Algebra und Zahlentheorie (SS 2011)
Allgemeine Daten
- Vorlesung und Übungen (3+1 SWS):
dienstags, 12 – 14 Uhr in M2 und freitags, 12 – 14 Uhr in M2
Nützliche Informationen
| Vorlesungszeit: | 4.4.2011 – 15.7.2011 (In der Woche vom 11.7. bis zum 15.7.2011 ist eine so genannte Prüfungswoche – hier findet keine Vorlesung statt, aber es gibt eine Wiederholungsphase zur Klausurvorbereitung (s.u.).) |
| Vorlesungsverzeichnis: | Vorlesung und Übungen |
| Veranstalterin: | Angela Holtmann |
| Sprechstunde: | siehe Hauptseite der Fachstudienberatung |
| Büro: | 106, Einsteinstraße 62 |
| Telefon: | 0251/83-33018 |
| E-Mail: | |
| Postfach: | in der Einsteinstraße 62 im Vorraum auf der linken Seite („Studienkoordination/Fachstudienberatung“) |
Allgemeine Einführung
Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich u.a. mit den ganzen Zahlen und Lösungen von ganzzahligen Gleichungen (Diophantischen Gleichungen) beschäftigt. Insbesondere wird es in der Vorlesung um Primfaktorzerlegungen, Teilbarkeit in den ganzen Zahlen und das Rechnen mit Kongruenzen gehen. Wichtige Resultate aus der elementaren Zahlentheorie, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind zum Beispiel der Satz von Fermat, der Satz von Euler, der Chinesische Restsatz, der Satz von Wilson und der Euklidische Algorithmus. In der Vorlesung wird es einerseits um solche Fragestellungen gehen, andererseits wird auch – wie der Titel ja bereits vermuten lässt… – der algebraische Hintergrund dargestellt.
Überblick über die Vorlesungen
- Di, 5.4.2011: Einführung, Teilbarkeit in den ganzen Zahlen
- Fr, 8.4.2011: Primzahlen und Charakterisierung
- Di, 12.4.2011: Weitere Charakterisierung von Primzahlen, Hauptsatz der Elementaren Zahlentheorie
- Fr, 15.4.2011: Umformulierung des Hauptsatzes der EZT und Anwendungen: Teilbarkeitskriterium, Berechnung der Anzahl der positiven Teiler einer natürlichen Zahl
- Di, 19.4.2011: Besprechung der Übungen (Übungsblatt 1); Anwendungen des Hauptsatzes der EZT: Vorbemerkungen zur Berechnung des Produkts aller positiven Teiler einer Zahl
- Fr, 22.4.2011: Karfreitag
- Di, 26.4.2011: Weitere Anwendungen des Hauptsatzes der EZT: Berechnung des Produkts aller positiven Teiler einer Zahl, Berechnung der Summe aller positiven Teiler einer Zahl
- Fr, 29.4.2011: Fortsetzung des Satzes zur Berechnung der Summe aller positiven Teiler, vollkommene Zahlen (Definition); Besprechung der Übungen (Übungsblatt 2)
- Di, 3.5.2011: Fortsetzung der Besprechung der Übungen (Übungsblatt 2); Charakterisierung gerader vollkommener Zahlen
- Fr, 6.5.2011: Mersennesche und Fermatsche Primzahlen; Größter gemeinsamer Teiler in Z (Existenz und Eindeutigkeit), Beweis der Eindeutigkeit des ggT
- Di, 10.5.2011: Beweis der Existenz des ggT; Euklidischer Algorithmus
- Fr, 13.5.2011: 2. Bologna-Tag der WWU Münster
Die Besprechung der Übungen (Übungsblatt 3) ist daher etwas kürzer ausgefallen, die Rechenaufgaben des Übungsblattes 3 sind hier als Musterlösung verfügbar. - Di, 17.5.2011: Besprechung der Übungen (Übungsblatt 3 – Beweisaufgaben); Beweis, dass der Euklidische Algorithmus wirklich den ggT(a,b) liefert; Kleinstes gemeinsames Vielfaches in Z
- Fr, 20.5.2011: Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler
