Algebra – Zusammenfassung ^{Dr. Urs Hartl WS 02/03}

Einleitung: Auflösen von Polynomgleichungen

Der Name ”Algebra“ ist arabischen Ursprungs und bedeutete ”Rechnen mit Gleichungen und Lösen derselben“. In der Algebra interessiert man sich meist für polynomiale Gleichugen

(∗)  f(X) = a_{n}X^{n} + … + a_{1}X + a_{0} = 0 ,  a_{i} ∈ K , a_{n} ≠ 0 .

Problem: Wieviele Lösungen besitzt (∗), in welchem Zahlenbereich liegen diese und wie lassen sie sich explizit aus den Koeffizienten berechnen?

Mit Vielfachheiten gezählt besitzt (∗) genau n Lösungen (Folgerung 3.5.2).

Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt eine Nullstelle in den komplexen Zahlen.

Berechnung der Lösungen:

n = 2: Quadratische Ergänzung (Ende des 3. Jahrtausends v. Ch.), n = 3: Cardano’sche Formeln (1515), n = 4: Lösungsformel von Ferrari (1545).

Fazit: Die allgemeine Gleichung vom Grad n ≤ 4 ist durch Radikale auflösbar.

Auflösbarkeit für n ≥ 5:

Galois (1832): Kriterium für die Auflösbarkeit einer Gleichung mit Hilfe ihrer ”Galois-Gruppe“

Galois-Theorie

Sei L/K ein Zerfällungskörper von f über K (Satz 3.4.6), dann enthält L ”sämtliche“ Lösungen von (∗).

Untersuchung der Struktur von L/K mit Hilfe der Galois-Gruppe Gal(L/K) := Aut_{K}(L)

Die Zwischenkörper von L/K entsprechen eins zu eins den Untergruppen von Gal(L/K) (Satz 4.3.1).

Die Gleichung (∗) ist genau dann durch Radikale auflösbar, wenn die Gruppe Gal(L/K) auflösbar ist (Satz 4.7.4).

Abel, Ruffini (1826): Die allgemeine Gleichung n-ten Grades ist für n ≥ 5 nicht durch Radikale auflösbar. (Satz 4.7.6)

Beweis: Die Galois-Gruppe des allgemeinen Polynoms n-ten Grades ist die symmetrische Gruppe S_{n} (Korollar 4.4.11). Die Gruppe S_{n} ist genau dann auflösbar, wenn n ≤ 4 ist (Satz 1.9.6).

1 Elementare Gruppentheorie

1.1 Gruppen 1.2 Gruppenmorphismen 1.3 Untergruppen

Untergruppenkriterium, Links- und Rechtsnebenklassen, Satz 1.3.10 (Satz von Lagrange) Sei G eine Gruppe und H < G eine Untergruppe. Dann gilt #G = [G : H] #H.

1.4 Normalteiler

Definition, Rechnen mit Nebenklassen, Faktorgruppe

1.5 Isomorphiesätze

Satz 1.5.1 (Homomorphiesatz) Sei φ : G → G′ ein Homomorphismus von Gruppen. Dann induziert φ einen Isomorphismus

\overline{φ} : G/ ker(φ) ⟶ im(φ)

und φ faktorisiert als φ = i ∘ \overline{φ} ∘ ρ

G ⟶^{ρ} G/ ker φ ⟶^{\overline{φ}} im(φ) ⟶^{i} G′

wobei ρ der kanonische Epimorphismus und i die Inklusionsabbildung der Untergruppe im(φ) von G′ ist. Erster und zweiter Isomorphiesatz

1.6 Zyklische Gruppen C_{n}, C_{∞}

Satz 1.6.4 (Klassifikation der zyklischen Gruppen) Sei G = ⟨g⟩ eine zyklische Gruppe. Dann ist G kommutativ. Genauer gilt mit n = #G

1. Ist n = ∞, so ist φ : ℤ → G, m ↦ g^{m} ein Isomorphismus.

2. Ist n < ∞, so ist \overline{φ} : ℤ/nℤ → G, \overline{m} ↦ g^{m} wohldefiniert und ein Isomorphismus. Untergruppen von zyklischen Gruppen, Kriterium für zyklische Gruppen

