z_{5} − a_{4,3}X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2} =

(\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}) (X_{5}^{2} − a_{1,1}X_{5}Z_{5}) + \frac{Z_{4}}{X_{4}} (a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}Z_{5}) .

Somit sind \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} −a_{4,3} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} alle drei Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{5},η} und verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{8}. Da ã_{4,3} ≠ 0 ist, ist \frac{Y_{4}}{X_{4}} eine Einheit in O_{V_{5},η}. Dies bedeutet, daß π mit Ordnung 3 auf C_{8} verschwindet und daß C_{8} dreifach ist.

5.11.7 Die singulären Punkte von V_{5}

Da A_{R}^{3} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres sechsdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von sechs Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{5} höchstens sechs Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{5} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{5},P}.

\underline{Auf V_{5} − C_{8}} liegen keine singulären Punkte, da V_{5} − C_{8} ≅ V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\} und somit regulär ist.

\underline{P = C_{8} ∩ C_{6}:} dann ist M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5}, Z_{5}, π). Somit sind Y_{5}, Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} ∉ M und es gilt

\frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{Y_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}), \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{Y_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}), π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} und

Z_{5} = \frac{X_{5}}{Y_{5} − a_{6,5}Z_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5} + a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5} − a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} − a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} Z_{5}) .

Das bedeutet M = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{4,3}, X_{5}) und P ist regulär.

\underline{C_{8} − C_{6}} ist ein regulärer Kegelschnitt und damit nach Satz 2.21 auch als Teilmenge von V_{5} regulär.

Also ist V_{5} regulär und als abgeschlossenes Unterschema eines Produkts von P_{R}^{m} auch eigentlich über R. Man hat den Reduktionstyp III^{∗} und erhält C durch Zusammenkleben von V_{5} mit all den weggeschnittenen Teilen. Die einfachen Komponenten sind C_{1} und C_{5}. Diese sind über k definiert. Es ist m = 8 und c = 2.

5.12 Beweis von Schritt 10

In Schritt 9, Abschnitt 5.11.2 hatten wir das Schema

V_{3} = P roj R [\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ][X_{3}, Y_{3}, Z_{3}]/(I_{Z_{2}}, F_{3}) erhalten, mit

I_{Z_{2}} = (Y_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} − X_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}π − Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} , Y_{3}π − Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) und

F_{3} = πY_{3}^{2} + πa_{1,1}X_{3}Y_{3} + πa_{3,3}Y_{3}Z_{3} − \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} − πa_{2,2}X_{3}^{2} − a_{4,3}X_{3}Z_{3} − a_{6,5}Z_{3}^{2}.

Dieses wurde dort unter der Annahme π^{4} |̸ a_{4} untersucht. In Schritt 10 gilt nun stattdessen π^{4} | a_{4} und π^{6} |̸ a_{6}. Die Annahme π^{6} |̸ a_{6} wird bei der folgenden Untersuchung aber vorerst nicht benützt. Sie wird erst ab der Bestimmung der speziellen Faser von V_{5} in Abschnitt 5.12.3 verwendet. An dieser Stelle wird nocheinmal ausdrücklich darauf hingewiesen. Alles, was davor herausgefunden wurde gilt somit in Schritt 11 genauso.

Ṽ_{3} besteht hier nun aus folgenden Komponenten:

π = 0 ⇒ Z_{3} \frac{X_{1}}{Z_{1}} = Z_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0 • \underline{Z_{3} = 0} ⇒ wegen F_{3} = 0, daß \frac{X_{1}}{Z_{1}} X_{3}^{2} = 0 ist. Sei zunächst \underline{X_{3} = 0} ⇒ Y_{3} ≠ 0 ⇒

\underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{3} von V_{2} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} . Sei nun

• \underline{Z_{3} = \frac{X_{1}}{Z_{1}} = 0} ⇒ X_{3} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0. Den Fall X_{3} = 0 haben wir soeben als Komponente C_{3}

schon behandelt. Also bleibt noch \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung

neu hinzugekommen, sie heiße C_{4}. Ihr Parameter ist \frac{Y_{3}}{X_{3}} beziehungsweise \frac{X_{3}}{Y_{3}} . Jetzt fehlt noch

• \underline{\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Wegen F_{3} = 0 folgt \underline{Z_{3} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{4}.

5.12.1 Die singulären Punkte von V_{3}

Da A_{R}^{2}×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres fünfdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von fünf Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{3} höchstens fünf Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{3} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{3},P}.

\underline{Auf V_{3} − C_{4}} liegen keine singulären Punkte, da V_{3} − C_{4} ≅ V_{2} − \{(\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , π)\} und somit regulär ist.

\underline{P ∈ C_{4} − C_{3}:} dann ist M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , p(X_{3}, Y_{3}), Z_{3}, π). Es ist X_{3} ∉ M, da P ∉ C_{3} ist. Also gilt π = \frac{Z_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} ,

\frac{X_{1}}{Z_{1}} = \frac{1}{X_{3}^{2}} ( π(Y_{3}^{2} + a_{1,1}X_{3}Y_{3} + a_{3,3}Y_{3}Z_{3} − a_{2,2}X_{3}^{2} − a_{4,4}X_{3}Z_{3}) − a_{6,5}Z_{3}^{2} )

und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{1}}{Z_{1}} . Das bedeutet M = (p, Z_{3}) und P ist regulär.

\underline{P = C_{3} ∩ C_{4}} ist singulärer Punkt, denn M = (\frac{X_{1}}{Z_{1}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}, Z_{3}, π) und die drei Erzeuger von I_{Z_{2}}, sowie F_{3} mod M^{2} ergeben

\frac{X_{1}}{Z_{1}} ≡ 0, 0 ≡ 0, π ≡ 0, und π ≡ 0 mod M^{2}.

Dies bedeutet, daß \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , X_{3}, Z_{3} mod M^{2} in keiner Relation stehen und linear unabhängig über k = O_{V_{3},P} /M sind. Also ist P singulär und wird als nächstes aufgeblasen.

