Universität Ulm Abteilung Reine Mathematik

Zur Darstellbarkeit des rigid analytischen Picard-Funktors

Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat. der Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften

der Universität Ulm

Verfasser: Urs Hartl

Gutachter: Prof. Dr. W. Lütkebohmert Prof. Dr. F. Schulz Prof. Dr. F. Pop (Bonn)

Dekan: Prof. Dr. F. Stehling

Promotionskolloquium: 29. Juni 1999

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Grundlagen 7 2.1 Formelle und rigide Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Normierte Geradenbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Semistabile Modelle 19 3.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Desingularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Einheitengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Geradenbündel 35 4.1 Der Picard-Funktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Ausdehnung von Geradenbündeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Lokal triviale Geradenbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4 Lokale Ausdehnung von Geradenbündeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Der multiplikative Anteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Der Beweis 55 5.1 Die Darstellung des Funktors \overline{Pic}_{X_{K} /K}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Die Struktur von \overline{P}_{K} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3 Die universelle Überlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4 Die Konstruktion von P_{K} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Einleitung

Die Klassifizierung von Geradenbündeln in der Algebraischen Geometrie geschieht seit A. Grothendieck durch das Studium des Picard-Funktors. Nach Resultaten von Grothendieck [FGA, n^{o} 232,Section 6] ist der Picard-Funktor für ein projektives Schema über einem Körper K darstellbar durch ein K-Schema. Dies wurde von J.P. Murre [Mu] und F. Oort [Oo] auf eigentliche Schemata verallgemeinert.

Im Gegensatz zur algebraischen Situation ist für rigid analytische Räume wenig bekannt. Für eine rigid analytische Varietät X_{K} über einem vollständigen, diskret bewerteten Körper K ist die Darstellbarkeit des Picard-Funktors nur in folgenden Fällen bewiesen:

• X_{K} ist algebraisch und eigentlich über K.

Dies folgt mit dem GAGA-Prinzip aus den oben erwähnten Darstellungsätzen im algebraischen Fall.

• X_{K} ist eine eigentliche, glatte, rigid analytische Gruppe. Dies wurde von W. Lütkebohmert [Lü 2] gezeigt.

Der allgemeine Fall für eigentliche, glatte, rigid analytische K-Varietäten erscheint schwierig und es ist zur Zeit vollkommen unklar, wie er zu lösen ist.

Wir wollen in dieser Arbeit die Darstellbarkeit der Eins-Komponente des Picard-Funktors auf der Kategorie der glatten, rigid analytischen Varietäten unter der zusätzlichen Voraussetzung zeigen, daß X_{K} ein strikt semistabiles, formelles Modell besitzt. Es besteht die Vermutung, daß jede glatte, quasikompakte, rigid analytische Varietät nach einer endlichen Körpererweiterung ein strikt semistabiles Modell besitzt. Falls diese Vermutung richtig ist, so folgt die Darstellbarkeit für alle eigentlichen, glatten, rigid analytischen K-Varietäten. Doch auch zum Beweis der Vermutung gibt es derzeit keine konkreten Ansätze. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist

Satz 4.5. (Seite 38) Sei X_{K} eine eigentliche, glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K, welche ein strikt semistabiles, formelles Modell X über R besitzt, sowie x_{K} ∈ X_{K}(K) .

Dann ist der Picard-Funktor Pic_{X_{K} /K}^{0} nach einer endlichen, separablen Körpererweiterung darstellbar durch eine glatte, rigid analytische Gruppe P_{K} . Diese ist eine Erweiterung

1 ⟶ 𝔾_{m,K}^{r} ⟶ P_{K} ⟶ Q_{K} ⟶ 1

einer eigentlichen, glatten, rigid analytischen Gruppe Q_{K} durch einen affinen Torus 𝔾_{m,K}^{r} .

Wir beweisen den Satz in dieser Arbeit unter der Voraussetzung char K = 0 . Diese wird jedoch nur an einer Stelle benötigt (siehe unten). Der Beweis geht auf einen Beitrag von W. Lütkebohmert ([Lü 3]) zurück. Er folgt den dort dargelegten Ideen.

Für eigentliche, glatte, algebraische Schemata über K ist die Eins-Komponente der Picard-Varietät eigentlich über K. Das gleiche gilt für eigentliche, glatte, rigid analytische Gruppen über K. Im allgemeinen, rigid analytischen Fall muß dies jedoch nicht so sein. Das heißt, es ist möglich, daß der Rang r des Torus echt positiv ist. Rigid analytische Hopf-Varietäten sind dafür ein Beispiel. Diese sind Analoga der Hopf-Varietäten über den komplexen Zahlen, die ebenfalls eine nicht-eigentliche Picard-Varietät besitzen. Wir erläutern dieses Beispiel in Abschnitt 5.4 näher.

Wir wollen die Konstruktion der Picard-Varietät am Beispiel der Tate-Kurve veranschaulichen. Die Tate-Kurve ist der Quotient X_{K} = 𝔾_{m,K}/q^{ℤ} für ein q ∈ K^{×} mit |q| < 1 . Sie ist zusammenhängend, eigentlich und glatt über K und besitzt ein strikt semistabiles, formelles Modell X über dem Bewertungsring R von K. Die spezielle Faser X_{0} dieses Modells ist eine geschlossene Kette projektiver Geraden. Da X_{K} eine elliptische Kurve ist, wird Pic_{X_{K} /K}^{0} dargestellt durch die Jacobi-Varietät J_{K} von X_{K} . Diese ist isomorph zu X_{K} und besitzt somit ebenfalls ein strikt semistabiles Modell J . Sei \overline{J} die Eins-Komponente des formal glatten Teils von J . Dann ist

\overline{J} = \overline{𝔾}_{m,R} = lim ; ⟶_{n} 𝔾_{m,R_{n}} ,

wobei der Index n von R_{n} die n-te Stufe R/(π^{n+1}) bezeichnet. Die multiplikative Gruppe 𝔾_{m,R_{n}} stellt den Funktor Pic_{X_{n}/R_{n}}^{0} dar. Die rigide Faser \overline{J}_{K} von \overline{J} stellt den Funktor Pic_{X_{K} /K}^{0} auf der Kategorie der glatten, zusammenhängenden, rigid analytischen Varietäten V_{K} mit glattem, formellem Modell V dar. Dies liegt daran, daß jeder Morphismus V_{K} ⟶ J_{K} durch \overline{J}_{K} faktorisiert. Nun ist \overline{J}_{K} = \overline{𝔾}_{m,K} := Sp K⟨ζ, ζ^{−1}⟩ und läßt sich somit in die multiplikative Gruppe einbetten,

\overline{J}_{K} = \overline{𝔾}_{m,K} ⊂⟶ 𝔾_{m,K} =: Ĵ_{K} .

Wir interpretieren die Gruppe Ĵ_{K} folgendermaßen. Es gilt H^{1}(X_{K}, ℤ) = H^{1}(X_{0}, ℤ) = ℤ·b. Daraus erhalten wir ein Geradenbündel (ζ^{b}) auf X_{K} ×_{K} 𝔾_{m,K} , welches einen Morphismus 𝔾_{m,K} ⟶ J_{K} liefert. In Ĵ_{K} gibt es ein Gitter

M := {ζ ∈ Ĵ_{K} : (ζ^{b}) ist trivial} = q^{ℤ} .

Es läßt sich zeigen, daß der Quotient Ĵ_{K}/M = J_{K} ist. Also ist Ĵ_{K} die universelle Überlagerung von J_{K} .

Im allgemeinen Fall konstruieren wir die Picard-Varietät auf analoge Weise. Die n-te Stufe X_{n} := X ×_{R} R_{n} des strikt semistabilen, formellen Modells X von X_{K} ist eigentlich und flach über R_{n} mit geometrisch reduzierter, spezieller Faser. Nach dem Darstellungssatz von M. Artin [Ar 1] ist Pic_{X_{n}/R_{n}}^{0} deshalb darstellbar durch ein Gruppenschema P′_{n}. Auf X_{n}×_{R_{n}} P′_{n} existiert das Poincaré-Bündel P′_{n}. Die P′_{n} bilden ein induktives System und wir erhalten ein formelles R-Gruppenschema P′ := lim_{⟶} P′_{n}, topologisch von endlichem Typ über R, sowie ein

Geradenbündel P′ := lim_{⟵} P′_{n} auf X ×_{R} P′.

P′ ist nicht notwendigerweise flach über R. Deshalb sei \overline{P′} das größte zusammenhängende, flache Untergruppenschema von P′. Es ist ein zulässiges, formelles R-Schema. Um \overline{P′} zu glätten, betrachten wir \overline{P}_{K} := (\overline{P′}_{rig})_{red} . In char K = 0 ist \overline{P}_{K} geometrisch reduziert. Dies ist die einzige Stelle im Beweis, an der wir diese Voraussetzung benutzen. Nach dem Theorem über die reduzierte Faser ([FRG, IV, Theorem 2.1]) erhalten wir ein formelles Modell \overline{P} mit geometrisch reduzierter, spezieller Faser \overline{P}_{0} . Der Rücktransport \overline{P} des Geradenbündels P′ vermöge \overline{P} ⟶ \overline{P′} ⊂⟶ P′ ist das Poincaré-Bündel auf X ×_{R} \overline{P} . Die Gruppe \overline{P}_{K} stellt den Funktor Pic_{X_{K} /K}^{0} auf der Kategorie der glatten, zusammenhängenden, rigid analytischen Varietäten mit glattem, formellem Modell dar.

Die spezielle Faser \overline{P}_{0} von \overline{P} ist semiabelsch, das heißt eine Erweiterung

1 ⟶ 𝔾_{m,R_{0}}^{r} ⟶ \overline{P}_{0} ⟶ B_{0} ⟶ 1

einer abelschen Varietät B_{0} durch einen Torus 𝔾_{m,R_{0}}^{r} . Dies hat folgenden Grund. Da X strikt semistabil ist, gilt Pic(X_{0}) ⟶^{∼} Pic(X_{0} ×_{R_{0}} 𝔾_{a,R_{0}}) . Also sind alle Geradenbündel auf X_{0} ×_{R_{0}} 𝔾_{a,R_{0}} , die trivial entlang X_{0} × {0} sind, global trivial.

Der Torus dehnt sich zu einem formellen Torus \overline{𝔾}_{m,R}^{r} ⊂⟶ \overline{P} aus. Die rigide Faser \overline{𝔾}_{m,K}^{r} läßt sich in den affinen Torus 𝔾_{m,K}^{r} einbetten und wir erhalten

[figure: 1; 1; \overline{𝔾}_{m,K}^{r}; 𝔾_{m,K}^{r}; \overline{P}_{K}; P̂_{K}; B_{rig}; B_{rig}; 1; 1]

als das push-forward bezüglich dieser Einbettung. Dabei ist B_{rig} eine eigentliche, glatte rigid analytische Gruppe.

Wir zeigen, daß unter den Voraussetzungen von Satz 4.5 für die Kohomologiegruppe gilt H^{1}(X_{K}, ℤ) = H^{1}(X_{0}, ℤ) . Diese ist für den Torusanteil verantwortlich. Sei b_{1}, …, b_{r} eine ℤ-Basis von H^{1}(X_{K}, ℤ) mit trivialisierender Überdeckung Xν_{K} . Dann kommt das Geradenbündel \overline{P}_{K}|_{X_{K}^{ν} ×_{K} \overline{P}_{K}} dank seiner kubischen Struktur von einem Geradenbündel Bν_{K} auf

Xν_{K} ×_{K} B_{rig} . Die Verklebung dieser Geradenbündel erfolgt mittels (ζ_{1}^{b_{1}} ⊗ … ⊗ ζ_{r}^{b_{r}}) für Koordinaten ζ_{ρ} des Torus. Wir können dieses Verklebungsdatum benutzen, um die Rücktransporte der Bν_{K} zu einem Geradenbündel P̂_{K} auf X_{K} ×_{K} P̂_{K} zu verkleben. In P̂_{K} betrachten wir das K-rationale Gitter

M := { m ∈ P̂_{K} : ( id_{X_{K}} ×m)^{∗} P̂_{K} ist trivial } .

Da M ∩ \overline{P}_{K} = \{1\} ist, ist M diskret. Also können wir M ausdividieren und erhalten

P_{K} := P̂_{K}/M .

Das Geradenbündel P̂_{K} besitzt eine M-Linearisierung und steigt somit zu einem Geradenbündel P_{K} auf X_{K} ×_{K} P_{K} ab. Die glatte, rigid analytische Varietät P_{K} stellt den Picard-Funktor Pic_{X_{K} /K}^{0} auf der Kategorie der glatten, zusammenhängenden K-Varietäten dar. Um dies zu zeigen, ist es nötig, Geradenbündel von der rigiden Faser auf das formelle Modell auszudehnen. Dies ist im allgemeinen nicht möglich. In der speziellen Situation des Produktes zweier strikt semistabiler, formeller Modelle gelingt es uns jedoch lokal, indem wir eine geeignete Desingularisierung des Produktes angeben. Wir können außerdem das Hindernis für die globale Ausdehnung kontrollieren. Es wird durch den multiplikativen Anteil des Geradenbündels gegeben. Dieser ist verantwortlich für den Torusanteil 𝔾_{m,K}^{r} .

Die Aussage über die Struktur von P_{K} zeigen wir folgendermaßen. Wir zerlegen den Torus 𝔾_{m,K}^{r} gemäß dem Gitter M in ein Produkt 𝔾_{m,K}^{r′} ×_{K} 𝔾_{m,K}^{r′′} von Tori mit rk_{ℤ} M = r′′ und r′ + r′′ = r. Die Projektion 𝔾_{m,K}^{r} ⟶ 𝔾_{m,K}^{r′′} liefert dann einen Morphismus

[figure: 1; 1; 𝔾_{m,K}^{r}; 𝔾_{m,K}^{r′′}; P̂_{K}; Q̂_{K}; B_{rig}; B_{rig}; 1; 1 ,]

welcher M ⟶^{∼} N ⊆ Q̂_{K} abbildet. Die Untergruppe N ist ein Gitter von vollem Rang in Q̂_{K} und wir erhalten P_{K} = P̂_{K}/M als Erweiterung

1 ⟶ 𝔾_{m,K}^{r′} ⟶ P_{K} ⟶ Q_{K} ⟶ 1

einer eigentlichen, glatten, rigid analytischen Gruppe Q_{K} := Q̂_{K}/N durch einen affinen Torus 𝔾_{m,K}^{r′} .

Wir führen die hier skizzierte Konstruktion in Kapitel 5 durch. In den vorangehenden Kapiteln stellen wir die benötigten Sätze über formelle und rigide Räume (Kapitel 2), strikt semistabile Modelle (Kapitel 3) und über Geradenbündel (Kapitel 4) zusammen.

Einige offene Fragen schließen sich an.

1. Läßt sich der Beweis auf char K ≠ 0 verallgemeinern?

Dazu müßte es möglich sein, den Glättungsprozeß, der ausgehend von \overline{P′} die geometrisch reduzierte K-Varietät \overline{P}_{K} liefert zu verallgemeinern. Dies ist die einzige Stelle, an der die Voraussetzung char K = 0 eingeht.

2. Wann ist P_{K} eigentlich über K?

Dies ist beispielsweise so, falls X_{K} eine algebraische Varietät oder eine rigid analytische Gruppe ist. Um die Frage allgemein zu klären, müßte es gelingen, die tieferen Gründe im ersten Fall zu verstehen.

3. Was läßt sich über die Néron-Severi-Gruppe von X_{K} über K sagen?

Es besteht die Vermutung, daß sie ein Unterquotient der Néron-Severi-Gruppe der speziellen Faser des strikt semistabilen, formellen Modells von X_{K} und damit endlich erzeugt ist. Die in Abschnitt 4.4 bereitgestellten Methoden sollten ermöglichen, dies zu bestätigen.

4. Was läßt sich im allgemeinen für eigentliche, glatte, rigid analytische Varietäten sagen? Stimmt die Vermutung, daß jede solche Varietät nach einer endlichen Körpererweiterung ein strikt semistabiles, formelles Modell besitzt? Wir diskutieren diese Frage im Anschluß an Vermutung 3.7 .

An dieser Stelle möchte ich Herrn Professor W. Lütkebohmert für die hervorragende Betreuung danken. Mein Dank gilt ferner der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die Förderung^{1} dieser Arbeit.

1DFG-Projekt Lu 224/4-1

Grundlagen

2.1 Formelle und rigide Geometrie

In diesem Kapitel sollen zunächst einige Grundlagen über rigide Räume und formelle Schemata zusammengetragen werden. Als generelle Referenz hierzu verwenden wir [FRG] und [BGR].

Definition 2.1. Sei R ein vollständiger, diskreter Bewertungsring mit Uniformisierender π, Quotientenkörper K und Restklassenkörper k = R/(π) , sowie R_{n} := R/(π^{n+1}) .

a) Die R-Algebra der strikt konvergenten Potenzreihen ist definiert als

R⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩ := \{ ∑_{ν_{i}≥0} a_{ν_{1},... ,ν_{r}} ξ_{1}^{ν_{1}} · . . . · ξ_{r}^{ν_{r}} : lim_{|\underline{ν}|→∞} |a_{ν_{1},... ,ν_{r}}| = 0 \} .

Sie ist die π-adische Komplettierung des Polynomringes in r Unbestimmten über R.

b) Eine R-Algebra A heißt topologisch von endlicher Darstellung, falls sie isomorph zu einem Quotienten R⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩/𝔞 für ein endlich erzeugtes Ideal 𝔞 ⊆ R⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩ ist. Sie heißt zulässig, falls sie topologisch von endlicher Darstellung und flach über R ist.

Bemerkung 2.1.1. Da R noethersch ist, ist auch R⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩ noethersch nach [Bo, Corollary III.2.10.5].

Die formellen Spektra Spf A zulässiger R-Algebren A bilden die lokalen Bausteine der formellen Schemata, die wir betrachten wollen. Für den generellen Begriff des formellen Schemas verweisen wir auf [EGA, I, Section 10].

Definition 2.2. Ein formelles R-Schema heißt zulässig, falls es lokal isomorph zu affinen, formellen Schemata Spf A für zulässige R-Algebren A ist.

Für ein zulässiges, formelles R-Schema X = (X, O_{X}) definieren wir die n-te Stufe von X, oder die n-te infinitesimale Umgebung in X als das R_{n}-Schema

X_{n} := (X, O_{X_{n}})  mit  O_{X_{n}} := O_{X}/π^{n+1}O_{X} .

Das k-Schema X_{0} heißt die spezielle Faser von X.

Bevor wir den Zusammenhang von formeller und rigider Geometrie beschreiben können, wollen wir erklären, was rigid analytische Varietäten sind. Sie spielen die Rolle der generischen Fasern von zulässigen, formellen R-Schemata. Ihre Definition geht auf J. Tate [Ta] zurück.

Definition 2.3. Sei R ein vollständiger, diskreter Bewertungsring mit Uniformisierender π, Quotientenkörper K und Restklassenkörper k = R/(π) , sowie R_{n} := R/(π^{n+1}) .

a) Die K-Algebra der strikt konvergenten Potenzreihen

T_{r} := K⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩ := R⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩ ⊗_{R} K

heißt die Tate-Algebra in r Unbestimmten über K. Ein Quotient T_{r}/𝔞 für ein Ideal 𝔞 ⊆ T_{r} heißt eine K-affinoide Algebra.

b) Eine affinoide, rigid analytische Varietät über K ist das Maximalspektrum Sp A_{K} einer K-affinoiden Algebra A_{K} .

Bemerkung 2.3.1. T_{r} ist noethersch nach [BGR, Theorem 5.2.6.1].

Auf Sp A_{K} läßt sich eine Grothendieck-Topologie definieren, mit deren Hilfe sich affinoide, rigid analytische Varietäten zu globalen Objekten verkleben lassen. Diese heißen rigid analytische Varietäten über K. Für eine ausführliche Darstellung siehe [BGR].

Einem zulässigen, formellen R-Schema X ordnen wir nun eine rigid analytische Varietät X_{rig} zu. Lokal besteht X aus affinen Unterschemata der Form Spf A mit einer zulässigen, formellen R-Algebra A. Die K-Algebra A_{K} := A ⊗_{R} K ist affinoid. Die so erhaltenen affinoiden, rigid analytischen Varietäten Sp A_{K} können wir mittels des Verklebungsdatums von X zu einer rigid analytischen Varietät X_{rig} über K verkleben. Dies ergibt einen Funktor

rig : X ⟼ X_{rig} .

Nach einem Satz von M. Raynaud [Ra 2] induziert rig eine Äquivalenz zwischen

a) der Kategorie der quasikompakten, quasiseparierten, zulässigen, formellen R-Schemata, lokalisiert nach zulässigen, formellen Aufblasungen und

b) der Kategorie der quasikompakten, quasiseparierten, rigid analytischen K-Varietäten.

Eine zulässige, formelle Aufblasung ist dabei die Aufblasung eines zulässigen, formellen R-Schemas X in einem Ideal I ⊆ O_{X} , welches eine Potenz von π enthält. Solch ein Ideal ist ein offenes Ideal bezüglich der π-adischen Topologie. Die Aufblasung wird erhalten als der Morphismus

X′ := lim ; ⟶_{n} Proj ⨁_{ν≥0} (I^{ν} ⊗_{O_{X}} O_{X_{n}}) ⟶ X .

Für jede Aufblasung von X gibt es ein größtes offenes Unterschema U , über dem die Aufblasung ein Isomorphismus ist. Das Komplement X−U nennen wir in dieser Arbeit, abweichend von der üblichen Terminologie, das Zentrum der Aufblasung. Sein zugrundeliegender topologischer Raum ist in dem abgeschlossenen Unterschema V(I) , das üblicherweise als das Zentrum bezeichnet wird, enthalten. Für eine ausführliche Darstellung, sowie einen Beweis des Satzes von Raynaud siehe [FRG, I].

Definition 2.4.

a) Ein kohärenter O_{X_{K}} -Modul F_{K} auf einer rigid analytischen Varietät X_{K} ist eine Garbe bezüglich der Grothendieck-Topologie auf X_{K} , so daß F_{K}(U_{K}) für alle zulässigen, offenen Teilmengen U_{K} ⊆ X_{K} die Struktur eines endlichen O_{X_{K}} (U_{K})-Moduls besitzt (siehe [Ki 2]).

b) Ein Geradenbündel auf X_{K} ist ein kohärenter O_{X_{K}} -Modul, der lokal bezüglich einer zulässigen, offenen Überdeckung von X_{K} trivial, das heißt isomorph zu O_{X_{K}} ist.

c) Ein Geradenbündel auf einem zulässigen, formellen R-Schema X ist eine invertierbare Garbe auf X.

Aus jedem formellen Geradenbündel L auf X erhalten wir durch Tensorieren mit K ein rigid analytisches Geradenbündel L ⊗_{R} K auf X_{rig} . Einen wesentlichen Bestandteil dieser Arbeit stellt die Umkehrung dieses Sachverhalts dar, das heißt die Ausdehnung von rigiden Geradenbündeln L_{K} auf X_{rig} zu formellen Geradenbündeln L auf X mit L_{K} ≅ L ⊗_{R} K. Unter bestimmten Bedingungen an X und an L_{K} ist die Ausdehnung möglich (vergleiche die Abschnitte 4.2 , 4.4 und Satz 4.15).

Desweiteren lassen sich für formelle und rigide Räume die üblichen Begriffe, wie Zusammenhang, Irreduzibilität, Reduziertheit, Regularität, Glattheit, usw. definieren. Wir verweisen dazu auf [FRG], [BGR] und [EGA, I, Section 10]. Wir wollen allerdings noch einige Lemmata erwähnen, die wir benötigen und für die wir keine geeignete Referenz gefunden haben.

Lemma 2.5. Sei Spf A ein affines, zulässiges, formelles R-Schema mit zugehöriger affinoider, rigid analytischer Varietät Sp A_{K} und spezieller Faser Spec A_{0} .

Ist Spec A_{0} integer, so ist auch Sp A_{K} integer ist.

\underline{Beweis:} Sei Spec A_{0} integer, Sp A_{K} jedoch nicht. Also gibt es f, g ∈ A_{K} − {0} mit f g = 0 . Da A_{0} reduziert ist, ist |A_{K}|_{sup} = |K| und A = {a ∈ A_{K} : |a|_{sup} ≤ 1} ([FRG, IV, Proposition 1.1]). Das heißt, es gibt α, β ∈ ℤ mit |π^{α}f| = |π^{β}g| = 1 . Somit sind π^{α}f und π^{β}g ∈ A. Ihre Reduktionen sind ungleich 0 , das Produkt ihrer Reduktionen ist jedoch gleich 0 . Dies ist aber ein Widerspruch zur Integrität von Spec A_{0} .

Lemma 2.6. Sei X_{K} eine glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K. Dann ist die Dimension dim O_{X_{K} ,x} konstant gleich dim X_{K} für alle Punkte x ∈ X_{K} . Ist ferner X_{K} = Sp A_{K} affinoid, so ist dim(A_{K})_{𝔪} = dim X_{K} für alle maximalen Ideale 𝔪 von A_{K} .

\underline{Beweis:} Sei x ∈ X_{K} . Nach [FRG, III, Proposition 2.7] gibt es eine offene Umgebung von x in X_{K} , die étale über Y_{K} := 𝔻n_{K} ist. Nach [FRG, III, Proposition 2.9] ist sie flach über Y_{K} . Sei y das Bild von x in Y_{K} . Nach [FRG, III, Proposition 2.2] erzeugt das maximale Ideal von O_{Y_{K} ,y} dasjenige von O_{X_{K} ,x}. Folglich ist dim O_{X_{K} ,x} = dim O_{Y_{K} ,y} = n ([Ei, Theorem 10.10]). Dies zeigt, daß dim O_{X_{K} ,x} lokal konstant auf den abgeschlossenen Punkten von X und somit gleich dim X_{K} ist. Ist X_{K} affinoid, so folgt die Behauptung mit [BGR, Proposition 7.3.2.8].

Satz 2.7. Sei f : X ⟶ S ein formal glatter Morphismus formeller R-Schemata. Sei S regulär. Dann ist auch X regulär.

\underline{Beweis:} Es genügt zu zeigen, daß für jeden abgeschlossenen Punkt x ∈ X_{0} der lokale Ring O_{X,x} regulär ist.

Da X formal glatt über S ist, gibt es eine offene Umgebung U von x in X und eine S-Einbettung

j : U ⊂⟶ 𝔻_{S}^{n} =: Y .

Seien y := j(x) , sowie 𝔪 und 𝔫 die zu x beziehungsweise y gehörenden maximalen Ideale. Lokal bei y wird das U beschreibende Ideal von g_{r+1}, …, g_{n} erzeugt, wobei die dg_{r+1}, …, dg_{n} linear unabhängig über k(x) = k(y) sind. Für die lokalen Ringe gilt also

O_{X,x} ⟵^{∼} O_{Y,y} / (g_{r+1}, …, g_{n}) .

Folglich erhalten wir für die Kotangentialräume in x beziehungsweise y

𝔪/𝔪^{2} ← ⟵ 𝔫/𝔫^{2}  mit  ker = k(y) dg_{r+1} ⊕ … ⊕ k(y) dg_{n} .

Somit folgt für ihre Dimensionen

dim_{k(x)} 𝔪/𝔪^{2} = dim_{k(y)} 𝔫/𝔫^{2} − (n − r)

Andererseits gilt für die Dimensionen der lokalen Ringe

dim O_{X,x} ≥ dim O_{Y,y} − (n − r)

Da S regulär ist, ist auch Y regulär und folglich dim_{k(y)} 𝔫/𝔫^{2} = dim O_{Y,y}. Damit folgt die Behauptung.

Lemma 2.8. Seien V ein zulässiges, formelles Schema über R mit reduzierter spezieller Faser V_{0} und f und g zwei R-Morphismen von V in ein zulässiges, formelles R-Schema Y . Für alle Punkte v ∈ V (R′) , wobei R′ alle Bewertungsringe endlicher Erweiterungen K′ von K durchläuft, sei f(v) = g(v) in Y (R′) .

Dann ist f = g.

\underline{Beweis:} Ohne Einschränkung seien Spf A = V und Spf B = Y affin. Wir müssen zeigen, daß f^{∗} und g^{∗} als Morphismen von B nach A gleich sind. Sei v ∈ V (R′) , das heißt es gibt ein Primideal 𝔭 in A mit

0 ⟶ 𝔭 ⟶ A ⟶^{v^{∗}} R′ ⟶ 0 .

Nun bedeutet f(v) = g(v) , daß für alle b ∈ B gilt f^{∗}(b) − g^{∗}(b) ∈ 𝔭.

Angenommen, es gäbe ein b ∈ B mit a := f^{∗}(b) − g^{∗}(b) ≠ 0 . Da V_{0} reduziert ist, ist die Norm |a|_{sup} = |π^{n}| nach [FRG, IV, Proposition 1.1]. Es existiert also ein K′-wertiger Punkt v_{K} in V_{K} mit |a(v_{K})| = |π^{n}|. Dieser dehnt sich aus zu einem R′-wertigen Punkt v von V und π^{−n}a liegt nicht in dem zu v gehörenden Primideal 𝔭. Da auch π ∉ 𝔭 ist, gilt a ∉ 𝔭 und somit f(v) ≠ g(v) im Widerspruch zur Voraussetzung.

Auch der folgende Hilfssatz wird in der weiteren Arbeit benötigt.

Lemma 2.9. Sei A ein noetherscher Ring und I ein Ideal in A. Sei Â die Komplettierung von A nach I. Dann gilt:

a) Die Abbildung 𝔪 ↦ 𝔪Â ist eine Bijektion der Menge der maximale Ideale von A, welche I enthalten auf die Menge der maximalen Ideale von Â.

b) Sei 𝔪 ⊇ I ein maximales Ideal von A und 𝔫 := 𝔪Â. Dann sind die Komplettierungen der lokalen Ringe A_{𝔪} und Â_{𝔫} kanonisch isomorph.

\underline{Beweis:} Aussage a) ist [Bo, Proposition III.3.4.8 ii].

Zu b) Der Homomorphismus A ⟶ Â liefert einen Homomorphismus der lokalen Ringe A_{𝔪} ⟶ Â_{𝔫}, welcher nach [Bo, Proposition III.3.4.8 iii] injektiv ist. Weiter ist die 𝔪A_{𝔪}-adische Topologie auf A_{𝔪} von der 𝔫Â_{𝔫}-adischen Topologie auf Â_{𝔫} induziert und A_{𝔪} ist dicht in Â_{𝔫} unter der 𝔫Â_{𝔫}-adischen Topologie. Also sind die Komplettierungen der noetherschen, lokalen Ringe A_{𝔪} und Â_{𝔫} kanonisch isomorph.

2.2 Normierte Geradenbündel

In diesem Abschnitt sei X_{K} eine geometrisch reduzierte, rigid analytische Varietät mit formellem Modell X, welches geometrisch reduzierte spezielle Faser X_{0} habe. Sei L ein formelles Geradenbündel auf X und L_{K} := L ⊗_{R} K das zugehörige rigide Geradenbündel auf X_{K} .

Für jede offene, affine Teilmenge Spf A ⊆ X bezeichne A_{K} := A ⊗_{R} K die zugehörige affinoide Algebra und | . |_{sup} die Supremumsnorm auf A_{K}. Dann ist Sp A_{K} formell offen in X_{K} . Da X_{0} geometrisch reduziert ist, gilt

A = { a ∈ A_{K} : |a|_{sup} ≤ 1 }

und |A_{K}|_{sup} = |K| (vergleiche [FRG, IV, Proposition 1.1 und die vorangehende Diskussion]).

Analog zu der Supremumsnorm auf A_{K} = O_{X_{K}} (Sp A_{K}) wollen wir eine Norm auf L_{K} definieren. Dazu zunächst ein

Lemma 2.10. Seien x ∈ X_{K} und Spf A ⊆ Spf B ⊆ X offene, affine Teilmengen mit x ∈ Sp A_{K} , sowie

f : L|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A}  und  g : L|_{Spf B} ⟶^{∼} O_{Spf B}

Trivialisierungen von L. Sei l ∈ L_{x}. Dann ist

|f(l)(x)| = |g(l)(x)| .

Bemerkung 2.10.1. Unter f(l) ist dabei eigentlich f_{K}(l) zu verstehen, wobei f_{K} die zu f gehörende Trivialisierung f_{K} : L_{K}|_{Sp A_{K}} ⟶^{∼} O_{Sp A_{K}} ist.

\underline{Beweis:} g induziert einen Isomorphismus

g|_{Spf A} ∘ f^{−1} : O_{Spf A} ⟵^{∼} L|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A}
1  ⟼  u ∈ A^{×} .

Also ist |u(y)| = 1 für alle y ∈ Sp A_{K} . In O_{X_{K} ,x} ist f(l)(x) · u(x) = g(l)(x) und somit also

|f(l)(x)| = |g(l)(x)| .

Dies ermöglicht folgende

Definition 2.11.

a) Für x ∈ X_{K} und l ∈ L_{x} sei der Betrag von l in x definiert als

|l(x)| := |f(l)(x)| ,

wobei f : L|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A} eine beliebige Trivialisierung auf einer formellen, affinen Umgebung Spf A von x ist (vergleiche Bemerkung 2.10.1).

b) Für jede formell offene Teilmenge V ⊆ X und jedes l ∈ L_{K} (V_{K}) sei die Supremumsnorm von l über V_{K} definiert als

|l|_{V_{K}} := sup { |l(x)| : x ∈ V_{K} } .

Die Supremumsnorm auf dem Geradenbündel L_{K} hat folgende Eigenschaften.