1.7 Permutationsgruppen S_{n}, A_{n}

Zyklen, Transpositionen, Signum

1.8 Endlich erzeugte, abelsche Gruppen

Satz 1.8.7 (Elementarteilersatz) Sei G eine endlich erzeugte, freie, abelsche Gruppe und G′ < G eine Untergruppe. Dann existiert eine Basis {x_{1}, …, x_{r}} von G und Zahlen m_{1}, …, m_{r} ∈ ℕ_{0} mit m_{1}|m_{2}, …, m_{r−1}|m_{r}, so dass G′ die von {m_{1}x_{1}, …, m_{r}x_{r}} erzeugte freie, abelsche Gruppe ist.

Satz 1.8.9 (Hauptsatz über endlich erzeugte, abelsche Gruppen) Sei G eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe und T (G) ihre Torsionsuntergruppe. Dann gilt

1. G ≅ T (G) × G/T (G),

2. G/T (G) ≅ C_{∞}^{r},

3. T (G) ≅ C_{m_{1}} × … × C_{m_{s}} mit m_{i} ∈ ℤ, m_{i} ≥ 2 und m_{1}|m_{2}, …, m_{s−1}|m_{s}.

Der Rang r und die Zahlen m_{1}, …, m_{s} sind eindeutig bestimmt.

1.9 Auflösbare Gruppen

Kommutatoruntergruppe, Normalreihe

Satz 1.9.6 Die symmetrische Gruppe S_{n} und die alternierende Gruppe A_{n} sind genau dann auflösbar, wenn n ≤ 4 ist.

Übertragung von Auflösbarkeit auf (und von) Untergruppen und Faktorgruppen

1.10 Operationen von Gruppen auf Mengen

Definition, Bahn, Stabilisatoruntergruppe, Fixpunkt

Satz 1.10.4 (Bahnengleichung) Sei G×X → X eine Operation der Gruppe G auf der endlichen Menge X und seien G.x_{1}, …, G.x_{r} die Bahnen. Dann gilt

#X = ∑_{i=1}^{r}[G : G_{x_{i}}]

1.11 Sylowsätze

p-Gruppe, p-Sylowuntergruppe

Satz 1.11.2 (Erster Sylow’scher Satz) Jede endliche Gruppe besitzt eine p-Sylowuntergruppe.

Satz 1.11.4 (Zweiter Sylow’scher Satz) Je zwei p-Sylowuntergruppen einer endlichen Gruppe sind konjugiert.

Satz 1.11.5 (Dritter Sylow’scher Satz) Die Anzahl der p-Sylowuntergruppen einer endlichen Gruppe G teilt #G und ist kongruent zu 1 modulo p.

2 Ringe und Polynome

2.1 Grundbegriffe

2.2 Ringmorphismen und Ideale

Ideale, Faktorring, Homomorphisatz,

Satz 2.2.12 (Chinesischer Restsatz) Seien R ein kommutativer Ring und 𝔞_{1}, …, 𝔞_{n} ⊂ Ideale mit 𝔞_{i} + 𝔞_{j} = R für alle i ≠ j. Dann gilt 𝔞_{1} ∩ … ∩ 𝔞_{n} = 𝔞_{1} · . . . · 𝔞_{n} und

R/(𝔞_{1} · . . . · 𝔞_{n}) ≅ R/𝔞_{1} × … × R/𝔞_{n} .

2.3 Integritätsbereich und Quotientenkörper

Satz 2.3.4 (Existenz des Quotientenkörpers) Sei R ein Integritätsbereich. Dann existiert ein Körper Q und ein injektiver Ringhomomorphismus i : R → Q, so dass sich jedes x ∈ Q in der Form x = i(a)/i(b) mit a, b ∈ R, b ≠ 0 schreiben lässt.