Dazu betrachte man wie in Schritt 9 das offene Unterschema V_{3}−\overline{\{(Y_{3})\}}. Diese Aufblasung wurde in Abschnitt 5.11.4 bereits durchgeführt und lieferte

V_{4} = P roj R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ][X_{4}, Y_{4}, Z_{4}]/(I_{Y_{3}}, π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , F_{4}), mit

I_{Y_{3}} = (X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} − Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − Z_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} − Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} ) und

F_{4} = Y_{4}Z_{4} + a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}Y_{4} + a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4}Z_{4} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} − πa_{2,2}X_{4}^{2} − a_{4,3}X_{4}Z_{4} − a_{6,5}Z_{4}^{2}.

Diesmal besteht Ṽ_{4} aus folgenden Komponenten: π = 0 ⇒ \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0

• \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0} ⇒ Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0. Sei zunächst \underline{Y_{4} = 0}. Wegen F_{4} = 0 folgt daraus \underline{Z_{4} = 0} ⇒ X_{4} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{4} von V_{3} mit dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} . Es fehlt noch

• \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0}. Daraus folgt wegen F_{4} = 0, daß (Y_{4} − a_{6,5}Z_{4})Z_{4} = 0 ist. Zuerst sei

∗ \underline{Z_{4} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{5}. Ihr Parameter ist \frac{X_{4}}{Y_{4}} beziehungsweise \frac{Y_{4}}{X_{4}} .

∗ \underline{Y_{4} − a_{6,5}Z_{4} = 0}. Auch diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{6}. Ihr Parameter ist \frac{X_{4}}{Z_{4}} beziehungsweise \frac{Z_{4}}{X_{4}} . Sei jetzt

• \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0} ⇒ Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Z_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0. Der Fall \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = 0 wurde soeben als Komponenten C_{5} und C_{6} schon behandelt. Deshalb sei jetzt \underline{Z_{4} = 0}. Wegen F_{4} = 0 folgt daraus, daß (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} = 0 ist. Sei zunächst \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0} ⇒ X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0.

∗ \underline{X_{4} = 0}. Dies ist die Komponente C_{3} von V_{3} mit dem Parameter \frac{Y_{2}}{Z_{2}} .

∗ \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Dieser Komponente haben wir soeben den Namen C_{5} gegeben. Ihr Parameter ist \frac{X_{4}}{Y_{4}} beziehungsweise \frac{Y_{4}}{X_{4}} . Schließlich fehlen noch

• \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} = X_{4} = 0} ⇒ Y_{4} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{3}.

• \underline{\frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} = Y_{4} = 0} ⇒ X_{4} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Y_{2}}{Z_{2}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{4}.

Diese Komponenten sind wie folgt angeordnet:

[figure: 6; 4; 5; 3; 2; 1]

Die kleinen Zahlen geben dabei die Nummern der Komponenten an. Sie schneiden sich in den Punkten

C_{3} ∩ C_{5} = \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , X_{4}, Z_{4}, π)\} und
C_{4} ∩ C_{5} ∩ C_{6} = \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , Y_{4}, Z_{4}, π)\}.

Die Komponente C_{3} ist dabei dreifach. Denn π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , X_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = Y_{4} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{4} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = Z_{4} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und da Y_{4} ≠ 0 ist und \frac{Y_{2}}{Z_{2}} auf C_{3} nicht identisch verschwindet, gilt π ∼ \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ∼ Z_{4} und \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{4} im lokalen Ring O_{V_{4},η} des generischen Punktes η von C_{3}. In F_{4} eingesetzt erhält man

Z_{4} (Y_{4} + a_{1,1} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} X_{4} + a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4} − a_{2,2} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} X_{4} − πa_{4,4}X_{4} − a_{6,5}Z_{4}) = Y_{4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}.

Der Term in Klammern auf der linken Seite und Y_{4} auf der rechten Seite der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{3} und sind somit Einheiten in O_{V_{4},η}. Wegen \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{4} sind also \frac{X_{3}}{Y_{3}} und X_{4} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{4},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{3}. Somit ist die Ordnung von π auf C_{3} gleich 3. Dies bedeutet, daß C_{3} dreifach ist.

5.12.2 Die singulären Punkte von V_{4}

Da A_{R}^{3} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres sechsdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von sechs Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{4} höchstens sechs Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt. Sei nun P ∈ Ṽ_{4} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{4},P}. \underline{Auf V_{4} − (C_{5} ∪ C_{6})} liegen keine singulären Punkte, da V_{4} − (C_{5} ∪ C_{6}) ≅ V_{3} − \{(\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , π)\} und somit regulär ist. \underline{P ∈ C_{5} − (C_{4} ∩ C_{6}):} dann ist M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , p(X_{4}, Y_{4}), Z_{4}, π). Es gilt Y_{4}, Y_{4}−a_{6,5}Z_{4} ∉ M, da P ≠ C_{4} ∩ C_{6} ist. Damit ist π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{Y_{4}} \frac{Y_{2}}{Z_{2}} und

Z_{4} = \frac{1}{Y_{4} − a_{6,5}Z_{4}} ((\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} + πa_{2,2}X_{4}^{2} + πa_{4,4}X_{4}Z_{4} − a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}Y_{4} − a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4}Z_{4}).

Das bedeutet M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , p) und P ist regulär. \underline{P ∈ C_{6} − (C_{4} ∩ C_{5}):} dann ist M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , p(X_{4}, Z_{4}), Y_{4} − a_{6,5}Z_{4}, π). Es gilt Z_{4} ∉ M, denn sonst wäre auch Y_{4} ∈ M und damit P = C_{4} ∩ C_{5} ∩ C_{6}. Also hat man π = \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{2}}{Z_{2}} = \frac{Y_{4}}{Z_{4}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und

Y_{4} − a_{6,5}Z_{4} = \frac{1}{Z_{4}} ((\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} X_{4}Y_{4} + πa_{2,2}X_{4}^{2} + πa_{4,4}X_{4}Z_{4} − a_{1,1} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} X_{4}Y_{4} − a_{3,3} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} Y_{4}Z_{4}).