Lemma 2.12. Sei Spf A offen in X und f : L|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A} eine Trivialisierung von L. Sei ferner l ∈ L_{K} (Sp A_{K}) . Dann ist

|l|_{Sp A_{K}} = |f(l)|_{sup} ∈ |K| .

Falls K diskret bewertet, oder X quasikompakt ist, gilt insbesondere:

a) Für jedes l ∈ Γ(X_{K}, L_{K}) ist |l|_{X_{K}} ∈ |K|.

b) Die Supremumsorm erfüllt das Maximumprinzip, das heißt für jedes l ∈ Γ(X_{K}, L_{K}) gibt es ein x ∈ X_{K} mit |l(x)| = |l|_{X_{K}} .

\underline{Beweis:} Die erste Aussage ist klar nach der Definition. Ist K diskret bewertet, oder X quasikompakt, so ist |l|_{X_{K}} = |l|_{Sp A_{K}} für eine offene Teilmenge Spf A ⊆ X, über der L trivial ist. Behauptung b) folgt dann aus [BGR, Proposition 6.2.1.4].

Lemma 2.13. Sei l ∈ Γ(X_{K}, L_{K}) . Dann ist die Menge

U_{K} := { x ∈ X_{K} : |l(x)| = |l|_{X_{K}} }

formell offen in X_{K} .

\underline{Beweis:} Sei x ∈ U_{K} und Spf A ⊆ X offen mit x ∈ Sp A_{K} . Sei f : L|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A} eine Trivialisierung. Dann ist |f(l)(x)| = |f(l)|_{sup} und es gibt ein c ∈ K, so daß für a := c f(l) gilt |a|_{sup} = 1 . Damit ist auch |a(x)| = 1 . Die Menge

W_{K} := { y ∈ Sp A_{K} : |a(y)| = 1 }

ist formal offen in Sp A_{K} , also auch in X_{K} . Da x ∈ W_{K} ⊆ U_{K} ist, ist U_{K} formal offen in X_{K} .

Lemma 2.14. Seien L und M Geradenbündel auf X. Diese, sowie die Geradenbündel L ⊗ M und L^{⊗n} seien mit den Supremumsnormen versehen.

a) Sei x ∈ X_{K} , sowie l ∈ L_{x} und m ∈ M_{x}. Dann ist

|(l ⊗ m)(x)| = |l(x)| · |m(x)| .

b) Seien l ∈ Γ(X_{K}, L_{K}) und m ∈ Γ(X_{K}, M_{K}) . Dann ist

|l^{⊗n}|_{X_{K}} = (|l|_{X_{K}} )^{n}  für alle n ∈ ℕ und
|l ⊗ m|_{X_{K}} ≤ |l|_{X_{K}} · |m|_{X_{K}} .

Falls X irreduzibel ist und die Supremumsnorm das Maximumprinzip erfüllt, so gilt Gleichheit.

\underline{Beweis:} Zu a) Wähle Trivialisierungen f : L|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A} und g : M|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A} in einer Umgebung von x. Dann sind

f ⊗ g : L ⊗ M |_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A}  und  f^{⊗n} : L^{⊗n}|_{Spf A} ⟶^{∼} O_{Spf A}

ebenfalls Trivialisierungen und in A_{K} gilt

(f ⊗ g)(l ⊗ m) = f(l) · g(m)  und  f^{⊗n}(l^{⊗n}) = f(l)^{n} .

Daraus folgt

|(f ⊗ g)(l ⊗ m)(x)| = |f(l)(x) · g(m)(x)| = |f(l)(x)| · |g(m)(x)| .

Zu b) Nach a) gilt für alle x ∈ X_{K}

|(l ⊗ m)(x)| = |l(x)| · |m(x)| ≤ |l|_{X_{K}} · |m|_{X_{K}} und
|l^{⊗n}|_{X_{K}} ≥ |l^{⊗n}(x)| = |l(x)|^{n} ≤ (|l|_{X_{K}} )^{n} .

Also folgt für die Suprema

|l ⊗ m|_{X_{K}} ≤ |l|_{X_{K}} · |m|_{X_{K}}  und  |l^{⊗n}|_{X_{K}} = (|l|_{X_{K}} )^{n} .

Nun sei X irreduzibel und die Supremumsnorm erfülle das Maximumprinzip. Dann ist nach Lemma 2.13 für alle offenen Teilmengen Spf A ⊆ X der Durchschnitt

{ x ∈ X_{K} : |l(x)| = |l|_{X_{K}} } ∩ Sp A_{K} ≠ ∅

und folglich |l|_{Sp A_{K}} = |l|_{X_{K}} . Das gleiche gilt für m und l⊗m. Da X irreduzibel ist, ist auch jede offene, affine Teilmenge Spf A irreduzibel. Also ist nach [BGR, Proposition 6.2.3.5] die Supremumsnorm eine Bewertung auf A_{K} und mit Lemma 2.12 folgt

|l ⊗ m|_{Sp A_{K}} = |(f ⊗ g)(l ⊗ m)|_{sup} = |f(l) · g(m)|_{sup}
= |f(l)|_{sup} · |g(m)|_{sup} = |l|_{Sp A_{K}} · |m|_{Sp A_{K}} .

Damit folgt die Behauptung.

Lemma 2.15. Sei p : Y ⟶ X ein Morphismus formeller Schemata, y ∈ Y und L ein Geradenbündel auf X. Dann ist

a) |p^{∗}l(y)| = |l(p(y))| für alle l ∈ L_{p(y)} und

b) |p^{∗}l|_{Y_{K}} ≤ |l|_{X_{K}} für alle l ∈ Γ(X_{K}, L_{K}) .

\underline{Beweis:} Zu a) Der Rücktransport einer Trivialisierung von L mittels p ist eine Trivialisierung von p^{∗} L. Da p eine isometrische Einbettung von k(p(y)) in k(y) induziert, folgt die Behauptung aus der Definition der Norm. Behauptung b) folgt aus a).

Lemma 2.16. Sei l_{K} ∈ Γ(X_{K}, L_{K}) . Dann gilt

|l_{K}|_{X_{K}} ≤ 1 ⟺ es gibt ein l ∈ Γ(X, L) mit l_{K} = l ⊗_{R} K .

\underline{Beweis:} Sei Spf A^{i} eine offene Überdeckung von X, auf der L trivialisiert ist

f^{i} : L|_{Spf A^{i}} ⟶^{∼} O_{Spf A^{i}} , f i_{K} : L_{K}|_{Sp A_{K}^{i}} ⟶^{∼} O_{Sp A_{K}^{i}} .

Für a_{i} := f i_{K}(l_{K}|_{Sp A_{K}^{i}}) ∈ Ai_{K} gilt

|a_{i}|_{sup} ≤ 1 ⟺ a_{i} ∈ A^{i}

und die (f^{i})^{−1}(a_{i}) ∈ L(Spf A^{i}) setzen sich zu einem globalen Schnitt l ∈ Γ(X, L) zusammen, für den l_{K} = l ⊗_{R} K ist.

2.3 Descent

Wir möchten hier kurz erklären, welches Problem die Descent-Theorie löst und dies von der algebraischen auf die formelle Situation übertragen. Für eine ausführliche Darstellung siehe [BLR, Kapitel 6]. Die Descent-Theorie beschäftigt sich mit folgendem Problem.

Sei p : S′ ⟶ S ein Morphismus von Schemata, und p^{∗} : F ⟼ p^{∗}F der Funktor, der jedem quasikohärenten O_{S}-Modul F den Rücktransport unter p zuordnet. Die Frage lautet nun, was das Bild dieses Funktors ist, das heißt unter welchen Bedingungen ein quasikohärenter O_{S′}-Modul F′ von einem quasikohärenten O_{S}-Modul kommt. Wir betrachten S′′ := S′ ×_{S} S′ und p_{i} : S′′ ⟶ S′ die Projektion auf den i-ten Faktor (i = 1, 2) . Für jeden quasikohärenten O_{S′}-Modul F′ nennen wir einen S′′-Isomorphismus

θ : p_{1}^{∗}F′ ⟶^{∼} p_{2}^{∗}F′

ein Überdeckungs-Datum auf F′. Jeder quasikohärente O_{S}-Modul F liefert ein kanonisches Überdeckungs-Datum auf p^{∗}F , nämlich den natürlichen Isomorphismus

p_{1}^{∗}(p^{∗}F) ≅ (p ∘ p_{1})^{∗}F = (p ∘ p_{2})^{∗}F ≅ p_{2}^{∗}(p^{∗}F) .

Sei S′′′ := S′ ×_{S} S′ ×_{S} S′ und seien p_{ij} : S′′′ ⟶ S′′ die Projektionen auf die Faktoren mit Indizes i und j für i < j, i, j = 1, 2, 3 . Damit ein quasikohärenter O_{S′}-Modul F′ mit Überdeckungs-Datum θ : p_{1}^{∗}F′ ⟶^{∼} p_{2}^{∗}F′ von einem quasikohärenten O_{S}-Modul herkommt, ist es notwendig, daß das Diagramm

[figure: p_{12}^{∗}p_{1}^{∗} F′; p_{13}^{∗}p_{1}^{∗} F′; p_{12}^{∗}p_{2}^{∗} F′ = p_{23}^{∗}p_{1}^{∗} F′; p_{23}^{∗}p_{2}^{∗} F′; p_{13}^{∗}p_{2}^{∗} F′; p_{12}^{∗}θ; p_{23}^{∗}θ; p_{13}^{∗}θ]

kommutativ ist. Falls nämlich F′ der Rücktransport eines quasikohärenten O_{S}-Moduls F und θ das natürliche Überdeckungs-Datum ist, so sind alle Isomorphismen in obigem Diagramm die kanonischen und das Diagramm folglich kommutativ. Die Kommutativität dieses Diagramms wird die Kozykelbedingung für θ genannt und kurz als

p_{13}^{∗}θ = p_{23}^{∗}θ ∘ p_{12}^{∗}θ

geschrieben. Ein Überdeckungsdatum auf F′, das die Kozykelbedingung erfüllt, heißt ein Descent-Datum auf F′ bezüglich p. Die Paare (F′, θ) von quasikohärenten O_{S′}-Moduln mit Descent-Datum bilden eine Kategorie. Ein Morphismus

φ : (F′, θ) ⟶ (G′, η)

zweier solcher Objekte besteht aus einem S′-Morphismus φ : F′ ⟶ G′, der kompatibel mit den Descent-Daten θ und η ist. Dies bedeutet, daß folgendes Diagramm

[figure: p_{1}^{∗}F′; p_{1}^{∗}G′; p_{2}^{∗}F′; p_{2}^{∗}G′; p_{1}^{∗}φ; p_{2}^{∗}φ; θ; η]

kommutativ ist. Es gilt nun der folgende Satz.

Satz 2.17. (A. Grothendieck) Sei p : S′ ⟶ S ein treu-flacher, quasikompakter Morphismus von Schemata. Dann ist der Funktor p^{∗} : F ⟼ p^{∗}F von der Kategorie der quasikohärenten O_{S}-Moduln in die Kategorie der quasikohärenten O_{S′}-Moduln mit Descent-Datum eine Äquivalenz von Kategorien.

Beweis: siehe [BLR, Theorem 6.1.4].

Analog zu der Descent-Theorie für (algebraische) Schemata wollen wir nun eine Descent-Theorie für zulässige, formelle R-Schemata entwickeln.

Sei also p : S′ ⟶ S ein Morphismus zulässiger, formeller R-Schemata. Ein Descent-Datum auf einem kohärenten O_{S′}-Modul F′ ist wie oben ein S′′-Isomorphismus

θ : p_{1}^{∗}F′ ⟶^{∼} p_{2}^{∗}F′ ,

der die Kozykelbedingung erfüllt. Es gilt folgender Satz.

Satz 2.18. Sei p : S′ ⟶ S ein treu-flacher, quasikompakter Morphismus zulässiger, formeller R-Schemata. Dann ist der Funktor p^{∗} : F ⟼ p^{∗}F von der Kategorie der kohärenten O_{S}- Moduln in die Kategorie der kohärenten O_{S′}-Moduln mit Descent-Datum eine Äquivalenz von Kategorien.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Sei F′ ein kohärenter O_{S′}-Modul und

θ : p_{1}^{∗}F′ ⟶^{∼} p_{2}^{∗}F′

ein Descent-Datum auf F′. Nach Basiswechsel mit Spec R_{n} ⟶ Spf R ist

p_{n} : S′_{n} := S′ ×_{R} R_{n} ⟶ S_{n} := S ×_{R} R_{n}

ein treu-flacher, quasikompakter Morphismus (algebraischer) Schemata, sowie F′_{n} := F′⊗_{R}R_{n} ein kohärenter O_{S′_{n}}-Modul und

θ_{n} : p_{1}^{∗}F′_{n} ⟶^{∼} p_{2}^{∗}F′_{n}

ein Descent-Datum auf F′_{n}. Nach Satz 2.17 gibt es somit einen kohärenten O_{S_{n}}-Modul F_{n} und einen S′_{n}-Isomorphismus

φ_{n} : p^{∗}F_{n} ⟶^{∼} F′_{n}

mit θ_{n} = (p_{1}^{∗}φ_{n}) ∘ (p_{2}^{∗}φ_{n})^{−1} .

\underline{2.} Wir betrachten nun den Morphismus j : S_{n} ⟶ S_{n+1} . Auf S′_{n} gibt es einen Isomorphismus der beiden kohärenten Moduln mit Descent-Daten

(p_{n}^{∗}j^{∗}F_{n+1}, id) ⟶^{∼} (p_{n}^{∗}F_{n}, id) ,

denn beide sind isomorph zu (F′_{n}, θ_{n}) . Nach Satz 2.17 gibt es somit einen Isomorphismus

j^{∗}F_{n+1} ⟶^{∼} F_{n} .

Zusammen mit dem kanonischen Morphismus

F_{n+1} ⟶ F_{n+1} ⊗_{R_{n+1}} R_{n} = j^{∗}F_{n+1}

erhalten wir ein inverses System von Garben auf dem topologischen Raum S_{0} . Somit existiert nach [Ha, Proposition II.9.6] ein kohärenter O_{S}-Modul F und es ist F_{n} ≅ F/π^{n+1}F . Die Isomorphismen

p^{∗}F/π^{n+1} p^{∗}F ≅ p^{∗}F_{n} ⟶^{∼} F′_{n} ≅ F′/π^{n+1}F′

sind miteinander kompatibel und liefern einen Isomorphismus φ : p^{∗}F ⟶^{∼} F′. Da für jede Stufe gilt θ_{n} = (p_{1}^{∗}φ_{n}) ∘ (p_{2}^{∗}φ_{n})^{−1} , gilt auch im Limes

θ = (p_{1}^{∗}φ) ∘ (p_{2}^{∗}φ)^{−1} .

Dies bedeutet, daß φ auch ein Isomorphismus der Descent-Daten ist.

\underline{3.} Es bleibt noch zu zeigen, daß für je zwei kohärente O_{S}-Moduln F und G die Abbildung

p^{∗} : Hom_{S}(F, G) ⟶ Hom_{S′}((p^{∗}F, id), (p^{∗}G, id))

bijektiv ist. Sie ist injektiv, da p^{∗} treu ist. Um zu zeigen, daß sie surjektiv ist, betrachten wir einen Morphismus

ψ : (p^{∗}F, id) ⟶ (p^{∗}G, id)

von O_{S′}-Moduln mit Descent-Daten. Dieser induziert Morphismen ψ_{n} auf den Stufen. Nach Satz 2.17 gibt es eindeutig bestimmte Morphismen

φ_{n} : F_{n} ⟶ G_{n}

mit ψ_{n} = p^{∗}φ_{n}. Wegen der Eindeutigkeit sind diese miteinander verträglich und liefern einen Morphismus φ : F ⟶ G. Da der Morphismus p^{∗}φ auf den Stufen ebenfalls die Morphismen ψ_{n} induziert und nach [Ha, Proposition II.9.6]

p^{∗}F = lim_{⟵} p^{∗}F/π^{n+1}p^{∗}F

gilt, folgt wegen der universellen Eigenschaft des inversen Limes, daß p^{∗}φ = ψ ist.

18 KAPITEL 2. GRUNDLAGEN

Semistabile Modelle

Wir fordern in Satz 4.5 , daß X_{K} ein strikt semistabiles, formelles Modell besitzt. In diesem Kapitel wollen wir erläutern, was wir unter dem Begriff verstehen.

Wie zuvor sei R ein vollständiger, diskreter Bewertungsring mit Uniformisierender π, Quotientenkörper K und Restklassenkörper k = R/(π) , sowie R_{n} := R/(π^{n+1}) .

3.1 Definition und erste Eigenschaften

In Anlehnung an A.J. de Jong [dJ, Definition 2.16] definieren wir:

Definition 3.1. Sei X ein zulässiges, formelles R-Schema. Seien X_{0}^{ν} , ν ∈ N die irreduziblen Komponenten der speziellen Faser X_{0} von X. Für M ⊆ N definieren wir

X_{0}^{M} := ⋂_{ν∈M} X_{0}^{ν}

als den schematheoretischen Durchschnitt. X heißt strikt semistabil über R, falls gilt:

a) X_{rig} ist rigid glatt über K,

b) X_{0} ist geometrisch reduziert,

c) für alle ν ∈ N ist X_{0}^{ν} ein Divisor auf X und

d) für alle M ⊆ N ist X_{0}^{M} glatt über k und equidimensional von der Dimension dim X − #M .

Bemerkung 3.1.1. In der Tat ist Bedingung a) eine Konsequenz der Bedingungen b) bis d) (vergleiche Satz 3.4). Bemerkung 3.1.2. Wir werden später sehen, daß jedes strikt semistabile, zulässige, formelle R-Schema regulär ist (siehe Korollar 3.5).

Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften beschreiben, die strikt semistabile, zulässige, formelle R-Schemata besitzen.

Lemma 3.2. Sei X ein strikt semistabiles, zulässiges, formelles R-Schema und x ∈ X_{0} ein abgeschlossener Punkt der speziellen Faser.

Dann ist dim O_{X,x} = dim X.

\underline{Beweis:} Ohne Einschränkung liege x auf X_{0}^{1} . Sei t ∈ O_{X,x} eine Erzeugende des zum Divisors X_{0}^{1} gehörenden Ideals. Wegen X_{0}^{1} ⊆ X_{0} gilt π ∈ (t) in O_{X,x}. Da X flach ist über R, ist π Nichtnullteiler in O_{X,x} und folglich t ebenso. Deshalb gilt

dim O_{X,x} = dim O_{X,x}/(t) + 1

nach [AM, Corollary 11.18]. Da X_{0}^{1} nach Bedingung d) von Definition 3.1 glatt über k ist, gilt

dim O_{X,x}/(t) = dim O_{X_{0}^{1},x} = dim X_{0}^{1} = dim X − 1 .

Damit folgt die Behauptung.

Es gilt die folgende lokale Beschreibung strikt semistabiler, zulässiger, formeller R-Schemata.

Satz 3.3. Sei X ein strikt semistabiles, zulässiges, formelles R-Schema und x ∈ X_{0} ein Punkt der speziellen Faser. x liege auf den irreduziblen Komponenten X_{0}^{1} , …, X_{0}^{r} und nicht auf den anderen Komponenten von X_{0} .

Dann gibt es eine offene, affine Umgebung Spf A von x, so daß die Komplettierung von A nach dem zu X_{0}^{{1,... ,r}} gehörenden Ideal I ⊆ A von der Form

Â^{I} ≅ C [[ξ_{1}, …, ξ_{r}]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π)

für eine glatte, zulässige, formelle R-Algebra C ist.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Nach Verkleinerung von X zu einer affinen Umgebung Spf A von x sei ξ_{ν} ∈ A ein Erzeuger des zum Divisors X_{0}^{ν} gehörenden Ideals.

Wir betrachten nun die Komplettierung X̂ := X̂^{Z_{0}} von X nach dem abgeschlossenen Unterschema Z_{0} := X_{0}^{{1,... ,r}}. Gemäß Bedingung d) von Definition 3.1 ist Z_{0} glatt über k. Somit läßt sich nach erneuter Verkleinerung von X ein glattes, zulässiges, formelles R-Schema Z finden,

[figure: Z_{0}; Spec k; Z; Spf R]

welches eine Ausdehnung von Z_{0} ist ([FRG, II, Lemma 1.4 a]). Mit X = Spf A sind auch Z_{0} = Spec C_{0} und Z = Spf C affin. Nach eventuell nochmaliger Verkleinerung von X ist C_{0} und damit auch C integer (Lemma 2.5). Dabei ist Z_{0} durch das Ideal I := (ξ_{1}, …, ξ_{r}, π) gegeben. Seien jetzt A_{n} := A/I^{n+1} und C_{n} := C/(π^{n+1}) . Da C über R formal glatt ist in der (π)-adischen Topologe, sind die C_{n} glatt über R_{n} := R/(π^{n+1}) . Auf der Stufe 0 ist C/(π) = C_{0} = A/I und wir haben somit den Morphismus

α_{0} = id : C/(π) ⟶ A/I .

In A/I^{2} gilt für das Ideal J := I/I^{2} die Gleichung J^{2} = 0 . Da C_{1} über R_{1} glatt ist, dehnt sich α_{0} aus zu einem Morphismus α_{1}

[figure: R_{0}; R_{1}; C_{0}; C_{1}; A_{0}; A_{1}; α_{0}; α_{1}]

und analog zu Morphismen α_{n} : C_{n} ⟶ A_{n} ([BLR, Proposition 2.2.6]). Diese sind miteinander verträglich und liefern den Morphismus

α : C ⟶ Â^{I} .

\underline{2.} In Divisoren-Schreibweise bedeutet Bedingung b) von Definition 3.1

div(π) = ∑_{ν∈N} X_{0}^{ν} .

In einer geeigneten offenen Umgebung Spf A von x gilt also

div(π) = X_{0}^{1} + … + X_{0}^{r} ,

das heißt π = u ξ_{1} · . . . · ξ_{r} für eine Einheit u ∈ A^{×}. Nachdem wir u ξ_{1} durch ξ_{1} ersetzen, gilt auf X die Gleichung π = ξ_{1} · . . . · ξ_{r}.

Der Produkt-Morphismus von α mit dem Morphismus β : ξ_{i} ↦ ξ_{i}

(α, β) : C [[ξ_{1}, …, ξ_{r}]] ⟶ Â^{I}

faktorisiert folglich durch den Ring

γ : B := C [[ξ_{1}, …, ξ_{r}]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π) ⟶ Â^{I} .

\underline{3.} Wir wollen zeigen, daß γ ein Isomorphismus ist. Dazu zunächst die

Behauptung: γ ist surjektiv.

Nach [AM, Lemma 10.23] genügt es zu zeigen, daß der Morphismus der assoziierten graduierten Ringe surjektiv ist. Die Topologie der beiden Ringe B und Â^{I} ist dabei durch das Ideal (ξ_{1}, …, ξ_{r}) gegeben. Es ist nun B/(ξ_{1}, …, ξ_{r}) = C_{0} = A/I. Ferner wird I^{n}/I^{n+1} von den Monomen vom Grade n in den ξ_{1}, …, ξ_{r} erzeugt. Also ist der Morphismus der graduierten Ringe surjektiv und auch γ surjektiv.

Da C integer und R [[ξ_{1}, …, ξ_{r}]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π) geometrisch integer ist, ist auch B integer. Also genügt es nun zu zeigen, daß die Dimensionen von B und Â^{I} gleich sind. Es ist

dim B = dim C + (r − 1) = 1 + dim C_{0} + r − 1
= dim C_{0} + r = dim Z_{0} + r = dim X = dim A ,

denn dim C = 1 + dim C_{0} nach [AM, Corollary 11.18], da C flach über R und folglich π Nichtnullteiler in C ist. Die vorletzte Gleichheit gilt wegen Bedingung d) von Definition 3.1 .

\underline{4.} Damit γ ein Isomorphismus ist, bleibt nun noch zu zeigen, daß dim A = dim Â^{I} ist.

Dazu sei 𝔫 ⊆ Â^{I} ein maximales Ideal mit dim Â^{I}_{𝔫} = dim Â^{I} . Nach Lemma 2.9 gibt es ein maximales Ideal 𝔪 ⊆ A, welches I enthält, so daß 𝔫 = 𝔪Â^{I} ist und daß die Komplettierungen der lokalen Ringe A_{𝔪} und Â^{I}_{𝔫} isomorph sind. Folglich ist

dim Â^{I} = dim Â^{I}_{𝔫} = dim A_{𝔪} ,

denn die Dimension der noetherschen, lokalen Ringe ist gleich der Dimension ihrer Komplettierungen nach [AM, Corollary 11.19]. Diese ist aber gleich. Die Behauptung folgt nun mit Lemma 3.2.

Satz 3.4. Sei X ein zulässiges, formelles R-Schema. Dann sind äquivalent:

a) X ist strikt semistabil.

b) Jeder abgeschlossene Punkt x ∈ X_{0} der speziellen Faser besitzt eine offene Umgebung, welche für ein r ∈ ℕ formal glatt über dem formellen Schema

Spf R ⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π)

ist und es gilt dim O_{X,x} = dim X.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Sei zunächst X strikt semistabil und x ∈ X_{0} . Die Aussage über die Dimension haben wir bereits in Lemma 3.2 gezeigt.

Ohne Einschränkung liege x auf den irreduziblen Komponenten X_{0}^{1} , …, X_{0}^{r} und nicht auf den anderen Komponenten von X_{0} . Nach Verkleinerung von X zu einer offenen, affinen Umgebung Spf B von x sei ξ_{ν} ∈ B ein Erzeuger des zum Divisors X_{0}^{ν} gehörenden Ideals. Wie im Beweis von Satz 3.3, Punkt 2. ausgeführt, gilt auf X die Gleichung π = ξ_{1} · . . . · ξ_{r}. Folglich gibt es einen Morphismus

f : X = Spf B ⟶ Spf A =: V ,

wobei A := R ⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π) ist.

Um zu zeigen, daß f formal glatt in x ist, müssen wir nach [FRG, II, Lemma 1.2] zeigen, daß f in x flach und die Faser

f_{0} : X_{0} ⟶ V_{0} = Spec k [ξ_{1}, …, ξ_{r}]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r})

in x glatt ist.

\underline{2.} Wir zeigen zunächst, daß f in x flach ist. Zu dem Punkt v := f(x) in V gehört das maximale Ideal I := (ξ_{1}, …, ξ_{r}) von A. Wir betrachten die Komplettierung

Â^{I} = R [[ξ_{1}, …, ξ_{r}]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π)

von A nach I. Diese ist gleich der Komplettierung des lokalen Ringes A_{v} nach Lemma 2.9 . Die IB-adische Komplettierung B̂ von B ist nach Satz 3.3 flach über Â^{I} . Da Lokalisieren und Komplettieren flache Operationen sind, ist somit auch die maximal-adische Komplettierung (B̂_{x})^{∧} der Lokalisierung von B̂ nach dem zu x gehörenden maximalen Ideal flach über Â^{I} . Nach Lemma 2.9 ist aber (B̂_{x})^{∧} gleich der Komplettierung des lokalen Ringes B_{x}. Nun besagt [Bo, Proposition III.5.4.4] angewandt auf den A_{v}-Modul B_{x}, daß B_{x} flach über A_{v} ist. Also ist f in x flach.

\underline{3.} Um zu zeigen, daß f_{0} in x glatt ist, genügt es nach [BLR, Proposition 2.4.8] zu zeigen, daß f_{0} in x flach ist und daß die Faser X_{0} ×_{V_{0}} k(v) über k(v) = k in x glatt ist.

Da f in x flach ist, ist auch f_{0} in x flach.

Die Faser über v ist gleich

V(ξ_{1}, …, ξ_{r}) = X_{0}^{{1,... ,r}} ⟶ Spec k

und somit glatt nach Bedingung d) von Definition 3.1 . Alles zusammen zeigt, daß f formal glatt in x ist. Da der formal glatte Ort von f offen ist, gibt es eine offene Umgebung von x, auf der f formal glatt ist. Damit ist die Notwendigkeit der Bedingung b) gezeigt.

\underline{4.} Wir zeigen nun noch, daß b) auch hinreichend für a) ist. Sei also die Bedingung b) erfüllt.

Die vier Eigenschaften aus Definition 3.1 sind wegen dim O_{X,x} = dim X lokal auf X. Wir können also die Umgebung U aus b) so verkleinern, daß x auf jeder irreduziblen Komponente von U liegt. U ist formal glatt über A := R⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π) von relativer Dimension d.

Da U_{rig} glatt über A ⊗_{R} K und A ⊗_{R} K glatt über K ist, ist auch U_{rig} glatt über K.

Nach [FRG, II, Lemma 1.2] ist U_{0} glatt von relativer Dimension d über A_{0} . Da ferner A_{0} geometrisch reduziert ist, ist nach [BLR, Proposition 2.3.9] auch U_{0} geometrisch reduziert.

Auf U_{0} gilt ξ_{1} · . . . · ξ_{r} = 0 . Deshalb ist jede irreduzible Komponente von U_{0} in einem V(ξ_{i}) enthalten. Da U_{0} glatt über A_{0} ist, hat V(ξ_{i}) dieselbe Dimension wie U_{0}. Die irreduziblen Komponenten von V(ξ_{i}) sind also irreduzible Komponenten von U_{0} und schneiden sich somit in x. Da A_{0}/(ξ_{i}) regulär ist, ist nach [BLR, Proposition 2.3.9] auch V(ξ_{i}) regulär. Deshalb ist V(ξ_{i}) irreduzibel und die irreduziblen Komponenten von U_{0} sind gerade die V(ξ_{i}) . Dies zeigt, daß die irreduziblen Komponenten von X_{0} Divisoren auf X sind.

Der Durchschnitt irreduzibler Komponenten ist von der Form V(ξ_{i} : i ∈ M) und somit glatt von relativer Dimension d über A_{0}/(ξ_{i} : i ∈ M) . Da A_{0}/(ξ_{i} : i ∈ M) Dimension dim A − #M hat, folgt die Behauptung mit d + dim A = dim O_{X,x} = dim X.

Korollar 3.5. Jedes strikt semistabile, zulässige, formelle R-Schema ist regulär.

\underline{Beweis:} Nach Satz 3.4 besitzt jeder Punkt eine Umgebung, die formal glatt über dem regulären formellen Schema

Spf R ⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π) .

ist. Somit ist diese Umgebung regulär nach Satz 2.7 .

Korollar 3.6. Sei X ein strikt semistabiles, zulässiges, formelles R-Schema und R ⊆ R′ eine endliche Ringerweiterung.

a) Ist R ⊆ R′ unverzweigt, so ist X ⊗_{R} R′ strikt semistabil über R′.

b) Ist R ⊆ R′ verzweigt, so gibt es eine zulässige, formelle Aufblasung von X ⊗_{R} R′, welche strikt semistabil über R′ ist.

\underline{Beweis:} Behauptung a) ist klar, da die Uniformisierende π von R auch Uniformisierende von R′ ist.

Behauptung b) folgt mit Lemma 3.10 .

Während jede glatte, affinoide, rigid analytische Kurve ein strikt semistabiles, formelles Modell besitzt (verwende [BL 1, Theorem 7.1]), ist dies für höherdimensionale rigid analytische Varietäten eine offene Frage.

Vermutung 3.7. Sei X_{K} eine glatte, quasikompakte, rigid analytische Varietät über K.

Dann existiert nach einer endlichen Körpererweiterung K′ von K ein strikt semistabiles, formelles Modell von X_{K} ⊗_{K} K′.

\underline{Heuristik:} Wir argumentieren induktiv über die Dimension von X_{K} . Da X_{K} glatt von relativer Dimension d über K ist, können wir X_{K} lokal als glatte Kurvenfaserung f_{K} : X_{K} ⟶ 𝔻d−1_{K} =: S_{K} schreiben.

Nach [Lü 2, Theorem 5.9] besitzt f_{K} étale-lokal auf X_{K} ein formelles Modell f : X ⟶ S, so daß f flach ist mit geometrisch reduzierten Fasern. Die Singularitäten von f sind schlimmstenfalls gewöhnliche Mehrfachpunkte.

Wenn es gelänge, hierbei ”étale lokal auf X_{K}“ zu streichen, so würde die Methode von A.J. de Jong [dJ] mit dem Modulraum der stabilen Kurven zum Ziel führen. Sie ergibt, daß die Singularitäten von f schlimmstenfalls gewöhnliche Doppelpunkte sind. Auch bei dieser Methode müßte sich noch die Einschränkung ”étale lokal“ streichen lassen. Es gibt jedoch derzeit keine Hinweise, wie sich dies erreichen ließe.

Da wir in der Lage sind einen treu-flachen, quasikompakten Abstieg durchzuführen (Satz 5.9) ist für unsere Zwecke in dieser Arbeit eine erheblich schwächere Vermutung ausreichend. Für sie besteht ein konkreter Ansatz.

Vermutung 3.8. Sei X_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K.

Dann existiert nach einer endlichen Körpererweiterung von K ein étaler, surjektiver, quasikompakter Morphismus X′_{K} ⟶ X_{K} für eine rigid analytische Varietät X′_{K} , welche ein strikt semistabiles, formelles Modell besitzt.

\underline{Heuristik:} Auch hier argumentieren wir induktiv über die Dimension von X_{K} und schreiben X_{K} lokal als glatte Kurvenfaserung f_{K} : X_{K} ⟶ 𝔻d−1_{K} =: S_{K} . Nach [Lü 2, Theorem 5.9] besitzt f_{K} erneut étale-lokal auf X_{K} ein formelles Modell f : X ⟶ S, so daß f flach ist mit geometrisch reduzierten Fasern. Die Singularitäten von f sind wieder schlimmstenfalls gewöhnliche Mehrfachpunkte.

