Fachbereich 10
Mathematik
und Informatik

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Ausgewählte Kapitel der Geometrie (WS 2011/12)

Allgemeine Daten

Vorlesung und Übungen (3+1 SWS):
dienstags, 8 – 10 Uhr in M2 und freitags, 8 – 10 Uhr in M2

Nützliche Informationen

Vorlesungszeit:	10.10.2011 – 3.2.2012 (Weihnachtspause: 27.12.2011 – 6.1.2012)
Vorlesungsverzeichnis:	Vorlesung und Übungen
Veranstalterin:	Angela Holtmann
Sprechstunde:	siehe Hauptseite der Fachstudienberatung
Büro:	106, Einsteinstraße 62
Telefon:	0251/83-33018
E-Mail:
Postfach:	in der Einsteinstraße 62 im Vorraum auf der linken Seite („Studienkoordination/Fachstudienberatung“)

Überblick über die Vorlesungen/zentralen Übungen

Di, 11.10.2011: Die reellen Zahlen – natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen; reelle Zahlen als Körper; geometrische Anschauung der reellen Zahlen sowie der Addition und der Multiplikation; Anordnungsaxiome; Archimedisches Axiom; Intervalle in den reellen Zahlen; Vollständigkeit der reellen Zahlen (ohne Beweis) incl. Beispiel (abgeschlossene Intervalle [0,1/n]) und Gegenbeispiel (offene Intervalle ]0,1/n[)
Fr, 14.10.2011: Fortführung des Gegenbeispiels; Satz von Bolzano-Weierstraß (ohne Beweis) incl. Beispiel; Euklidische Ebene (allg. Definition) incl. Beispiel (R²); Inzidenzaxiome; Beschreibung von Geraden im R²; Beweis, dass das Beispiel R² mit der in der Vorlesung angegebenen Familie von Geraden die Inzidenzaxiome erfüllt
Di, 18.10.2011: Fortsetzung des Beweises; Wdh./bijektive Abbildungen; Koordinatensysteme für Geraden
Fr, 21.10.2011: Abstandsfunktionen für Punkte auf Geraden, euklidischer Abstand, Vergleich; Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 1, Aufgaben 1 und 2)
Di, 25.10.2011: Addition im R², Skalarmultiplikation, 2x2-Matrizen und zugehörige Abbildungen, Additivität von Abbildungen, die durch 2x2-Matrizen beschrieben sind (incl. Beispiel), Matrizenmultiplikation von 2x2-Matrizen, Kompatibilität der Matrizenmultiplikation mit der Hintereinanderausführung der einzelnen Abbildungen (incl. Beispiel); Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 1, Aufgabe 3, Teil 1)
Fr, 28.10.2011: Beispiele und Gegenbeispiele zu Isometrien im R², Determinante von 2x2-Matrizen; Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 2, Aufgabe 2 (Anfang))
Di, 1.11.2011: Allerheiligen
Fr, 4.11.2011: Korrektur/Satz 3.16 und Beweis; Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 2, Aufgabe 2 (Fortsetzung))
Di, 8.11.2011: Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 2, Aufgabe 2 (Rest)); Drehungen im R² und Beschreibung durch 2x2-Matrizen; Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 2, Aufgaben 3 und 1)
Fr, 11.11.2011: Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 2, Aufgabe 1 (Rest)); Matrizen, die Umkehrabbildungen beschreiben, Beispiele; Abbildungen, die durch Matrizen beschrieben werden, sind kompatibel mit Skalarmultiplikation; Abbildungen im R², die durch Matrizen beschrieben werden, sind eindeutig festgelegt, wenn man weiß, wohin die Punkte (1,0) und (0,1) abgebildet werden; die Spalten der Matrix sind die Bilder von (1,0) und (0,1); Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 3, Aufgabe 1)
Di, 15.11.2011: Der Betrag der Determinante von Matrizen, die Isometrien liefern, ist immer 1; allgemeine Definition von „zwischen“, Aussagen zur Lage von drei verschiedenen Punkten, Strecken, Strahlen, Kongruenz von Strecken, konvexe Mengen
Fr, 18.11.2011: Ebenentrennungsaxiom und Lage von Strahlen, die an einem fest vorgegebenen Punkt auf einer Gerade starten (jeweils in einer der durch die Gerade beschriebenen Halbebenen); Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 3, Aufgabe 2)