2.4 Der Polynomring

Satz 2.4.3 (Existenz und universelle Eigenschaft des Polynomrings) Sei R ein kommutativer Ring. Dann existiert ein Polynomring über R in einer Unbestimmten X. Dieser besteht aus einem Oberring R[X] ⊃ R und einem ausgezeichneten Element X ∈ R[X] und erfüllt die folgende universelle Eigenschaft:

∀ φ : R → S Ringhomomorphismus mit S kommutativ, ∀ x ∈ S ∃! Φ : R[X] → S eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus mit Φ|_{R} = φ und Φ(X) = x.

[figure: R; R[X]; ∋ X; φ; S; ∋ x; ∃! Φ]

Division mit Rest, euklidische Ringe

Satz 2.4.13 (Anzahl der Nullstellen) Sei R ein Integritätsbereich und f ∈ R[X]. Dann hat f höchstens deg(f) verschiedene Nullstellen in R.

2.5 Hauptideale, Primideale, maximale Ideale

Satz 2.5.2 Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.

Satz 2.5.8 Sei R ein kommutativer Ring. Genau dann ist R[X] ein Hauptidealring, wenn R ein Körper ist.

2.6 Teilbarkeit in Integritätsringen

Größter gemeinsamer Teiler, faktorielle Ringe, Primelemente, irreduzible Elemente

Satz 2.6.7 (Euklidischer Algorithmus) Sei R ein euklidischer Ring mit Größenfunktion δ : R ∖ {0} → ℕ_{0}. Seien a_{1}, a_{2} ∈ R mit δ(a_{1}) ≥ δ(a_{2}). Für i ≥ 3 sei a_{i} ∈ R rekursiv definiert durch

a_{i−2} = q_{i} a_{i−1} + a_{i} mit a_{i} = 0 oder δ(a_{i}) < δ(a_{i−1}) .

Dann existiert ein m ∈ ℕ mit a_{m+1} = 0, a_{m} ≠ 0. Es ist a_{m} ein ggT von a_{1} und a_{2} in R. Setzt man b_{1} = 1 = c_{2}, b_{2} = 0 = c_{1}, b_{i} = b_{i−2}−q_{i} b_{i−1} und c_{i} = c_{i−2}−q_{i} c_{i−1}, so gilt a_{m} = b_{m} a_{1}+c_{m} a_{2}.

Satz 2.6.13 Jeder Hauptidealring ist faktoriell.

2.7 Polynomringe über faktoriellen Ringen

Satz 2.7.8 (Gauß) Der Polynomring über einem faktoriellen Ring ist wieder faktoriell.

2.8 Irreduzibilität von Polynomen

Eisenstein’sches Irreduzibilitätskriterium, Reduktionskriterium

3 Algebraische Körpererweiterungen

3.1 Grundbegriffe

Grad einer Körpererweiterung, Charakteristik eines Körpers

Satz 3.1.4 (Gradsatz) Ist M/L/K ein Körperturm, so gilt [M : K] = [M : L] · [L : K].

3.2 Endliche und algebraische Körpererweiterungen

algebraische und transzendente Elemente einer Körpererweiterung, Minimalpolynom

Satz 3.2.10 Endlichkeit ist eine ausgezeichnete Eigenschaft von Körperweiterungen, d.h. ist L/K eine Körpererweiterung und sind E und F Zwischenkörper von L/K, so gilt:

1. Ist F ⊂ E, so ist E/K endlich genau dann, wenn E/F und F/K endlich sind.

2. Ist E/K endlich, so ist auch EF/F endlich.

3. Sind E/K und F/K endlich, so ist auch EF/K endlich.

Satz 3.2.13 Algebraizität ist eine ausgezeichnete Eigenschaft von Körperweiterungen.

3.3 Der algebraische Abschluss

Satz 3.3.1 (Verfahren von Kronecker) Sei K ein Körper, f ∈ K[X], deg(f) ≥ 1. Dann gibt es eine algebraische Körpererweiterung L/K und eine Nullstelle α ∈ L von f.

Satz 3.3.8 Jeder Körper besitzt einen algebraischen Abschluss.

3.4 Zerfällungskörper, normale Erweiterungen

Satz 3.4.6 (Existenz von Zerfällungskörpern) Sei K ein Körper und F eine Familie von nicht-konstanten Polynomen aus K[X]. Dann existiert ein Zerfällungskörper von F über K.