Nun genügt es aber, diesen Satz dahingehend zu verbessern, daß f eine split semistabile Kurve ist. Dann könnten wir den Beweis der Vermutung analog zu [dJ, 6.16] erbringen. Wir führen dies genauer aus. Nach Induktionsannahme besitzt S_{K} étale lokal ein strikt semistabiles, formelles Modell S′. Wir führen einen Basiswechsel mit S′ durch. Dann hat X lokal in einem singulären Punkt x die Gestalt

Ô_{X,x} ≅ C[[ξ_{1}, … ξ_{r}]][[u, v]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π, uv − ξ_{1}^{n_{1}} · . . . · ξ_{r}^{n_{r}})

(vergleiche [dJ, 3.4] und Satz 3.3). Durch Aufblasen der Ideale (u, v, ξ_{i}) in X verringern wir die Exponenten n_{i} jeweils um 2 , so daß schließlich n_{i} ∈ {0, 1} ist. Nun führen wir die restliche Desingularisierung durch wie in Lemma 3.9 beschrieben. Wir erhalten so ein strikt semistabiles Modell X′ von X_{K} (vergleiche [dJ, 3.6]).

Warum besteht nun Grund zu der Annahme daß sich [Lü 2, Theorem 5.9] wie beschrieben verbessern läßt? Der Beweis dieses Satzes beruht darauf, zunächst X_{K} in eine glatte, projektive Kurve \overline{f}_{K} : \overline{X}_{K} ⟶ S_{K} einzubetten. Dies ist étale-lokal auf S_{K} und X_{K} möglich ([Lü 2, Theorem 5.3]). Diese besitzt eine semistabile Kurve \overline{f} : \overline{X} ⟶ S als formelles Modell ([Lü 2, Theorem 5.2]). Die Schwierigkeit in [Lü 2, Theorem 5.9] ist nun, X_{K} als formell offenen Teil von \overline{X} zu realisieren. Dabei geht die Semistabilität von \overline{f} verloren.

Die Methoden von [dJ] sollten es jedoch ermöglichen, ausgehend von \overline{f} eine split semistabile, projektive Kurve \overline{X}′ über S′ mit S′_{K} étale über S_{K} zu finden, die eine formell offene Teilmenge X′_{K} enthält, welche étale über X_{K} ist.

Die vollständige Ausführung dieses Ansatzes würde allerdings den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Deshalb wollen wir die Vermutung hier als richtig annehmen. Wir benützen sie im Beweis der universellen Eigenschaft der Picard-Varietäten (Sätze 5.11 und 5.12).

Die Vermutung 3.7 ist aber eine aktuelle Frage von allgemeinem Interesse, die aufgegriffen werden sollte.

3.2 Desingularisierung

Sowohl im Studium strikt semistabiler Modelle, als auch bei der Ausdehnung von rigiden zu formellen Geradenbündeln benötigen wir gewisse Desingularisierungsprozeduren. Wir wollen diese hier darstellen. Damit reichen wir auch noch fehlende Argumente im Beweis von Korollar 3.6 und in der Heuristik zu Vermutung 3.8 nach.

Seien nun X_{K} und V_{K} glatte, rigid analytische Varietäten über K mit strikt semistabilen, formellen Modellen X beziehungsweise V .

Sei ferner R ⊆ R′ eine verzweigte Erweiterung diskreter Bewertungsringe. Der Quotientenkörper von R′ sei K′. Die Uniformisierende von R′ sei π′, so daß π = u′ · (π′)^{e} für eine Einheit u′ in R′ ist. Dabei ist e ∈ ℕ der Verzweigungsindex.

Bei der Ausdehnung von Geradenbündeln handelt es sich um folgende Fragestellungen.

1. Sei L_{K} ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} . Läßt sich L_{K} zu einem Geradenbündel L auf X ×_{R} V ausdehnen?

2. Sei L_{K} ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} K′. Läßt sich L_{K} zu einem Geradenbündel L auf X ×_{R} R′ ausdehnen?

Wir wollen zeigen (Satz 4.14), daß beides lokal auf X möglich ist, falls im ersten Fall das rigide Testschema V_{K} folgende Bedingung erfüllt:

(∗) V_{K} sei eine glatte, rigid analytische Varietät über K, welche ein strikt semistabiles, formelles Modell V habe. V sei formal glatt über dem formellen Schema

Spf R ⟨ζ_{1}, …, ζ_{n}⟩/(ζ_{1} · . . . · ζ_{n} − π) .

Die Strata V_{0}^{M} (siehe Definition 3.1) seien geometrisch irreduzibel für alle M . Der Durchschnitt aller dieser Strata sei nicht leer.

Zunächst wollen wir erklären, wie wir eine Desingularisierung von X ×_{R} V beziehungsweise X ×_{R} R′ erhalten können. Dies führt zu Desingularisierungen von Objekten der folgenden Form.

Lemma 3.9. Für m ≥ 1 und n ≥ 1 seien A und B die folgenden formellen R-Algebren

A = R ⟨ξ_{1}, …, ξ_{m}⟩ / (ξ_{1} · . . . · ξ_{m} − π) ,
B = R ⟨ζ_{1}, …, ζ_{n}⟩ / (ζ_{1} · . . . · ζ_{n} − π) .

Es gibt es eine Desingularisierung von A ˆ⊗_{R} B, welche erhalten wird als Sequenz

Spf (A ˆ⊗_{R} B) = Y^{0} ⟵ Y^{1} ⟵ … ⟵ Y^{r}

von Aufblasungen in offenen Idealen

I^{ρ} ⊆ O_{Y^{ρ}} für ρ = 0, …, r − 1

die lokal von zwei Elementen erzeugt werden. Es gilt:

a) Die Y^{ρ} sind normal für ρ = 0, …, r.

b) Y^{r} ist strikt semistabil, also insbesondere regulär.

c) Bei jeder Aufblasung haben die irreduziblen Komponenten des Zentrums Z^{ρ} die Form

V(ξ_{i}, i ∈ M) ×_{k} V(ζ_{j}, j ∈ N) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α} , M ⊆ {1, …, m} , N ⊆ {1, …, n} .

Sie besitzen alle einen gemeinsamen Punkt oberhalb (ξ_{1}, …, ξ_{m}, ζ_{1}, …, ζ_{n}, π) . Insbesondere ist Z^{ρ} zusammenhängend.

d) Die zurückgezogene Garbe I^{ρ} · O_{Y^{ρ+1}} induziert das Geradenbündel O_{ℙ^{1}}(1) auf den Fasern über allen Punkten von Z^{ρ}.

\underline{Beweis:} Für 1 ≤ μ ≤ m und 1 ≤ ν ≤ n sei C die formelle R-Algebra

R ⟨ξ_{1}^{(r_{1})}, …, ξ_{m}^{(r_{m})}, ζ_{1}^{(s_{1})}, …, ζ_{n}^{(s_{n})}⟩

in den Unbestimmten ξ_{1}^{(r_{1})}, …, ξ_{m}^{(r_{m})}, ζ_{1}^{(s_{1})}, …, ζ_{n}^{(s_{n})} modulo der Relationen

\begin{aligned}ξ_{μ}^{(r_{μ})} · . . . · ξ_{m}^{(r_{m})} − ζ_{ν}^{(s_{ν})} · . . . · ζ_{n}^{(s_{n})} & = & 0 und \\ ξ_{1}^{(r_{1})} · . . . · ξ_{m}^{(r_{m})} · ζ_{1}^{(s_{1})} · . . . · ζ_{ν−1}^{(s_{ν−1})} − π & = & 0 . \end{aligned}

Um die Zentren der Aufblasungen kontrollieren zu können, die wir bei der Desingularisierung von Aˆ⊗_{R}B verwenden, bezeichnen wir die Unbestimmten hier mit ξ_{i}^{(r_{i})} und ζ_{j}^{(s_{j})} . Die

ursprünglichen Variablen ξ_{i} und ζ_{j} sind Vielfache der ξ_{i}^{(r_{i})} und ζ_{j}^{(s_{j})} . Die bei den Auf-

blasungen neu hinzukommenden Unbestimmten heißen entsprechend ξ_{i}^{(1+r_{i})} und ζ_{j}^{(1+s_{j})} . Beginnend mit μ = ν = 1 und r_{i} = s_{j} = 0 für alle i und j konstruieren wir nun schrittweise eine Desingularisierung von C.

Nach [Ei, Propositionen 18.2 und 18.13] ist C Cohen-Macaulay, da die beiden Relationen, die C beschreiben, eine reguläre Sequenz auf

R ⟨ξ_{1}^{(r_{1})}, …, ξ_{m}^{(r_{m})}, ζ_{1}^{(s_{1})}, …, ζ_{n}^{(s_{n})}⟩

bilden. Ferner ist C regulär in allen Primidealen, die nur eines der ξ_{μ}^{(r_{μ})}, …, ξ_{m}^{(r_{m})} enthalten. Sei 𝔭 ein Primideal, in dem C nicht regulär ist. Dann enthält 𝔭 zwei verschiedene ξ_{i}^{(r_{i})} und ξ_{j}^{(r_{j})}

mit i, j ≥ μ. Da (ξ_{i}^{(r_{i})}, ξ_{j}^{(r_{j})}) eine reguläre Sequenz auf C ist, hat 𝔭 Tiefe ≥ 2 und somit auch Kodimension ≥ 2 nach [Ei, Proposition 18.2]. Das heißt, C ist regulär in Kodimension eins und folglich normal nach dem Kriterium von Serre ([Ei, Theorem 11.5]).

Ferner folgt, falls μ = m oder ν = n ist, daß C strikt semistabil ist.

Seien nun μ < m und ν < n. Wir führen Induktion nach max{ m − μ, n − ν }. Wir blasen das offene Ideal (ξ_{μ}^{(r_{μ})}, ζ_{ν}^{(s_{ν})}) auf. Das Zentrum Z der Aufblasung zerfällt wie folgt in irreduzible Komponenten:

Z = V (ξ_{μ}^{(r_{μ})}, ξ_{μ+1}^{(r_{μ+1})} · . . . · ξ_{m}^{(r_{m})}, ζ_{ν}^{(s_{ν})}, ζ_{ν+1}^{(s_{ν+1})} · . . . · ζ_{n}^{(s_{n})}, π)

= ⋃_{κ=μ+1}^{m} ⋃_{λ=ν+1}^{n} V (ξ_{μ}^{(r_{μ})}, ξ_{κ}^{(r_{κ})}, ζ_{ν}^{(s_{ν})}, ζ_{λ}^{(s_{λ})}, π) .

Die Projektion Y^{ρ} ⟶ Y^{0} bildet die Komponente V (ξ_{μ}^{(r_{μ})}, ξ_{κ}^{(r_{κ})}, ζ_{ν}^{(s_{ν})}, ζ_{λ}^{(s_{λ})}, π) surjektiv auf

V(π, ξ_{i}, i ∈ M) ×_{k} V(π, ζ_{j}, j ∈ N) ⊆ Y^{0}

ab, wobei M die Menge der i und N die Menge der j ist, für die ξ_{i} = ξ_{i}^{(0)} beziehungsweise ζ_{j} = ζ_{j}^{(0)} in dem Ideal (ξ_{μ}^{(r_{μ})}, ξ_{κ}^{(r_{κ})}, ζ_{ν}^{(s_{ν})}, ζ_{λ}^{(s_{λ})}) liegt. Die nach dem Ausdividieren die-

ses Ideals verbleibenden Koordinaten ξ_{i}^{(r_{i})} und ζ_{j}^{(s_{j})} , welche einen Exponenten r_{i} ≥ 1 beziehungsweise s_{j} ≥ 1 haben, bilden die freien Koordinaten von projektiven Geraden. Also sind die Fasern der Projektion isomorph zu (ℙ_{k}^{1})^{α} und die irreduzible Komponente isomorph zu

V(π, ξ_{i}, i ∈ M) ×_{k} V(π, ζ_{j}, j ∈ N) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α} .

Alle irreduziblen Komponenten des Zentrums Z schneiden sich in

V (ξ_{μ}^{(r_{μ})}, …, ξ_{m}^{(r_{m})}, ζ_{ν}^{(s_{ν})}, …, ζ_{n}^{(s_{n})}, π)

und enthalten somit alle den Punkt

V (ξ_{1}^{(r_{1})}, …, ξ_{m}^{(r_{m})}, ζ_{1}^{(s_{1})}, …, ζ_{n}^{(s_{n})}, π) ≅ Spec k

oberhalb des Punktes (ξ_{1}, …, ξ_{m}, ζ_{1}, …, ζ_{n}, π) .

Wir erhalten zwei Karten der Aufblasung Y′:

• ξ_{μ}^{(r_{μ})} = ζ_{ν}^{(s_{ν})} · ξ_{μ}^{(1+r_{μ})} : Die Relationen sind dort äquivalent zu

\begin{aligned}ξ_{μ}^{(1+r_{μ})} · . . . · ξ_{m}^{(r_{m})} − ζ_{ν+1}^{(s_{ν+1})} · . . . · ζ_{n}^{(s_{n})} & = & 0 und \\ ξ_{1}^{(r_{1})} · . . . · ξ_{μ}^{(1+r_{μ})} · . . . · ξ_{m}^{(r_{m})} · ζ_{1}^{(s_{1})} · . . . · ζ_{ν}^{(s_{ν})} − π & = & 0 . \end{aligned}

Somit wurde die Zahl ν um 1 erhöht, während μ gleich blieb und die Induktionshypothese läßt sich anwenden. Die Zahl r_{μ} wurde dabei ebenfalls um 1 erhöht.

• ζ_{ν}^{(s_{ν})} = ξ_{μ}^{(r_{μ})} · ζ_{ν}^{(1+s_{ν})} : Die Relationen sind dort äquivalent zu

\begin{aligned}ξ_{μ+1}^{(r_{μ+1})} · . . . · ξ_{m}^{(r_{m})} − ζ_{ν}^{(1+s_{ν})} · . . . · ζ_{n}^{(s_{n})} & = & 0 und \\ ξ_{1}^{(r_{1})} · . . . · ξ_{m}^{(r_{m})} · ζ_{1}^{(s_{1})} · . . . · ζ_{ν−1}^{(s_{ν−1})} − π & = & 0 . \end{aligned}

Somit wurde die Zahl μ um 1 erhöht, während ν gleich blieb und die Induktionshypothese läßt sich anwenden. Die Zahl s_{ν} wurde dabei ebenfalls um 1 erhöht.

Die zurückgezogene Garbe (ξ_{μ}^{(r_{μ})}, ζ_{ν}^{(s_{ν})})·O_{Y′} induziert das Geradenbündel O_{ℙ^{1}}(1) auf den Fasern über allen Punkten des Zentrums.

Lemma 3.10. Für m ≥ 1 und e ≥ 1 sei A die folgende formelle R-Algebra

A = R ⟨η_{1}, …, η_{m}⟩ / (η_{1} · . . . · η_{m} − π^{e}) .

Falls e = 1 ist, so ist A regulär. Falls e ≥ 2 ist, so gibt es eine Desingularisierung von A, welche erhalten wird als Sequenz

Spf A = Y^{0} ⟵ Y^{1} ⟵ … ⟵ Y^{r}

von Aufblasungen in offenen Idealen

I^{ρ} ⊆ O_{Y^{ρ}} für ρ = 0, …, r − 1

die lokal von zwei Elementen erzeugt werden. Es gilt:

a) Die Y^{ρ} sind normal für ρ = 0, …, r.

b) Y^{r} ist strikt semistabil, also insbesondere regulär.

c) Bei jeder Aufblasung haben die irreduziblen Komponenten des Zentrums Z^{ρ} die Form

V(π, η_{i}, i ∈ M) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α} , M ⊆ {1, …, m} .

Sie besitzen alle einen gemeinsamen Punkt oberhalb (η_{1}, …, η_{m}, π) . Insbesondere ist Z^{ρ} zusammenhängend.

d) Die zurückgezogene Garbe I^{ρ} · O_{Y^{ρ+1}} induziert das Geradenbündel O_{ℙ^{1}}(1) auf den Fasern über allen Punkten von Z^{ρ}.

\underline{Beweis:} Induktion nach e. Beginnend mit ν = 0 desingularisieren wir schrittweise die formelle R-Algebra

C := R ⟨η_{1}^{(ν)}, η_{2}, …, η_{m}⟩ / (η_{1}^{(ν)} · η_{2} · . . . · η_{m} − π^{e−ν})

mit η_{1} = π^{ν} η_{1}^{(ν)} . Diese ist Cohen-Macaulay nach [Ei, Propositionen 18.2 und 18.13], da die Relation, die C beschreibt, Nichtnullteiler in

R ⟨η_{1}^{(ν)}, η_{2}, …, η_{m}⟩

ist. Ferner ist C regulär in allen Primidealen, die nur eines der η_{1}^{(ν)}, η_{2}, …, η_{m} enthalten. Sei 𝔭 ein Primideal, in dem C nicht regulär ist. Dann gibt es zwei verschiedene η_{i} und η_{j} in 𝔭.

Da (η_{i}, η_{j}) eine reguläre Sequenz auf C ist, hat 𝔭 Tiefe ≥ 2 und somit auch Kodimension ≥ 2 nach [Ei, Proposition 18.2]. Das heißt, C ist regulär in Kodimension eins und folglich normal nach dem Kriterium von Serre ([Ei, Theorem 11.5]).

Ferner folgt, falls e − ν = 1 ist, daß C strikt semistabil ist.

Sei nun e−ν ≥ 2 . Wir blasen das offene Ideal (η_{1}^{(ν)}, π) auf. Das Zentrum Z der Aufblasung zerfällt wie folgt in irreduzible Komponenten:

Z = V (η_{1}^{(ν)}, η_{2} · . . . · η_{m}, π) = ⋃_{i=2}^{m} V (η_{1}^{(ν)}, η_{i}, π) .

Die Projektion Y^{ρ} ⟶ Y^{0} bildet die Komponente V (η_{1}^{(ν)}, η_{i}, π) wegen η_{1} = π^{ν} η_{1}^{(ν)} isomorph auf V (η_{1}, η_{i}, π) ⊆ Spf A ab. Alle irreduziblen Komponenten von Z schneiden sich in dem Punkt

V (η_{1}, η_{2}, …, η_{m}, π) ≅ Spec k ≠ ∅ .

Wir erhalten zwei Karten der Aufblasung Y′:

• η_{1}^{(ν)} = π · η_{1}^{(ν+1)} : Die Relation ist dort äquivalent zu

η_{1}^{(ν+1)} · η_{2} · . . . · η_{m} − π^{e−(ν+1)} = 0 .

Somit wurde der Exponent von π um 1 verringert und die Induktionshypothese läßt sich anwenden.

• π = η_{1}^{(ν)} · π′: In diesem Fall benötigen wir zwei Gleichungen um die Relationen zu beschreiben:

η_{2} · . . . · η_{m} − π^{e−(ν+1)}π′ = π′ · η_{1}^{(ν)} − π = 0 .

Dieser Fall wird von dem folgenden Lemma 3.11 für μ = 2 und η_{0}^{(s_{0})} = π′ behandelt.

Die zurückgezogene Garbe (η_{1}^{(ν)}, π) · O_{Y′} induziert das Geradenbündel O_{ℙ^{1}}(1) auf den Fasern über allen Punkten des Zentrums.

Lemma 3.11. Seien 1 ≤ μ ≤ m, e ≥ 1 und s_{j} ≥ 0 für alle j. Für ein J ⊆ {0, …, μ − 1} sei A die formelle R-Algebra

R ⟨η_{0}^{(s_{0})}, …, η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{μ+1}, …, η_{m}⟩

modulo der Relationen

η_{μ}^{(s_{μ})} · η_{μ+1} · . . . · η_{m} − π^{e} · ∏_{i∈J} η_{i}^{(s_{i})} = η_{0}^{(s_{0})} · . . . · η_{μ−1}^{(s_{μ−1})} − π = 0 .

Dann läßt sich eine Desingularisierung von A konstruieren, wie in Lemma 3.10 behauptet.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Induktion nach e. Nach [Ei, Propositionen 18.2 und 18.13] ist A Cohen-Macaulay, da die beiden Relationen, die A beschreiben, eine reguläre Sequenz auf

R ⟨η_{0}^{(s_{0})}, …, η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{μ+1}, …, η_{m}⟩

bilden. Ferner ist A regulär in allen Primidealen, die nur eines der η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{μ+1}, …, η_{m} enthalten. Sei 𝔭 ein Primideal, in dem A nicht regulär ist. Dann gibt es zwei verschiedene η_{i}^{(s_{i})} und η_{j}^{(s_{j})} mit i, j ≥ μ in 𝔭. Da (η_{i}^{(s_{i})}, η_{j}^{(s_{j})}) eine reguläre Sequenz auf A ist, hat 𝔭 Tiefe ≥ 2 und somit auch Kodimension ≥ 2 nach [Ei, Proposition 18.2]. Das heißt, A ist regulär in Kodimension eins und folglich normal nach dem Kriterium von Serre ([Ei, Theorem 11.5]).

Ferner folgt, falls μ = m ist, daß A strikt semistabil ist.

Falls J = ∅ ist, so sind die Relationen äquivalent zu

η_{μ}^{(s_{μ})} · η_{μ+1} · . . . · η_{m} − π^{e−1} · η_{0}^{(s_{0})} · . . . · η_{μ−1}^{(s_{μ−1})} = η_{0}^{(s_{0})} · . . . · η_{μ−1}^{(s_{μ−1})} − π = 0 .

Somit wurde e um 1 reduziert und der Fall ist für e − 1 ≥ 1 auf die Induktionshypothese zurückgeführt.

Für den Induktionsanfang e − 1 = 0 läßt sich die restliche Desingularisierung gemäß Lemma 3.9 konstruieren. Mit den dortigen Bezeichnungen setzen wir dabei für die Variablen (ξ_{1}, …, ξ_{m′}) = (η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{μ+1}, …, η_{m}) und (ζ_{1}, …, ζ_{n′}) = (η_{0}^{(s_{0})}, …, η_{μ−1}^{(s_{μ−1})}) . Für jede der weiteren Aufblasungen haben dann nach Lemma 3.9 die irreduziblen Komponenten des Zentrums die Form

V (π, η_{j}^{(s_{j})}, j ∈ N) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α} , N ⊆ {0, …, m} .

Wir wollen diese im Sinn von Lemma 3.10 beschreiben. Die Projektion Y^{ρ} ⟶ Y^{0} bildet diese irreduzible Komponente surjektiv auf

V(π, η_{i}, i ∈ M) ⊆ Y^{0} , M ⊆ {1, …, m}

ab, wobei M ⊇ N − {0} die Menge der i ist, für die η_{i} = η_{i}^{(0)} in dem Ideal (η_{j}^{(s_{j})}, j ∈ N)

liegt. Die nach dem Ausdividieren dieses Ideals verbleibenden Koordinaten η_{i}^{(s_{i})} , welche einen Exponenten s_{i} ≥ 1 haben, bilden die freien Koordinaten von projektiven Geraden. Diese kommen zu den bereits von Lemma 3.9 herrührenden (ℙ_{k}^{1})^{α} hinzu. Also sind die Fasern der Projektion isomorph zu (ℙ_{k}^{1})^{β} und die irreduzible Komponente isomorph zu

V(π, η_{i}, i ∈ M) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{β} .

Die restlichen Behauptungen ergeben sich ebenfalls aus Lemma 3.9 .

\underline{2.} Durch Induktion nach min\{m − μ, #J\} reduzieren wir nun für festes e die Situation des Lemmas auf den Fall μ = m oder J = ∅. Sei also μ < m und j ∈ J ≠ ∅. Wir blasen das offene Ideal (η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{j}^{(s_{j})}) auf. Das Zentrum Z der Aufblasung zerfällt wie folgt in irreduzible Komponenten:

Z = V (η_{j}^{(s_{j})}, η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{μ+1} · . . . · η_{m}, π) = ⋃_{ν=μ+1}^{m} V (η_{j}^{(s_{j})}, η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{ν}, π) .

Wir wollen auch diese im Sinn von Lemma 3.10 beschreiben. Die Projektion Y^{ρ} ⟶ Y^{0} bildet die Komponente V (η_{j}^{(s_{j})}, η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{ν}, π) surjektiv auf

V(π, η_{ν}, η_{i}, i ∈ M) ⊆ Y^{0}

ab, wobei M die Menge der i ist, für die η_{i} = η_{i}^{(0)} in dem Ideal (η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{j}^{(s_{j})}) liegt. Die nach

dem Ausdividieren dieses Ideals verbleibenden Koordinaten η_{i}^{(s_{i})} , welche einen Exponenten s_{i} ≥ 1 haben, bilden die freien Koordinaten von projektiven Geraden. Also sind die Fasern der Projektion isomorph zu (ℙ_{k}^{1})^{α} und die irreduzible Komponente isomorph zu

V(π, η_{ν}, η_{i}, i ∈ M) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α} .

Alle irreduziblen Komponenten des Zentrums Z schneiden sich in

V (η_{j}^{(s_{j})}, η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{μ+1}, …, η_{m}, π)

und enthalten somit alle den Punkt

V (η_{0}^{(s_{0})}, …, η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{μ+1}, …, η_{m}, π) ≅ Spec k

oberhalb des Punktes (η_{1}, …, η_{m}, π) .

Wir erhalten zwei Karten der Aufblasung Y′:

• η_{μ}^{(s_{μ})} = η_{j}^{(s_{j})} · η_{μ}^{(1+s_{μ})} : Die Relationen sind dort äquivalent zu

η_{μ}^{(1+s_{μ})} · η_{μ+1} · . . . · η_{m} − π^{e} · ∏_{i∈J−{j}} η_{i}^{(s_{i})} = η_{0}^{(s_{0})} · . . . · η_{μ−1}^{(s_{μ−1})} − π = 0 .

Somit wurde die Menge J um ein Element vermindert, während μ und e gleich blieben und die Induktionshypothese läßt sich anwenden. Die Zahl s_{μ} wurde dabei um 1 erhöht.

• η_{j}^{(s_{j})} = η_{μ}^{(s_{μ})} · η_{j}^{(1+s_{j})} : Die Relationen sind dort äquivalent zu

\begin{aligned}η_{μ+1} · . . . · η_{m} − π^{e} · ( η_{j}^{(1+s_{j})} · ∏_{i∈J−\{j\}} η_{i}^{(s_{i})} ) & = & 0 und \\ η_{0}^{(s_{0})} · . . . · η_{j}^{(1+s_{j})} · . . . · η_{μ}^{(s_{μ})} − π & = & 0 . \end{aligned}

Somit wurde die Zahl μ um 1 erhöht, während e und J gleich blieben und die Induktionshypothese läßt sich anwenden. Die Zahl s_{j} wurde dabei ebenfalls um 1 erhöht.

Die zurückgezogene Garbe (η_{μ}^{(s_{μ})}, η_{j}^{(s_{j})})·O_{Y′} induziert das Geradenbündel O_{ℙ^{1}}(1) auf den Fasern über allen Punkten des Zentrums.

3.3 Einheitengruppen

Bei der Verklebung von Geradenbündeln, die auf offenen Teilmengen strikt semistabiler Modelle gegeben sind, benötigen wir die Kenntnis der Einheitengruppen auf diesen Modellen. Wir wollen diese hier untersuchen.

Zunächst gilt analog zum eindimensionalen Fall ([BGR, Lemma 9.7.1.1]) auch im höherdimensionalen folgende Beschreibung.

Lemma 3.12. Sei Sp A_{K} eine affinoide, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K. Seien ζ_{1}, …, ζ_{r+1} Unbestimmte über A_{K} und c ∈ A\begin{matrix}× \\ K \end{matrix} mit |c| ≤ 1 . Sei

f = ∑_{\underline{n}∈ℤ^{r}} a\underline{n} · ζ_{1}^{n_{1}} · . . . · ζ_{r}^{n_{r}} ∈ B_{K} := A_{K}⟨ζ_{1}, …, ζ_{r+1}⟩/(ζ_{1} · . . . · ζ_{r+1} − c) .

Genau dann ist f ∈ B\begin{matrix}× \\ K \end{matrix} eine Einheit, wenn es einen Multiindex \underline{n}_{0} ∈ ℤ^{r} gibt, so daß der Term a_{\underline{n}_{0}}ζ^{\underline{n}^{0}} in der Entwicklung von f dominant auf Sp B_{K} ist, wenn also a_{\underline{n}_{0}} ∈ A\begin{matrix}× \\ K \end{matrix} eine Einheit ist und für alle \underline{n} ≠ \underline{n}_{0} gilt

|a\underline{n} · a_{\underline{n}_{0}}^{−1} · ζ^{\underline{n}−\underline{n}_{0}}|_{B_{K}} < 1 .

\underline{Beweis:} Es ist klar, daß die Bedingung hinreichend ist. Wir zeigen ihre Notwendigkeit. Sei also f eine Einheit in B\begin{matrix}× \\ K \end{matrix} und seien y ∈ Sp B_{K} und Sp A′_{K′} die Zusammenhangskomponente von A_{K} ⊗_{K} k(y) , die das Bild von y enthält. Wir betrachten den affinoiden Teilbereich

y ∈ U_{y} := Sp A′_{K′} ⟨ξ_{1}, ξ_{1}^{−1}, …, ξ_{r}, ξ_{r}^{−1}⟩ ,

von Sp B_{K} mit ξ_{i} = ζ_{i}(y)^{−1}ζ_{i}. Nach [BGR, Lemma 9.7.1.1] besitzt dann f|_{U_{y}} einen auf ganz U_{y} dominanten Term. Sein Index \underline{n}(y) ∈ ℤ^{r} ist eine Funktion von y ∈ Sp B_{K} . Es ist also |a\underline{m}ζ\underline{m}(y)| < |a_{\underline{n}(y)}ζ^{\underline{n}(y)}(y)| für alle \underline{m} ≠ \underline{n}(y) .

Die a\underline{n}ζ\underline{n} besitzen keine gemeinsame Nullstelle und somit erzeugen endlich viele von ihnen das Einsideal von B_{K} . Da ferner lim_{|\underline{n}|→∞} |a\underline{n}ζ\underline{n}|_{B_{K}} = 0 ist, nimmt die Funktion \underline{n}(y) nur

endlich viele Werte an. Aus dem gleichen Grund ist

Y_{\underline{n}_{0}} := \{ y ∈ Sp B_{K} : |a\underline{n}ζ\underline{n}(y)| ≤ |a_{\underline{n}_{0}}ζ^{\underline{n}^{0}}(y)| für alle \underline{n} ≠ \underline{n}_{0} \}

ein affinoider Teilbereich von Sp B_{K} . Ferner können wir aufgrund obiger Überlegung ≤ durch < ersetzen und erhalten Y_{\underline{n}_{0}} = \{ y ∈ Sp B_{K} : \underline{n}(y) = \underline{n}_{0} \}. Es ist Y_{\underline{n}_{0}} = ∅ für alle außer endlich vieler \underline{n}_{0} . Also ist

Sp B_{K} = ⋃_{\underline{n}∈ℤ^{r}} Y\underline{n}

eine zulässige Überdeckung durch endlich viele paarweise disjunkte rationale Teilbereiche.

Sp B_{K} enthält andererseits Sp A_{K}⟨ζ_{1}, ζ_{1}^{−1}, …, ζ_{r}, ζ_{r}^{−1}⟩ als Zariski-dichten affinoiden Teilbereich, welcher zusammenhängend ist, da Sp A_{K} zusammenhängend ist. Dies zeigt, daß Sp B_{K} zusammenhängend und die Funktion \underline{n}(y) konstant auf Sp B_{K} ist. Somit ist die Behauptung bewiesen.

Daraus erhalten wir folgende Beschreibung der Isomorphismen zwischen zwei Geradenbündeln.

Lemma 3.13. Sei X_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K mit formellem Modell X, welches formal glatt über R⟨ξ_{1}, …, ξ_{r+1}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r+1} − π) sei. Die irreduziblen Komponenten von X_{0} enthalten alle die Faser V(ξ_{1}, …, ξ_{r+1}) , welche selbst irreduzibel und nicht leer sei. Sei ebenso V_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K mit formellem Modell V, welches formal glatt über R⟨ζ_{1}, …, ζ_{s+1}⟩/(ζ_{1} · . . . · ζ_{s+1} − π) sei. Die irreduziblen Komponenten von V_{0} enthalten alle die Faser V(ζ_{1}, …, ζ_{s+1}) , welche geometrisch irreduzibel und nicht leer sei. Seien L und M Geradenbündel auf X ×_{R} V . Dann ist

Isom_{X_{K} ×_{K} V_{K}} (L_{rig}, M_{rig}) = Isom_{X×_{R}V} (L, M) ⊕ π^{ℤ} ⊕ ξ_{1}^{ℤ} ⊕ … ⊕ ξ_{r}^{ℤ} ⊕ ζ_{1}^{ℤ} ⊕ … ⊕ ζ_{s}^{ℤ}

= (O_{X_{K}} (X_{K})^{×} · Isom_{X×_{R}V} (L, M)) ⊕ ζ_{1}^{ℤ} ⊕ … ⊕ ζ_{s}^{ℤ} .

\underline{Beweis:} \underline{1.} Sei Y_{+} die Komplettierung von X ×_{R} V nach dem abgeschlossenen Unterschema

Y_{0} := V(ξ_{1}, …, ξ_{r+1}, ζ_{1}, …, ζ_{s+1}) .