Das bedeutet M = (\frac{Z_{3}}{Y_{3}} , p) und P ist regulär. \underline{Der Punkt P = C_{4} ∩ C_{5} ∩ C_{6}} ist singulär, denn dort ist M = (\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , Y_{4}, Z_{4}, π) und deshalb X_{4} ∉ M. Die drei Erzeuger von I_{Y_{3}}, sowie π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} und F_{4} mod M^{2} ergeben

\frac{Y_{2}}{Z_{2}} ≡ 0, \frac{Z_{3}}{Y_{3}} ≡ 0, 0 ≡ 0, π ≡ 0, und πa_{2,2} ≡ 0 mod M^{2}.

Dies bedeutet, daß \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{4}, Z_{4} mod M^{2} in keiner Relation stehen und linear unabhängig über k = O_{V_{4},P} /M sind. Also ist P singulär und wird als nächstes aufgeblasen. Dazu betrachte man das offene Unterschema von V_{4}

P ∈ V_{4} − \overline{\{(X_{4})\}} = Spec R [\frac{Y_{2}}{Z_{2}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ]/(I_{Y_{3}}, π − \frac{Y_{2}}{Z_{2}} \frac{Z_{3}}{Y_{3}} , F_{4})
≅ Spec R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ]/(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{1}{X_{4}^{2}} F_{4}),

wobei \frac{1}{X_{4}^{2}} F_{4} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} + a_{3,3} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} − a_{6,5} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} ist. P ist dort gegeben durch (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π).

5.12.3 Aufblasen von V_{4} entlang (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)

I = (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ][W_{5}, X_{5}, Y_{5}, Z_{5}] → S durch die Zuordnung (W_{5}, X_{5}, Y_{5}, Z_{5}) ↦ (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ).

Ihr Kern ist I_{Y_{4}}^{∗} = ( W_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} − X_{5}π, W_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} − Y_{5}π, W_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5}π, X_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} − Y_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} ).

Also ergibt sich S ≅ R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ][W_{5}, X_{5}, Y_{5}, Z_{5}]/I_{Y_{4}}^{∗}. ϕ : P roj S → A_{R}^{3} ist gegeben durch R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ] → S. Die strikte Transformation von V_{4} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{5} := \overline{ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\})} in Proj S. Dabei ist V_{5} durch folgende Gleichungen gegeben:

In W_{5} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{W_{5}} π, \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Y_{5}}{W_{5}} π und \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{W_{5}} π.

Damit ist W_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = π(W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

W_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = π^{2}(Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} + a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5} − \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} −

− a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls π = 0, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0 und der Punkt liegt nicht in der Menge ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und

F_{5}^{∗} := Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} + a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5} − \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} −

− a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2} = 0.

In X_{5} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{5}}{X_{5}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{X_{5}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} .

Damit ist X_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = \frac{X_{3}}{Y_{3}} (W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

X_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} (Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} + a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5} − \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} −

− a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls \frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0, so folgt \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = π = 0 und der Punkt liegt nicht in der Menge ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und F_{5}^{∗} = 0.

In Y_{5} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{5}}{Y_{5}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{Y_{5}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{Y_{5}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} .

Damit ist Y_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = \frac{Y_{4}}{X_{4}} (W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

Y_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} )^{2} (Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} + a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5} − \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} −

− a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls \frac{Y_{4}}{X_{4}} = 0, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = π = 0 und der Punkt liegt nicht in der Menge ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).

Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und F_{5}^{∗} = 0.

In Z_{5} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} und \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Y_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} .

Damit ist Z_{5} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = \frac{Z_{4}}{X_{4}} (W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}) = 0 und

Z_{5}^{2} · \frac{F_{4}}{X_{4}^{2}} = (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} (Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} + a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5} − \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} −

− a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}) = 0.

Falls \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} = π = 0 und der Punkt liegt nicht in der Menge

ϕ^{−1}(V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\}).
Also bleibt nur W_{5} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} und F_{5}^{∗} = 0.

Man bekommt also V_{5} durch das Ideal (W_{5} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}, F_{5}^{∗}) in Proj S. Dabei gilt

X_{5}π − W_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = X_{5}π − Z_{5} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} = X_{5}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ),
Y_{5}π − W_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} = Y_{5}π − Z_{5} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} )^{2} = Y_{5}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ),
Z_{5}π − W_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} =  = Z_{5}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ).

Da mit Z_{5} = 0 auch W_{5} = 0 ist, aber nicht W_{5} = X_{5} = Y_{5} = Z_{5} = 0 sein kann, folgt daraus, daß π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0 ist. Somit ist V_{5} isomorph zu

P roj R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ][X_{5}, Y_{5}, Z_{5}]/(I_{X_{4}}, π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , F_{5}), wobei

I_{X_{4}} = (X_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} − Y_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} − Z_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} ) und

F_{5} := Y_{5}Z_{5} + a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} + a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5} − \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} −

− a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} − a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2} − a_{6,5}Z_{5}^{2}.

Ab hier wird die Annahme π^{6} |̸ a_{6} von Schritt 10 verwendet. Alles bisher Gesagte gilt demnach auch noch in Schritt 11. Insbesondere wird dort das Schema V_{5} nocheinmal betrachtet.

Ṽ_{5} besteht aus folgenden Komponenten:

π = 0 ⇒ (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0

• \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0} ⇒ X_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} = X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0. Sei zunächst \underline{X_{5} = 0}. Daraus folgt wegen F_{5} = 0, daß (Y_{5} − a_{6,5}Z_{5})Z_{5} = 0 ist. Zuerst sei

∗ \underline{Z_{5} = 0} ⇒ Y_{5} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}}} = 0. Dies ist die Komponente C_{5} von V_{4} mit dem

Parameter \frac{Y_{4}}{X_{4}} . Sei nun

∗ \underline{Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} = 0} ⇒ Z_{5} ≠ 0, da sonst auch Y_{5} = 0 wäre. Somit folgt noch \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Y_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , also \underline{\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{6,5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{6} von V_{4} mit

dem Parameter \frac{Z_{4}}{X_{4}} . Es fehlt noch KAPITEL 5. BEWEIS DES ALGORITHMUS VON TATE 91

• \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0}. Daraus folgt wegen F_{5} = 0, daß (Y_{5} − a_{6,5}Z_{5})Z_{5} = 0 ist. Sei

zunächst

∗ \underline{Z_{5} = 0}. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{7}. Ihr Parameter ist \frac{X_{5}}{Y_{5}} beziehungsweise \frac{Y_{5}}{X_{5}} .