Di, 22.11.2011: Winkel und Winkelmaßaxiome in der euklidischen Ebene; Winkelmaß im R²
Fr, 25.11.2011: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung und Folgerung („Das Winkelmaß im R² ist durch den Arkuskosinus wirklich definiert“); Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 4, Aufgaben 1, 2 und 3)
Di, 29.11.2011: Dreiecke, Reihenfolgen-Kongruenz, Kongruenz, SWS-Axiom, Basiswinkelsatz, WSW-Kongruenzsatz
Fr, 2.12.2011: Weitere ausführliche Erläuterungen zur Reihenfolgen-Kongruenz (mit zeichnerischen Beispielen); Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 5, Aufgaben 1 und 2 – den allerletzten Teil der Aufgabe 2 haben wir nicht besprochen, das sollte aber inzwischen jeder selbst lösen können…)
Di, 6.12.2011: Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 6, Aufgaben 1, 2 und 3 (Aufgabe 3 im ersten Teil nur eine der drei Rechnungen) und Blatt 5, Aufgabe 3); mit dabei: Parametrisierung von Verbindungsstrecken von zwei Punkten im R² (s. Anhang A des Leitfadens)
Fr, 9.12.2011: Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 7, Aufgabe 1, 2. Teil – den 1. Teil kann man analog lösen –, und Aufgabe 2)
Di, 13.12.2011: SSS-Kongruenzsatz (ohne Beweis); Satz: Zu jeder Geraden und jedem Punkt auf der Geraden gibt es genau eine Gerade, die senkrecht auf der ersten steht und den Punkt enthält; äußere Winkel und entfernte Innenwinkel, zwei Sätze zu Längenverhältnissen und Winkelgrößen im/am Dreieck (ohne Beweis); Dreiecksungleichung (ohne Beweis); SsW-Kongruenzsatz (Aussage)
Fr, 16.12.2011: SsW-Kongruenzsatz; Parallelität von Geraden; hinreichende Bedingung für Parallelität von Geraden; Existenz einer parallelen Gerade zu einer vorgegebenen Gerade, die einen festen Punkt enthält; Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 7, Aufgabe 3, und Blatt 8, Aufgabe 2 (erster Teil))
Di, 20.12.2011: Paare von Wechselwinkeln; Zusammenhang der Winkelmaße in Paaren von Wechselwinkeln mit Parallelität von Geraden; Parallelenaxiom; Charakterisierung der Parallelität von Geraden; Satz: Die Winkelsumme der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180.
Fr, 23.12.2011: Rest des Beweises von Satz 7.8; Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 9); Hinweis zur Übungsaufgabe 1 auf Blatt 8
Di, 10.1.2012: Eigenschaften von Isometrien: Winkeltreue; Isometrien, die zwei Punkte festlassen, lassen alle Punkte auf der zugehörigen Geraden fest; die Identität ist die einzige Isometrie, die drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, festlässt
Fr, 13.1.2012: Isometrien im R², Translationen und Drehungen sind bijektiv, Spiegelungen an Geraden im R², Isometrien sind bijektiv (und Darstellung einer Isometrie als Hintereinanderschaltung von Spiegelungen, Drehungen und Translationen)
Di, 17.1.2012: Fortführung des Beweises; Es gibt zu zwei reihenfolgen-kongruenten Dreiecken genau eine Isometrie, die die Eckpunkte entsprechend aufeinander abbildet
Fr, 20.1.2012: Fortführung des Beweises (Eindeutigkeit der Isometrie); Gruppen, Isometrien des R² als Gruppe, Untergruppen, Translationen und orthogonale Gruppe als Untergruppen der Gruppe der Isometrien des R²
Di, 24.1.2012: Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 10)
Fr, 27.1.2012: Nachtrag: Hat der Winkel PQR zwischen den Punkten P,Q,R Winkelmaß 0, so liegen die Punkte auf einer Geraden; Besprechung der Übungsaufgaben (Blatt 11); Beweis, dass Untergruppen einer Gruppe genau die Teilmengen der Gruppe sind, die selbst wieder Gruppen sind

Leitfaden (Stand: 19.1.2012, 15.20 Uhr)
(Sollte jemand irgendwelche Tippfehler oder Unklarheiten im Leitfaden entdecken, freue ich mich natürlich, wenn derjenige mir diese mitteilt.)

Hier ist nun, wie versprochen, eine Übersicht über die Vorlesungs- und Übungsinhalte (Stand: 19.1.2012).