Dann sehen wir wie in Satz 3.3 , daß Y_{+} lokal durch die R-Algebra

C[[ξ_{1}, …, ξ_{r+1}]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r+1} − π) ˆ⊗_{R} D[[ζ_{1}, …, ζ_{s+1}]]/(ζ_{1} · . . . · ζ_{s+1} − π)

gegeben ist, für glatte, zulässige, formelle R-Algebren C und D. Nach Voraussetzung sind die speziellen Fasern Spec C_{0} und Spec D_{0} integer beziehungsweise geometrisch integer. Somit ist auch Y_{0} integer.

Sei U^{i} eine offene, affine Überdeckung von X ×_{R} V , über der es Trivialisierungen

λ^{i} : L|_{U^{i}} ⟶^{∼} O_{U^{i}}  und  μ^{i} : M|_{U^{i}} ⟶^{∼} O_{U^{i}}

gibt und die zusätzlich mit dieser lokalen Beschreibung von Y_{+} verträglich ist.

Sei nun φ_{K} ∈ Isom_{X_{K} ×_{K} V_{K}} (L_{rig}, M_{rig}) . Dies liefert auf U^{i}

μ^{i} ∘ φ_{K}|_{U_{K}^{i}} ∘ (λ^{i})^{−1} =: f^{i} ∈ O(U i_{K})^{×} .

Die Übergänge auf U^{ij} := U^{i}∩U^{j} erfolgen durch μ^{ij} ·f^{j} ·λ^{ji} = f^{i}, wobei μ^{ij} := μ^{i}∘(μ^{j})^{−1} und λ^{ji} := λ^{j} ∘ (λ^{i})^{−1} Einheiten in O(U^{ij})^{×} sind.

Betrachten wir das Geradenbündel H := Hom_{X×_{R}V} (L , M) auf X ×_{R} V , so ist

φ_{K} ∈ Γ(X_{K} ×_{K} V_{K} , H_{rig})  und  φ−1_{K} ∈ Γ(X_{K} ×_{K} V_{K} , H\begin{matrix}∨ \\ rig \end{matrix})

mit φ_{K} ⊗ φ−1_{K} = 1 ∈ Γ(X_{K} ×_{K} V_{K} , H_{rig} ⊗ H\begin{matrix}∨ \\ rig \end{matrix}) = Γ(X_{K} ×_{K} V_{K} , O_{X_{K} ×_{K}V_{K}} ). Durch λ^{i}

und μ^{i} sind auch Trivialisierungen von H und H^{∨} gegeben, welche φ_{K} gerade auf f^{i} abbilden. Wie in Abschnitt 2.2 erklärt, ist |φ_{K}|_{U_{K}^{i}} = |f^{i}|_{U_{K}^{i}} .

\underline{2.} Wir betrachten zunächst diejenigen U^{i}, für die Y_{+}^{i} := Y_{+} ∩ U^{i} ≠ ∅ ist. Dann ist Y_{+}^{i} affin. Der zugehörige Ring ist

A^{i}[[ξ_{1}, …, ξ_{r+1}, ζ_{1}, …, ζ_{s+1}]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r+1} − π , ζ_{1} · . . . · ζ_{s+1} − π) .

Sei K′ eine endliche Erweiterung von K mit trivialer Restklassenkörpererweiterung, so daß es

ϵ, c, d ∈ K′ gibt mit ϵ^{r+1}c = ϵ^{s+1}d = π und |ϵ|, |c|, |d| < 1 . Sei ferner Ai_{K′} := A^{i} ⊗_{R} K′.

Durch ξ_{ρ} = ϵ ξ̃_{ρ} und ζ_{σ} = ϵ ζ̃_{σ} ist der folgende K′-Morphismus gegeben.

α : Sp Ai_{K′} ⟨ξ̃_{1}, …, ξ̃_{r+1}, ζ̃_{1}, …, ζ̃_{s+1}⟩/(ξ̃_{1} · . . . · ξ̃_{r+1} − c , ζ̃_{1} · . . . · ζ̃_{s+1} − d) ⊂⟶ U i_{K} ,

Dieser liefert einen Morphismus der globalen Einheiten, welcher wie folgt faktorisiert.

O(U i_{K})^{×} ⟶ (K ⊗_{R} A^{i}[[ξ_{1}, …, ξ_{r+1}, ζ_{1}, …, ζ_{s+1}]]/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r+1} − π , ζ_{1} · . . . · ζ_{s+1} − π))^{×}

⊂⟶ (Ai_{K′} ⟨ξ̃_{1}, …, ξ̃_{r+1}, ζ̃_{1}, …, ζ̃_{s+1}⟩/(ξ̃_{1} · . . . · ξ̃_{r+1} − c , ζ̃_{1} · . . . · ζ̃_{s+1} − d))^{×}.

Der mittlere Term ist hierbei die Gruppe der Einheiten auf der Vereinigung für ϵ → 1 .

Mit Y_{0} ist auch A_{0}^{i} integer und somit sind Ai_{K′} ⟨ξ̃_{1}, …, ξ̃_{r+1}⟩/(ξ̃_{1} · . . . · ξ̃_{r+1} − c) und Ai_{K′}

zusammenhängend (Lemma 2.5). Also läßt sich α^{∗}f^{i} nach Lemma 3.12 schreiben als

α^{∗}f^{i} = (ϵ^{N}a_{i}) ξ̃\underline{m} ζ̃\underline{n} (1 + h_{i}) = a_{i} (ϵ ξ̃)\underline{m} (ϵ ζ̃)\underline{n} (1 + h_{i})

mit dominantem Term (ϵ^{N}a_{i}) ξ̃\underline{m} ζ̃\underline{n} und N := m_{1}+…+m_{r}+n_{1}+…+n_{s}. Diese Darstellung ist verträglich mit weiteren Einschränkungen

Sp Ai_{K′′} ⟨ξ̃′, ζ̃′⟩/(Πξ̃′ − c′ , Πζ̃′ − d′) ⊂⟶ Sp Ai_{K′} ⟨ξ̃, ζ̃⟩/(Πξ̃− c , Πζ̃− d) .

Somit ist in allen rigiden Punkten y der formellen Faser Y_{+}^{i} der Term a_{i} ξ\underline{m} ζ\underline{n} dominant und |h_{i}(y)| < 1 . Die Exponenten \underline{m} und \underline{n} dieses Terms sind durch f^{i} eindeutig bestimmt. Sein Koeffizient a_{i} ist bereits über K definiert, da α wie oben erwähnt faktorisiert, das heißt also a_{i} ∈ (Ai_{K})^{×} . Da A_{0}^{i} irreduzibel und geometrisch reduziert ist, ist a_{i} = π^{ν_{i}} b_{i} für eine Einheit b_{i} ∈ (A^{i})^{×} nach Lemma 2.12.

Auf U^{ij} ist f^{i}(f^{j})^{−1} = μ^{ij}λ^{ji} ∈ O(U^{ij})^{×} , also in jedem Punkt vom Betrag 1 . Da die ξ, ζ auf Y_{+}^{i} ∩ Y_{+}^{j} vom Betrag kleiner als 1 sind, sind die Exponenten \underline{m} und \underline{n} des dominanten Terms unabhängig von i. Ebenso folgt, daß ν = ν_{i} unabhängig von i ist.

Ersetze nun φ_{K} durch ψ_{K} := φ_{K} a^{−1} ζ_{1}^{−n_{1}}·. . .·ζ_{s}^{−n_{s}} mit a := π^{ν} ξ_{1}^{m_{1}}·. . .·ξ_{r}^{m_{r}} ∈ O(X_{K})^{×} . Dann ist α^{∗}f^{i} = b_{i}(1+h_{i}) und nach Lemma 2.15 gilt |ψ_{K}(y)| = |f^{i}(y)| = 1 für alle rigiden Punkte y der formellen Faser Y_{+}^{i}. Der affinoide Teilbereich

{ y ∈ U i_{K} : |f^{i}(y)| = 1 } = { y ∈ U i_{K} : |ψ_{K}(y)| = 1 }

enthält somit diese formelle Faser. Damit enthält er aber sogar eine formell offene Umgebung dieser formellen Faser.

Jede irreduzible Komponente von X ×_{R} V trifft ein Y_{0}^{i} und damit auch die eben erwähnte Umgebung in einem formell offenen Teil W . Somit gilt |ψ_{K}(y)| = 1 für alle y ∈ W_{K} und damit |ψ_{K}(y)| = 1 für alle y ∈ X_{K} ×_{k} V_{K} nach Lemma 2.13 .

Aufgrund von Lemma 2.16 sind folglich ψ_{K} ∈ Γ(X ×_{R} V, H) und ψ−1_{K} ∈ Γ(X ×_{R} V, H^{∨}) , also ψ_{K} ∈ Isom_{X×_{R}V} (L, M) und somit wie behauptet

φ_{K} = ψ_{K} a ζ_{1}^{n_{1}} · . . . · ζ_{s}^{n_{s}} ∈ (O_{X_{K}} (X_{K})^{×} · Isom_{X×_{R}V} (L, M)) ⊕ ζ_{1}^{ℤ} ⊕ … ⊕ ζ_{s}^{ℤ} .

Geradenbündel

4.1 Der Picard-Funktor

Ziel dieser Arbeit ist es, zu zeigen daß für jede eigentliche, glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K, welche ein strikt semistabiles, formelles Modell besitzt, der Picard-Funktor darstellbar ist. Dieses Resultat ist Satz 4.5 auf Seite 38 . Wir wollen zunächst erklären, was der Picard-Funktor ist.

Wir beginnen mit der algebraischen Situation. Dort läßt sich der Picard-Funktor folgendermaßen definieren. (Für eine ausführliche Darstellung des algebraischen Falles verweisen wir auf [BLR, Kapitel 8].)

Sei S ein Basisschema und f : X ⟶ S ein Morphismus von Schemata. Wir betrachten den kontravarianten Funktor von der Kategorie der S-Schemata in die Kategorie der abelschen Gruppen

P_{X/S} : (Sch/S) ⟶ (Ab) , S′ ⟼ Pic(X ×_{S} S′) = H^{1}(X ×_{S} S′, OX×_{S}S′^{×}) ,

der jedem S-Schema S′ die Gruppe der Geradenbündel auf X ×_{S} S′ zuordnet.

Der relative Picard-Funktor ist die zu P_{X/S} assoziierte (fppf)-Garbe

Pic_{X/S} = R^{1}f_{∗} 𝔾_{m} als (fppf)-Garben auf S .

Dies bedeutet Pic_{X/S} ist ein kontravarianter Funktor von (Sch/S) nach (Ab) , so daß für jedes S-Schema T und für jeden Morphismus T′ ⟶ T , der treu-flach und quasikompakt, also (fppf), oder eine Zariski-Überdeckung ist, die folgende Sequenz exakt ist

Pic_{X/S}(T) ⟶ Pic_{X/S}(T′) \overrightarrow{⟶} Pic_{X/S}(T′ ×_{T} T′) .

Jedes Element von Pic_{X/S}(T) für ein quasikompaktes S-Schema T kann durch ein Geradenbündel L′ auf X ×_{S} T′ für ein Schema T′ gegeben werden, welches (fppf) über T ist. Ferner existiert ein (fppf)-Morphismus T̃ ⟶ T′ ×_{T} T′, so daß die Rücktransporte vermöge der beiden Projektionen T̃ ⟶ T′ isomorph sind.

Wir betrachten nun den Fall:

(∗) Sei f quasikompakt und quasisepariert mit einem Schnitt x : S ⟶ X und gelte f_{∗}O_{X} = O_{S} universell, das heißt auch noch nach beliebiger Basiserweiterung. Diese Bedingung ist zum Beispiel erfüllt, wenn f eigentlich und flach mit reduzierten und irreduziblen geometrischen Fasern ist.

Dann können wir Pic_{X/S} beschreiben als den kontravarianten Funktor

Pic_{X/S} : (Sch/S) ⟶ (Ab)

S′ ⟼ { Isomorphieklassen von (L, λ) : L Geradenbündel auf X ×_{S} S′ ,
λ : O_{S′} ⟶^{∼} (x × id_{S′})^{∗} L Rigidifizierung }
= Pic(X ×_{S} S′)/ Pic(S′) .

Die Rigidifizierung hat zwei Effekte. Sie unterdrückt alle Geradenbündel, die von S′ kommen und sie bewirkt, daß die Automorphismengruppe von (L, λ) trivial ist.

Wir wenden uns nun der Frage der Darstellbarkeit zu.

Der Funktor Pic_{X/S} heißt darstellbar, falls ein S-Schema P und ein Isomorphismus von Funktoren existiert

Pic_{X/S} ≅ Hom_{(Sch/S)}( _{•} , P) =: P ( _{•} ) .

Im Fall (∗) bedeutet dies, daß es ein rigidifiziertes Geradenbündel (P, ρ) ∈ Pic_{X/S}(P) gibt. Dieses heißt das Poincaré-Bündel und besitzt folgende, durch das Yoneda-Lemma gegebene, universelle Eigenschaft:

Für alle S-Schemata S′ und für alle Geradenbündel (L, λ) ∈ Pic_{X/S}(S′) existiert ein eindeutig bestimmter Morphismus g : S′ ⟶ P mit

(L, λ) ≅ ( id_{X} ×g)^{∗}(P, ρ) .

Bezüglich der Darstellbarkeit gilt folgender

Satz 4.1. (A. Grothendieck) Sei f : X ⟶ S projektiv, flach und von endlicher Darstellung mit reduzierten und irreduziblen geometrischen Fasern. Dann ist Pic_{X/S} darstellbar durch ein separiertes S-Schema, lokal von endlicher Darstellung über S.

Für den Beweis siehe [FGA, n^{o} 232, Thm. 3.1], oder [BLR, Thm. 8.2.1].

Falls S das Spektrum eines Körpers ist, lassen sich die Voraussetzungen abschwächen.

Satz 4.2. (J.P. Murre und F. Oort) Sei X ein eigentliches Schema über einem Körper K. Dann ist Pic_{X/k} darstellbar durch ein Schema, lokal von endlichem Typ über K.

Der Beweis dieses Satzes wird auf den projektiven Fall zurückgeführt, der von Grothendieck [FGA, n^{o} 232, Section 6] behandelt wurde. Siehe [Mu] und [Oo].

Falls nun X eigentlich über K ist, so definieren wir Pic_{X/K}^{0} als die Zusammenhangskomponente von Pic_{X/K} , die das neutrale Element enthält. Sie ist ein Gruppenschema von endlichem Typ über K. Im Fall (∗) stellt sie den Funktor

Pic_{X/K}^{0}(V) := { Isomorphieklassen von (L, λ) : L Geradenbündel auf X ×_{K} V ,
( id_{X} ×v)^{∗}L trivial und λ : O_{V} ⟶^{∼} (x × id_{V})^{∗} L }

auf der Kategorie der zusammenhängenden K-Schemata mit K-rationalem Punkt v dar.

Lemma 4.3. Sei X ein Schema über S und sei Pic_{X/S} darstellbar durch ein S-Schema P . Sei ferner S′ ein S-Schema und X′ := X ×_{S} S′.

Dann ist Pic_{X′/S′} darstellbar durch das S′-Schema P ×_{S} S′.

\underline{Beweis:} Nach Definition ist Pic_{X′/S′} gleich der Einschränkung des Funktors Pic_{X/S} auf die Kategorie der S′-Schemata, also Pic_{X′/S′} = Pic_{X/S} |_{(Sch/S′)} . Da ferner

Hom_{(Sch/S′)}( _{•} , P ×_{S} S′) = Hom_{(Sch/S)}( _{•} , P) |_{(Sch/S′)}

ist, folgt die Behauptung.

Dieses sind die wichtigsten Definitionen und Sätze im algebraischen Fall. Wir wollen dies nun auf die rigid analytische Situation übertragen und betrachten dazu die folgenden Kategorien:

Sei ℭ die Kategorie der Paare (V_{K}, v_{K}) , wobei V_{K} eine glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K und v_{K} ∈ V_{K}(K) ist. Die Morphismen

f ∈ Hom_{ℭ}((V_{K}, v_{K}), (W_{K}, w_{K}))

sind die K-Morphismen f : V_{K} ⟶ W_{K} mit f(v_{K}) = w_{K} .

Sei \overline{ℭ} die volle Unterkategorie von ℭ, in der V_{K} ein glattes, formelles Modell V über Spf R besitzt. Mit V_{K} ist dann auch V zusammenhängend.

Sei ℭ̂ die volle Unterkategorie von ℭ, in der V_{K} quasikompakt und H^{1}(V_{K} ˆ⊗_{K} \overline{K}, ℤ) = (0) ist, für einen topologisch, algebraischen Abschluß \overline{K} von K.

Wir fixieren nun ein (X_{K}, x_{K}) ∈ ℭ, welches zusätzlich eigentlich über K ist. Wir wollen die Geradenbündel auf X_{K} studieren und betrachten, analog zu (∗) im algebraischen Fall, den kontravarianten Funktor

Pic_{X_{K} /K}^{0} : ℭ ⟶ 𝔐𝔢𝔫𝔤𝔢𝔫

(V_{K}, v_{K}) ⟼ { Isomorphieklassen von (L_{K}, λ_{K}) : L_{K} Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K}

( id_{X_{K}} ×v_{K})^{∗}L_{K} trivial und λ_{K} : O_{V_{K}} ⟶^{∼} (x_{K} × id_{V_{K}})^{∗}L_{K} }

Die Rigidifizierung λ_{K} ist nötig, da sie die Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} ausschließt, welche von Bündeln auf V_{K} kommen. Ferner verhindert sie das Auftreten von nicht-trivialen Automorphismen, denn es gilt folgendes

Lemma 4.4. Sei X_{K} eine eigentliche, glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K und x_{K} ∈ X_{K}(K) , sowie V_{K} eine rigid analytische Varietät über K. Sei ferner (L_{K}, λ_{K}) ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} mit Rigidifizierung

λ_{K} : O_{V_{K}} ⟶^{∼} (x_{K} × id_{V_{K}})^{∗}L_{K} .

Dann ist id_{L_{K}} der einzige Automorphismus von L_{K} , der λ_{K} fest läßt.

\underline{Beweis:} Sei α : L_{K} ⟶^{∼} L_{K} ein Automorphismus von L_{K} , der λ_{K} fest läßt. Weil L_{K} ein Geradenbündel ist, gilt

Aut_{X_{K} ×_{K} V_{K}} (L_{K}) = Γ(X_{K} ×_{K} V_{K}, O_{X_{K} ×_{K}V_{K}} )^{×} .

Da X_{K} zusammenhängend, eigentlich und glatt über K ist und den K-wertigen Punkt x_{K} enthält, gilt Γ(X_{K}, O_{X_{K}}) = K universell und somit ist

α ∈ Γ(X_{K} ×_{K} V_{K}, O_{X_{K} ×_{K}V_{K}} )^{×} = Γ(V_{K}, O_{V_{K}})^{×} .

Nachdem α die Rigidifizierung λ_{K} fest läßt, ist α = (x_{K} × id_{V_{K}})^{∗}α = 1 = id_{L_{K}} .

Die Einschränkung von Pic_{X_{K} /K}^{0} auf die Kategorie \overline{ℭ} ergibt einen Funktor \overline{Pic}_{X_{K} /K}^{0} .

Die Einschränkung von Pic_{X_{K} /K}^{0} auf die Kategorie ℭ̂ ergibt einen Funktor P̂ic_{X_{K} /K}^{0} .

Wir fragen nun wieder, ob diese Funktoren darstellbar sind. Für Pic_{X_{K} /K}^{0} bedeutet dies, daß ein Objekt (P_{K}, 1) ∈ ℭ existiert mit

Pic_{X_{K} /K}^{0} ≅ Hom_{ℭ}( _{•} , (P_{K}, 1)) .

Nach dem Lemma von Yoneda gibt es dann ein Geradenbündel P_{K} auf X_{K} ×_{K} P_{K} , welches trivial entlang X_{K} × {1} ist, eine Rigidifizierung ρ_{K} : O_{P_{K}} ⟶^{∼} (x_{K} × id_{P_{K}})^{∗}P_{K} besitzt und das folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für alle (V_{K}, v_{K}) ∈ ℭ und für alle Geradenbündel (L_{K}, λ_{K}) ∈ Pic_{X_{K} /K}^{0}(V_{K}, v_{K}) gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus

f : (V_{K}, v_{K}) ⟶ (P_{K}, 1)

und einen Isomorphismus L_{K} ≅ ( id_{X_{K}} ×f)^{∗} P_{K} , der kompatibel mit den Rigidifizierungen λ_{K} und ρ_{K} ist. Nach Lemma 4.4 ist dieser Isomorphismus ebenfalls eindeutig bestimmt.

Das Geradenbündel P_{K} heißt das Poincaré-Bündel auf X_{K} ×_{K} P_{K} .

Ziel dieser Arbeit ist es die Darstellbarkeit des Funktors Pic_{X_{K} /K}^{0} zu zeigen, das heißt folgenden

Satz 4.5. Sei X_{K} eine eigentliche, glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K, welche ein strikt semistabiles, formelles Modell X über R besitzt, sowie x_{K} ∈ X_{K}(K) .

Dann ist der Picard-Funktor Pic_{X_{K} /K}^{0} nach einer endlichen, separablen Körpererweiterung darstellbar durch eine glatte, rigid analytische Gruppe P_{K} . Diese ist eine Erweiterung

1 ⟶ 𝔾_{m,K}^{r} ⟶ P_{K} ⟶ Q_{K} ⟶ 1

einer eigentlichen, glatten, rigid analytischen Gruppe Q_{K} durch einen affinen Torus 𝔾_{m,K}^{r} .

Bemerkung 4.5.1. Es ist möglich, daß P_{K} nicht eigentlich über K ist, das heißt daß der Rang r des Torus echt positiv ist. Siehe dazu Beispiel 5.13.2 .

Bemerkung 4.5.2. Wir zeigen den Satz in dieser Arbeit unter der Voraussetzung char K = 0 . Diese wird jedoch nur an einer Stelle benötigt, nämlich um bei der Konstruktion der formal glatten Untervarietät \overline{P}_{K} von P_{K} zunächst \overline{P}_{K} geometrisch reduziert zu erhalten (siehe Seite 57).

Der Beweis dieses Satzes nimmt den Rest der Arbeit ein. In diesem Kapitel stellen wir zunächst Eigenschaften von Geradenbündeln zusammen, die wir später benötigen. Die Konstruktion von P_{K} beschreiben wir dann in Kapitel 5 (siehe Satz 5.12). Dabei konstruieren wir schrittweise rigid analytische Varietäten, welche die Funktoren \overline{Pic}_{X_{K} /K}^{0} (Satz 5.2) und P̂ic_{X_{K} /K}^{0} (Satz 5.11) darstellen. Die Aussage über die Struktur von P_{K} wird in Satz 5.13 bewiesen.

4.2 Ausdehnung von Geradenbündeln

Ein Kernproblem in unserem Beweis der Darstellbarkeit von Pic_{X_{K} /K}^{0} ist die Ausdehnung von rigiden Geradenbündeln auf das formelle Modell. In diesem und den folgenden Abschnitten wollen wir Fälle beschreiben, in denen diese Ausdehnung möglich ist. Wir beginnen mit dem Fall, daß das formelle Modell regulär ist.

Analog zu Hartogs Theorem in der komplexen Analysis gilt auch im algebraischen Fall:

Lemma 4.6. Sei Y ein noethersches, normales, integres Schema und F ein kohärenter O_{Y} -Modul, der sich als Kern

0 ⟶ F ⟶ O_{Y}^{n} ⟶ O_{Y}^{m} .

schreiben läßt, sowie Z ein abgeschlossenes Unterschema in Y von Kodimension ≥ 2 .

Dann ist die Restriktionsabbildung bijektiv:

Γ(Y, F) ⟶^{∼} Γ(Y − Z, F) .

\underline{Beweis:} Die Darstellung von F als Kern liefert einen Morphismus von exakten Sequenzen

[figure: 0; 0; Γ(Y, F); α; Γ(Y − Z, F); Γ(Y, O_{Y})^{n}; β; Γ(Y − Z, O_{Y})^{n}; Γ(Y, O_{Y})^{m}; γ; Γ(Y − Z, O_{Y})^{m}]

Nach dem Analogon von Hartogs Theorem [Ii, Theorem 2.15] sind β und γ Isomorphismen. Deshalb ist nach dem 5er-Lemma ([Ro, Lemma 3.32]) auch α ein Isomorphismus.

Satz 4.7. Sei Y_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K, welche ein reguläres, formelles Modell Y habe. Sei L_{K} ein Geradenbündel auf Y_{K} .

Dann läßt sich L_{K} zu einem Geradenbündel L auf Y ausdehnen.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Nach [Lü 1, Lemma2.2] läßt sich L_{K} zu einer kohärenten Garbe F auf Y ausdehnen. Wir betrachten

F^{∨∨} := Hom_{Y} (Hom_{Y} (F, O_{Y})) .

Da L_{K} ein Geradenbündel ist, gilt F\begin{matrix}∨∨ \\ rig \end{matrix} ≅ L\begin{matrix}∨∨ \\ K \end{matrix} ≅ L_{K} . Das heißt, auch F^{∨∨} ist eine Ausdehnung von L_{K} . Wir wollen nun zeigen, daß F^{∨∨} ein Geradenbündel auf Y ist. Da dies eine lokale Eigenschaft ist, sei ohne Einschränkung Y = Spf A für einen Integritätsring A und F durch den endlichen A-Modul M gegeben.

Da M eine freie Auflösung besitzt, läßt sich N := M^{∨} ≠ (0) als Kern

0 ⟶ N ⟶ A^{r} ⟶ A^{s}

schreiben und ist folglich torsionsfrei.

\underline{2.} Sei l ∈ N ein Element mit l ≠ 0 in N ⊗_{R} K. Wir betrachten nun in A das Ideal

𝔞 := { a ∈ A : aN ⊆ A l } .

Da N torsionsfrei ist, gilt A ≅ A l. Wir wollen zeigen, daß der Morphismus

Ψ : 𝔞 ⟶ Hom_{A} (N, A l) , a ⟼ ( n ↦ a n ∈ A l)

ein Isomorphismus ist. Die Injektivität von Ψ folgt aus der Torsionsfreiheit von N ≠ (0) . Für die Surjektivität zeigen wir zunächst folgende

Behauptung: Ψ_{rig} : 𝔞_{rig} ⟶ Hom_{A_{K}} (N_{rig}, A_{K}l) ist surjektiv.

Beweis: Nach [Ei, Corollary 2.9] genügt es zu zeigen, daß

(Ψ_{rig})_{𝔭} : 𝔞_{_{rig},𝔭} ⟶ Hom_{A_{_{K} ,𝔭}} (N_{_{rig},𝔭}, A_{_{K},𝔭} l)

surjektiv ist für alle maximalen Ideale 𝔭 ⊆ A_{K} . Da N_{rig} ein invertierbarer A-Modul ist, gibt es ein n ∈ N_{_{rig},𝔭} mit N_{_{rig},𝔭} = A_{_{K},𝔭} n. Insbesondere ist l = a n für ein a ∈ A_{_{K},𝔭}. Somit ist

Hom_{A_{_{K} ,𝔭}} (N_{_{rig},𝔭}, A_{_{K},𝔭} l) = A_{_{K},𝔭} φ ,

wobei φ : A_{_{K},𝔭} n ⟶ A_{_{K},𝔭} l, n ↦ l = a n abbildet. Also ist φ gleich der Multiplikation mit a. Wir müssen nun zeigen, daß a ∈ 𝔞_{_{rig},𝔭} ist.

Der A-Modul N besitzt ein endliches Erzeugendensystem (n_{1}, …, n_{r}) . Zu den Bildern φ(n_{i}) = a n_{i} = a_{i} l ∈ A_{_{K},𝔭} l sei u ein gemeinsamer Nenner der a_{i} und von a, das heißt also ua_{i}, ua ∈ A. Somit ist ua ∈ 𝔞 und folglich a ∈ 𝔞_{_{rig},𝔭}. Dies zeigt, daß (Ψ_{rig})_{𝔭} surjektiv ist und damit ist Ψ_{rig} ein Isomorphismus.

Daraus folgern wir nun, daß Ψ surjektiv ist. Sei dazu α ∈ Hom_{A} (N, A l) . Dann ist

\frac{α}{1} ∈ Hom_{A_{K}} (N_{rig}, A_{K}l) = S^{−1} Hom_{A} (N, A l)

mit S = {1, π, π^{2}, … }. Da Ψ_{rig} surjektiv ist, gibt es ein a/π^{ν} ∈ S^{−1}𝔞 = 𝔞_{rig} mit Ψ_{rig}(a/π^{ν}) = α/1 . Nun ist α(n)/1 = (a n)/π^{ν} , also π^{ν}α(n) = a n in N für alle n ∈ N . Speziell ist (a/π^{ν}) l = α(l) ∈ A l und folglich a/π^{ν} = a′ ∈ A. Da somit a′n = α(n) ∈ A l für alle n ∈ N gilt, ist a′ ∈ 𝔞. Dies zeigt, daß Ψ surjektiv und folglich ein Isomorphismus ist.

Wir haben also 𝔞 ≅ Hom_{A} (N, A l) ≅ N^{∨} = M^{∨∨} .

\underline{3.} Sei 𝔞 = ⋂_{i=1}^{t} 𝔮^{(i)} eine minimale Primärzerlegung des Ideals 𝔞 von A. Dann sind nach

[Ei, Theorem 3.10] die 𝔭^{(i)} := \sqrt{𝔮^{(i)}} ∈ Spec A gerade die assoziierten Primideale von 𝔞. Da Y regulär ist, ist A lokal faktoriell. Sind nun alle 𝔭^{(i)} von Kodimension 1 , so folgt mit [Ei, Theorem 11.8], daß 𝔞 ein invertierbarer A-Modul ist.

Seien also 𝔭^{(1)}, …, 𝔭^{(s)} diejenigen Primideale darunter von Kodimension 1 . Insbesondere ist dann 𝔮^{(i)} ein invertierbarer A-Modul für i = 1, …, s. Wir setzen

U := Spec A − V(𝔭^{(s+1)} · . . . · 𝔭^{(t)}) .

Dann ist für i ≥ s + 1

Γ(U, 𝔮̃^{(𝔦)}) = Γ(U, O_{Y}) .

A ist ein normaler Integritätsring, denn Y ist regulär. Nach Lemma 4.6 für 𝔞̃, sowie für 𝔮̃^{(i)} folgt somit wegen codim V(𝔭^{(s+1)} · . . . · 𝔭^{(t)}) ≥ 2

𝔞 = Γ(Spec A, 𝔞̃) = Γ(U, 𝔞̃) = ⋂_{i=1}^{s} Γ(U, 𝔮̃^{(𝔦)}) = ⋂_{i=1}^{s} Γ(Spec A, 𝔮̃^{(𝔦)}) = ⋂_{i=1}^{s} 𝔮^{(𝔦)} .

Da die ursprüngliche Primärzerlegung minimal gewählt war, zeigt dies s = t und somit haben alle assoziierten Primideale von 𝔞 die Kodimension 1 . Folglich ist 𝔞 ≅ M^{∨∨} ein invertierbarer A-Modul und F^{∨∨} ein Geradenbündel auf Y.

4.3 Lokal triviale Geradenbündel

In diesem Abschnitt wollen wir untersuchen, wann ein formelles Geradenbündel auf einem Produkt X ×_{R} V lokal trivial über X ist.

Satz 4.8. Sei X ein strikt semistabiles, zulässiges, formelles R-Schema und T entweder eine freie abelsche Gruppe oder ein freies abelsches Monoid, jeweils mit endlicher Basis (T ≅ ℤ^{n} oder T ≅ ℕ^{n}) . Betrachte X_{0} := X⊗_{R}k und x ∈ X_{0} . Dann gilt in einer Umgebung Spec A ⊆ X_{0} von x

Pic A ⟶^{∼} Pic A[T] , M ↦ M ⊗_{A} A[T] .

Im Falle T ≅ ℕ^{n} gilt die Isomorphie global auf X_{0} .

\underline{Beweis:} \underline{1.} Nach Satz 3.4 gibt es eine Umgebung von x in X, die formal glatt über

Spf R ⟨ξ_{1}, …, ξ_{r}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{r} − π)

ist. Auf dieser Umgebung betrachten wir ξ_{1}, …, ξ_{r} als globale Schnitte. Wir ersetzen nun X durch eine affine Umgebung von x, in der die Unterschemata V(ξ_{i}, ξ_{j}) zusammenhängend sind für alle i und j. Sei X_{0} = Spec A. Dann ist A glatt über B := k[ξ_{1}, …, ξ_{r}]/(ξ_{1} ·. . .·ξ_{r}) .

Der Morphismus p^{∗} : A ⟶ A[T] besitzt den Schnitt σ^{∗} : A[T] ⟶ A , T ↦ 1 mit σ^{∗} ∘ p^{∗} = id_{A}. Die Funktorialität von Pic liefert deshalb einen injektiven Morphismus

p^{∗} : Pic A ⊂⟶ Pic A[T] .

Wir müssen noch zeigen, daß p^{∗} surjektiv ist. Sei dazu L ein invertierbarer A[T]-Modul.

\underline{2.} Behauptung: Wir haben die exakte Sequenz von B-Moduln

0 ⟶ B ⟶^{α} B/(ξ_{1}) × … × B/(ξ_{r}) ⟶^{β}  ∏_{i<j} B/(ξ_{i}, ξ_{j})
f ↦  ( \overline{f} , …, \overline{f} )
( \overline{f_{1}} , …, \overline{f_{r}})  ↦ ( …, \overline{f_{i}} − \overline{f_{j}} , …) .