- Di, 24.5.2011: Beweis des Hauptsatzes über den ggT; Erweiterter Euklidischer Algorithmus
- Fr, 27.5.2011: Besprechung der Übungen (Übungsblatt 4 – Beweisaufgaben); Aussagen zur Lösbarkeit von linearen diophantischen Gleichungen, Charakterisierung von Lösungen linearer diophantischer Gleichungen in zwei Variablen (und Beispiel)
- Di, 31.5.2011: Pythagoreische Tripel und Fundamentallösungen; Ringe
- Fr, 3.6.2011: Beispiele für Ringe (ganze Zahlen, Polynomringe) und Gegenbeispiele, Rechnungen in Ringen; Besprechung der Übungen (Übungsblatt 6, Aufgabe 1 und erster Teil von Aufgabe 2)
- Di, 7.6.2011: Besprechung der Übungen (Übungsblatt 6, Aufgaben 2 und 3; Übungsblatt 7, Aufgabe 1); Beispiele für Ringe (quadratische Zahlbereiche), Rechnungen
- Fr, 10.6.2011: Besprechung der Übungen (Übungsblatt 7, Aufgaben 2 und 3); Gradsatz für Polynome (und Beispiele)
- Di, 14.6.2011: Pfingstwoche – keine Vorlesung (Wer mag, kann dann schon mal die (halbe) Probeklausur rechnen.)
- Fr, 17.6.2011: Pfingstwoche – keine Vorlesung
- Di, 21.6.2011: Beispiele für echte Ungleichheit beim Gradsatz, Gradsatz für Produkte von Polynomen in einer Variablen über nullteilerfreien Ringen (hier gilt immer Gleichheit), Rechnungen in Polynomringen in einer Variablen über „allgemeinen“ Ringen; Z[√m] ist nicht nullteilerfrei, falls m eine Quadratzahl ist; Teilbarkeit in kommutativen Ringen, Einheiten, Beispiele und Gegenbeispiele für Einheiten (im Leitfaden nun (25.6.2011) ausführlicher wie auch in der Vorlesung)
- Fr, 24.6.2011: Eigenschaften von Einheiten in kommutativen Ringen; Assoziiertheit von Elementen (mit Beispielen und Gegenbeispielen in den ganzen Zahlen und quadratischen Zahlbereichen); Unzerlegbarkeit und Primelemente in kommutativen Ringen; Normfunktionen auf kommutativen Ringen (mit Beispiel: Betrag der ganzen Zahlen)
- Di, 28.6.2011: Besprechung der Übungen (Übungsblatt 8, Aufgaben 1 und 2); weitere Beispiele von Normfunktionen auf kommutativen Ringen (für Polynomringe und quadratische Zahlbereiche (in denen m keine Quadratzahl ist))
- Fr, 1.7.2011: Zusammenhang von (monotonen und nicht-monotonen) Normfunktionen und Teilbarkeit in Ringen mit Teilbarkeit in den ganzen Zahlen; Zusammenhang von Werten von (monotonen und nicht-monotonen) Normfunktionen mit Einheiten; Zusammenhang von Unzerlegbarkeit und Primelementen (unzerlegbare Elemente sind i.d.R. nicht prim) anhand eines Beispiels; Anwendungen des Zusammenhangs von Teilbarkeit in Ringen mit (monotoner) Normfunktion und Teilbarkeit in den ganzen Zahlen
- Di, 5.7.2011: Fortführung des Beispiels, dass nicht alle unzerlegbaren Elemente Primelemente sein müssen; Faktorielle Ringe (Beispiel: die ganzen Zahlen, Gegenbeispiel: Z[√-5]); Ideale, Hauptideale, Hauptidealringe; Zusammenhang von Teilbarkeit und Inklusion von Hauptidealen
- Fr, 8.7.2011: Zusammenhang von Teilbarkeit und Inklusion von Hauptidealen an einem Beispiel; Beispiel eines Nicht-Hauptideals (nur, damit man es mal gesehen hat…); Beweis, dass jeder nullteilerfreie kommutative Hauptidealring mit monotoner Normfunktion faktoriell ist
Leitfaden
(Sollte jemand noch Tippfehler oder Unklarheiten im Leitfaden entdecken, freue ich mich natürlich, wenn derjenige mir diese mitteilt.)