∗ \underline{Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} = 0}. Auch diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie heiße C_{8}. Ihr Parameter ist \frac{X_{5}}{Z_{5}} beziehungsweise \frac{Z_{5}}{X_{5}} . Nun bleibt noch

• \underline{\frac{Y_{4}}{X_{4}} = 0} ⇒ Y_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0. Den Fall \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0 haben wir soeben als Komponenten C_{7} und C_{8} schon behandelt. Deshalb sei jetzt \underline{Y_{5} = 0}. Aus F_{5} = 0 folgt dann \underline{Z_{5} = 0} ⇒ X_{5} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{4} von V_{4} mit dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} . Jetzt sei

• \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}} = 0} ⇒ Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = Z_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} = 0. Der Fall \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} = 0 wurde soeben als Komponenten C_{7} und C_{8} schon behandelt. Deshalb sei jetzt \underline{Z_{5} = 0}. Aus F_{5} = 0 folgt dann, daß \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} = 0 ist. Sei zunächst \underline{\frac{Y_{4}}{X_{4}} = 0} ⇒ \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{5} = 0. Zuerst sei

∗ \underline{Y_{5} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{4} mit dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} .

∗ \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0}. Dies ist wieder die neue Komponente C_{7} mit dem Parameter \frac{X_{5}}{Y_{5}} be-

ziehungsweise \frac{Y_{5}}{X_{5}} . Zuletzt fehlt noch

• \underline{\frac{Z_{4}}{X_{4}} = Z_{5} = X_{5} = 0} ⇒ Y_{5} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{5}. Die Komponenten sind wie folgt angeordnet:

[figure: 6; 7; 3; 1; 8; 2; 4; 5]

Die kleinen Zahlen geben dabei die Nummern der Komponenten an. Sie schneiden sich in den Punkten

C_{5} ∩ C_{7} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5}, Z_{5}, π)\},
C_{4} ∩ C_{7} ∩ C_{8} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , Y_{5}, Z_{5}, π)\} und
C_{6} ∩ C_{8} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5}, Y_{5} − a_{6,5}Z_{5}, π)\}.

Wegen π^{6} |̸ a_{6} sind die beiden letzteren Schnittpunkte verschieden. Die Komponenten haben folgende Vielfachheiten:

\underline{C_{5} ist vierfach.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} = Y_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = Z_{5} \frac{Y_{4}}{X_{4}} und da Y_{5} ≠ 0 ist und \frac{Y_{4}}{X_{4}} auf C_{5} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{5} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} ∼ Z_{5} im lokalen Ring O_{V_{5},η} des generischen Punktes η von C_{5}. Aus F_{5} = 0 folgt

Z_{5} (Y_{5}+a_{1,1} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}+a_{3,3} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}−a_{2,2} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}−a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5}−a_{6,5}Z_{5}) = \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2}.

Der Term in Klammern auf der linken Seite und der Term \frac{Y_{4}}{X_{4}} auf der rechten Seite der Gleichung verschwinden nicht identisch auf C_{5} und sind somit Einheiten in O_{V_{5},η}. Somit sind \frac{X_{3}}{Y_{3}} und X_{5} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{5},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{5}. Deshalb verschwinden Z_{5} und \frac{Z_{4}}{X_{4}} zur Ordnung 2 auf C_{5} und π zur Ordnung 4. Dies bedeutet, daß C_{5} vierfach ist.

\underline{C_{6} ist doppelt.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , X_{5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} = Z_{5} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und da Z_{5} ≠ 0 ist und \frac{Z_{4}}{X_{4}} auf C_{6} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{5} im lokalen Ring O_{V_{5},η} des generischen Punktes η von C_{6}. Aus F_{5} = 0 folgt

(Y_{5} − a_{6,5}Z_{5})Z_{5} =

= X_{5} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5} + a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5} + a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5} − a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} Y_{5} − a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} Y_{5}).

Der Term Z_{5} auf der linken Seite der Gleichung ist ≠ 0 und somit eine Einheit in O_{V_{5},η}. Also liegt Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} in dem von \frac{X_{3}}{Y_{3}} erzeugten Ideal von O_{V_{5},η}. Da Z_{5}(\frac{Y_{4}}{X_{4}} − a_{6,5} \frac{Z_{4}}{X_{4}} ) = \frac{Z_{4}}{X_{4}} (Y_{5} − a_{6,5}Z_{5}) und Z_{5} ≠ 0 ist, folgt daß das maximale Ideal von O_{V_{5},η} von \frac{X_{3}}{Y_{3}} erzeugt wird. Da wegen ã_{6,5} ≠ 0 auch \frac{Y_{4}}{X_{4}} eine Einheit in O_{V_{5},η} ist, ist die Ordnung von π auf C_{6} gleich 2. Dies bedeutet, daß C_{6} doppelt ist.

5.12.4 Die singulären Punkte von V_{5}

Da A_{R}^{3} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres sechsdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von sechs Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{5} höchstens sechs Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{5} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{5},P}.

\underline{Auf V_{5} − (C_{7} ∪ C_{8})} liegen keine singulären Punkte, da V_{5} − (C_{7} ∪ C_{8}) ≅ V_{4} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , π)\} und somit regulär ist.

\underline{P ∈ C_{7} − (C_{4} ∩ C_{8}):} dann ist M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , p(X_{5}, Y_{5}), Z_{5}, π). Es ist Y_{5}, Y_{5} −a_{6,5}Z_{5} ∉ M, da P ≠ C_{4} ∩ C_{8}

und damit gilt π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{Y_{5}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} = \frac{Z_{5}}{Y_{5}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} und

Z_{5} = \frac{1}{Y_{5} − a_{6,5}Z_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} + a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} + a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2}−

− a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} − a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5}) .