Beweis: ker α = 0 : Sei f ∈ ker α. Dann liegt f in dem Primideal (ξ_{i}) für alle i. Also f = ξ_{1}f_{1} . Damit folgt wegen ξ_{1} ∉ (ξ_{2}) , daß f_{1} ∈ (ξ_{2}) ist, also f = ξ_{1}ξ_{2} ·f_{2} . Mit Induktion ergibt sich f = ξ_{1} · . . . · ξ_{r} · f_{r} = 0 in B.

im α ⊆ ker β ist klar.

ker β ⊆ im α: Sei f_{i} = ∑_{ν∈ℕ_{0}^{r}} a_{ν}^{(i)}ξ^{ν} mit ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{r}) , a_{ν}^{(i)} ∈ k und ( \overline{f_{i}}) ∈ ker β. Dies

bedeutet a_{ν}^{(i)} = a_{ν}^{(j)} für alle ν mit ν_{i} = ν_{j} = 0 . Wir definieren nun

b_{ν} := \{ \begin{matrix}a_{ν}^{(i)} & falls ν_{i} = 0 ist für ein i, \\ 0 & falls ν_{i} ≥ 1 ist für alle i \end{matrix}

und f = ∑_{ν∈ℕ_{0}^{r}} b_{ν}ξ^{ν} . Dann ist α(f) = ( \overline{f_{i}}) und damit die Behauptung bewiesen.

Durch tensorieren mit A über B ergibt dies folgende exakte Sequenz von A-Moduln, denn A ist glatt über B, also insbesondere flach:

\begin{aligned}0 ⟶ A ⟶ & A/(ξ_{1}) × … × A/(ξ_{r}) & ⟶ & ∏_{i<j} A/(ξ_{i}, ξ_{j}) \\ & ( \overline{a_{1}} , …, \overline{a_{r}}) & ↦ & ( …, \overline{a_{i}} − \overline{a_{j}} , …) . \end{aligned}

Da L flach über A[T] und A[T] flach über A ist, erhalten wir nach tensorieren mit L über A die exakte Sequenz

\begin{aligned}0 ⟶ L ⟶ & L/ξ_{1}L × … × L/ξ_{r}L & ⟶^{γ[T]} & ∏_{i<j} L/(ξ_{i}L + ξ_{j}L) \\ & ( \overline{l_{1}} , …, \overline{l_{r}}) & ↦ & ( …, \overline{l_{i}} − \overline{l_{j}} , …) . \end{aligned}

\underline{3.} A_{i} := A/(ξ_{i}) ist glatt über k[ξ_{1}, …, ξ_{r}]/(ξ_{i}) und somit nach [BLR, Proposition 2.3.9] normal. Deshalb ist

Pic A_{i} ≅ Pic A_{i}[T]

nach [BM, Corollary 5.10]. Also gibt es einen invertierbaren A_{i}-Modul M_{i} mit

Ψ_{i} : L/ξ_{i}L ⟶^{∼} p^{∗}M_{i} .

Über A_{ij} := A/(ξ_{i}, ξ_{j}) erhalten wir den Isomorphismus

Φ_{ij} := Ψ_{j} ∘ Ψ_{i}^{−1} : p^{∗} M_{i}/ξ_{j}M_{i} ⟶^{∼} p^{∗} M_{j}/ξ_{i}M_{j} .

Mittels des Schnittes σ^{∗} von p^{∗} bekommen wir einen weiteren Isomorphismus

p^{∗}σ^{∗} Φ_{ij} : p^{∗} M_{i}/ξ_{j}M_{i} ⟶^{∼} p^{∗} M_{j}/ξ_{i}M_{j} .

Unser Ziel ist es nun, p^{∗}σ^{∗} Φ_{ij} = Φ_{ij} zu erhalten, denn dann kommt Φ_{ij} von unten:

φ_{ij} := σ^{∗}Φ_{ij} : M_{i}/ξ_{j}M_{i} ⟶^{∼} M_{j}/ξ_{i}M_{j}

und Φ_{ij} = p^{∗}φ_{ij} . Dazu betrachten wir

u_{ij} := Φ_{ij} ∘ (p^{∗}σ^{∗} Φ_{ij})^{−1} ∈ Aut_{A_{ij}[T]}(p^{∗} M_{j}/ξ_{i}M_{j}) .

Da p^{∗} M_{j}/ξ_{i}M_{j} ein invertierbarer A_{ij}[T]-Modul ist, gilt für die Automorphismengruppe Aut_{A_{ij}[T]}(p^{∗} M_{j}/ξ_{i}M_{j}) = (A_{ij}[T])^{×}. Da A_{ij} reduziert und Spec A_{ij} zusammenhängend ist, folgt nach [BM, Proposition 5.12],

(A_{ij}[T])^{×} = Aij^{×} ⊕ \{ \begin{matrix}0 & falls T ein freies Monoid ist, \\ T & falls T eine freie Gruppe ist. \end{matrix}

Falls T ein Monoid ist, so ist u_{ij} = a_{ij} ∈ Aij^{×} . Falls T eine Gruppe ist, so ist

u_{ij} = a_{ij} · τ_{ij} ∈ Aij^{×} ⊕ T .

Wegen σ^{∗}u_{ij} = 1 ergibt sich in beiden Fällen a_{ij} = 1 . Sei nun T eine Gruppe. Wegen Φ_{ij} = u_{ij} · (p^{∗}σ^{∗} Φ_{ij}) gilt die Kozykelbedingung τ_{ij} · τ_{ki} = τ_{kj} für alle i, j, k und τ_{ii} = 1 für alle i. Wir setzen τ_{1} := 1 und τ_{i} := τ_{1i}. Dann ist

τ_{ij} = τ_{1j} · τ_{i1} = τ_{j} · τ_{i}^{−1} .

Wenn wir nun den Isomorphismus Ψ_{i} : L/ξ_{i}L ⟶^{∼} p^{∗}M_{i} durch

Ψ′_{i} : L/ξ_{i}L ⟶^{∼} p^{∗}M_{i} , l ⟼ τ_{i}^{−1} · Ψ_{i}(l)

ersetzen, erhalten wir entsprechend u′_{ij} = τ_{ij}^{−1} · u_{ij} = 1 . Also ist p^{∗}σ^{∗} Φ_{ij} = Φ_{ij} .

\underline{4.} Sei nun M der Kern des A-Modul-Homomorphismus

\begin{aligned}γ : & M_{1} × … × M_{r} & ⟶ & ∏_{i<j} M_{j}/ξ_{i}M_{j} \\ & (m_{1} , …, m_{r}) & ↦ & ( …, φ_{ij}(m_{i}) − m_{j} , …) . \end{aligned}

Dann gilt γ[T] ≅ p^{∗}γ und folglich L ≅ p^{∗}M . Wegen M ≅ σ^{∗}p^{∗} M ≅ σ^{∗}L ist M ein invertierbarer A-Modul und die Surjektivität von p^{∗} gezeigt.

\underline{5.} Falls T ≅ ℕ^{n} ist, so müssen wir nun noch zeigen, daß zu jedem Geradenbündel L auf X_{0} ×_{k} Spec k[T] global auf X_{0} ein Geradenbündel M existiert mit p^{∗}M ≅ L.

Nach dem bisher gezeigten existieren eine Überdeckung von X_{0} durch offene Mengen U^{ν} , Geradenbündel M^{ν} auf U^{ν} und Isomorphismen ψ_{ν} : L|_{U^{ν}×_{k}Spec k[T]} ⟶^{∼} p^{∗}M^{ν} . Da X_{0} reduziert ist, gilt nach [BM, Proposition 5.12] auf den Durchschnitten U^{μν} := U^{μ} ∩ U^{ν}

OX_{0}×_{k}Spec k[T]^{×}(U^{μν} ×_{k} Spec k[T]) = OX_{0}^{×}(U^{μν}) .

Somit kommt das Verklebungsdatum ψ_{ν} ∘ ψ_{μ}^{−1} : p^{∗}M^{μ} ⟶^{∼} p^{∗}M^{ν} von unten. Dies bedeutet, daß sich die M^{ν} zu einem Geradenbündel M auf X_{0} mit p^{∗}M ≅ L verkleben lassen.

Satz 4.9. Sei X ein strikt semistabiles, zulässiges, formelles R-Schema, sowie T entweder eine freie abelsche Gruppe oder ein freies Monoid, jeweils mit endlicher Basis (T ≅ ℤ^{n} oder T ≅ ℕ^{n}) . Sei L ein Geradenbündel auf dem Produkt X ×_{R} Spf R⟨T ⟩.

Dann gibt es eine offene Überdeckung {X^{i}} von X, so daß L|_{X^{i}×_{R}Spf R⟨T ⟩} frei ist. Insbesondere gilt

R^{1}φ_{∗}OX×_{R}Spf R⟨T ⟩^{×} = (0)

für die Projektion φ : X ×_{R} Spf R⟨T ⟩ ⟶ X.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Nach Satz 4.8 besitzt jeder Punkt von X eine offene, affine Umgebung Spf A mit

Pic A_{0} ≅ Pic A_{0}[T] . (∗)

Wir betrachten das Geradenbündel L_{0} := L ⊗_{R} k auf Spec A_{0}[T] . Wegen (∗) gibt es eine Überdeckung {X_{0}^{i}} von X_{0} , so daß L_{0}|_{X_{0}^{i}⊗_{k}k[T]} trivial ist. Also existiert ein globaler Schnitt

l_{0}^{i} ∈ L_{0}(X_{0}^{i} ⊗_{k} k[T]) ,

der L_{0} über X_{0}^{i} ⊗_{k} k[T] erzeugt. Nun besitzt l_{0}^{i} eine Liftung l^{i} ∈ L(X^{i} ×_{R} Spf R⟨T ⟩) . Nach Nakayama erzeugt l^{i} das Geradenbündel L über X^{i} ×_{R} Spf R⟨T ⟩. Somit ist

L|_{X^{i}×_{R}Spf R⟨T ⟩} = l^{i} O_{X^{i}×_{R}Spf R⟨T ⟩} .

\underline{2.} R^{1}φ_{∗}OX×_{R}Spf R⟨T ⟩^{×} ist die Garbe, die zu der Prägarbe

U ⟼ H^{1} (φ^{−1}U, OX×_{R}Spf R⟨T ⟩^{×}|_{φ^{−1}U}) = H^{1} (U ×_{R} Spf R⟨T ⟩, OU×_{R}Spf R⟨T ⟩^{×})
= Pic(U ×_{R} Spf R⟨T ⟩)

assoziiert ist. Sei x ∈ X. Nach 1. ist jedes Geradenbündel auf U ×_{R} Spf R⟨T ⟩ lokal trivial über U , das heißt trivial auf V ×_{R} Spf R⟨T ⟩ für eine geeignete Umgebung V ⊆ U von x. Dies bedeutet, daß

(R^{1}φ_{∗}OX×_{R}Spf R⟨T ⟩^{×})_{x} = lim ; ⟶_{U∋x} Pic(U ×_{R} Spf R⟨T ⟩) = (0)

ist. Der Limes wird dabei über alle Umgebungen U von x gebildet. Somit ist die Behauptung gezeigt.

Satz 4.10. Sei X_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K, die ein strikt semistabiles, formelles Modell X besitzt. Sei T entweder eine freie abelsche Gruppe oder ein freies Monoid, jeweils mit endlicher Basis (T ≅ ℤ^{n} oder T ≅ ℕ^{n}) , sowie L_{K} ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} Sp K⟨T ⟩.

Dann ist L_{K} lokaltrivial über X_{K} im formellen Sinne bezüglich des Modells X, das heißt es gibt eine offene Überdeckung {X^{i}} von X, so daß L_{K}|_{X_{K}^{i} ×_{K}Sp K⟨T ⟩} frei ist.

\underline{Beweis:} Das formelle Schema V := Spf R⟨T ⟩ ist formal glatt über R. Somit ist X ×_{R} V formal glatt über X und damit regulär nach Satz 2.7 , da X nach Satz 3.5 regulär ist. Also gibt es nach Satz 4.7 ein Geradenbündel L auf X ×_{R} V , welches L_{K} fortsetzt. Nach Satz 4.9 besitzt nun X eine offene Überdeckung {X^{i}}, so daß L|_{X^{i}×_{R}V} frei ist. Also ist auch L_{K}|_{X_{K}^{i} ×_{K}Sp K⟨T ⟩} frei.

Satz 4.11. Sei X_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K, die ein strikt semistabiles, formelles Modell X besitzt. Sei C_{K} := Sp K⟨ζ, c ζ^{−1} ⟩, für ein c ∈ K^{×} mit |c| < 1 , sowie L_{K} ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} C_{K} .

Dann ist L_{K} lokaltrivial über X_{K} im formellen Sinne bezüglich des Modells X, das heißt es gibt eine offene, formelle Überdeckung {X^{i}} von X, so daß L_{K}|_{X_{K}^{i} ×_{K}C_{K}} frei ist.

\underline{Beweis:} Wir betrachten die rigid analytische Varietät

D−_{K} := Sp K⟨ c^{−1}ζ ⟩ = { |ζ| ≤ |c| } ,

die wir mit C_{K} = { |c| ≤ |ζ| ≤ 1 } über

C−_{K} := Sp K⟨ c^{−1}ζ , c ζ^{−1} ⟩ = { |ζ| = |c| }

zu dem Ball D := Sp K⟨ζ⟩ = { |ζ| ≤ 1 } verkleben. Das Geradenbündel L−_{K} := L_{K}|_{X_{K} ×_{K}C_{K}^{−}} ist nach Satz 4.10 lokaltrivial über X_{K} , das heißt es gibt eine formell offene Überdeckung {Xi_{K}} von X_{K} mit einer Trivialisierung

φi_{K} : L_{K}|_{X_{K}^{i} ×_{K}C_{K}^{−}} ⟶^{∼} O_{X_{K}^{i} ×_{K}C_{K}^{−}} .

Wir nehmen nun das Geradenbündel O_{X_{K}^{i} ×_{K}D_{K}^{−}} auf Xi_{K} ×_{K} D−_{K} und verkleben es mittels

φi_{K} über Xi_{K} ×_{K} C−_{K} mit L_{K}|_{X_{K}^{i} ×_{K}C_{K}} zu einem Geradenbündel Li_{K} auf Xi_{K} ×_{K} D_{K} .

Erneut nach Satz 4.10 ist Li_{K} lokaltrivial über Xi_{K} , das heißt es gibt eine formell offene Überdeckung {Xij_{K}} von Xi_{K} mit

Li_{K}|_{X_{K}^{ij} ×_{K}D_{K}} ≅ O_{X_{K}^{ij} ×_{K}D_{K}} .

Auf Xij_{K} ×_{K} C_{K} eingeschränkt, folgt also

L_{K}|_{X_{K}^{ij} ×_{K}C_{K}} ≅ Li_{K}|_{X_{K}^{ij} ×_{K}C_{K}} ≅ O_{X_{K}^{ij} ×_{K}C_{K}} .

4.4 Lokale Ausdehnung von Geradenbündeln

Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt damit, lokal auf X rigide Geradenbündel zu formellen Geradenbündeln auszudehnen. Dazu zunächst folgendes

Lemma 4.12. Sei S ein noethersches Schema und p : Y ⟶ S die Aufblasung in einem Ideal I, das lokal von zwei Elementen erzeugt wird. Es gelte p_{∗}O_{Y} = O_{S} . Sei s ein abgeschlossener Punkt im Zentrum Z von p und Y_{s} := Y ×_{S} k(s) die Faser über s. Sei F eine kohärente Garbe auf Y mit H^{1}(Y_{s}, F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}}) = (0) .

Dann gibt es eine offene Umgebung S′ von s in S, so daß H^{1}(Y′, F|_{Y′}) = (0) ist auf Y′ := Y ×_{S} S′ und die kanonische Abbildung

H^{0}(Y′, F|_{Y′}) ⟶ H^{0}(Y_{s}, F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}})

surjektiv ist.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Wir ersetzen S durch eine affine, offene Umgebung S := Spec A von s, auf der I von den zwei globalen Elementen f_{0}, f_{1} ∈ A erzeugt wird. Zu s gehöre das maximale Ideal 𝔪 ⊆ A.

Vermöge des surjektiven Morphismus

O_{S} [ T_{0}, T_{1} ] ⟶ ⨁_{n≥0} I^{n} , T_{i} ↦ f_{i}

ist Y ⊂⟶ ℙ_{S}^{1} ein abgeschlossenes Unterschema.

Für die Faser über s ist Y_{s} ⊂⟶ ℙ_{k(s)}^{1} abgeschlossen. Die Dimension ist dim Y_{s} = 1 , denn Y_{s} ist wegen p_{∗}O_{Y} = O_{S} zusammenhängend nach Zariskis Hauptsatz ([Ha, Corollary III.11.3]). Folglich gilt Y_{s} = ℙ_{k(s)}^{1} .

\underline{2.} Vergleich von H^{1}(Y, F) und H^{1}(Y_{s}, F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}}) :

Y besitzt die affine Überdeckung U_{i} := {T_{i} ≠ 0} für i = 0, 1 . Auch der Durchschnitt U_{01} := U_{0} ∩ U_{1} = \{\frac{T_{0}}{T_{1}} ≠ 0\} ⊆ U_{1} ist affin. Bezüglich dieser Überdeckung lautet der Čech-Komplex

⨁_{i=0,1} Γ(U_{i}, F) ⟶^{δ^{1}} Γ(U_{01}, F) ⟶^{δ^{2}} 0 .

Für die Čech-Kohomologie auf Y erhalten wir die exakte Sequenz

0 ⟶ H^{0}(Y, F) ⟶ ⨁_{i=0,1} Γ(U_{i}, F) ⟶^{δ^{1}} Γ(U_{01}, F) ⟶ H^{1}(Y, F) ⟶ 0 . (∗)

Tensorieren mit k(s) über A liefert die Čech-Kohomologie von F_{s} := F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}} auf Y_{s} bezüglich der affinen Überdeckung {V_{i} := U_{i} ∩ Y_{s} , i = 0, 1} von Y_{s}:

⨁_{i=0,1} Γ(U_{i}, F) ⊗_{A} k(s) ⟶^{δ^{1}⊗ id_{k(s)}} Γ(U_{01}, F) ⊗_{A} k(s) ⟶ H^{1}(Y, F) ⊗_{A} k(s) ⟶ 0
≅  ≅
⨁_{i=0,1} Γ(V_{i}, F_{s})  ⟶^{δ_{Ys}^{1}}  Γ(V_{01}, F_{s})  ⟶  H^{1}(Y_{s}, F_{s})  ⟶ 0 .

Nach Definition von F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}} ist δ^{1} ⊗ id_{k(s)} ≅ δ_{Y_{s}}^{1} . Also haben wir den Isomorphismus

H^{1}(Y, F)/𝔪 · H^{1}(Y, F) = H^{1}(Y, F) ⊗_{A} k(s) ≅ H^{1}(Y_{s}, F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}}) = (0) .

\underline{3.} Nach 2. gilt über dem lokalen Ring A_{𝔪} bei s

𝔪_{𝔪} · H^{1}(Y, F)_{𝔪} = (𝔪 · H^{1}(Y, F))_{𝔪} = H^{1}(Y, F)_{𝔪} .

Da F kohärent und p projektiv ist, ist H^{1}(Y, F) ein endlicher A-Modul. Deshalb folgt mit Nakayama

(R^{1}p_{∗}F)_{s} = H^{1}(Y, F)_{𝔪} = (0)

und es gibt eine offene affine Umgebung S′ von s in S mit (R^{1}p_{∗}F)|_{S′} = (0) . Also ist auf Y′ := Y ×_{S} S′

H^{1}(Y′, F|_{Y′}) = (0) .

\underline{4.} Wir ersetzen nun S durch S′ und betrachten die exakte Sequenz (∗). Mit 3. lautet diese

0 ⟶ H^{0}(Y, F) ⟶ ⨁_{i=0,1} Γ(U_{i}, F) ⟶^{δ^{1}} Γ(U_{01}, F) ⟶ 0 .

Tensorieren mit dem A-Modul k(s) liefert die exakte Sequenz

H^{0}(Y, F) ⊗_{A} k(s) ⟶^{α} ⨁_{i=0,1} Γ(V_{i}, F_{s}) ⟶^{δ_{Ys}^{1}} Γ(V_{01}, F_{s}) ⟶ 0 .

Also ist α (H^{0}(Y, F) ⊗_{A} k(s)) = ker δ_{Y_{s}}^{1} = H^{0}(Y_{s}, F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}}) und somit

H^{0}(Y, F) ⟶ H^{0}(Y, F) ⊗_{A} k(s) ⟶ H^{0}(Y_{s}, F ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}}) surjektiv.

Für den Satz über die lokale Ausdehnung benötigen wir außerdem folgendes

Lemma 4.13. Sei S ein noethersches, formelles R-Schema und p : Y ⟶ S die Aufblasung in einem offenen Ideal I, das lokal von zwei Elementen erzeugt wird. Es sei p_{∗}O_{Y} = O_{S} . Das Zentrum Z von p sei zusammenhängend und die zurückgezogene Garbe J := I · O_{Y} induziere das Geradenbündel O_{ℙ^{1}}(1) auf den Fasern über allen Punkten von Z. Sei L ein Geradenbündel auf Y.

Dann gibt es ein n ∈ ℤ, so daß p_{∗} (L ⊗_{O_{Y}} J^{⊗n}) ein Geradenbündel auf S ist und

p^{∗} p_{∗} (L ⊗_{O_{Y}} J^{⊗n}) ≅ L ⊗_{O_{Y}} J^{⊗n} .

\underline{Beweis:} \underline{1.} Für die Faser über jedem s ∈ Z ⊆ V(π) ist Y_{s} ⊂⟶ ℙ_{k(s)}^{1} abgeschlossen. Die Dimension ist dim Y_{s} = 1 , denn Y_{s} ist wegen p_{∗}O_{Y} = O_{S} zusammenhängend nach Zariskis Hauptsatz ([Ha, Corollary III.11.3]). Also gilt Y_{s} = ℙ_{k(s)}^{1} und somit L_{s} := L ⊗_{O_{Y}} O_{Y_{s}} ≅ O(n(s)) für ein n(s) ∈ ℤ. Wir wählen nun einen abgeschlossenen Punkt s ∈ Z, setzen n = n(s) und ersetzen L durch L ⊗_{O_{Y}} J^{⊗−n}. Dann ist n(s) = 0 und H^{1}(Y_{s}, L_{s}) = (0) . Sei f_{s} das globale Element von H^{0}(Y_{s}, L_{s}) , welches den Isomorphismus L_{s} ≅ O_{Y_{s}} liefert.

Wir betrachten eine offene, affine Umgebung Spf A von s. Diese ist algebraisierbar durch das Schema S′ := Spec A. Da p die Aufblasung in dem offenen Ideal I ist, ist Y ×_{S} Spf A ebenfalls algebraisierbar, etwa durch das S′-Schema Y′. Da Y′ projektiv über S′ ist, kommt das Geradenbündel L nach dem formellen GAGA ([EGA, III, Corollaire 5.1.6]) von einem algebraischen Geradenbündel L′ auf Y′. Wegen Lemma 4.12 gibt es nach eventueller Verkleinerung von S′ ein f ∈ H^{0}(Y′, L′) mit

\begin{matrix}H^{0}(Y′, L′) & ⟶ & H^{0}(Y_{s}, L_{s}) & ≅ & H^{0}(Y_{s}, O_{Y_{s}}) \\ f & ↦ & f_{s} & ↦ & 1 . \end{matrix}

Wir betrachten den Garbenmorphismus auf Y′

λ : O_{Y′} ⟶ L′ , 1 ↦ f .

Für jedes y ∈ Y_{s} ist λ_{y} : O_{Y′,y} ⟶ L′_{y} ≅ O_{Y′,y} surjektiv nach Nakayama, denn die Abbildung ist surjektiv modulo des maximalen Ideals von O_{Y′,y}.

\begin{aligned}λ_{y} ⊗ id_{k(y)} : & k(y) & ⟶^{∼} & L′_{y} ⊗_{O_{Y′,y}} k(y) & ≅ & k(y) \\ & 1 & ↦ & f ⊗ 1 & ↦ & 1 . \end{aligned}

Also ist λ_{y} : O_{Y′,y} ⟶ L′_{y} ≅ O_{Y′,y} bijektiv.

N := supp(ker λ) ∪ supp(coker λ) ist abgeschlossen in Y′ und N ∩ Y_{s} = ∅. Folglich ist p(N) ⊆ S′ abgeschlossen und U′ := S′ − p(N) eine offene Umgebung von s in S′. Auf p^{−1}(U′) ist also

λ|_{p^{−1}(U′)} : O_{p^{−1}(U′)} ⟶^{∼} L′|_{p^{−1}(U′)}

bijektiv. Erneut nach dem GAGA-Prinzip ([EGA, III, Corollaire 5.1.3]) liefert dies oberhalb der zu U′ gehörenden formellen, offenen Umgebung U von s einen Isomorphismus der formellen Geradenbündel

O_{p^{−1}(U)} ⟶^{∼} L|_{p^{−1}(U)} .

\underline{2.} Für alle s ∈ U ∩ Z gilt deshalb L_{s} ≅ O_{Y_{s}} und n(s) = 0 . Also ist n lokal konstant auf Z. Da Z zusammenhängend ist, ist n(s) = 0 konstant.

Nun liefert 1. eine Trivialisierung O_{p^{−1}(U_{i})} ⟶^{∼} L|_{p^{−1}(U_{i})} bezüglich einer offenen, formellen Überdeckung {U_{i}} von S. Somit ist

(p_{∗}L)|_{U_{i}} = p_{∗} L|_{p^{−1}(U_{i})} ≅ p_{∗} O_{p^{−1}(U_{i})} = O_{U_{i}} ,

also p_{∗}L ein Geradenbündel auf S und

(p^{∗} p_{∗}L)|_{p^{−1}(U_{i})} = p^{∗}((p_{∗}L)|_{U_{i}}) ≅ p^{∗}O_{U_{i}} = O_{p^{−1}(U_{i})} ≅ L|_{p^{−1}(U_{i})} ,

also die kanonische Abbildung p^{∗} p_{∗}L ⟶ L ein Isomorphismus.

Damit sind wir in der Lage, den Satz über die lokale Ausdehnung rigider Geradenbündel zu beweisen. Wir benützen dabei die Desingularisierungsprozedur aus Abschnitt 3.2.

Satz 4.14. Sei X_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K, welche ein strikt semistabiles, formelles Modell X habe. Man betrachte die beiden folgenden Situationen:

a) Sei V_{K} eine rigid analytische Varietät über K, welche die Bedingung (∗) von Seite 25 erfülle und L_{K} ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} .

b) Sei R ⊆ R′ eine verzweigte Erweiterung diskreter Bewertungsringe, K′ der Quotientenkörper von R′ und L_{K} ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} K′.

Dann gibt es eine offene, formelle Überdeckung U^{i} von X, so daß sich L_{K} zu Geradenbündeln L_{i} auf U^{i}×_{R} V beziehungsweise U^{i}×_{R} R′ ausdehnen läßt. Die Überdeckung U^{i} hängt dabei nicht von L_{K} ab.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Sei x ∈ X_{0} ein Punkt der speziellen Faser. Wir müssen eine offene Umgebung U von x unabhängig von L_{K} finden, so daß sich L_{K} zu einem Geradenbündel L auf U ×_{R} V beziehungsweise auf U ×_{R} R′ ausdehnt. Nach Satz 3.4 gibt es eine offene Umgebung U von x, welche formal glatt ist über dem formellen Schema

Spf R ⟨ξ_{1}, …, ξ_{m}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{m} − π) .

Dann ist im Fall a) Y := U ×_{R} V formal glatt über

S := Spf R ⟨ξ_{1}, …, ξ_{m}, ζ_{1}, …, ζ_{n}⟩ / (ξ_{1} · . . . · ξ_{m} − π, ζ_{1} · . . . · ζ_{n} − π)

beziehungsweise im Fall b) Y := U ×_{R} R′ formal glatt über

S := Spf R′ ⟨ξ_{1}, …, ξ_{m}⟩ / (ξ_{1} · . . . · ξ_{m} − π^{e}) ,

wobei e der Verzweigungsindex von R′ über R ist. Nun desingularisieren wir S gemäß Lemma 3.9 beziehungsweise Lemma 3.10 und erhalten nach Basiswechsel mit Y

[figure: Y′ = S′ ×_{S} Y; S′; Y; S]

Da Y′ formal glatt über dem regulären, formellen Schema S′ ist, ist nach Satz 2.7 auch Y′ regulär. Also dehnt sich nach Satz 4.7 das Geradenbündel L_{K} auf Y ′_{K} = Y_{K} zu einem Geradenbündel L′ auf Y′ aus. Dieses muß nun schrittweise zu einem Geradenbündel L auf Y absteigen.

\underline{2.} Die Desingularisierung wird gemäß Lemma 3.9 beziehungsweise Lemma 3.10 durch schrittweises Aufblasen erhalten. Für jede Aufblasung p : S^{ν+1} ⟶ S^{ν} in dem offenen Ideal I^{ν} ⊆ O_{S^{ν}} betrachten wir das Diagramm

[figure: Y^{ν+1} = S^{ν+1} ×_{S^{ν}} Y^{ν}; S^{ν+1}; Y^{ν}; S^{ν}; q; p]

Da Y^{ν+1} über S^{ν+1} flach ist, ist q : Y^{ν+1} ⟶ Y^{ν} die Aufblasung von Y^{ν} in J := I^{ν} ·O_{Y^{ν}} .

Auf Y^{ν+1} haben wir aufgrund der Induktionshypothese eine Ausdehnung L^{ν+1} des Geradenbündels L_{K} . Wir müssen daraus ein entsprechendes Geradenbündel L^{ν} auf Y^{ν} konstruieren.

Sei W^{ν} das Zentrum der Aufblasung p. Da S^{ν} nach Lemma 3.9 beziehungsweise Lemma 3.10 normal ist, gilt p_{∗}O_{S^{ν+1}} = O_{S^{ν}} und nach Zariskis Hauptsatz ([Ha, Corollary III.11.3]) folglich

W^{ν} = { s ∈ S^{ν} : p^{−1}(s) = ℙ_{k(s)}^{1} } ; p : S^{ν+1} − p^{−1}(W^{ν}) ⟶^{∼} S^{ν} − W^{ν} .

Sei Z^{ν} := W^{ν} ×_{S^{ν}} Y^{ν} . Dann ist Z^{ν} das Zentrum der Aufblasung q, das heißt

Z^{ν} = { y ∈ Y^{ν} : q^{−1}(y) = ℙ_{k(y)}^{1} } ; q : Y^{ν+1} − q^{−1}(Z^{ν}) ⟶^{∼} Y^{ν} − Z^{ν} .

Nach Lemma 3.9 beziehungsweise Lemma 3.10 ist W^{ν} und damit auch Z^{ν} die Vereinigung von Komponenten der Form

V (π, ξ_{i}, i ∈ M) ×_{k} V (π, ζ_{j}, j ∈ N) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α} = X_{0}^{M} ×_{k} V_{0}^{N} ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α}

im Fall a), beziehungsweise der Form

V (π, ξ_{i}, i ∈ M) ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α} = X_{0}^{M} ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α}

im Fall b). Jedes Stratum X_{0}^{M} zerfällt in irreduzible Komponenten. Da es über k glatt ist, gibt es nur eine Komponente, auf welcher der Punkt x liegt. Wir verkleinern nun U zu einer offenen Umgebung von x, so daß es von jedem Stratum X_{0}^{M} nur diese Komponente enthält. Dazu entfernen wir die übrigen Komponenten der Strata. Diese sind abgeschlossen. Nach der Verkleinerung sind die Strata X_{0}^{M} somit irreduzibel.

Da die V_{0}^{N} nach Voraussetzung geometrisch irreduzibel sind, zerfällt Z^{ν} in die irreduziblen Komponenten X_{0}^{M} ×_{k} V_{0}^{N} ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α}, beziehungsweise X_{0}^{M} ×_{k} (ℙ_{k}^{1})^{α}, die sich alle in einem Punkt über {x} ×_{k} V_{0} beziehungsweise über {x} schneiden (vergleiche Lemma 3.9 c beziehungsweise Lemma 3.10 c). Dies bedeutet, Z^{ν} ist zusammenhängend.

\underline{3.} Die zurückgezogene Garbe J · O_{Y^{ν+1}} induziert das Geradenbündel O_{ℙ^{1}}(1) auf den Fasern über allen Punkten des Zentrums Z^{ν} von q, denn nach Lemma 3.9 beziehungsweise Lemma 3.10 gilt dies entsprechend für die Aufblasung p von I^{ν} in S^{ν} und ihr Zentrum W^{ν} .

Nach Lemma 3.9 beziehungsweise Lemma 3.10 ist S^{ν} normal. Also gilt p_{∗}O_{S^{ν+1}} = O_{S^{ν}} und wegen der Flachheit von Y^{ν} über S^{ν} auch q_{∗}O_{Y^{ν+1}} = O_{Y^{ν}} .

Nach Lemma 4.13 läßt sich somit das Geradenbündel L^{ν+1} auf Y^{ν+1} mittels J modifizieren, so daß das modifizierte Bündel zu einem Geradenbündel L^{ν} auf Y^{ν} absteigt. Da J_{K} ≅ O_{Y_{K}} ist, wird bei der Modifizierung das rigide Geradenbündel L_{K} nicht verändert. Das dadurch gewonnene Geradenbündel L^{ν} ist somit eine Ausdehnung von L_{K} auf Y^{ν} .

Insgesamt erhalten wir also eine Ausdehnung L von L_{K} auf Y .