Satz 3.4.8 (Charakterisierung normaler Erweiterungen) Sei L/K eine algebraische Körpererweiterung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. L/K ist normal,

2. L/K ist Zerfällungskörper einer Familie von nicht-konstanten Polynomen aus K[X],

3. Jeder K-Homomorphismus φ : L → \overline{L} in einen algebraischen Abschluss \overline{L} von L ist ein K-Automorphismus von L.

Konstruktionsverfahren für Aut_{K}(L) für eine endliche, normale Körpererweiterung L/K

3.5 Separable Körpererweiterungen

Separabilitätsgrad einer Körperweiterung, Gradsatz für den Separabilitätsgrad

Satz 3.5.11 Separabilität ist eine ausgezeichnete Eigenschaft von Körperweiterungen.

Satz 3.5.12 (Satz vom primitiven Element) Jede endliche separable Körpererweiterung L/K ist einfach, d.h. es existiert ein primitives Element δ ∈ L mit L = K(δ).

Formale Differentiation von Polynomen zur Charakterisierung mehrfacher Nullstellen

Satz 3.5.20 Jeder Körper der Charakteristik 0 ist perfekt, d.h. jede seiner algebraischen Körpererweiterungen ist separabel.

Satz 3.5.22 Jeder endliche Körper ist perfekt.

3.6 Endliche Körper

Satz 3.6.1 Ist K ein endlicher Körper, so ist q := #K eine Potenz der Charakteristik von K und die Elemente von K sind genau die Nullstellen des separablen Polynoms X^{q} − X.

Satz 3.6.2 Zu jeder Primzahlpotenz q existiert ein endlicher Körper mit q Elementen. Je zwei solche sind isomorph. (Bezeichnung 𝔽_{q})

Satz 3.6.5 Sei q eine Primzahlpotenz und d ∈ ℕ. Dann ist

Aut_{𝔽_{q}}(𝔽_{q^{d}}) = { (Frob_{q})^{ν} : ν = 0, …, d − 1}

zyklisch von der Ordnung d mit kanonischem Erzeuger Frob_{q} : α ↦ α^{q}.

4 Galois-Theorie

4.1 Motivation

4.2 Galois-Erweiterungen

Def 4.2.3 Eine algebraische Körpererweiterung heißt galoissch, falls sie normal und separabel ist.

Satz 4.2.4 (Charakterisierung von galoisschen Erweiterungen) Sei L/K eine Körpererweiterung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. L/K ist galoissch,

2. L ist Zerfällungskörper einer Familie separabler Polynome über K,

3. L^{Gal(L/K)} = K.

Ist L/K endlich, so sind 1. – 3. zusätzlich äquivalent zu

4. # Gal(L/K) = [L : K].

4.3 Der Hauptsatz der Galois-Theorie

Satz 4.3.1 (Hauptsatz der Galois-Theorie) Sei L/K eine endliche, galoissche Körpererweiterung mit G = Gal(L/K). Dann sind die Zuordnungen

{ E : Zwischenkörper von L/K } ⟷ { H : Untergruppen von G }
E ⟼ Gal(L/E)
L^{H} ⟵∣ H

bijektiv und invers zueinander. L ist galoissch über L^{H} mit Galois-Gruppe H. Es ist L^{H} normal und damit galoissch über K genau dann, wenn H Normalteiler in G ist. In diesem Fall gilt Gal(L^{H}/K) = G/H.

Translationssatz, Galois-Gruppe des Kompositums

4.4 Die Galois-Gruppe einer Gleichung – Beispiele

Operation der Galois-Gruppe auf den Nullstellen der Gleichung Berechnung des Fixkörpers Die allgemeine Gleichung n-ten Grades, elementar-symmetrische Polynome

Korollar 4.4.11 Seien T_{1}, …, T_{n} Unbestimmte über einem Körper K. Dann ist das allgemeine Polynom n-ten Grades

p(X) := X^{n} + T_{1}X^{n−1} + … + T_{n−1}X + T_{n} ∈ K[T_{1}, …, T_{n}][X]

separabel und irreduzibel in K(T_{1}, …, T_{n})[X]. Ist L Zerfällungskörper von p über K(T_{1}, …, T_{n}), so ist Gal(L/K(T_{1}, …, T_{n})) = S_{n}.