Das bedeutet M = (\frac{Y_{4}}{X_{4}} , p) und P ist regulär. \underline{P ∈ C_{8} − (C_{4} ∩ C_{7}):} dann ist M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , p(X_{5}, Z_{5}), Y_{5} − a_{6,5}Z_{5}, π). Es ist Z_{5} ∉ M, denn sonst wäre auch Y_{5} ∈ M und damit P = C_{4} ∩ C_{7}. Also gilt π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} = \frac{Y_{5}}{Z_{5}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} und

Y_{5} − a_{6,5}Z_{5} = \frac{1}{Z_{5}} (\frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} + a_{2,2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}^{2} + a_{4,4} \frac{Y_{4}}{X_{4}} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}^{2}−

− a_{1,1} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5}Y_{5} − a_{3,3} (\frac{Z_{4}}{X_{4}} )^{2} X_{5}Y_{5}) .

Das bedeutet M = (\frac{Z_{4}}{X_{4}} , p) und P ist regulär. \underline{Der Punkt P = C_{4} ∩ C_{7} ∩ C_{8}} ist singulär, denn dort ist M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , Y_{5}, Z_{5}, π) und deshalb X_{5} ∉ M. Die drei Erzeuger von I_{X_{4}}, sowie π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} und F_{5} mod M^{2} ergeben

\frac{Y_{4}}{X_{4}} ≡ 0, \frac{Z_{4}}{X_{4}} ≡ 0, 0 ≡ 0, π ≡ 0, und \frac{Y_{4}}{X_{4}} ≡ 0 mod M^{2}.

Dies bedeutet, daß \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{5}, Z_{5} mod M^{2} in keiner Relation stehen und linear unabhängig über k = O_{V_{5},P} /M sind. Also ist P singulär und wird als nächstes aufgeblasen. Dazu betrachte man das offene Unterschema von V_{5}

P ∈ V_{5} − \overline{\{(X_{5})\}} = Spec R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ]/(I_{X_{4}}, π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} , F_{5})
≅ Spec R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ]/(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , \frac{1}{X_{5}^{2}} F_{5}),

wobei \frac{1}{X_{5}^{2}} F_{5} = \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} (\frac{Z_{5}}{X_{5}} )^{2} − \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} − a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} (\frac{Z_{5}}{X_{5}} )^{2} − a_{6,5} (\frac{Z_{5}}{X_{5}} )^{2} ist. P ist dort gegeben durch (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π).

5.12.5 Aufblasen von V_{5} entlang (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π)

I = (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ), S = ⨁_{d≥0} I^{d}

Man hat die surjektive Abbildung R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ][W_{6}, X_{6}, Y_{6}, Z_{6}] → S durch die Zuordnung (W_{6}, X_{6}, Y_{6}, Z_{6}) ↦ (π, \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ).

Ihr Kern ist I_{X_{5}}^{∗} = ( W_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} − X_{6}π, W_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} − Y_{6}π, W_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} − Z_{6}π, X_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} − Y_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} − Z_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} − Z_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} ).

Also ergibt sich S ≅ R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ][W_{6}, X_{6}, Y_{6}, Z_{6}]/I_{X_{5}}^{∗}. ϕ : P roj S → A_{R}^{3} ist gegeben durch R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ] → S. Die strikte Transformation von V_{5} erhält man gemäß Satz 2.32 als den Abschluß V_{6} := \overline{ϕ^{−1}(V_{5} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π)\})} in Proj S. Dabei ist V_{6} durch folgende Gleichungen gegeben:

In W_{6} ≠ 0 : ⇒ \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{6}}{W_{6}} π, \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Y_{6}}{W_{6}} π und \frac{Z_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{6}}{W_{6}} π.

Damit ist W_{6} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ) = π(W_{6} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}) = 0 und

W_{6}^{2} · \frac{F_{5}}{X_{5}^{2}} = π^{2}(Y_{6}Z_{6} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − X_{6}Y_{6} −

− a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}Z_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − a_{6,5}Z_{6}^{2}) = 0.

Falls π = 0 ist, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0 und der Punkt gehört nicht zu

ϕ^{−1}(V_{5} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π)\}).
Also bleibt nur W_{6} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6} und
F_{6}^{∗} := Y_{6}Z_{6} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − X_{6}Y_{6} −

− a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}Z_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − a_{6,5}Z_{6}^{2} = 0.

In X_{6} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{6}}{X_{6}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Y_{6}}{X_{6}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und \frac{Z_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{6}}{X_{6}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} .

Damit ist X_{6} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ) = \frac{X_{3}}{Y_{3}} (W_{6} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}) = 0 und

X_{6}^{2} · \frac{F_{5}}{X_{5}^{2}} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} (Y_{6}Z_{6} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − X_{6}Y_{6} −

− a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}Z_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − a_{6,5}Z_{6}^{2}) = 0.

Falls \frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0 ist, so folgt \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{5}}{X_{5}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu

ϕ^{−1}(V_{5} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π)\}).
Also bleibt nur W_{6} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6} und F_{6}^{∗} = 0.

KAPITEL 5. BEWEIS DES ALGORITHMUS VON TATE 95 In Y_{6} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{6}}{Y_{6}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{6}}{Y_{6}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} und \frac{Z_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{6}}{Y_{6}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} .

Damit ist Y_{6} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ) = \frac{Y_{5}}{X_{5}} (W_{6} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}) = 0 und

Y_{6}^{2} · \frac{F_{5}}{X_{5}^{2}} = (\frac{Y_{5}}{X_{5}} )^{2} (Y_{6}Z_{6} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − X_{6}Y_{6} −

− a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}Z_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − a_{6,5}Z_{6}^{2}) = 0.

Falls \frac{Y_{5}}{X_{5}} = 0 ist, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{5}}{X_{5}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu ϕ^{−1}(V_{5} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π)\}). Also bleibt nur W_{6} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6} und F_{6}^{∗} = 0.