4.5 Der multiplikative Anteil

In diesem Abschnitt wollen wir erklären, was wir unter dem multiplikativen Anteil eines Geradenbündels L verstehen. Wir werden zeigen, daß sich ein rigides Geradenbündel mit trivialem multiplikativen Anteil global zu einem formellen Geradenbündel ausdehnen läßt.

Sei X_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät über K mit strikt semistabilem, formellem Modell X, sowie V_{K} eine rigid analytische Varietät über K, welche die Bedingung (∗) von Seite 25 erfülle. Wir betrachten die beiden Fälle:

1. L ist ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} .

2. L ist ein Geradenbündel auf X ×_{R} Spf R⟨ℤ^{r}⟩.

\underline{1. Fall} Satz 4.15. Sei X_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät mit strikt semistabilem, formellem Modell X und V_{K} eine glatte, rigid analytische Varietät mit formellem Modell V, welches formal glatt über R⟨ξ_{1}, …, ξ_{s+1}⟩/(ξ_{1} ·. . .·ξ_{s+1} −π) ist und die Bedingung (∗) von Seite 25 erfülle. Ferner sei v_{K} ∈ V_{K}(K) ein Punkt oberhalb von {ξ_{1} = … = ξ_{s} = 1} und L_{K} ein Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} , welches entlang v_{K} trivialisiert ist.

Dann zerfällt L_{K} in zwei Geradenbündel L_{K} ≅ M_{K} ⊗ N_{K} , wobei

a) M_{K} ≅ (ξ_{1}^{n_{1}} ⊗ … ⊗ ξ_{s}^{n_{s}}) durch n_{1}, …, n_{s} ∈ H^{1}(X, ℤ) gegeben ist und

b) N_{K} von einem formellen Geradenbündel N auf X ×_{R} V herrührt.

Die Zerlegung von L_{K} ist eindeutig und ergibt eine Zerlegung

Pic(X_{K} ×_{K} V_{K}) = H^{1}(X, ℤ)^{s} ⊕ Pic(X ×_{R} V) .

\underline{Beweis:} \underline{1.} Nach Satz 4.14 gibt es eine offene formelle Überdeckung X^{i} von X und ein formelles Geradenbündel L′ auf der disjunkten Vereinigung

Y′ := X′ ×_{R} V := ∐_{i} X^{i} ×_{R} V

welches das rigide Geradenbündel L′_{K} := p^{∗}L_{K} auf

Y ′_{K} := Y′ ⊗_{R} K = X′_{K} ×_{K} V_{K} = ∐_{i} Xi_{K} ×_{K} V_{K}

fortsetzt. Dabei betrachten wir die Abbildungen

\begin{aligned}Y′′ & := & Y′ ×_{Y} Y′ & ⟶^{p_{1}} ; ⟶_{p_{2}} & Y′ & ⟶^{p} & Y & := & X ×_{R} V und \\ Y ′′_{K} & = & Y ′_{K} ×_{Y_{K}} Y ′_{K} & ⟶^{p_{1}} ; ⟶_{p_{2}} & Y ′_{K} & ⟶^{p} & Y_{K} & = & X_{K} ×_{K} V_{K} \end{aligned}

mit den Projektionen p_{1} und p_{2} auf die entsprechenden Faktoren und der natürlichen Abbildung p. Da L_{K} entlang v_{K} trivialisiert ist, läßt sich die Ausdehnung L′ so wählen, daß sie entlang v trivialisiert ist.

Das Geradenbündel L′_{K} ist isomorph zu p^{∗} L_{K} . Dies liefert ein Descent-Datum auf Y ′′_{K}

φ_{K} : (p_{1}^{∗}L′)_{rig} ⟶^{∼} (p_{2}^{∗}L′)_{rig}

(vergleiche Abschnitt 2.3). Wir betrachten nun das formelle Geradenbündel

H := Hom_{Y′′} (p_{1}^{∗}L′ , p_{2}^{∗}L′)

auf Y′′ und das zugehörige rigide Geradenbündel auf Y ′′_{K}

H_{K} := H ⊗_{R} K = Hom_{Y\begin{matrix}′ & ′ \\ K \end{matrix}} ((p_{1}^{∗}L′)_{rig} , (p_{2}^{∗}L′)_{rig}) .

φ_{K}ist also ein globaler Schnitt in Isom_{Y\begin{matrix}′ & ′ \\ K \end{matrix}} ((p_{1}^{∗}L′)_{rig} , (p_{2}^{∗}L′)_{rig}) ⊆ Γ(Y ′′_{K}, H_{K}) . Da L′ entlang

v trivialisiert ist, ist auch H dort trivialisiert, etwa durch θ : ( id_{X′′} ×v)^{∗}H ⟶^{∼} O_{X′′} .

\underline{2.} Sei U eine Zusammenhangskomponente von X′′ := X′ ×_{X} X′. Dann läßt sich U nach Satz 3.4 als Vereinigung offener Teilmengen U^{ν} schreiben, welche die Bedingung (an X) von Lemma 3.13 erfüllen. Nach Lemma 3.13 ist also

φ_{K}|_{U_{K}^{ν} ×_{K}V_{K}} = a_{ν} ψ^{ν} ξ_{1}^{n_{1}} · . . . · ξ_{s}^{n_{s}}

für a_{ν} ∈ O_{X′′_{K}} (U ν_{K})^{×} , ψ^{ν} ∈ Isom_{U^{ν} ×_{R}V} (p_{1}^{∗}L′ , p_{2}^{∗}L′) und eindeutig bestimmte n_{σ} ∈ ℤ(U^{ν}) .

Da jeder Punkt in U^{μ} ∩ U^{ν} eine Umgebung wie in Lemma 3.13 besitzt, hängen die n_{σ} nicht von ν ab, sind also lokal konstant auf X′′. Das heißt sie bilden Elemente n_{σ} ∈ ℤ(X′′) . Die Kozykelbedingung für φ_{K} besagt nun, daß n_{σ} ∈ H^{1}(X, ℤ) ist.

Wir definieren das Geradenbündel M_{K} := (ξ_{1}^{n_{1}} ⊗ … ⊗ ξ_{s}^{n_{s}}) auf X_{K} ×_{K} V_{K} folgendermaßen. Auf Xi_{K} ×_{K} V_{K} sei M_{K} trivial und die Verklebung erfolge durch den Kozyklus ξ_{1}^{n_{1}} ⊗ … ⊗ ξ_{s}^{n_{s}} . Ferner definieren wir N_{K} := L_{K} ⊗ M\begin{matrix}∨ \\ K \end{matrix} . Dann ist p^{∗}L_{K} ≅ p^{∗}N_{K} auf Y ′_{K} und das entsprechende Descent-Datum für N_{K} ist

φ_{K} ⊗ ξ_{1}^{−n_{1}} ⊗ … ⊗ ξ_{s}^{−n_{s}}

Es ist nun θ(v^{∗}ψ^{ν}) ∈ O_{X′′}(U^{ν})^{×} . Ersetzen wir also ψ^{ν} durch θ(v^{∗}ψ^{ν})^{−1}ψ^{ν} und a_{ν} durch a_{ν} θ(v^{∗}ψ^{ν}) ∈ O_{X′′_{K}} (U ν_{K})^{×} , so ist θ(v^{∗}ψ^{ν}) = 1 und a_{ν} = v^{∗} a_{ν} somit eindeutig bestimmt. Dies zeigt, daß auch a = a_{ν} nicht von ν abhängt und a ∈ OX′′_{K}^{×} (X′′_{K}) einen Kozyklus bildet. Da L über v_{K} trivialisiert ist, ist a ein Korand. Also können wir den Isomorphismus von L′_{K} mit p^{∗}N_{K} so ändern, daß das Descent-Datum für N_{K} die Form

φ′_{K} := φ_{K} ⊗ a^{−1} ⊗ ξ_{1}^{−n_{1}} ⊗ … ⊗ ξ_{s}^{−n_{s}}

hat. Auf U ν_{K} ×_{K} V_{K} ist φ′_{K}|_{U_{K}^{ν} ×_{K}V_{K}} = ψ^{ν} . Dies zeigt, daß |φ′_{K}(y)| = 1 ist für alle Punkte y ∈ Y ′′_{K}. Somit läßt sich φ′_{K} nach Lemma 2.16 zu einem Descent-Datum

φ′ : p_{1}^{∗}L′ ⟶^{∼} p_{2}^{∗}L′

ausdehnen. φ′ erfüllt die Kozykelbedingung, da φ′_{K} sie erfüllt. Also steigt L′ nach Satz 2.18 wie gewünscht zu einem Geradenbündel N auf X ×_{R} V ab.

Definition 4.16. In der Situation von Satz 4.15 ist der multiplikative Anteil des Geradenbündels L_{K} das Geradenbündel

M_{K} ≅ (ξ_{1}^{n_{1}} ⊗ … ⊗ ξ_{s}^{n_{s}})

aus Satz 4.15 , welches durch die Kohomologieklassen n_{1}, …, n_{s} ∈ H^{1}(X, ℤ) gegeben ist.

\underline{2. Fall:}

Sei X ein strikt semistabiles, zulässiges, formelles R-Schema und \overline{T} = Spf R⟨ℤ^{r}⟩ ein formeller Torus. Sei L ein Geradenbündel auf X ×_{R} \overline{T} . Wir wollen L ein Geradenbündel M auf X ×_{R} \overline{T} zuordnen, das wir den multiplikativen Anteil von L nennen werden. Wir gehen dabei folgendermaßen vor.

\underline{1.} Wir betrachten die Projektion

φ : X ×_{R} \overline{T} ⟶ X .

Für die Garbe von abelschen Gruppen OX×_{R}\overline{T}^{×} auf X ×_{R} \overline{T} gibt es eine Leray-Spektral-sequenz, welche wie folgt konvergiert

E_{2}^{p,q} := H^{p}(X, R^{q}φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×}) ⟹ H^{p+q}(X ×_{R} \overline{T} , OX×_{R}\overline{T}^{×})

(vergleiche [Ro, Seiten 350ff.]). Die exakte Sequenz der niedrigen Terme lautet

0 ⟶ H^{1}(X, φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×}) ⟶^{α} H^{1}(X ×_{R} \overline{T} , OX×_{R}\overline{T}^{×}) ⟶ H^{0}(X, R^{1}φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×}) .

Nach Satz 4.9 ist R^{1}φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×} = 0 . Wir bekommen also einen Isomorphismus

α^{−1} : Pic(X ×_{R} \overline{T}) ⟶ H^{1}(X, φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×}) .

\underline{2.} Es gibt einen Morphismus von Garben auf X

ord : φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×} ⟶ ℤ^{r} .

Dieser läßt sich wie folgt beschreiben. Sei U eine offene Teilmenge von X. Ohne Einschränkung sei U zusammenhängend. Dann ist

(φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×} ) (U) = O_{X×_{R}\overline{T}} (U ×_{R} \overline{T})^{×} = (O_{X}(U) ⟨ℤ^{r}⟩)^{×} =: A^{×}.

Wir wählen Koordinaten auf dem Torus, \overline{T} = Spf R⟨ζ_{1}^{±1}, …, ζ_{r}^{±1}⟩. Nach [BGR, Lemma 9.7.1.1], ist dann jedes a ∈ A^{×} von der Form

a = u · ζ_{1}^{n_{1}} · . . . · ζ_{r}^{n_{r}} · (1 + h) ,

für u ∈ O_{X}(U)^{×}, h ∈ A mit |h|_{Sp A_{K}} < 1 und eindeutig bestimmte n_{i} ∈ ℤ. Wir definieren nun

ord(a) := (n_{1}, …, n_{r}) ∈ ℤ^{r} = ℤ^{r}(U) .

Dies ist verträglich mit Einschränkungen ρ : U′ ⊂⟶ U, denn unter der zugehörigen Abbildung ρ^{∗} : A ⟶ O_{X}(U′) ⟨ℤ^{r}⟩ =: B wird a zu

ρ^{∗} a = (ρ^{∗} u) · ζ_{1}^{n_{1}} · . . . · ζ_{r}^{n_{r}} · (1 + ρ^{∗} h) .

Dabei ist ρ^{∗} u ∈ O_{X}(U′)^{×} nach wie vor eine Einheit und |ρ^{∗} h|_{Sp B_{K}} < 1 nach Lemma 2.15 . Somit ist ord ein Garbenmorphismus auf X und wir erhalten einen Morphismus der Kohomologiegruppen

H^{1}(ord) : H^{1}(X, φ_{∗}OX×_{R}\overline{T}^{×}) ⟶ H^{1}(X, ℤ^{r}) .

Insgesamt erhalten wir also einen Morphismus

mult := H^{1}(ord) ∘ α^{−1} : Pic(X ×_{R} \overline{T}) ⟶ H^{1}(X, ℤ)^{r} .

Definition 4.17. Der multiplikative Anteil des Geradenbündels L auf X ×_{R} \overline{T} ist das Element

mult(L) ∈ H^{1}(X, ℤ)^{r} .

Ferner erhalten wir folgendes

Lemma 4.18. Durch H^{1}(X, ℤ)^{r} ⟶ Pic(X ×_{R} \overline{T}) , (n_{1}, …, n_{r}) ↦ ζ_{1}^{n_{1}} ⊗ … ⊗ ζ_{r}^{n_{r}} wird mult(L) auf ein Geradenbündel M abgebildet. Dann zerfällt das Geradenbündel L ⊗ M^{∨} auf X ×_{R} \overline{T} in das Produkt des Rücktransports eines Geradenbündels N auf X und eines Geradenbündels H auf X ×_{R} \overline{T} , für das H ⊗_{R} k trivial ist.

\underline{Beweis:} Dies folgt aus obiger Zerlegung der Einheiten a = u · ζ_{1}^{n_{1}} · . . . · ζ_{r}^{n_{r}} · (1 + h) .

Der Beweis

5.1 Die Darstellung des Funktors \overline{Pic}_{X_{K} /K}^{0}

In diesem Kapitel werden wir Satz 4.5 beweisen. Sei also X_{K} eine eigentliche, glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K mit strikt semistabilem, formellem Modell X über R und einem Punkt x_{K} ∈ X_{K}(K) .

Sei R_{n} := R/(π^{n+1}) und X_{n} := X ×_{R} R_{n}. Dann ist X_{n} ein eigentliches, flaches R_{n}-Schema. Die Faser X_{0} über dem einzigen Punkt Spec k von Spec R_{n} ist nach Definition 3.1 b) geometrisch reduziert. Ferner dehnt sich der K-wertige Punkt x_{K} von X_{K} zu einem R-wertigen Punkt x von X aus. Dieser reduziert zu x_{n} ∈ X_{n}(R_{n}) . Nach klassischen Resultaten von M. Artin ([Ar 1, Theorem 7.3]) ist deshalb Pic_{X_{n}/R_{n}} darstellbar durch einen algebraischen Raum, lokal von endlichem Typ über R_{n}. Da R_{n} artinsch und Pic_{X_{n}/R_{n}} ein Gruppenobjekt ist, ist Pic_{X_{n}/R_{n}} nach [Ar 2, Theorem 3.5] ein Schema, und nach [EGA, IV, Proposition 2.7.1] lokal von endlichem Typ über R_{n}. Sei P′_{n} die Zusammenhangskomponente, die das neutrale Element enthält. Dann stellt P′_{n} den Funktor Pic_{X_{n}/R_{n}}^{0} dar und ist nach [SGA 3, I, Exposé VI_{A}, Proposition 2.4] von endlichem Typ über R_{n}. Das neutrale Element der Gruppe P′_{n} ist ein R_{n}-wertiger Punkt 1 . Weiter existiert auf X_{n} ×_{R_{n}} P′_{n} das Poincaré-Bündel P′_{n}. Dieses ist trivial entlang X_{n} × {1} und rigidifiziert mittels ρ_{n} : O_{P′_{n}} ⟶^{∼} (x_{n} × id_{P′_{n}})^{∗} P′_{n}.

Da P′_{n} ×_{R_{n}} R_{n−1} die Eins-Komponente von Pic_{X_{n}/R_{n}} ×_{R_{n}}R_{n−1} ist, stellt P′_{n} ×_{R_{n}} R_{n−1} nach Lemma 4.3 den Funktor Pic_{X_{n−1}/R_{n−1}}^{0} dar und ist somit kanonisch isomorph zu P′_{n−1} .

Folglich existiert der direkte Limes

P′ := lim_{⟶} P′_{n} .

Der topologische Raum P′_{0} von P′ ist quasikompakt. Die Strukturgarbe ist

O_{P′} := lim_{⟵} O_{P′_{n}} .

P′ ist ein formelles Schema, topologisch von endlichem Typ über R nach [EGA, I, Proposition 10.6.3 und Corollaire 10.6.4] und [FRG, I, Lemma 1.5]. Da R noethersch ist, ist P′ darüberhinaus topologisch von endlicher Darstellung über R.

Es ist P′_{n} = P′_{n+1} ⊗_{R_{n+1}} R_{n}. Das inverse System der P′_{n} besitzt somit als Limes das Geradenbündel

P′ := lim_{⟵} P′_{n}

auf X ×_{R} P′ (vergleiche [Ha, Proposition II.9.6]). Der R-wertige Punkt 1 := lim_{⟶} 1 ist das neutrale Element der Gruppe P′. Entlang X × {1} ist P′ trivial. Das inverse System der Rigidifizierungen ρ′_{n} ergibt eine Rigidifizierung ρ : O_{P′} ⟶^{∼} (x × id_{P′})^{∗} P′.

Das formelle Schema P′ ist nicht notwendig flach über R. Dies liegt im wesentlichen daran, daß es Geradenbündel auf X_{n} geben kann, die sich nicht zu Geradenbündeln auf X_{n+1} ausdehnen. Da wir jedoch nur an der Darstellbarkeit des Funktors Pic_{X_{K} /K}^{0} interessiert sind, dividieren wir die π-Torsion von P′ aus. Das heißt zu jeder affinen, offenen Teilmenge Spf A′ von P′ betrachten wir

\overline{A′} := A′ / \{ a ∈ A′ : π^{n}a = 0 für ein n ∈ ℕ \} .

Dann ist \overline{A′} ohne R-Torsion und folglich flach über R. Ferner faktorisiert jeder Morphismus φ von A′ in eine flache R-Algebra B durch \overline{A′}, da φ das π-Torsionsideal von A′ in dasjenige von B abbildet. Letzteres ist aber gleich (0) . Somit lassen sich die Spf \overline{A′} zu einem zulässigen, formellen R-Schema verkleben und dieses ist ein Gruppenschema. Sei \overline{P′}_{K} die Zusammenhangskomponente dieses Schemas, welche den R-wertigen Punkt 1 enthält, also

\overline{P′} ⊆ P′/(π-Torsion) ⊂⟶ P′

Dann besitzt \overline{P′} die Eigenschaft, daß jeder Morphismus von einem zusammenhängenden, zulässigen, formellen R-Schema V nach P′ durch \overline{P′} faktorisiert. Der Rücktransport des Geradenbündels P′ nach X ×_{R} \overline{P′} liefert ein rigidifiziertes Geradenbündel \overline{P′}, trivial entlang X × {1}. Dieses ist das Poincaré-Bündel, denn es gilt der

Satz 5.1. Das punktierte, zulässige, formelle R-Schema (\overline{P′}, 1 ) stellt den Funktor Pic_{X/R}^{0} der rigidifizierten und trivialisierten Geradenbündel auf der Kategorie der zusammenhängenden, zulässigen, formellen R-Schemata dar.

\underline{Beweis:} Sei V ein zusammenhängendes, zulässiges, formelles R-Schema und v ∈ V (R) . Weiter sei L ein rigidifiziertes Geradenbündel auf X ×_{R} V , trivial entlang X × {v}. Dann ist L ⊗_{R} R_{n} ein entsprechendes Geradenbündel auf X_{n} ×_{R_{n}} V_{n}. Also gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus f_{n} : V_{n} ⟶ P′_{n} und einen Isomorphismus

φ_{n} : L ⊗_{R} R_{n} ⟶^{∼} ( id_{X_{n}} ×f_{n})^{∗} P′_{n} .

Wegen der Eindeutigkeit von f_{n} gilt f_{n+1} ⊗_{R_{n+1}} R_{n} = f_{n}. Also setzen sich die f_{n} zu einem eindeutig bestimmten Morphismus

f : V ⟶ P′

zusammen, der durch \overline{P′} faktorisiert, da V flach über R und zusammenhängend ist. Es gilt f(v) = 1 . Da die φ_{n} die Rigidifizierung respektieren, folgt analog zu Lemma 4.4 , daß sie eindeutig bestimmt sind. Also setzen sie sich zu dem Isomorphismus φ : L ⟶^{∼} ( id_{X} ×f)^{∗} P′ zusammen.

Wir betrachten nun die rigid analytische Gruppenvarietät \overline{P′}_{rig} . Diese ist nicht notwendigerweise glatt über K. Falls K Charakteristik 0 hat, ist jedoch die Varietät

\overline{P}_{K} := (\overline{P′}_{rig})_{red} = (\overline{P′}_{red})_{rig}

geometrisch reduziert. Falls K Charakteristik ungleich 0 hat, läßt sich im allgemeinen nicht erreichen, daß eine integre, rigid analytische Gruppenvarietät geometrisch reduziert ist, selbst wenn wir zuvor zu einer endlichen Körpererweiterung von K übergehen. Dies zeigt folgendes 5.1. DIE DARSTELLUNG DES FUNKTORS \overline{Pic}_{X_{K} /K}^{0} 57

Beispiel 5.1.1. Sei k := 𝔽_{p}(t_{n}, n ∈ ℕ) , R := k[[u]] und K := k((u)) . Das heißt t_{n} sind Variablen mit Betrag 1 und u ist eine Variable mit Betrag kleiner 1. Nun sei

A_{K} := K⟨S, T ⟩ / (S^{p} − ∑_{n≥1} u^{n}t_{n} T^{p^{n}})

Dann ist Sp A_{K} eine integere, rigid analytische Untergruppenvarietät von \overline{𝔾}_{a,K}^{2} . Für einen topologisch, algebraischen Abschluß \overline{K} von K ist A_{K} ˆ⊗_{K} \overline{K} nicht reduziert, weil sich die pte Wurzel der Summe ziehen läßt. Jedoch läßt sich die p-te Wurzel nach keiner endlichen Körpererweiterung K′ von K ziehen, und somit ist A_{K} ⊗_{K} K′ nach wie vor reduziert.

Im folgenden betrachten wir den Fall, in dem \overline{P}_{K} geometrisch reduziert ist, wobei wir den Übergang zu einer endlichen, separablen Körpererweiterung zulassen. Falls char K = 0 ist, gilt dies. Dieses ist die einzige Stelle im Beweis von Satz 4.5 , an der wir char K = 0 benötigen (vergleiche Bemerkung 4.5.2). Der Punkt 1 ∈ \overline{P′}(R) ergibt einen Punkt 1 ∈ \overline{P}_{K}(K) da R reduziert ist.

Wenden wir das Theorem über die reduzierte Faser ([FRG, IV, Theorem 2.1]) auf das formelle R-Schema \overline{P′}_{red} an, so erhalten wir nach einer endlichen, generisch separablen Ringerweiterung ein zulässiges, formelles R-Schema \overline{P} mit geometrisch reduzierten Fasern, sowie einen endlichen Morphismus

\overline{P} ⟶ \overline{P′}_{red}

mit \overline{P}_{rig} = \overline{P}_{K} . Da \overline{P}_{0} ein geometrisch reduziertes Gruppenschema ist, ist \overline{P}_{0} glatt über R_{0} nach [SGA 3, I, Exposé VI_{A}, Proposition 1.3.1]. Folglich ist \overline{P} nach [FRG, II, Lemma 1.2] glatt über R.

Mit \overline{P′}_{red} ist auch \overline{P}_{K} quasikompakt nach [FRG, I, Theorem 4.1]. Deshalb existiert das formelle Néron-Modell von \overline{P}_{K} (vergleiche [BS, Theorem 1.2]) und dieses ist gleich \overline{P} nach [BS, Proposition 2.3]. Das heißt, \overline{P} besitzt die universelle Eigenschaft des Néron-Modells:

Für jedes glatte, zulässige, formelle R-Schema V dehnt sich jeder Morphismus von rigiden K-Varietäten f_{K} : V_{K} ⟶ \overline{P}_{K} zu einem eindeutig bestimmten Morphismus f : V ⟶ \overline{P} aus.

Insbesondere dehnt sich 1 ∈ \overline{P}_{K}(K) zu 1 ∈ \overline{P} (R) aus. Wir erhalten insgesamt einen endlichen Morphismus

g : \overline{P} ⟶ \overline{P′} .

Der Rücktransport von \overline{P′} unter g ist ein Geradenbündel \overline{P} auf X × \overline{P} , welches entlang \{x\} × \overline{P} rigidifiziert und entlang X × \{1\} trivial ist. Es gilt nun der

Satz 5.2. Die punktierte, rigid analytische Varietät (\overline{P}_{K}, 1) stellt den Funktor \overline{Pic}_{X_{K} /K}^{0} dar.

\underline{Beweis:} Sei V_{K} eine glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K mit glattem, formellem Modell V , sowie v_{K} ∈ V_{K}(K) . Weiter sei L_{K} ein rigidifiziertes Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} , trivial entlang X_{K} × {v_{K}}. Der Punkt v_{K} dehnt sich zu einem Punkt v ∈ V (R) aus. Nach Satz 2.7 ist nun X ×_{R} V regulär und es existiert eine Ausdehnung L von L_{K} nach Satz 4.7 . Diese kann so gewählt werden, daß sie entlang {x} × V rigidifiziert und entlang X × {v} trivial ist. Dadurch ist sie eindeutig bestimmt, wie wir weiter unten sehen werden. Sie induziert nach Satz 5.1 einen eindeutig bestimmten Morphismus

f′ : V ⟶ \overline{P′}

mit L ≅ ( id_{X} ×f′)^{∗} \overline{P′}. Auf den generischen Fasern erhalten wir somit einen Morphismus

f ′_{rig} : V_{K} ⟶ \overline{P′}_{rig} ,

der durch die reduzierte Untervarietät \overline{P}_{K} faktorisiert, da V_{K} reduziert ist. Nach der universellen Eigenschaft des Néron-Modells gibt es also einen Morphismus

f : V ⟶ \overline{P} .

Da f ′_{rig} = g_{rig} ∘ f_{rig} ist, gilt f′ = g ∘ f (vergleiche [FRG, I, Aussage (b) im Beweis von Theorem 4.1]). Dies bedeutet, daß L ≅ ( id_{X} ×f)^{∗} \overline{P} ist. Damit f und somit auch f_{rig} eindeutig bestimmt ist, bleibt nun noch zu zeigen, daß L durch L_{K} eindeutig bestimmt ist. Dies ist nach dem folgenden Lemma 5.3 der Fall.

Bemerkung 5.2.1. Der Beweis von Satz 5.2 zeigt ferner, daß das punktierte, formelle R-Schema (\overline{P} , 1) den Funktor Pic_{X/R}^{0} der rigidifizierten und trivialisierten Geradenbündel auf der Kategorie der glatten, zusammenhängenden, zulässigen, formellen R-Schemata darstellt.

Lemma 5.3. Sei V ein zulässiges, formelles Schema über R mit reduzierter spezieller Faser. Sei ferner f : V ⟶ \overline{P} ein Morphismus, welcher das formelle Geradenbündel L := ( id_{X} ×f)^{∗} \overline{P} auf X ×_{R} V induziere. Dann gilt:

Falls L ⊗_{R} K trivial ist, so ist bereits L trivial.

\underline{Beweis:} Sei w ∈ V (R′) für den Bewertungsring R′ einer endlichen Erweiterung K′ von K. Dann wird das formelle Geradenbündel L′ := ( id_{X} ×w)^{∗}L auf X′ := X ×_{R} R′ von dem Morphismus g∘f ∘w : R′ ⟶ \overline{P} ⟶ \overline{P′} induziert. Wir betrachten X′ als formelles R′-Schema. Die spezielle Faser über dem Restklassenkörper k′ von R′ ist

X′_{0} := X′ ×_{R′} k′ = X_{0} ×_{k} k′

und somit geometrisch reduziert, da X_{0} geometrisch reduziert ist. Also trägt das Geradenbündel L′_{K′} := L′ ⊗_{R′} K′ eine Norm wie in Abschnitt 2.2 beschrieben. Nach Voraussetzung ist L′_{K′} trivial und es gibt einen globalen Schnitt 0 ≠ l ∈ Γ(X′_{K′} , L′_{K′}) , der L′_{K′} erzeugt. Nach Lemma 2.12 läßt sich l normieren zu |l|_{X′_{K′}} = 1 . Damit ist l ∈ Γ(X′, L′) nach Lemma 2.16 und l_{0} := l ⊗_{R′} k′ ≠ 0 ein globaler Schnitt von L′_{0} := L′ ⊗_{R′} k′ über X′_{0} . Wir müssen zeigen, daß l nullstellenfrei auf X′ ist. Sei dazu i : C_{0} ⊂⟶ X′_{0} eine komplette, integre Kurve in X′_{0} mit i^{∗}l_{0} ≠ 0 . Da L′_{0} ∈ Pic_{X′_{0}/k′}^{0}(k′) ist, gehört die Restriktion i^{∗}L′_{0} zu Pic_{C_{0}/k′}^{0}(k′) , das heißt deg(i^{∗}L′_{0}) = 0 . Nachdem i^{∗}l_{0} ohne Polstelle auf C_{0} ist, hat i^{∗}l_{0} folglich auch keine Nullstelle auf C_{0} . Also ist i^{∗}L′ ≅ O_{C_{0}} und i^{∗}l_{0} konstant. Da sich je zwei Punkte von X′_{0} durch eine Kette kompletter, integrer Kurven miteinander verbinden lassen und X′_{0} reduziert ist, ist l_{0} ≠ 0 konstant auf X′_{0} und folglich L′ ≅ O_{X′} .

Somit ist f(w) = 1 ∈ \overline{P′} und da V_{0} reduziert ist, bildet f nach Lemma 2.8 ganz V auf das neutrale Element 1 von \overline{P′} ab. Dies bedeutet, daß L trivial ist.

5.2. DIE STRUKTUR VON \overline{P}_{K} 59

5.2 Die Struktur von \overline{P}_{K}

Wir wollen nun die Struktur von \overline{P}_{K} studieren. Dazu betrachten wir zunächst die spezielle Faser \overline{P}_{0} von \overline{P} . Diese ist ein glattes, zusammenhängendes, kommutatives Gruppenschema über k. Über einem algebraischen Abschluß \overline{k} von k ist \overline{P}_{0} ⊗_{k} \overline{k} deshalb nach einem Satz von C. Chevalley (siehe [BLR, Theorem 9.2.1]) eine Erweiterung

1 ⟶ L_{\overline{k}} ⟶ \overline{P}_{0} ⊗_{k} \overline{k} ⟶ B_{\overline{k}} ⟶ 1

einer abelschen Varietät B_{\overline{k}} durch eine glatte, zusammenhängende, lineare Gruppe L_{\overline{k}} . Nach [SGA 3, II, Exposé XVII, Théorème 7.2.1] ist

L_{\overline{k}} = T_{\overline{k}} ×\overline{k} U_{\overline{k}}

das direkte Produkt einer Gruppe T_{\overline{k}} von multiplikativem Typ und einer unipotenten Gruppe U_{\overline{k}} . Da L_{\overline{k}} glatt über \overline{k}, affin und zusammenhängend ist, gilt dies für T_{\overline{k}} und U_{\overline{k}} ebenso. Nach [SGA 3, II, Exposé X, Proposition 1.4] ist T_{\overline{k}} diagonalisierbar, das heißt

T_{\overline{k}} ≅ Spec \overline{k} [M] = (Hom(ℤ, M))\overline{k}

für eine abelsche Gruppe M . Da T_{\overline{k}} von endlichem Typ über \overline{k} ist, ist M nach [SGA 3, II, Exposé VIII, Proposition 2.1] endlich erzeugt und folglich eine direkte Summe einer freien Gruppe mit einer endlichen Gruppe. Nach [SGA 3, II, Exposé VIII, Théorème 3.1] ist T_{\overline{k}} entsprechend das Produkt eines Torus mit einer endlichen k-Gruppe. Da T_{\overline{k}} zusammenhängend und glatt ist, ist der Torsionsanteil von M trivial (vergleiche [SGA 3, II, Exposé VIII, Proposition 2.1]). Also ist T_{\overline{k}} ≅ 𝔾_{m,\overline{k}}^{r} ein Torus.

Nachdem in obiger Überlegung alle Schemata und Morphismen von endlichem Typ über k sind, sind sie bereits über einer endlichen Erweiterung k′ von k definiert, nach Basiswechsel mit einer geeigneten endlichen, generisch separablen Erweiterung von R also über k:

1 ⟶ 𝔾_{m,k}^{r} ×_{k} U_{k} ⟶ \overline{P}_{0} ⟶ B_{k} ⟶ 1 .

Wir wollen nun zeigen, daß der unipotente Anteil U_{k} trivial ist. Nach [SGA 3, II, Exposé XVII, Proposition 4.1.1] ist dies gleichbedeutend damit, daß \overline{P}_{0} keine additive Gruppe 𝔾_{a,k} enthält.

Wir nehmen also an, es gäbe eine additive Untergruppe in \overline{P}_{0}

𝔾_{a,k} ⊂⟶ \overline{P}_{0} ⟶ P′_{0} .