Übersicht über die Themen der Vorlesung/Übungen
Beispiel eines Rings, der kein Hauptidealring ist (für die „Interessierten“)
Übungsblätter
- Übungsblatt 1 (Abgabe: Fr, 15.4.2011)
- Übungsblatt 2 (Abgabe: Do, 21.4.2011 – da Fr, 22.4. Karfreitag ist)
- Übungsblatt 3 (Abgabe: Fr, 6.5.2011) – Hier darf bei Aufgabe 3 schon die Aussage aus Satz 1.3.16 verwendet werden: Ist s∈N keine Primzahl, so ist auch 2s − 1 keine Primzahl. (Das erleichtert in einigen Fällen die Rechenarbeit.)
(Lösungen der Rechenaufgaben zum Übungsblatt 3) - Übungsblatt 4 (Abgabe: Fr, 13.5.2011) (Lösungen zum Übungsblatt 4)
- Übungsblatt 5 (Abgabe: Fr, 20.5.2011) (Lösung der Beweisaufgabe zum Übungsblatt 5 – geht fast analog zu dem Beweis für den ggT)
- Übungsblatt 6 (Abgabe: Fr, 27.5.2011)
- Übungsblatt 7 (Abgabe: Fr, 3.6.2011)
- Übungsblatt 8 (Abgabe: Fr, 10.6.2011) (Lösung zur Aufgabe 3, Teil 1, Übungsblatt 8)
- In der Pfingstwoche gab es keinen Übungszettel, aber eine (halbe) Probeklausur. Die Lösungen der Klausur sind nun online verfügbar (unter demselben Link wie die Klausur, als ich sie gestellt hatte).
- Übungsblatt 9 (Abgabe: Fr, 1.7.2011) (Lösungen zum Übungsblatt) – In der sechsten Zeile von unten auf Seite 2 der Lösungen hatte sich ein Tippfehler eingeschlichen: Es muss dort natürlich "f=f2·g" heißen (und nicht: "f=f2|g"). (verbessert am 15.7.2011)
Die Lösungen zu den Übungsaufgaben sind jeweils freitags (eine Woche nach der Ausgabe) bis 12 Uhr in die Postfächer der Übungszettelkorrektoren einzuwerfen.
- Nicolas Graf, Postfach 185 (Einsteinstr. 64)
- Nils Schladitz, Postfach 37 (Einsteinstr. 64)
Zusätzliche Übungen
Nicolas Graf und Nils Schladitz werden (auf Wunsch einiger Vorlesungsteilnehmer und -teilnehmerinnen) zusätzliche Übungsstunden anbieten, wo die Gelegenheit besteht, Fragen zur Vorlesung zu stellen, einige (weitere) Beispiele zu rechnen, noch einmal genauer (und langsamer) auf Beweise einzugehen etc. Die Teilnahme an den zusätzlichen Übungsstunden ist natürlich nicht verpflichtend, aber sehr wahrscheinlich hilfreich.
Die zusätzlichen Übungen finden zu folgenden Terminen statt – Start ist am Di, 24.5.2011:
- dienstags, 10 – 12 Uhr, Raum SR1C (1. Stock, Einsteinstraße 62) – Nils Schladitz
- dienstags, 14 – 16 Uhr, Hörsaal M1 (Einsteinstraße 64, Hörsaalgebäude) – Nicolas Graf
- freitags, 10 – 12 Uhr, Raum SR4 (4. Stock, Einsteinstraße 62)
- freitags, 14 – 16 Uhr, Raum SR4
(Die „große“ Übung (bei mir) findet natürlich weiterhin statt.)