In Z_{6} ≠ 0 : ⇒ π = \frac{W_{6}}{Z_{6}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{6}}{Z_{6}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} und \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Y_{6}}{Z_{6}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} .

Damit ist Z_{6} · (π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ) = \frac{Z_{5}}{X_{5}} (W_{6} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}) = 0 und

Z_{6}^{2} · \frac{F_{5}}{X_{5}^{2}} = (\frac{Z_{5}}{X_{5}} )^{2} (Y_{6}Z_{6} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − X_{6}Y_{6} −

− a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}Z_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − a_{6,5}Z_{6}^{2}) = 0.

Falls \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0 ist, so folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{5}}{X_{5}} = π = 0 und der Punkt gehört nicht zu ϕ^{−1}(V_{5} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π)\}). Also bleibt nur W_{6} = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6} und F_{6}^{∗} = 0.

Man bekommt also V_{5} durch das Ideal (W_{6} − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}, F_{6}^{∗}) in Proj S. Dabei gilt

X_{6}π − W_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = X_{6}π − Z_{6} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{5} \frac{Y_{5}}{X_{5}} = X_{6}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ),
Y_{6}π − W_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} = Y_{6}π − Z_{6} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} (\frac{Y_{5}}{X_{5}} )^{2} = Y_{6}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ),
Z_{6}π − W_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} =  = Z_{6}(π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ).

Da mit Z_{6} = 0 auch W_{6} = 0 ist, aber nicht W_{6} = X_{6} = Y_{6} = Z_{6} = 0 sein kann, folgt daraus, daß π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0 ist. Somit ist V_{6} isomorph zu

P roj R [\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} ][X_{6}, Y_{6}, Z_{6}]/(I_{X_{5}}, π − (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , F_{6}), wobei

I_{X_{5}} = (X_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} − Y_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} − Z_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} − Z_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} ) und

F_{6} := Y_{6}Z_{6} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − X_{6}Y_{6} −

− a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}Z_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − a_{6,5}Z_{6}^{2}.

Ṽ_{6} besteht aus folgenden Komponenten:

π = 0 ⇒ (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0

• \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0} ⇒ X_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} = X_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0. Sei zunächst \underline{X_{6} = 0}. Daraus folgt wegen F_{6} = 0, daß (Y_{6} − a_{6,5}Z_{6})Z_{6} = 0 ist. Zuerst sei

∗ \underline{Z_{6} = 0} ⇒ Y_{6} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Z_{5}}{X_{5}}} = 0. Dies ist die Komponente C_{7} von V_{5} mit dem Parameter \frac{Y_{5}}{X_{5}} . Sei nun

∗ \underline{Y_{6} − a_{6,5}Z_{6} = 0} ⇒ Z_{6} ≠ 0, da sonst auch Y_{6} = 0 wäre. Somit folgt noch \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Y_{6}}{Z_{6}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , also \underline{\frac{Y_{5}}{X_{5}} − a_{6,5} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{8} von V_{5} mit dem Parameter \frac{Z_{5}}{X_{5}} . Es fehlt noch

• \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0}. Daraus folgt wegen F_{5} = 0, daß \underline{Y_{6}Z_{6} − X_{6}Y_{6} − a_{6,5}Z_{6}^{2} = 0} ist. Diese Komponente ist bei der Aufblasung neu hinzugekommen, sie ist irreduzibel und heiße C_{9}.

• \underline{\frac{Y_{5}}{X_{5}} = 0} ⇒ Y_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = Y_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0. Den Fall \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0 haben wir soeben als Komponente C_{9} schon behandelt. Deshalb sei jetzt \underline{Y_{6} = 0}. Wegen F_{6} = 0 folgt daraus \underline{Z_{6} = 0} ⇒ X_{6} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0}. Dies ist die Komponente C_{4} von V_{5} mit dem Parameter \frac{X_{3}}{Y_{3}} . Jetzt sei

• \underline{\frac{Z_{5}}{X_{5}} = 0} ⇒ Z_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} = Z_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} = 0. Der Fall \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{Y_{5}}{X_{5}} = 0 wurde soeben als Komponente C_{9} schon behandelt. Deshalb sei jetzt \underline{Z_{6} = 0}. Wegen F_{6} = 0 folgt daraus, daß X_{6}Y_{6} = 0 ist. Sei zunächst \underline{X_{6} = 0} ⇒ Y_{6} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{X_{3}}{Y_{3}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{7} mit dem Parameter \frac{Y_{5}}{X_{5}} . Zuletzt fehlt noch

• \underline{\frac{Z_{5}}{X_{5}} = Z_{6} = Y_{6} = 0} ⇒ X_{6} ≠ 0 ⇒ \underline{\frac{Y_{5}}{X_{5}} = 0}. Dies ist wieder die Komponente C_{4}.

Die Komponenten schneiden sich in den Punkten

C_{7} ∩ C_{9} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6}, Z_{6}, π)\},
C_{4} ∩ C_{9} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , Y_{6}, Z_{6}, π)\} und
C_{8} ∩ C_{9} = \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6}, Y_{6} − a_{6,5}Z_{6}, π)\}.

Sie haben folgende Vielfachheiten:

\underline{C_{7} ist fünffach.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} = Y_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , Y_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = Z_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} und da Y_{6} ≠ 0 ist und \frac{Y_{5}}{X_{5}} auf C_{7} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{6} und \frac{Z_{5}}{X_{5}} ∼ Z_{6} im lokalen Ring O_{V_{6},η} des generischen Punktes η von C_{7}. Aus F_{6} = 0 folgt

X_{6}Y_{6} = Z_{6} (Y_{6} + a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6} + a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6} −

− a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6} − a_{6,5}Z_{6}).

Der Term in Klammern auf der linken Seite und der Term Y_{6} auf der rechten Seite der Gleichung sind auf C_{4} ungleich Null und somit Einheiten in O_{V_{6},η}. Somit ist \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ \frac{Z_{5}}{X_{5}} ∼ X_{6} ∼ Z_{6} und alle vier sind Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{6},η} und verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{7}. Deshalb verschwindet π zur Ordnung 5. Dies bedeutet, daß C_{7} fünffach ist.