Diese induziert ein Geradenbündel L auf X_{0} ×_{k} 𝔾_{a,k}, welches über 0 ∈ 𝔾_{a,k} trivial ist. Nach Satz 4.8 ist L damit global trivial. Dies bedeutet, daß der ganze 𝔾_{a,k} auf das neutrale Element 1 ∈ \overline{P′}_{0} ⊆ P′_{0} abgebildet wird. Da mit g auch der Morphismus g_{0} : \overline{P}_{0} ⟶ \overline{P′}_{0} endlich ist (vergleiche [BGR, Theorem 6.3.5.1]) wird somit die ganze additive Gruppe 𝔾_{a,k} auf 1 ∈ \overline{P}_{0} abgebildet. Dies ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme. Also haben wir gezeigt:

Satz 5.4. Nach einer geeigneten endlichen, generisch separablen Ringerweiterung von R besitzt \overline{P} split semiabelsche Reduktion, das heißt die spezielle Faser \overline{P}_{0} ist eine Erweiterung

1 ⟶ 𝔾_{m,k}^{r} ⟶ \overline{P}_{0} ⟶ B_{k} ⟶ 1

einer abelschen Varietät B_{k} durch einen Torus 𝔾_{m,k}^{r}.

Die Torusuntergruppe T_{0} := 𝔾_{m,k}^{r} von \overline{P}_{0} dehnt sich nach [SGA 3, II, Exposé XV, Corollaire 2.3] zu einer eindeutig bestimmten Torusuntergruppe T_{n} ⊆ \overline{P}_{n} aus. Da T_{n} glatt über R_{n} ist nach [SGA 3, II, Exposé IX, Proposition 2.1] und T_{0} in ein direktes Produkt von multiplikativen Gruppen zerfällt, gilt nach [SGA 3, II, Exposé IX, Théorème 3.6] auch T_{n} = 𝔾_{m,R_{n}}^{r} . Auf diese Weise dehnt sich T_{0} zu einem formellen Torus aus,

\overline{𝔾}_{m,R}^{r} := lim_{⟶} 𝔾_{m,R_{n}}^{r} ⊆ \overline{P} .

Auf den Stufen ist die durch T_{n} gegebene Äquivalenzrelation auf \overline{P}_{n} nach [SGA 3, I, Exposé VI_{A}, Théorème 3.2] (fpqc)-effektiv ([SGA 3, I, Exposé IV, Définition 3.4.3]). Da \overline{P}_{n} zusammenhängend ist, heißt dies insbesondere, die Faktorgruppe \overline{P}_{n}/T_{n} existiert als zusammenhängendes Schema B_{n} von endlichem Typ über R_{n} und der Morphismus \overline{P}_{n} ⟶ B_{n} ist treu-flach. Wegen der (fpqc)-Effektivität ist nach [SGA 3, I, Exposé IV, Proposition 3.4.5] die Bildung der Faktorgruppe mit Basiserweiterungen verträglich. Also gilt insbesondere

B_{n−1} ≅ B_{n} ×_{R_{n}} R_{n−1} .

Nach [EGA, I, Proposition 10.6.3 und Corollaire 10.6.4] und [FRG, I, Lemma 1.5] existiert somit der direkte Limes

B := lim_{⟶} B_{n}

als formelles Schema, topologisch von endlichem Typ über R. Da R noethersch ist, ist B darüberhinaus topologisch von endlicher Darstellung über R. Da \overline{P}_{n} flach über R_{n} ist, faktorisiert der Morphismus \overline{P}_{n} ⟶ B_{n} durch den flachen Ort B′_{n} von B_{n}. Als Quotient von T_{n} ⊂⟶ \overline{P}_{n} ist B_{n} aber eindeutig bestimmt und somit gleich B′_{n}, also selbst flach über R_{n}. Nach [Bo, Théorème III.5.1] ist deshalb auch B flach über R, also ein zulässiges, formelles R-Schema. Aus dem gleichen Grund ist \overline{P} flach über B. Da B_{0} = B_{k} glatt und eigentlich über R_{0} ist, ist B formal glatt nach [FRG, II, Lemma 1.2] und eigentlich über R, also eine formell abelsche Varietät über R. Wir erhalten folgenden

Satz 5.5. Nach einer geeigneten endlichen, generisch separablen Ringerweiterung von R ist \overline{P} eine Erweiterung

1 ⟶ \overline{T} ⟶ \overline{P} ⟶ B ⟶ 1 .

einer formell abelschen Varietät B durch einen formellen Torus \overline{T} ≅ \overline{𝔾}_{m,R}^{r}. Die Erweiterung ist lokal trivial bezüglich einer Zariski-offenen Überdeckung von B und entspricht einem Gruppenmorphismus η : χ(\overline{T}) ⟶ B^{∨} von der Charaktergruppe χ(\overline{T}) des Torus in die duale, formell abelsche Varietät B^{∨} von B.

Bemerkung 5.5.1. Für die Stufen B_{n} existiert nach [Ar 1, Theorem 7.3] die duale, abelsche Varietät Bn^{∨} als R_{n}- Schema ([Ar 2, Theorem 3.5]). Der direkte Limes B^{∨} der Bn^{∨} ist die duale, formell abelsche Varietät. Sie stellt den Funktor der translationsinvarianten Geradenbündel auf B dar.

\underline{Beweis:} Wir müssen nur noch zeigen, daß die Erweiterung lokal trivial über B ist. Für das Gruppenschema G_{n} := T_{n} ×_{R_{n}} B_{n} ist nach [SGA 3, I, Exposé VI_{A}, Théorème 3.2] die Abbildung

\overline{P}_{n} ×_{B_{n}} G_{n} = \overline{P}_{n} ×_{R_{n}} T_{n} ⟶^{∼} \overline{P}_{n} ×_{B_{n}} \overline{P}_{n} , (p, t) ⟼ (p, pt)

ein Isomorphismus. Das heißt \overline{P}_{n} ist in der Kategorie der B_{n}-Schemata ein formaler G_{n}- Torsor ([SGA 3, I, Exposé III, Définition 0.1]). Also ist auch \overline{P} in der Kategorie der zulässigen, formellen B-Schemata ein formaler G-Torsor mit

G := lim_{⟶} G_{n} = \overline{𝔾}_{m,R}^{r} ×_{R} B .

Da \overline{P}_{0} und G_{0} treu-flach und quasikompakt über B_{0} sind, ist \overline{P}_{0} nach [SGA 3, I, Exposé IV, Proposition 5.1.6] ein G_{0}-Torsor bezüglich der (fpqc)-Topologie. Nach [SGA 3, II, Exposé VIII, Proposition 4.1] und der dieser Proposition vorausgehenden Diskussion ist \overline{P}_{0} folglich affin über B_{0} , also durch eine quasikohärente O_{B_{0}}-Algebra A gegeben. Diese ist eine direkte Summe

A = ⨁_{m∈ℤ^{r}} A(m) ,

wobei die A(m) invertierbare O_{B_{0}}-Moduln sind und

A(m) ⊗_{O_{B_{0}}} A(m′) ⟶^{∼} A(m + m′)

für alle m, m′ ∈ ℤ^{r} isomorph ist. Für eine ℤ-Basis (m_{i}) von ℤ^{r} ist folglich \overline{P}_{0} eindeutig durch die invertierbaren O_{B_{0}}-Moduln A(m_{1}), …, A(m_{r}) bestimmt. Da diese trivial bezüglich einer geeigneten Zariski-Überdeckung (U_{0}^{ν}) von B_{0} sind, gilt dies für \overline{P}_{0} ebenso:

\overline{P}_{0} ×_{B_{0}} U_{0}^{ν} ≅ 𝔾_{m,R_{0}}^{r} ×_{R_{0}} U_{0}^{ν} .

Dies zeigt, daß \overline{P} ×_{B} U^{ν} formal glatt über U^{ν} ist (vergleiche [FRG, II, Lemma 1.2]). Der Schnitt U_{0}^{ν} ⟶ \overline{P}_{0} ×_{B_{0}} U_{0}^{ν} dehnt sich somit zu einem Schnitt U^{ν} ⟶ \overline{P} ×_{B} U^{ν} aus ([FRG, II, Lemma 1.4]). Nach [SGA 3, I, Exposé IV, Corollaire 5.1.4] ist deshalb der formale (G ×_{B} U^{ν})-Torsor \overline{P} ×_{B} U^{ν} trivial, das heißt es gilt

\overline{P} ×_{B} U^{ν} ≅ \overline{𝔾}_{m,R}^{r} ×_{R} U^{ν} .

Diese Isomorphismen respektieren die Torsorstrukturen auf beiden Seiten. Also wird die Erweiterung durch einen Gruppenmorphismus η : χ(\overline{T}) ⟶ H^{1}(B, O_{B}^{∗}) beschrieben. Dieser faktorisiert durch B^{∨} (vergleiche [BL 3, Section 3] und [Se, Theorem VII.3.6]).

Lemma 5.6. Der Rang des Torus \overline{T} von Satz 5.5 ist

r = rk_{ℤ} H^{1}(X_{K}, ℤ) = rk_{ℤ} H^{1}(X_{0}, ℤ) .

Seien ζ_{1}, …, ζ_{r} Koordinaten auf dem Torus \overline{T} = \overline{𝔾}_{m,R}^{r}. Dann wird der Morphismus \overline{T} ⟶ \overline{P} für eine geeignete ℤ-Basis b_{1}, …, b_{r} von H^{1}(X_{K}, ℤ) = H^{1}(X_{0}, ℤ) durch das Geradenbündel ζ_{1}^{b_{1}} ⊗ … ⊗ ζ_{r}^{b_{r}} auf X ×_{R} \overline{T} gegeben.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Sei τ : \overline{T} ⟶ \overline{P} die Einbettung von \overline{T} in \overline{P} . Wir betrachten auf X ×_{R} \overline{T} das Geradenbündel T := ( id_{X} ×τ)^{∗} \overline{P}. Sei (b_{1}, …, b_{r}) := mult(T ) ∈ H^{1}(X_{0}, ℤ)^{r} (Definition 4.17) und M := (ζ_{1}^{b_{1}} ⊗ … ⊗ ζ_{r}^{b_{r}}) das zugehörige Geradenbündel auf X ×_{R} \overline{T} . Dann gilt nach Lemma 4.18

L := T ⊗ M^{∨} ≅ N ⊗ H

für ein Geradenbündel N auf X und ein Geradenbündel H auf X ×_{R} T , für das H ⊗_{R} k trivial ist. Da T und M trivial entlang X × {1} sind, ist N ⊗ ( id_{X} ×1)^{∗} H trivial auf X und folglich ist

L ≅ ( id_{X} ×1)^{∗} H^{∨} ⊗ H

mit L ⊗_{R} k trivial. Dem Geradenbündel L entspricht nach Bemerkung 5.2.1 ein eindeutig bestimmter Morphismus f : \overline{T} ⟶ \overline{P} mit L ≅ ( id_{X} ×f)^{∗} \overline{P}. Da τ ein Gruppenmorphismus ist und ((ζ_{ρ} ζ′_{ρ})^{b_{ρ}}) ≅ (ζ_{ρ}^{b_{ρ}})⊗(ζ′_{ρ}^{b_{ρ}}) gilt, ist auch f ein Homomorphismus von Gruppen. Es gilt

f_{0} := f ⊗_{R} k : \overline{T}_{0} ⟶ \{1\} ⊆ \overline{P}_{0} .

Deshalb ist nach [SGA 3, II, Exposé IX, Corollaire 3.5] auch f der konstante Homomorphismus

f : \overline{T} ⟶ \{1\} ⊆ \overline{P} .

Das heißt, das Geradenbündel L ist trivial. Also ist T ≅ (ζ_{1}^{b_{1}} ⊗ … ⊗ ζ_{r}^{b_{r}}) .

\underline{2.} Behauptung: Die b_{1}, …, b_{r} bilden eine ℤ-Basis von H^{1}(X_{0}, ℤ) .

Beweis: Wir zeigen zunächst, daß die b_{1}, …, b_{r} über ℤ linear unabhängig sind. Sei dazu λ_{1}b_{1} + … + λ_{r}b_{r} = 0 . Wir betrachten den Morphismus

f : \overline{𝔾}_{m,R} ⟶ \overline{T} , ξ ⟼ (ξ^{λ_{1}}, …, ξ^{λ_{r}}) = (ζ_{1}, …, ζ_{r}) .

Dieser induziert das Geradenbündel ( id_{X} ×f)^{∗} T ≅ (ξ^{λ_{1}b_{1}+...+λ_{r}b_{r}}) auf X ×_{R} \overline{𝔾}_{m,R}, welches trivial ist. Somit faktorisiert f durch \{1\} ⊆ \overline{P} und also auch durch \{1\} ⊆ \overline{T} . Dies bedeutet aber, daß λ_{1} = … = λ_{r} = 0 ist. Also ist die lineare Unabhängigkeit gezeigt.

Wir zeigen nun noch, daß die Elemente b_{1}, …, b_{r} die Gruppe H^{1}(X_{0}, ℤ) erzeugen. Sei dazu n ∈ H^{1}(X_{0}, ℤ) . Wir betrachten das Geradenbündel (ξ^{n}) auf X ×_{R} \overline{𝔾}_{m,R}. Dieses induziert einen Morphismus f : \overline{𝔾}_{m,R} ⟶ \overline{P} . Da ((ξ_{1} ξ_{2})^{n}) ≅ (ξ_{1}^{n}) ⊗ (ξ_{2}^{n}) ist, ist f ein Homomorphismus von Gruppen. In der Reduktion erhalten wir

f_{0} : 𝔾_{m,k} ⟶ \overline{P}_{0} ⟶ B_{0} .

Da B_{0} eine abelsche Varietät ist faktorisiert f_{0} durch {1} ⊆ B_{0} und f nach [SGA 3, II, Exposé IX, Corollaire 3.5] damit durch {1} ⊆ B. Das heißt f faktorisiert durch den Kern von \overline{P} ⟶ B,

f : \overline{𝔾}_{m,R} ⟶^{g} \overline{T} ⊂⟶ \overline{P} .

Es ist g^{∗}ζ_{i} = ξ^{λ_{i}} für gewisse λ_{i} ∈ ℤ, da g ein Gruppenmorphismus ist. Somit ist das Geradenbündel

(ξ^{n}) ≅ g^{∗}(ζ_{1}^{b_{1}} ⊗ … ⊗ ζ_{r}^{b_{r}}) ≅ (ξ^{λ_{1}b_{1}+...+λ_{r}b_{r}})

auf X ×_{R} \overline{𝔾}_{m,R}. Sein multiplikativer Anteil ist

n = λ_{1}b_{1} + … + λ_{r}b_{r} ∈ H^{1}(X_{0}, ℤ) .

\underline{3.} Behauptung: H^{1}(X_{0}, ℤ) = H^{1}(X_{K}, ℤ) .

Beweis: Die Reduktionsabbildung X_{K} ⟶ X_{0} ist stetig und induziert eine kanonische Abbildung α : H^{1}(X_{0}, ℤ) ⟶ H^{1}(X_{K}, ℤ) .

Wir zeigen zunächst, daß α injektiv ist. Sei n ∈ H^{1}(X_{0}, ℤ) . Wir betrachten das Geradenbündel (ξ^{n}) auf X ×_{R} \overline{𝔾}_{m,R}. Ist α(n) = 0 , so ist (ξ^{n})⊗_{R}K trivial auf X_{K} ×_{K} \overline{𝔾}_{m,K} . Nach Lemma 5.3 ist dann aber bereits (ξ^{n}) trivial, also n = 0 .

Wir zeigen nun noch, daß α surjektiv ist. Sei n ∈ H^{1}(X_{K}, ℤ) . Wir betrachten das Geradenbündel (ξ^{n}) auf X_{K} ×_{K} \overline{𝔾}_{m,K} . Nach Satz 5.2 gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus f : \overline{𝔾}_{m,R} ⟶ \overline{P} mit (ξ^{n}) ≅ ( id_{X_{K}} ×f_{rig})^{∗}\overline{P}_{K} . Da ((ξ_{1} ξ_{2})^{n}) ≅ (ξ_{1}^{n}) ⊗ (ξ_{2}^{n}) ist, ist f ein Homomorphismus von Gruppen. Dann folgt ebenso wie in 2. , daß (ξ^{n}) ≅ (ξ^{α(m)}) ist für ein m ∈ H^{1}(X_{0}, ℤ) . Folglich ist n = α(m) und die Behauptung gezeigt.

5.3 Die universelle Überlagerung

Der formelle Torus \overline{T}_{rig} ≅ \overline{𝔾}_{m,K}^{r} läßt sich in den affinen Torus T_{K} := 𝔾_{m,K}^{r} einbetten. Beide haben dieselbe Charaktergruppe

χ(\overline{T}) = Hom(\overline{T}_{rig}, \overline{𝔾}_{m,K}) = Hom(T_{K}, 𝔾_{m,K}) = χ(T_{K}) .

Somit definiert der in Satz 5.5 gegebene Homomorphismus η : χ(T_{K}) ⟶ B^{∨} eine Erweiterung P̂_{K} von B_{rig} durch den affinen Torus T_{K} . Diese ist das push-forward von \overline{P}_{K} bezüglich obiger Einbettung,

[figure: 1; 1; \overline{T}_{rig}; T_{K}; \overline{P}_{K}; P̂_{K}; B_{rig}; B_{rig}; 1; 1]

Das heißt lokal über U ν_{rig} ⊆ B_{rig} ist

P̂_{K} ×_{B_{rig}} U ν_{rig} ≅ 𝔾_{m,K}^{r} ×_{K} U ν_{rig} .

Das Verklebungsdatum ist durch η gegeben.

Lemma 5.7. Das rigidifizierte Geradenbündel (\overline{P}_{K}, \overline{ρ}_{K}) auf X_{K} ×_{K} \overline{P}_{K} dehnt sich zu einem rigidifizierten Geradenbündel (P̂_{K}, ρ̂_{K}) auf X_{K} ×_{K} P̂_{K} aus.

\underline{Beweis:} Aus der Erweiterung von formellen R-Gruppenschemata

0 ⟶ \overline{T} ⟶ \overline{P} ⟶ B ⟶ 0

erhalten wir nach Basiserweiterung mit X ⟶ Spf R folgende Erweiterung von glatten, zulässigen, formellen X-Gruppenschemata

0 ⟶ \overline{T}_{X} ⟶ \overline{P}_{X} ⟶^{\overline{β}} B_{X} ⟶ 0 .

Das Poincaré-Bündel \overline{P} auf \overline{P}_{X} besitzt eine kubische Struktur (vergleiche [Mo]). Dies bedeutet folgendes. Wir betrachten das Geradenbündel

D_{3}\overline{P} := μ_{123}^{∗} \overline{P} ⊗ μ_{12}^{∗} \overline{P}^{∨} ⊗ μ_{13}^{∗} \overline{P}^{∨} ⊗ μ_{23}^{∗} \overline{P}^{∨} ⊗ μ_{1}^{∗} \overline{P} ⊗ μ_{2}^{∗} \overline{P} ⊗ μ_{3}^{∗} \overline{P}

auf \overline{P} 3_{X} , wobei μ_{I} : \overline{P} 3_{X} ⟶ \overline{P}_{X} der Morphismus (p_{1}, p_{2}, p_{3}) ↦ ∑_{i∈I} p_{i} ist. Eine kubische

Struktur auf \overline{P} ist nun eine Trivialisierung τ von D_{3}\overline{P}, welche bestimmte Symmetrie- und Kozykelbedingungen ([Mo, Définition I.2.4.5]) erfüllt. Wegen der universellen Eigenschaft von \overline{P} (vergleiche Bemerkung 5.2.1) gilt

μ_{I}^{∗} \overline{P} ≅ ⨂_{i∈I} μ_{i}^{∗} \overline{P} .

Somit existiert eine Trivialisierung τ von D_{3}\overline{P}. Da D_{3}\overline{P} rigidifiziert ist, erfüllt τ die Symmetrie- und Kozykelbedingungen [Mo, Définition I.2.4.5] und ist folglich eine kubische Struktur auf \overline{P}.

Wäre \overline{P}|_{\overline{T}_{X}} trivial, so würde das kubische Bündel \overline{P} zu einem Bündel auf B_{X} absteigen. Also wählen wir eine offene, formelle Überdeckung {X^{ν}} von X, auf der es Trivialisierungen

δ^{ν} : \overline{P}|_{X^{ν}×_{R}\overline{T}} ⟶^{∼} O_{X^{ν}×_{R}\overline{T}}

gibt (vergleiche Lemma 5.6).

Wir betrachten nun auf X_{n}^{ν} ×_{R_{n}} \overline{P}_{n} das Geradenbündel \overline{P}_{n} mit der kubischen Struktur τ_{n} und der Trivialisierung δ_{n}^{ν} von \overline{P}_{n}|_{X_{n}^{ν}×_{Rn} \overline{T}_{n}} . Nach [Mo, Proposition I.7.2.2] gibt es ein eindeutig bestimmtes Geradenbündel B_{n}^{ν} auf X_{n}^{ν} ×_{R_{n}} B_{n} welches \overline{P}_{n} ≅ \overline{β}_{n}^{∗} B_{n}^{ν} erfüllt und mit der Trivialisierung δ_{n}^{ν} verträglich ist. Da auch B_{n+1}^{ν} ⊗_{R_{n+1}} R_{n} diese Eigenschaft besitzt, gibt es einen kanonischen Isomorphismus B_{n+1}^{ν} ⊗_{R_{n+1}} R_{n} ≅ B_{n}^{ν}. Nach [Ha, Proposition II.9.6] existiert somit der inverse Limes

B^{ν} := lim_{⟵} B_{n}^{ν} .

Für das Geradenbündel B^{ν} auf X^{ν} ×_{R} B gilt B_{n}^{ν} = B^{ν}/π^{n+1}B^{ν} und folglich wie gewünscht

\overline{P}|_{X^{ν}×_{R}\overline{P}} ≅ \overline{β}^{∗} B^{ν} .

Durch Rücktransport mittels β_{K} : X_{K} ×_{K} P̂_{K} ⟶ X_{K} ×_{K} B_{rig} erhalten wir Geradenbündel β∗_{K} Bν_{rig} auf Xν_{K} ×_{K} P̂_{K} . Diese wollen wir nun zu P̂_{K} zusammenkleben. Nach [BL 3, Propositions 4.1 und 4.2] erfolgt die Verklebung von \overline{β}∗_{rig} Bμ_{rig} mit \overline{β}∗_{rig} Bν_{rig} auf Xμν_{K} ×_{K} \overline{P}_{K} durch einen Charakter

χ ∈ Hom(\overline{T}_{rig}, \overline{𝔾}_{m,K}) = Hom(T_{K}, 𝔾_{m,K})

und dehnt sich somit zu einem eindeutig bestimmten Isomorphismus β∗_{K} Bμ_{rig} ≅ β∗_{K} Bν_{rig} aus. Wir bekommen das Geradenbündel P̂_{K} . Dieses ist trivial entlang X_{K} × {1}. Die Rigidifizierung \overline{ρ}_{K} : O_{\overline{P}_{K}} ⟶^{∼} (x_{K} × id_{\overline{P}_{K}})^{∗}\overline{P}_{K} ist nach [BL 3, Propositions 4.1 und 4.2] ebenfalls

durch einen Charakter gegeben. Wenn wir P̂_{K} entsprechend abändern, so dehnt sie sich zu einer Rigidifizierung ρ̂_{K} : OP̂_{K} ⟶^{∼} (x_{K} × idP̂_{K})^{∗}P̂_{K} aus. Somit erhalten wir ein rigidifi-

ziertes Geradenbündel (P̂_{K}, ρ̂_{K}) auf X_{K} ×_{K} P̂_{K} , dessen Einschränkung auf X_{K} ×_{K} \overline{P}_{K} isomorph zu (\overline{P}_{K}, \overline{ρ}_{K}) ist.

Bemerkung 5.7.1. Nach Satz 5.2 besteht ein Isomorphismus von Gruppen

\overline{Pic}_{X_{K} /K}^{0} ( \overline{P} 2_{K}) ≅ Hom_{ℭ}( \overline{P} 2_{K}, \overline{P}_{K}) .

Dem Tensorprodukt von Geradenbündeln auf der linken Seite entspricht als Gruppenoperation dabei die Addition von Morphismen in \overline{P}_{K} auf der rechten Seite. Verwenden wir die Bezeichnung μ_{I} : \overline{P} 2_{X} ⟶ \overline{P}_{X} für den Morphismus (p_{1}, p_{2}) ↦ ∑_{i∈I} p_{i}, so bedeutet dies, daß für die Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} \overline{P}_{K} ×_{K} \overline{P}_{K} gilt

μ_{1}^{∗} \overline{P}_{K} ⊗ μ_{2}^{∗} \overline{P}_{K} ≅ μ_{12}^{∗} \overline{P}_{K} .

Da die Abbildungen μ_{I}^{∗} mit den kubischen Strukturen verträglich sind, gilt auch für das Geradenbündel P̂_{K}

μ_{1}^{∗} P̂_{K} ⊗ μ_{2}^{∗} P̂_{K} ≅ μ_{12}^{∗} P̂_{K}

auf X_{K} ×_{K} P̂_{K} ×_{K} P̂_{K} .

Wir können auf P̂_{K} einen Betrag definieren. Dazu betrachten wir die perfekte Paarung

χ(T_{K}) × T_{K} ⟶ 𝔾_{m,K} , (χ, t) ↦ χ(t) ,

die durch die Auswertung der Charaktere gegeben ist. Auf 𝔾_{m,K} wählen wir eine Koordinate ζ. Sei a ∈ 𝔾_{m,K}(K′) für eine endliche Körpererweiterung K′ von K. Dann setzt sich der Betrag von K nach [BGR, Theorem 3.2.4.2] in eindeutiger Weise zu einem Betrag auf K′ = k(a) fort. Also ist der Betrag von ζ ∈ k(a) erklärt. Wir nennen ihn den Betrag |a| von a. Auf diese Weise erhalten wir eine Paarung

χ(T_{K}) × T_{K} ⟶ ℝ , (χ, t) ↦ − log_{|π|} |χ(t)| .

Da die Erweiterung P̂_{K} von B_{rig} durch T_{K} lokal trivial bezüglich einer formellen Überdeckung von B ist und die Übergangsfunktionen Betrag 1 haben, setzt sich diese zu einer Paarung auf χ(T_{K}) × P̂_{K} fort. Wir fixieren nun Erzeuger ζ_{1}, …, ζ_{r} der Charaktergruppe χ(T_{K}) . Dann erhalten wir eine Betragsfunktion auf P̂_{K}

val : P̂_{K} ⟶ ℝ^{r} , p ↦ (− log_{|π|} |ζ_{1}(p)|, …, − log_{|π|} |ζ_{r}(p)|) .

Diese ist ein Gruppenmorphismus mit ker(val) = \overline{P}_{K} . Sie induziert eine perfekte Paarung

χ(T_{K}) × P̂_{K}(K)/\overline{P}_{K}(K) ⟶ |𝔾_{m,K}(K)| = ℤ .

Wir können also P̂_{K}(K)/\overline{P}_{K}(K) als diskrete Untergruppe von ℝ^{r} auffassen.

Lemma 5.8. Wir definieren M := { m ∈ P̂_{K} : ( id_{X_{K}} × m)^{∗} P̂_{K} ist trivial }. Dann ist M ein Krationales Gitter, das heißt eine diskrete, freie Untergruppe in P̂_{K} , vom Rang d ≤ r mit M ∩ \overline{P}_{K} = \{1\}.

Bemerkung 5.8.1. Es ist möglich, daß der Rang des Gitters M echt kleiner als r ist. Siehe dazu Beispiel 5.13.2 .

\underline{Beweis:} \underline{1.} Behauptung: M ist eine Untergruppe von P̂_{K} .

Beweis: Seien m und m′ Punkte in M , die K′-rational sind für eine endliche Erweiterung K′ von K. Dann gilt nach Bemerkung 5.7.1

( id_{X_{K}} × m′)^{∗} P̂_{K} ≅ ( id_{X_{K}} ×(−m + m′))^{∗} P̂_{K} ⊗ ( id_{X_{K}} × m)^{∗} P̂_{K}

als Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} K′. Also ist auch ( id_{X_{K}} ×(−m+m′))^{∗} P̂_{K} trivial und damit −m + m′ ∈ M .

\underline{2.} Behauptung: M ∩ \overline{P}_{K} = \{1\}, insbesondere ist M étale über K.

Beweis: Sei m_{K} ∈ M ∩ \overline{P}_{K} . Dann dehnt sich m_{K} zu einem Punkt m ∈ \overline{P} aus und gibt so einen Punkt m′ ∈ P′. Es entspricht m_{K} das Geradenbündel ( id_{X_{K}} × m_{K})^{∗} P̂_{K} , welches trivial ist. Somit ist nach Lemma 5.3 auch das dem Punkt m entsprechende Geradenbündel ( id_{X} × m)^{∗} \overline{P} trivial. Wegen der universellen Eigenschaft von P′_{n} ist also m′ = 1 in P′ und deshalb auch m_{K} = m′_{K} = 1 in \overline{P}_{K} . Da M eine K-Gruppenvarietät und in seinem neutralen Element 1 étale ist, ist M étale über K.

\underline{3.} Behauptung: M ist K-rational.

Beweis: Sei m ∈ M . Da M nach 2. étale über K ist, ist m ∈ M(K′) für eine endliche Galoiserweiterung K′ von K. Die Galoisgruppe Gal(K′/K) operiert auf P̂_{K} und \overline{P}_{K} . Sei σ ∈ Gal(K′/K) . Dann ist auch σ m ∈ M(K′) und nach [BGR, Theorem 3.2.1.2] gilt val(m) = val(σ m) . Da val ein Gruppenmorphismus ist, gilt also val(m − σ m) = 0 und damit m − σ m ∈ M ∩ \overline{P}_{K} = \{1\}. Dies zeigt, daß σ m = m ist und somit ist m bereits über K definiert.

\underline{4.} Behauptung: M ist diskret und frei vom Rang ≤ r.

Beweis: Wegen 2. und 3. schränkt sich val zu einem Monomorphismus

val : M ⊂⟶ ℤ^{r} ⊆ ℝ^{r}

ein. Somit ist M isomorph zu einer diskreten Untergruppe von ℝ^{r}. Als Untergruppe von ℤ^{r} ist M frei vom Rang d ≤ r.

Bevor wir nun das Gitter M ausdividieren, wollen wir noch die universelle Eigenschaft von P̂_{K} erwähnen. Dazu zunächst

Satz 5.9. Sei q_{K} : V ′_{K} ⟶ V_{K} ein treu-flacher, quasikompakter Morphismus rigid analytischer Varietäten über K, sowie L_{K} ein rigidifiziertes Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} . Sei ferner

f ′_{K} : V ′_{K} ⟶ P̂_{K} ein Morphismus mit ( id_{X_{K}} ×f ′_{K})^{∗} P̂_{K} ≅ ( id_{X_{K}} ×q_{K})^{∗}L_{K} .

Dann gibt es eine zulässige Überdeckung {V i_{K}} von V_{K} und Morphismen f i_{K} : V i_{K} ⟶ P̂_{K}

mit ( id_{X_{K}} ×f i_{K})^{∗} P̂_{K} ≅ L_{K} auf X_{K} ×_{K} V i_{K} .

\underline{Beweis:} \underline{1.} Das Problem ist lokal auf P̂_{K} und V_{K} bezüglich der Grothendieck-Topologie. Sei 0 < ϵ < \frac{1}{2} und

P̂_{K}(ϵ) := { p ∈ P̂_{K} : val(p) ∈ [−ϵ, ϵ]^{r} }

der relative Polyannulus in P̂_{K} über B_{K} mit Radius π^{2ϵ} (vergleiche die Ausführungen vor Lemma 5.8), sowie Bν_{K} eine zulässige, affinoide Überdeckung von B_{K} , über der P̂_{K} trivial ist. Dann gewinnen wir aus den Translaten von P̂_{K}(ϵ) ×_{B_{K}} Bν_{K} für alle ν eine zulässige, affinoide Überdeckung von P̂_{K} . Sei H_{K} einer dieser affinoiden Teilbereiche. Wir wollen einen Morphismus f_{K} finden, der folgendes Diagramm kommutativ macht.

[figure: W ′_{K} := (f ′_{K})^{−1}(H_{K}); W_{K} := q_{K}((f ′_{K})^{−1}(H_{K})); H_{K} ⊆ 𝔻 n_{K}; q_{K}; f ′_{K}; f_{K}]

Da q_{K} flach ist, ist W_{K} offen in V_{K} nach [FRG, II, Corollary 5.11]. Nach [FRG, I, Theorem 4.1] und [FRG, II, Theorem 5.2] gibt es formelle Modelle W und W′ von W_{K} und W ′_{K} , so daß sich q_{K} zu einem flachen, quasikompakten Morphismus q : W′ ⟶ W und f ′_{K} zu f′ : W′ ⟶ 𝔻_{R}^{n} ausdehnt. Da q_{K} surjektiv ist, ist auch q surjektiv und somit treu-flach. Wir ersetzen nun W durch eine offene, affine Teilmenge Spf A. Da q quasikompakt ist, läßt sich q^{−1}(W) als endliche Vereinigung affiner Teilmengen schreiben. Ersetzen wir W′ durch die disjunkte Vereinigung dieser Teilmengen, dann ist auch W′ = Spf A′ affin und treu-flach über W .

Sei C eine zulässige, formelle R-Algebra und B := Aˆ⊗_{R}C, sowie B′ := A′ ˆ⊗_{R}C. Wir betrachten folgende Sequenz

B ⟶ B′ \overrightarrow{⟶} B′ ˆ⊗_{B}B′ =: B′′ .