Zusätzliche Klausurvorbereitung
Auf Wunsch einiger Teilnehmer bieten die beiden Tutoren und ich zusätzliche Fragestunden/Übungen an. Die Übungen finden statt:- Di, 12.7.2011, 12 – 14 Uhr, Raum SR1D (Angela Holtmann)
- Fr, 15.7.2011, 10 – 12 Uhr, Raum SR1B (Nils Schladitz)
- Fr, 15.7.2011, 12 – 14 Uhr, Raum SR1B (Angela Holtmann)
- Fr, 15.7.2011, 14 – 16 Uhr, Raum SR1B (Nicolas Graf)
- Di, 19.7.2011, 12 – 14 Uhr, Raum SR1C (Angela Holtmann)
Literatur
- R. Remmert, P. Ullrich: Elementare Zahlentheorie, 3. Auflage, 2008, Springer, ISBN: 978-3-7643-7730-4
- A. Bartholomé, J. Rung, H. Kern: Zahlentheorie für Einsteiger, 7. Auflage, 2010, Vieweg, ISBN: 978-3-8348-1213-1
- K. Reiss, G. Schmieder: Basiswissen Zahlentheorie – Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche, 2. Auflage, 2007, Springer, ISBN: 978-3-540-45377-2
- R. Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie, 2. Auflage, 2008, Springer, ISBN: 978-3-540-79569-8
Darüber hinaus lohnt es sich auch, einen Blick in Bücher in der Bibliothek zu werfen, in deren Titeln der Begriff „(Elementare) Zahlentheorie“ vorkommt.
Notwendige Vorkenntnisse, Teilnahmevoraussetzungen
Die Veranstaltung bildet die zweite Vorlesung im Modul 3 (Ausgewählte Kapitel der Mathematik). Die Veranstaltung wird ihren Schwerpunkt in der Algebra haben. Daher wird der Abschluss des Moduls 1 (Mathematik und ihre Didaktik I) im Bachelor KJ vorausgesetzt. (Es ist jedoch sinnvoll, auch das Modul 2 (Mathematik und ihre Didaktik II) abgeschlossen zu haben.) In den älteren Studiengängen (Lehramt P oder SI (1998), Lehramt GHR (2003)) wird eine bestandene Zwischenprüfung vorausgesetzt.
Klausuren
Die Klausur zur Veranstaltung bildet gleichzeitig die Abschlussklausur zum Modul 3 (= Modul 4 für die GHR-Studierenden). Weitere Voraussetzungen zum Bestehen des Moduls 3 sind als Studienleistungen die Übungen zu den beiden Vorlesungen, das Bestehen der Klausur zur ersten Vorlesung in diesem Modul (Stochastik oder Analysis) und ein Schein aus einem (fachlichen) Seminar (i.d.R. Zahlbereiche).
Die Modulabschlussklausur (für die Bachelor-KJ-Studierenden) fand am Donnerstag, dem 21.7.2011, in der Zeit von 8 Uhr (s.t.) bis 12 Uhr (4 Zeitstunden) im Hörsaal M1 statt. Die Ergebnisse der Klausur sind im QISPOS eingetragen (27.7.2011). Wer die Klausur einsehen möchte, kann das im Prüfungsamt bei Frau Herweg zu den jeweiligen Öffnungszeiten tun.
Am Dienstag, dem 4.10.2011 fand von 8 Uhr (s.t.) bis 12 Uhr eine Nachklausur (für die Bachelor-KJ-Studierenden) im Hörsaal M6 statt. Die Noten sind im QISPOS eingetragen (7.10.2011).
Der Termin der Klausur für die GHR-Studierenden nach LPO 2003 wurde vom Staatlichen Prüfungsamt festgelegt; die Klausur fand am Montag, dem 5.9.2011 um 8.30 Uhr im Raum B 111, Bispinghof 2b, statt.
Angela Holtmann, letzte Änderung: 07.10.2011