\underline{C_{9} ist sechsfach.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} = Y_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = Z_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und da X_{6}, Y_{6} und Z_{6} auf C_{9} nicht identisch verschwinden, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ \frac{Y_{5}}{X_{5}} ∼ \frac{Z_{5}}{X_{5}} im lokalen Ring O_{V_{6},η} des generischen Punktes η von C_{9}. Aus F_{6} = 0 folgt

Y_{6}Z_{6}−X_{6}Y_{6}−a_{6,5}Z_{6}^{2} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} (a_{2,2} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6}+a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2}−a_{1,1}Y_{6}Z_{6}−a_{3,3} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2}).

Somit sind \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} und \frac{Z_{5}}{X_{5}} alle drei Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{6},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{9}. Deshalb verschwindet π zur Ordnung 6. Dies bedeutet, daß C_{9} sechsfach ist.

\underline{C_{4} ist dreifach.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6} \frac{Y_{5}}{X_{5}} = Y_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , X_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = Z_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und da X_{6} ≠ 0 ist und \frac{X_{3}}{Y_{3}} auf C_{4} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{Y_{5}}{X_{5}} ∼ Y_{6} und \frac{Z_{5}}{X_{5}} ∼ Z_{6} im lokalen Ring O_{V_{6},η} des generischen Punktes η von C_{4}. Aus F_{6} = 0 folgt

Y_{6} (X_{6} −Z_{6} −a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Z_{6} +a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Z_{6}) = Z_{6}^{2} (a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} −a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} −a_{6,5}).

Die Terme in Klammern auf beiden Seiten der Gleichung sind wegen ã_{6,5} ≠ 0 auf C_{4} ungleich Null und somit Einheiten in O_{V_{6},η}. Somit sind \frac{Z_{5}}{X_{5}} und Z_{6} beides Erzeugende des maximalen Ideals von O_{V_{6},η} und sie verschwinden zur Ordnung 1 auf C_{4}. Deshalb verschwinden Y_{6} und \frac{Y_{5}}{X_{5}} zur Ordnung 2 auf C_{4} und π zur Ordnung 3. Dies bedeutet, daß C_{4} dreifach ist.

\underline{C_{8} ist vierfach.} Denn π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6} \frac{Z_{5}}{X_{5}} = Z_{6} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und da Z_{6} ≠ 0 ist und \frac{Z_{5}}{X_{5}} auf C_{8} nicht identisch verschwindet, gilt \frac{X_{3}}{Y_{3}} ∼ X_{6} im lokalen Ring O_{V_{6},η} des generischen Punktes η von C_{8}. Aus F_{6} = 0 folgt

(Y_{6}−a_{6,5}Z_{6})Z_{6} = X_{6}Y_{6}+ \frac{X_{3}}{Y_{3}} (a_{2,2} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6}+a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2}−a_{1,1}Y_{6}Z_{6}−a_{3,3} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2}).

Der Term Z_{6} auf der linken Seite der Gleichung ist eine Einheit in O_{V_{6},η}. Somit liegt Y_{6}−a_{6,5}Z_{6} in dem von \frac{X_{3}}{Y_{3}} erzeugten Ideal von O_{V_{6},η}. Da Z_{6}(\frac{Y_{5}}{X_{5}} −a_{6,5} \frac{Z_{5}}{X_{5}} ) = \frac{Z_{5}}{X_{5}} (Y_{6}−a_{6,5}Z_{6}) und Z_{6} ≠ 0 ist, folgt daß das maximale Ideal von O_{V_{6},η} von \frac{X_{3}}{Y_{3}} erzeugt wird. Da wegen ã_{6,5} ≠ 0 auch \frac{Y_{5}}{X_{5}} eine Einheit in O_{V_{6},η} ist, ist die Ordnung von π auf C_{8} gleich 4. Dies bedeutet, daß C_{8} vierfach ist.

5.12.6 Die singulären Punkte von V_{6}

Da A_{R}^{3} ×_{Spec R} P_{R}^{2} ein reguläres sechsdimensionales Schema ist, wird das maximale Ideal des lokalen Ringes eines jeden abgeschlossenen Punktes von sechs Elementen erzeugt. Somit werden auch auf dem Unterschema V_{6} höchstens sechs Elemente zum Erzeugen des maximalen Ideals eines abgeschlossenen Punktes benötigt.

Sei nun P ∈ Ṽ_{6} ein abgeschlossener Punkt und M das maximale Ideal in O_{V_{6},P}.

\underline{Auf V_{6} − C_{9}} liegen keine singulären Punkte, da V_{6} − C_{9} ≅ V_{6} − \{(\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , π)\} und somit regulär ist.

\underline{P = C_{9} ∩ C_{4}:}

dann ist M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , Y_{6}, Z_{6}, π). Es ist X_{6} ∉ M und damit gilt π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Y_{6}}{X_{6}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{6}}{X_{6}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} und

Y_{6} = \frac{1}{X_{6}} (Z_{6}(Y_{6} − a_{6,5}Z_{6}) +

+ \frac{X_{3}}{Y_{3}} (a_{1,1}Y_{6}Z_{6} + a_{3,3} \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} − a_{2,2} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} − a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2})).

Das bedeutet M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , Z_{6}) und P ist regulär.

\underline{P = C_{9} ∩ C_{7}:}

dann ist M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6}, Z_{6}, π). Es ist Y_{6} ∉ M und damit gilt π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{6}}{Y_{6}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} = \frac{Z_{6}}{Y_{6}} \frac{Y_{5}}{X_{5}} und

X_{6} = \frac{Z_{6}}{Y_{6}} (Y_{6}+a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}+a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}−a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}−a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}−a_{6,5}Z_{6}).

Das bedeutet M = (\frac{Y_{5}}{X_{5}} , Z_{6}) und P ist regulär.