Nach Tensorieren mit R_{n} über R ist sie exakt, da q_{n} treu-flach ist (vergleiche [BLR, Lemma 6.1.2]). Also ist die Sequenz nach [Ha, Proposition II.9.1] selbst exakt. Sie bleibt dies auch nach Tensorieren mit K

B_{K} ⟶ B′_{K} \overrightarrow{⟶} B′_{K} ˆ⊗_{B_{K}} B′_{K} = B′′_{K} . (∗)

\underline{2.} Vermöge der zwei Projektionen q1_{K}, q2_{K} : Sp A′′_{K} := Sp(A′_{K} ˆ⊗_{A_{K}} A′_{K}) \overrightarrow{⟶} Sp A′_{K} induziert der Morphismus f ′_{K} zwei Morphismen f ′_{K} ∘ q1_{K} und f ′_{K} ∘ q2_{K} von Sp A′′_{K} nach H_{K} , für die gilt

( id_{X_{K}} ×(f ′_{K} ∘ q1_{K}))^{∗}P̂_{K} ≅ ( id_{X_{K}} ×(f ′_{K} ∘ q2_{K}))^{∗}P̂_{K} .

Somit faktorisiert die Abbildung

f ′_{K} ∘ q1_{K} − f ′_{K} ∘ q2_{K} : Sp A′′_{K} ⟶ P̂_{K}(2ϵ)

durch M . Da M ∩ P̂_{K}(2ϵ) = {1} ist nach Lemma 5.8 , gilt folglich f ′_{K} ∘ q1_{K} = f ′_{K} ∘ q2_{K} .

Der Morphismus f ′_{K} ist durch ein n-Tupel von Funktionen (a′_{1}, …, a′_{n}) ∈ (A′_{K})^{n} gegeben, für welche also die Gleichung a′_{i} ⊗ 1 = 1 ⊗ a′_{i} in A′′_{K} gilt. Somit ist a′_{i} = a_{i} ⊗ 1 für eindeutig bestimmte a_{i} ∈ A_{K} (verwende (∗) mit C = R). Da die a′_{i} die Relationen erfüllen, die H_{K} als Untervarietät von 𝔻 n_{K} beschreiben gilt dies auch für die a_{i}. Also ergeben diese einen Morphismus

f_{K} : Sp A_{K} ⟶ H_{K} ⊆ P̂_{K}

mit f ′_{K}|_{Sp A′_{K}} = f_{K} ∘ q_{K}|_{Sp A′_{K}} . Der so gewonnene Morphismus f_{K} hängt von dem Teilbereich H_{K} ab und ist im allgemeinen nicht eindeutig.

\underline{3.} Wir müssen nun noch zeigen, daß über Sp A_{K} gilt L_{K} ≅ ( id_{X_{K}} ×f_{K})^{∗}P̂_{K} . Wir haben auf X_{K} ×_{K} Sp A′_{K} einen Isomorphismus von rigidifizierten Geradenbündeln

φ′ : ( id_{X_{K}} ×q_{K})^{∗}L_{K} ⟶^{∼} ( id_{X_{K}} ×q_{K})^{∗}( id_{X_{K}} ×f_{K})^{∗} P̂_{K} .

Die Rücktransporte ( id_{X_{K}} ×q1_{K})^{∗}φ′ und ( id_{X_{K}} ×q2_{K})^{∗}φ′ sind Isomorphismen zwischen denselben rigidifizierten Geradenbündeln. Somit sind sie nach Lemma 4.4 gleich.

Sei nun Spf C ⊆ X eine offene, affine Teilmenge. Dann sind die Geradenbündel L_{K} und ( id_{X_{K}} ×f_{K})^{∗}P̂_{K} auf Sp C_{K} ×_{K} Sp A_{K} durch invertierbare B_{K} := C_{K} ˆ⊗_{K}A_{K}-Moduln L_{K} und N_{K} gegeben. Wegen (∗) ist die Sequenz

Hom_{B_{K}} (L_{K}, N_{K}) ⟶ Hom_{B_{K}} (L_{K}, N_{K}) ⊗_{B_{K}} B′_{K}  \overrightarrow{⟶} Hom_{B_{K}} (L_{K}, N_{K}) ⊗_{B_{K}} B′′_{K}
φ′  {⟼ \atop ⟼} {( id_{X_{K}} ×q1_{K})^{∗}φ′ \atop ( id_{X_{K}} ×q2_{K})^{∗}φ′}

exakt. Also stimmen die Bilder von φ′ überein und es ist φ′ = φ ⊗ 1 für einen eindeutig bestimmten Morphismus φ ∈ Hom_{B_{K}} (L_{K}, N_{K}). Da B′_{K} treu-flach über B_{K} ist, ist φ ein Isomorphismus. Die so lokal erhaltenen Isomorphismen lassen sich wegen der Eindeutigkeit zu einem globalen Isomorphismus verkleben,

φ : L_{K}|_{X_{K} ×_{K}Sp A_{K}} ⟶^{∼} ( id_{X_{K}} ×f_{K})^{∗}P̂_{K} .

Dieser Satz über den treu-flachen Abstieg von Morphismen nach P̂_{K} ermöglicht uns nun, die universelle Eigenschaft von P̂_{K} zu beweisen. Wir benützen dabei die Vermutung 3.8 , die wir als wahr annehmen.

Satz 5.10. Sei V_{K} eine glatte, zusammenhängende, rigid analytische K-Varietät, sowie v_{K} ∈ V_{K}(K) . Weiter sei L_{K} ein rigidifiziertes Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} , trivial entlang X_{K} × {v_{K}}.

Dann gibt es eine zulässige Überdeckung U i_{K} von V_{K} und Abbildungen f^{i} : U i_{K} ⟶ P̂_{K} mit ( id_{X_{K}} ×f^{i})^{∗} P̂_{K} ≅ L|_{X_{K} ×_{K}U_{K}^{i}} . Das Hindernis für die Verklebung der f^{i} zu einem eindeutig bestimmten Morphismus

f : V_{K} ⟶ P̂_{K}

mit ( id_{X_{K}} ×f)^{∗} P̂_{K} ≅ L_{K} und f(v_{K}) = 1 wird durch die Kohomologieklasse

(f^{i} − f^{j}) ∈ H^{1}(V_{K}, M) ≅ H^{1}(V_{K}, ℤ)^{d}

gegeben.

\underline{Beweis:} \underline{1.} Zunächst sei V formal glatt über R⟨ξ_{1}, …, ξ_{s+1}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{s+1} − π) und erfülle die Bedingung (∗) von Seite 25 . Ferner liege v_{K} ∈ V_{K}(K) oberhalb von {ξ_{1} = … = ξ_{s} = 1}.

Dann zerfällt L_{K} nach Satz 4.15 in seinen multiplikativen Anteil M_{K} ≅ (ξ_{1}^{n_{1}} ⊗…⊗ξ_{s}^{n_{s}}) und ein formelles Geradenbündel N . Die Kozykel n_{i} haben eine eindeutige Darstellung bezüglich der Basis (b_{1}, …, b_{r}) von H^{1}(X_{K}, ℤ) aus Lemma 5.6

n_{i} = ∑_{j=1}^{r} α_{ij} b_{j} .

Der multiplikative Anteil liefert somit einen eindeutig bestimmten Morphismus

\begin{aligned}g : & V_{K} & ⟶ & T_{K} & ⊂⟶ P̂_{K} \\ & ∏_{i=1}^{s} ξ_{i}^{α_{ij}} & ⟵∣ & ζ_{j} \end{aligned}

mit ( id_{X_{K}} ×g)^{∗} P̂_{K} ≅ M_{K} und g(v_{K}) = 1 .

Das Geradenbündel N auf X ×_{R} V liefert nach Satz 5.1 einen eindeutig bestimmten Morphismus V ⟶ P′, der durch \overline{P′} faktorisiert, da V flach über R und zusammenhängend ist. Da V_{K} reduziert ist, ergibt dies einen eindeutig bestimmten Morphismus

h : V_{K} ⟶ \overline{P}_{K} ⟶ P̂_{K}

mit ( id_{X_{K}} ×h)^{∗} P̂_{K} ≅ N_{K} und h(v_{K}) = 1 .

Wir erhalten somit einen eindeutig bestimmten Morphismus

f := g + h : V_{K} ⟶ P̂_{K}

mit ( id_{X_{K}} ×f)^{∗} P̂_{K} ≅ M_{K} ⊗ N_{K} ≅ L_{K} (verwende Bemerkung 5.7.1) und f(v_{K}) = 1 .

\underline{2.} Sei nun V_{K} beliebig. Nach Vermutung 3.8 gibt es nach einer endlichen Körpererweiterung von K einen étalen, surjektiven, quasikompakten Morphismus q_{K} : Ṽ_{K} ⟶ V_{K} für eine rigid analytische Varietät Ṽ_{K} , welche ein strikt semistabiles, formelles Modell Ṽ besitzt. Über v_{K} liegt dabei ein Punkt ṽ_{K} ∈ Ṽ_{K}(K′) . Ohne Einschränkung ist K′ = K, da auch Ṽ_{K} ⊗_{K} K′ nach Lemma 3.6 ein strikt semistabiles Modell besitzt. Da ṽ_{K} ein K-rationaler Punkt ist, liegt er in dem formal glatten Teil von Ṽ_{K} .

Sei zunächst w_{0} ∈ Ṽ_{0} ein beliebiger Punkt. Nach Satz 3.4 besitzt w_{0} eine Umgebung, die formal glatt über R⟨ξ_{1}, …, ξ_{s+1}⟩/(ξ_{1} · . . . · ξ_{s+1} − π) ist. Die irreduziblen, geometrischen Komponenten der Strata V(ξ_{σ} : σ ∈ N) , die w_{0} enthalten sind über einer endlichen, separablen Körpererweiterung von k definiert. Nach einer endlichen, unverzweigten Ringerweiterung von R mit Uniformisierender π besitzt somit w_{0} eine Umgebung wie in 1. beschrieben. Es gibt also eine Überdeckung von Ṽ durch offene Ṽ^{i}, i ∈ I der Gestalt aus 1. Sei V i_{K} := q_{K}(Ṽ i_{K}) . Dann bilden die V i_{K} eine zulässige Überdeckung von V_{K} . Wir betrachten das rigidifizierte Geradenbündel L̃_{K} := ( id_{X_{K}} ×q_{K})^{∗} L_{K} auf X_{K} ×_{K} Ṽ_{K} . Es ist trivial entlang X_{K} × {ṽ_{K}}.

Ohne Einschränkung sei ṽ_{K} ∈ Ṽ 1_{K} und liege oberhalb von {ξ_{1} = … = ξ_{s} = 1}. Dann gibt es nach 1. einen eindeutig bestimmten Morphismus f̃^{1} : Ṽ 1_{K} ⟶ P̂_{K} mit f̃^{1}(ṽ_{K}) = 1 und ( id_{X_{K}} ×f̃^{1})^{∗} P̂_{K} ≅ L̃_{K}|_{X_{K} ×_{K} Ṽ_{K}^{1}} . Da q_{K} : Ṽ 1_{K} ⟶ V 1_{K} treu-flach und quasikompakt ist, gibt

es nach Satz 5.9 eine zulässige Überdeckung {V 1,ν_{K}} von V 1_{K} und Morphismen

f^{1,ν} : V 1,ν_{K} ⟶ P̂_{K}

mit ( id_{X_{K}} ×f^{1,ν})^{∗} P̂_{K} ≅ L_{K}|_{X_{K} ×_{K}V_{K}^{1,ν}} . Diese lassen sich so wählen, daß v_{K} ∈ V 1,1_{K} liegt

und durch f 1,1_{K} auf 1 ∈ P̂_{K} abgebildet wird.

Wir konstruieren nun induktiv zulässige Überdeckungen {V i,μ_{K}} von V i_{K} und Morphismen

f^{i,μ} : V i,μ_{K} ⟶ P̂_{K} mit ( id_{X_{K}} ×f^{i,μ})^{∗} P̂_{K} ≅ L_{K}|_{X_{K} ×_{K}V_{K}^{i,μ}} .

Sei die Konstruktion bereits für alle j ∈ J ⊊ I erfolgt. Da V_{K} zusammenhängend ist, gibt es ein i ∈ I − J mit V i_{K} ∩ V j_{K} ≠ ∅ für ein j ∈ J . Die Punkte mit separabler Restklassenkörpererweiterung liegen dicht im glatten Ort von Ṽ_{0}^{i} ([BLR, Corollary 2.2.13]). Also gibt es dort ein v_{0}^{ij} ∈ Ṽ_{0}^{i}(k′) mit q_{0}(v_{0}^{ij}) ∈ V_{0}^{i} ∩ V_{0}^{j} für eine endliche, separable Körpererweiterung k′ von k. Nach einer endlichen, unverzweigten Ringerweiterung von R dehnt sich v_{0}^{ij} aufgrund der Glattheit zu einem Punkt v^{ij} ∈ Ṽ^{i}(R) aus. Somit erhalten wir

vij_{K} ∈ Ṽ i_{K}(K) mit vij_{K} := q_{K}(vij_{K}) ∈ V i_{K} ∩ V j_{K} . Für ein ν liegt also vij_{K} in V j,ν_{K} . Wir wählen

nun die Koordinaten ξ_{σ} auf Ṽ i_{K} so, daß vij_{K} oberhalb von {ξ_{1} = … = ξ_{s} = 1} liegt. Wir betrachten auf X_{K} ×_{K} Ṽ i_{K} das Geradenbündel L̃_{K} ⊗ ( id_{X_{K}} ×vij_{K})^{∗}L̃\begin{matrix}∨ \\ K \end{matrix} . Es ist trivial entlang X_{K} × {vij_{K}}. Also gibt es nach 1. einen eindeutig bestimmten Morphismus g^{i} : Ṽ i_{K} ⟶ P̂_{K} mit g^{i}(vij_{K}) = 1 . Komponiert mit der Translation um f^{j,ν}(vij_{K}) bekommen wir

f̃^{i} := τ_{f^{j,ν}(v_{K}^{ij})} ∘ g^{i} : Ṽ i_{K} ⟶ P̂_{K}

mit f̃^{i}(vij_{K}) = f^{j,ν}(vij_{K}) und L̃_{K}|_{X_{K} ×_{K} Ṽ_{K}^{i}} ≅ ( id_{X_{K}} ×f̃^{i})^{∗} P̂_{K} (verwende Bemerkung 5.7.1).

Da q_{K} : Ṽ i_{K} ⟶ V i_{K} treu-flach und quasikompakt ist, erhalten wir nach Satz 5.9 eine Überdeckung {V i,μ_{K}} von V i_{K} und Morphismen

f^{i,μ} : V i,μ_{K} ⟶ P̂_{K}

mit L_{K}|_{X_{K} ×_{K}V_{K}^{i,μ}} ≅ ( id_{X_{K}} ×f^{i,μ})^{∗} P̂_{K} .

Die Familie {V^{i,μ}}_{i,μ} bildet eine zulässige Überdeckung von V_{K} , die wir umbenennen und mit {U i_{K}} bezeichnen. Damit haben wir den ersten Teil der Behauptung gezeigt.

\underline{3.} Sei U ij_{K} := U i_{K} ∩ U j_{K} . Für die Abbildung (f^{i} − f^{j}) : U ij_{K} ⟶ P̂_{K} ist das Geradenbündel ( id_{X_{K}} ×(f^{i} − f^{j}))^{∗} P̂_{K} trivial auf X_{K} ×_{K} U ij_{K} . Das bedeutet, die Abbildung faktorisiert durch das Gitter M

(f^{i} − f^{j}) : U ij_{K} ⟶ M ⊂⟶ P̂_{K}

und ist lokal konstant. Wir erhalten folglich ein Element der Čech-Kohomologiegruppe

(f^{i} − f^{j}) ∈ Ȟ^{1}({U i_{K}}, M) ≅ Ȟ^{1}({U i_{K}}, ℤ)^{d} .

Gilt nun (f^{i} − f^{j}) = 0 in H^{1}(V_{K}, M) , so ist (f^{i} − f^{j}) nach einer zulässigen Verfeinerung der Überdeckung ein Korand bezüglich {U i_{K}}. Die U i_{K} seien dabei zusammenhängend. Dies bedeutet, es gibt Elemente m^{i} ∈ M(U i_{K}) = M mit f^{i}−f^{j} = m^{i}−m^{j} . Ohne Einschränkung sei dabei m^{1} = 0 . Also setzen sich die Abbildungen

(f^{i} − m^{i}) : U i_{K} ⟶ P̂_{K}

zu einer Abbildung f : V_{K} ⟶ P̂_{K} mit f(v_{K}) = 1 zusammen. Da L_{K} rigidifiziert ist, sind die Isomorphismen φ^{i} : L_{K}|_{X_{K} ×_{K}U_{K}^{i}} ⟶^{∼} ( id_{X_{K}} ×(f^{i} − m^{i}))^{∗}P̂_{K} eindeutig bestimmt und

setzen sich zu einem Isomorphismus L_{K} ≅ ( id_{X_{K}} ×f)^{∗} P̂_{K} zusammen.

Wir müssen noch zeigen, daß f eindeutig bestimmt ist und nehmen dazu an, es gäbe noch einen weiteren Morphismus f′ : V_{K} ⟶ P̂_{K} mit den Eigenschaften von f . Dann faktorisiert die Abbildung f − f′ : V_{K} ⟶ P̂_{K} durch das Gitter M . Da f(v_{K}) = f′(v_{K}) und V_{K} zusammenhängend ist, gilt f = f′.

Als Korollar erhalten wir die universelle Eigenschaft von P̂_{K} .

Satz 5.11. Die punktierte, rigid analytische Varietät (P̂_{K}, 1) stellt den Funktor P̂ic_{X_{K} /K}^{0} dar.

5.4. DIE KONSTRUKTION VON P_{K} 71

\underline{Beweis:} Sei V_{K} eine glatte, zusammenhängende, quasikompakte, rigid analytische K-Varietät mit H^{1}(V_{K} ˆ⊗_{K} \overline{K}, ℤ) = (0) für einen topologisch, algebraischen Abschluß \overline{K} von K. Sei ferner v_{K} ∈ V_{K}(K) und L_{K} ein rigidifiziertes Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} , welches entlang X_{K} × {v_{K}} trivial ist. Dann gibt es nach Satz 5.10 lokal auf V_{K} Morphismen nach P̂_{K} . Das Hindernis für die Verklebung dieser Morphismen ist durch eine Kohomologieklasse in H^{1}(V_{K}, M) ≅ H^{1}(V_{K}, ℤ)^{d} gegeben. Da H^{1}(V_{K} ˆ⊗_{K} \overline{K}, ℤ) = (0) und V_{K} quasikompakt ist, gibt es eine endliche, zulässige Überdeckung, welche über \overline{K} definiert ist und diese Kohomologieklasse trivialisiert. Diese Überdeckung läßt sich durch eine, über einer endlichen Erweiterung K′ von K definierte approximieren, welche die Kohomologieklasse ebenfalls trivialisiert. Nach Satz 5.10 bedeutet dies, daß sich die lokal definierten Morphismen über K′ zu einem eindeutig bestimmten Morphismus

f′ : V_{K′} ⟶ P̂_{K}

mit ( id_{X_{K}} ×f′)^{∗} P̂_{K} ≅ L_{K} ⊗_{K} K′ und f′(v_{K′}) = 1 verkleben lassen. Nach Satz 5.9 erhalten wir daraus den gewünschten über K definierten Morphismus.

5.4 Die Konstruktion von P_{K}

Wir dividieren nun aus P̂_{K} das Gitter M aus und erhalten eine rigid analytische Gruppe P_{K} . Die diskrete Untergruppe M operiert auf P̂_{K} durch Translationen τ_{m} : P̂_{K} ⟶ P̂_{K} . Diese Operation ist fixpunktfrei und folglich ist P_{K} glatt.

Nun soll auch P̂_{K} zu einem Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} P_{K} absteigen. Nach Bemerkung 5.7.1 gibt es einen Isomorphismus

λ : μ_{12}^{∗} P̂_{K} ⟶^{∼} μ_{1}^{∗} P̂_{K} ⊗ μ_{2}^{∗} P̂_{K}

von Geradenbündeln auf X_{K} ×_{K} P̂ 2_{K}. Dieser ist mit der Rigidifizierung des Poincaré-Bündels ρ̂_{K} : OP̂_{K} ⟶^{∼} (x_{K} × idP̂_{K})^{∗}P̂_{K} verträglich,

(x_{K} × idP̂_{K}^{2} )^{∗}λ ∘ μ_{12}^{∗} ρ̂_{K} = μ_{1}^{∗} ρ̂_{K} ⊗ μ_{2}^{∗} ρ̂_{K} .

Durch Rücktransport vermöge des Schnittes ( idP̂_{K} × m) : P̂_{K} ⟶ P̂ 2_{K} erhalten wir unter

Beachtung von ( idP̂_{K} × m)^{∗}μ_{2}^{∗} P̂_{K} ≅ m^{∗} P̂_{K} ≅ O_{X_{K} ×_{K} P̂_{K}} einen Isomorphismus

φ_{m} := ( idP̂_{K} × m)^{∗}λ : τ_{m}^{∗}P̂_{K} ⟶^{∼} P̂_{K} .

Für die Rigidifizierungen ergibt sich (x_{K} × idP̂_{K})^{∗} φ_{m} ∘ τ_{m}^{∗} ρ̂_{K} = ρ̂_{K} . Dabei ist τ_{m}^{∗} ρ̂_{K} die

kanonische Rigidifizierung des Geradenbündels τ_{m}^{∗}P̂_{K} . Da die beiden folgenden Isomorphismen mit den Rigidifizierungen kompatibel sind, sind sie gleich,

φ_{m′} ∘ τ_{m′}^{∗}φ_{m} = φ_{m+m′} : τ_{m+m′}^{∗}P̂_{K} ⟶^{∼} P̂_{K} .

Diese Identität heißt die Kozykelbedingung für die Isomorphismen φ_{m}. Folglich besitzt das Geradenbündel P̂_{K} eine sogenannte M-Linearisierung, bestehend aus den Isomorphismen φ_{m}, welche die Kozykelbedingung erfüllen.

Dies bedeutet nun, daß das Geradenbündel P̂_{K} zu einem rigidifizierten Geradenbündel P_{K} auf X_{K} ×_{K} P_{K} absteigt, welches entlang X_{K} × {1} trivial ist. Lokal läßt sich dies so beschreiben. Jeder Punkt von P_{K} besitzt eine Umgebung, die vermöge des kanonischen Morphismus isomorph zu einem Translat U_{K} von P̂_{K}(\frac{1}{2}) ist (vergleiche Punkt 1. im Beweis von Satz 5.9). Das zugehörige Geradenbündel ist P̂_{K}|_{U_{K}} .

Wie in Abschnitt 4.1 angekündigt, können wir nun Satz 4.5 beweisen. Wir benützen dabei die Vermutung 3.8 , die wir als wahr annehmen.

Satz 5.12. Die glatte, rigid analytische Gruppenvarietät (P_{K}, 1) über K zusammen mit dem Poincaré-Bündel P_{K} auf X_{K} ×_{K} P_{K} stellt den Picard-Funktor Pic_{X_{K} /K}^{0} auf der Kategorie der glatten, zusammenhängenden, punktierten, rigid analytischen K-Varietäten dar.

\underline{Beweis:} Sei V_{K} eine glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K mit einem Punkt v_{K} ∈ V_{K}(K) . Weiter sei L_{K} ein rigidifiziertes Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} V_{K} , trivial entlang X_{K} × {v_{K}}. Dann gibt es nach Satz 5.10 eine zulässige Überdeckung V i_{K} und V_{K} mit Abbildungen

f^{i} : V i_{K} ⟶ P̂_{K} ⟶ P_{K} .

Die Abbildungen f^{i} und f^{j} unterscheiden sich auf V i_{K} ∩ V j_{K} um ein Element aus M . Das heißt, sie lassen sich zu einem eindeutig bestimmten Morphismus

f : V_{K} ⟶ P_{K}

mit f(v_{K}) = 1 und L_{K} ≅ ( id_{X_{K}} ×f)^{∗} P_{K} verkleben.

Die Struktur von P_{K} ist folgende.

Satz 5.13. Die glatte, rigid analytische Gruppe P_{K} ist eine Erweiterung

1 ⟶ 𝔾_{m,K}^{r′} ⟶ P_{K} ⟶ Q_{K} ⟶ 1

einer eigentlichen, glatten, rigid analytischen Gruppe Q_{K} durch einen affinen Torus 𝔾_{m,K}^{r′} .

Bemerkung 5.13.1. Es ist möglich, daß P_{K} nicht eigentlich über K ist, das heißt daß der Rang r′ des Torusanteils echt positiv ist. Siehe dazu Beispiel 5.13.2 .

\underline{Beweis:} Nach Lemma 5.8 ist M ⊂⟶ P̂_{K}(K)/\overline{P}_{K}(K) eine Untergruppe. Wir betrachten die perfekte Paarung

χ(T_{K}) × P̂_{K}(K)/\overline{P}_{K}(K) ⟶ |𝔾_{m,K}(K)| = ℤ

aus den Ausführungen vor Lemma 5.8 . Das orthogonale Komplement von M bezüglich dieser Paarung ist eine Untergruppe χ(T ′_{K}) von χ(T_{K}) . Diese induziert eine Zerlegung der Charaktergrupe χ(T_{K}) = χ(T ′_{K}) ⊕ χ(T ′′_{K}) in freie Untergruppen, welche die Charaktergruppen von Tori T ′_{K} und T ′′_{K} sind. Der Zerlegung entspricht eine Zerlegung des Torus T_{K} = T ′_{K} ×_{K} T ′′_{K} in Untertori mit rk T ′_{K} = r′ und rk T ′′_{K} = rk M = r′′. Der Homomorphismus η : χ(T_{K}) ⟶ B^{∨} , der die Erweiterung \overline{P} beschreibt (Satz 5.5), ergibt einen Homomorphismus χ(T ′′_{K}) ⟶ B^{∨} und somit durch push-forward eine Erweiterung

[figure: 1; 1; T_{K}; T ′′_{K}; P̂_{K}; α; Q̂_{K}; B_{rig}; B_{rig}; 1; 1 .]

Durch α wird das Gitter M bijektiv auf ein Gitter N in Q̂_{K} abgebildet. Auf diese Weise erhalten wir P_{K} = P̂_{K}/M als Erweiterung

1 ⟶ T ′_{K} ⟶ P_{K} ⟶ Q_{K} ⟶ 1

einer eigentlichen, glatten, rigid analytischen Gruppe Q_{K} := Q̂_{K}/N durch einen affinen Torus T ′_{K} = 𝔾_{m,K}^{r′} . Dabei ist Q_{K} eigentlich über K, da das Gitter N ⊆ Q̂_{K} vollen Rang hat. Dies sehen wir folgendermaßen. Da B eigentlich über R ist, ist auch B_{rig} eigentlich über K nach [Lü 1, Theorem 3.1]. Dies bedeutet, es gibt endliche, affinoide Überdeckungen Bν_{rig} und B̃ν_{rig} von B_{rig} , so daß Bν_{rig} relativ kompakt in B̃ν_{rig} ist, in der Notation von [Ki 1, Definition 2.3] also Bν_{rig} ⋐ B̃ν_{rig} . Dabei können wir die Überdeckung so klein wählen, daß Q̂_{K} über B̃ν_{rig} trivial, das heißt gleich dem Produkt T ′′_{K} ×_{K} B̃ν_{rig} ist. Für ϵ > 0 sei

T ′′_{K}(ϵ) := { t ∈ T ′′_{K} : val_{T′′} (t) ∈ [−ϵ, ϵ]^{r′′} }

der Polyannulus mit Radius π^{2ϵ} (vergleiche die Ausführungen vor Lemma 5.8). Seien nun 0 < δ < ϵ < \frac{1}{2} . Dann sind die N-Translate von T ′′_{K}(ϵ) ×_{K} B̃ν_{rig} disjunkt und Q_{K} läßt sich

durch die Bilder endlich vieler Translate τ_{q_{i}}(T ′′_{K}(δ) ×_{K} Bν_{rig}) überdecken. Dabei benötigen

wir auch einige q_{i}, die nicht in N liegen. Wir erhalten die endlichen, affinoiden Überdeckungen

τ_{q_{i}}(T ′′_{K}(δ) ×_{K} Bν_{rig}) ⋐ τ_{q_{i}}(T ′′_{K}(ϵ) ×_{K} B̃ν_{rig}) für alle i und ν .

von Q_{K} . Also ist Q_{K} eigentlich über K.

Wir wollen uns nun der Frage zuwenden, wann P_{K} eigentlich über K ist, das heißt wann der Torusanteil 𝔾_{m,K}^{r′} trivial ist. Im allgemeinen braucht das nicht der Fall zu sein, wie das Beispiel der rigid analytischen Hopf-Varietäten zeigt, welches auf G. A. Mustafin ([Ms]) zurückgeht.

Beispiel 5.13.2. Eine rigid analytische Hopf-Varietät ist ein Quotient X_{K} des affinen Raums ohne Ursprung 𝔸n_{K} − {0} modulo der Operation der Gruppe Γ := g^{ℤ} ⊆ GL(n, K) mit

g = ( \begin{matrix}π^{e} u_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & π^{e} u_{n} \end{matrix} ) , u_{i} ∈ R^{×} , e ≥ 2 .

Nach [Ms, Theorem a] ist X_{K} eine eigentliche, glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K mit strikt semistabilem Modell.

Behauptung: Pic_{X_{K} /K}^{0} = 𝔾_{m,K} .

Beweis: Sei L ein Geradenbündel auf X_{K} . Der Rücktransport von L auf 𝔸n_{K} − {0} ist eingeschränkt auf U i_{K} := 𝔸i−1_{K} ×_{K} 𝔾_{m,K} ×_{K} 𝔸n−i_{K} trivial nach [BM, Corollary 5.10]. Das heißt, L ist durch Übergangsfunktionen l^{ij} ∈ O(U i_{K} ∩ U j_{K})^{×} gegeben. Diese sind von der Form l^{ij} = a ζ_{i}^{μ}ζ_{j}^{ν} mit a ∈ K^{×} und μ, ν ∈ ℤ, wobei ζ_{i} eine Koordinate auf dem i-ten Faktor ist. Durch Abänderung der Trivialisierung auf U i_{K} mit ζ_{i}^{μ} sehen wir, daß L trivial auf 𝔸n_{K} − {0} ist. Zu L gehört eine Γ-Linearisierung. Dies ist eine Familie von Isomorphismen

φ_{m} : O_{𝔸_{K}^{n}} ⟶^{∼} O_{𝔸_{K}^{n}} , m ∈ ℤ ,

welche die Kozykelbedingung φ_{m′} ∘(g^{m′})^{∗}φ_{m} = φ_{m+m′} erfüllt. Sie ist also durch das Element φ_{1} ∈ O_{𝔸_{K}^{n}}(𝔸n_{K})^{×} = K^{×} bestimmt. Dies zeigt die Behauptung.

Somit ist für rigid analytische Hopf-Varietäten der Torusanteil nicht trivial.

Hingegen gilt jedoch

Satz 5.14. Sei X_{K} eine eigentliche, glatte, zusammenhängende, rigid analytische Varietät über K, sowie x_{K} ∈ X_{K}(K) . Es gelte einer der folgenden Fälle

a) X_{K} ist algebraisch, oder

b) X_{K} ist eine rigid analytische Gruppenvarietät.

Dann ist P_{K} ist eine eigentliche, glatte rigid analytische Gruppe, das heißt der Torusanteil in P_{K} trivial.

\underline{Beweis:} Ad a) Sei X_{K} algebraisch. Dann ist Pic_{X_{K} /K}^{0} nach [Mu] und [Oo] darstellbar durch ein Schema P alg_{K}, von endlichem Typ über K (vergleiche Satz 4.2). Da X_{K} glatt ist, ist P alg_{K} eigentlich über K ([FGA, n^{o} 236, Théorème 2.1]). Da P alg_{K} von endlichem Typ über K ist, ist nach einer geeigneten, endlichen Körpererweiterung das reduzierte Unterschema bereits geometrisch reduziert, also eine glatte Gruppe (P alg_{K})_{red} ([SGA 3, I, Exposé VI_{A}, Proposition 1.3.1]). Für diese erhalten wir folgende

Behauptung: P_{K} = (P alg_{K})_{red} , insbesondere ist P_{K} eigentlich über K.

Beweis: Nach Satz 5.12 induziert das Poincaré-Bündel auf (P alg_{K})_{red} einen eindeutig bestimmten Morphismus (P alg_{K})_{red} ⟶ P_{K} . Um den dazu inversen Morphismus zu konstruieren betrachten wir eine affinoide Überdeckung Sp Ai_{K} von P_{K} . Da X_{K} algebraisch und eigentlich über K ist, kommt nach dem GAGA-Prinzip [Lü 1, Theorem 2.8] das Poincaré-Bündel auf X_{K} ×_{K} Sp Ai_{K} von einem algebraischen Geradenbündel auf X_{K} ×_{K} Spec Ai_{K} . Dieses induziert einen eindeutig bestimmten Morphismus Spec Ai_{K} ⟶ P alg_{K}. Da Ai_{K} rigid glatt über K, also geometrisch reduziert ist, faktorisiert der Morphismus durch (P alg_{K})_{red} . Wegen der Eindeutigkeit lassen sich diese Morphismen zu einem eindeutig bestimmten Morphismus

P_{K} ⟶ (P alg_{K})_{red}

verkleben. Dieser ist invers zu dem zuvor konstruierten und somit der kanonische Isomorphismus.

Behauptung b) ist [Lü 2, Corollary II.2].

Damit wollen wir den Beweis der Darstellbarkeit und die Untersuchung der Struktur der Picard-Varietät beschließen.

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