4.5 Einheitswurzeln und Kreisteilungskörper

Satz 4.5.8 Sei K ein Körper und n ∈ ℕ mit char(K) ∤ n. Sei ζ ∈ μ_{n}(\overline{K}) eine primitive n-te Einheitswurzel. Dann ist K(ζ) Zerfällungskörper des separablen Polynoms X^{n} − 1 über K. Es ist K(ζ)/K galoissch und es gibt einen injektiven Gruppenhomomorphismus

Gal(K(ζ)/K) ⊂⟶ (ℤ/nℤ)^{×} , σ ↦ m(σ)

mit σ(ζ) = ζ^{m(σ)}. Insbesondere ist K(ζ)/K endlich, abelsch und [K(ζ)/K] teilt φ(n).

Kreisteilungspolynom, Irreduzibilität über ℚ

4.6 Zyklische Körpererweiterungen

Norm- und Spurabbildung von Körpererweiterungen Unabhängigkeit von Charakteren Hilbert 90

Satz 4.6.11 (Kummer-Erweiterungen) Sei K ein Körper, n ∈ ℕ mit char(K) ∤ n. Es existiere eine primitive n-te Einheitswurzel ζ ∈ K. Dann gilt:

1. Ist L/K eine zyklische Körperweiterung vom Grad n, so existiert ein α ∈ L mit L = K(α) und a := α^{n} ∈ K, sowie m_{α/K} = X^{n} − a.

2. Ist a ∈ K und α ∈ \overline{K} eine Nullstelle von X^{n} − a, so ist K(α)/K zyklisch vom Grad d mit d|n. Es ist c := α^{d} ∈ K und m_{α/K} = X^{d} − c.

Satz 4.6.13 (Artin-Schreier-Erweiterungen) Sei K ein Körper mit char(K) = p > 0. Dann gilt:

1. Ist L/K zyklisch vom Grad p, so existiert ein α ∈ L mit L = K(α) und a := α^{p} − α ∈ K, sowie m_{α/K} = X^{p} − X − a.

2. Ist a ∈ K und f = X^{p} − X − a, so gilt: Entweder f zerfällt in K[X] vollständig in Linearfaktoren, oder f ist irreduzibel in K[X] und für jede Nullstelle α ∈ \overline{K} von f ist K(α)/K Zerfällungskörper von f und zyklische Galois-Erweiterung vom Grad p mit Gal(K(α)/K) = ⟨σ⟩, wobei σ : α ↦ α + 1 ist.

4.7 Auflösbarkeit durch Radikale

Satz 4.7.4 (Galois) Für eine Körperweiterung L/K sind äquivalent:

1. L/K ist durch Radikale auflösbar,

2. L/K ist endlich, separabel und die normale Hülle N von L/K ist auflösbar über K, d.h. Gal(N/K) ist eine auflösbare Gruppe.

Satz 4.7.6 (Abel, Rufini) Die allgemeine Gleichung n-ten Grades ist für n ≥ 5 nicht durch Radikale auflösbar.

4.8 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Satz 4.8.5 (Unlösbarkeit der Konstruktionsprobleme der Antike) Die drei Konstruktionsprobleme der Antike

Quadratur des Kreises: Konstruiere zu einem gegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat

Dreiteilung des Winkels: Zerlege einen Winkel in drei gleiche Teile

Verdoppelung des Würfels: Konstruiere zu einem gegebenen Würfel einen Würfel des doppelten Volumens

sind mit Zirkel und Lineal unlösbar.

Satz 4.8.6 (Konstruktion des regulären n-Ecks, Gauß) Sei n ∈ ℕ mit n ≥ 3. Das reguläre n-Eck lässt sich genau dann mit Zirkel und Lineal konstruieren, wenn φ(n) (Euler’sche φ-Funktion) eine Potenz von 2 ist.