\underline{P = C_{9} ∩ C_{8}:} dann ist M = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} , \frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6}, Y_{6} − a_{6,5}Z_{6}, π). Es ist Z_{6} ∉ M, da sonst auch Y_{6} ∈ M

wäre. Damit gilt π = (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{4} \frac{Y_{5}}{X_{5}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , \frac{X_{3}}{Y_{3}} = \frac{X_{6}}{Z_{6}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} , \frac{Y_{5}}{X_{5}} = \frac{Y_{6}}{Z_{6}} \frac{Z_{5}}{X_{5}} und

Y_{6} − a_{6,5}Z_{6} = \frac{1}{Z_{6}} (X_{6}Y_{6} + a_{2,2} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} Y_{6}Z_{6} + a_{4,4} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{3} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2} −

− a_{1,1} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{6}Z_{6} − a_{3,3} (\frac{X_{3}}{Y_{3}} )^{2} \frac{Y_{5}}{X_{5}} Z_{6}^{2}).

Das bedeutet M = (\frac{Z_{5}}{X_{5}} , X_{6}) und P ist regulär.

\underline{C_{9} − (C_{4} ∪ C_{7} ∪ C_{8})} ist ein regulärer Kegelschnitt und damit nach Satz 2.21 auch als Teilmenge von V_{6} regulär.

Also ist V_{6} regulär und als abgeschlossenes Unterschema eines Produkts von P_{R}^{m} auch eigentlich über R. Man hat den Reduktionstyp II^{∗} und erhält C durch Zusammenkleben von V_{6} mit all den weggeschnittenen Teilen. C_{1} ist die einzige einfache Komponente. Es ist m = 9 und c = 1.

5.13 Beweis von Schritt 11

Unsere kummulativen Annahmen bis hier sind π | a_{1}, π^{2} | a_{2}, π^{3} | a_{3}, π^{4} | a_{4}, π^{6} | a_{6}.

Führt man nun in dem Schema V_{5} aus Abschnitt 5.12.3 folgende Substitionen ein

X′ := \frac{Y_{4}}{X_{4}} X_{5} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{5},
Y′ := Y_{5}  und
Z′ := \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Y_{4}}{X_{4}} Z_{5} = \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} X_{5} = \frac{X_{3}}{Y_{3}} \frac{Z_{4}}{X_{4}} Y_{5},

so erhält man \frac{Y_{4}}{X_{4}} \frac{X_{3}}{Y_{3}} Y_{5} · F_{5} =

= Y^{′ 2}Z′ + a_{1,1}X′Y′Z′ + a_{3,3}Y′Z^{′ 2} − X^{′ 3} − a_{2,2}X^{′ 2}Z′ − a_{4,4}X′Z^{′ 2} − a_{6,6}Z^{′ 3} =: F′,

Da auf E/K gilt π ≠ 0, folgt \frac{X_{3}}{Y_{3}} , \frac{Y_{4}}{X_{4}} , \frac{Z_{4}}{X_{4}} ≠ 0 und weil nicht X_{5} = Y_{5} = Z_{5} = 0 sein kann auch Y_{5} ≠ 0. Somit ist die generische Faser E/K von V_{5} isomorph zu P roj K[X′, Y′, Z′]/(F′). Dieser Isomorphismus kommt durch die folgenden Zuordnungen zustande

\frac{X′}{Z′} = \frac{X_{4}}{Z_{4}} = \frac{X_{3}}{Z_{3}} = \frac{X_{1}}{π Z_{1}} = \frac{X}{π^{2} Z} und

\frac{Y′}{Z′} = \frac{Y_{3}}{X_{3}} \frac{X_{4}}{Z_{4}} = \frac{Y_{3}}{Z_{3}} = \frac{Y_{2}}{π Z_{2}} = \frac{Y_{1}}{π^{2} Z_{1}} = \frac{Y}{π^{3} Z} .

Daraus sieht man, daß die ursprüngliche Weierstraß-Gleichung nicht minimal war. Man beginne nun den Algorithmus von neuem mit der kleineren Weierstraß-Gleichung F′ = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist Δ′ = π^{−12}Δ. Da also bei jedem Durchlaufen von Schritt 11 die Diskriminante von E/K durch einen zusätzlichen Faktor π^{12} teilbar sein muß, sie aber ungleich Null in R ist, terminiert der Algorithmus.

Damit ist der Algorithmus von Tate bewiesen. □

Literaturverzeichnis

[Ab] Abhyankar, S.S.: Resolution of Singularities of Arithmetical Surfaces in: Arithmetical Algebraic Geometry, Procedings Paper of the Conference on Arithmetic Algebraic Geometry at Purdue University in 1963, Harper and Row, New York 1965, Seiten 111 - 152.

[AM] Atiyah, M., Macdonald, I.: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading 1969.

[BLR] Bosch, S., Lütkebohmert, W., Raynaud, M.: Néron Models, Springer, Berlin-Heidelberg 1990.

[Bo] Bourbaki, N.: Commutative Algebra, Elements of Mathematics, Hermann, Paris 1972.

[Ha] Hartshorne, R.: Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, New York 1977.

[Hu] Husemöller, D.: Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics 111, Springer, New York 1987.

[Lm] Lipman, J.: Desingularization of two-dimensional Schemes in: Annals of Mathematics Nr. 107, 1978, Seiten 151 - 207.

[Lb] Lichtenbaum, S.: Curves over Discrete Valuation Rings in: American Journal of Mathematics Nr. 90, 1968, Seiten 380 - 405.

[Ma] Matsumura, H.: Commutative Algebra, 2.Auflage, W.A.Benjamin Co, Reading, Massachusetts 1980.

[Sh] Shafarevich, I.R.: Lectures on Minimal Models and Birational Transformations of two-dimensional Schemes, Lectures on Mathematics and Physics Nr. 37, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1966.

[Si 1] Silverman, J.H.: The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics 106, Springer, New York 1986.

[Si 2] Silverman, J.H.: Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics 151, Springer, New York 1994.

[Ta] Tate, J.: Algorithm for determining the Type of a Singular Fiber in an Elliptic Pencil in: Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Mathematics 476, Springer, Berlin-Heidelberg 1975.