Die E-Mail mit der Probeklausur habe ich am 22.12.2011 nachmittags verschickt.
Wer von den Studierenden nach LPO 2003 (und LPO 1998 (??)) die Klausur auch geschickt bekommen möchte, sollte sich einfach bei mir melden. Da hier die Anmeldung zur Klausur nicht über das QISPOS läuft, haben diese Studierenden noch keine E-Mail erhalten.
Auch ist der Erhalt einer E-Mail keine Garantie, dass Sie sich im QISPOS richtig angemeldet haben. Ich habe hierbei einfach alle Adressen derjenigen genommen, die sich bei 13002 oder 13010 angemeldet haben, aber das reicht natürlich nicht (siehe auch den lange bestehenden Hinweis unten sowie meine beiden E-Mails an die dann jeweils Betroffenen vom 22.11.2011 und vom 19.12.2011).

Übungsblätter

Übungsblatt 1 (Abgabe: Di, 18.10.2011)
Übungsblatt 2 (Abgabe: Di, 25.10.2011)
Übungsblatt 3 (Abgabe: Mi, 2.11.2011)
Übungsblatt 4 (Abgabe: Di, 15.11.2011)
Übungsblatt 5 (Abgabe: Di, 22.11.2011)
Bei Aufgabe 2 sollen die Koordinatensysteme wieder so gewählt sein, dass man die Abstände der Punkte als euklidische Abstände berechnen kann.
Übungsblatt 6 (Abgabe: Di, 29.11.2011)
Übungsblatt 7 (Abgabe: Di, 6.12.2011)
Übungsblatt 8 (Abgabe: Di, 13.12.2011)
Übungsblatt 9 (Abgabe: Di, 20.12.2011)
Am 20.12.2011 wurde kein Übungsblatt verteilt. Stattdessen gibt es eine „halbe“ Probeklausur, die über die Weihnachtspause gerechnet und bei den Übungsgruppenleitern bzw. in deren Postfächer bis Montag, den 9.1.2011, 12 Uhr, abgegeben werden kann.
Übungsblatt 10 (Abgabe: Di, 17.1.2012)
Übungsblatt 11 (Abgabe: Di, 24.1.2012)

Die Lösungen zu den Übungsaufgaben sind, sofern nicht anders angegeben, jeweils dienstags (eine Woche nach der Ausgabe) bis 12 Uhr in die Postfächer der Übungsleiter (im Hörsaalgebäude, Einsteinstr. 64) einzuwerfen. Die Übungen können natürlich in Gruppen gerechnet werden, aber mehr als drei Studierende sollen nicht zusammen einen Zettel abgeben, damit jeder die Möglichkeit hat, in jeder Woche zumindest eine der drei Aufgaben selbst aufzuschreiben. (Schließlich muss man in der Klausur ja auch alles selbst schreiben…)

(25.11.2011) Wichtiger Hinweis für die Klausur – ich bin schon von einigen Studierenden darauf angesprochen worden:

Rein zeichnerische „Lösungen“ sind in der Regel keine Beweise, auch wenn die Übungsgruppenleiter in manchen Fällen Punkte dafür gegeben haben, da man in Zeichnungen immer nur spezielle Punkte rausgreifen kann (und nicht alle). Es muss daher in fast allen Fällen wirklich etwas nachgerechnet/ausgerechnet werden.

Eine Zeichnung ist (in der Klausur) i.d.R. nur dann notwendig, wenn in der Aufgabenstellung explizit steht, man solle eine solche machen. (Ansonsten hilft es natürlich oft bei der mathematischen Formulierung, wenn man sich die Idee auch noch mal an einer Zeichnung veranschaulicht hat. Das mache ich ja auch während der Vorlesung, aber ich gebe auch immer zusätzlich/schwerpunktmäßig mathematische/algebraische Beweise…)

Übungsleiter

Sariye Demir, Postfach 161
Sina Tellen, Postfach 149
Nico Vehren, Postfach 146

Zusätzliche Übungen

Zusätzlich zu den großen Übungen (bei mir) werden die Übungsleiter weitere Übungsstunden in „Kleingruppen“ anbieten (ab dem 20.10.2011 bzw. 21.10.2011), wo die Gelegenheit besteht, Fragen zur Vorlesung zu stellen, einige (weitere) Beispiele zu rechnen, noch einmal genauer (und langsamer) auf Beweise einzugehen etc. Die Teilnahme an den zusätzlichen Übungsstunden ist natürlich nicht verpflichtend, aber sehr wahrscheinlich hilfreich. (Zumindest bekam ich diese Rückmeldung von den Studierenden der Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ im SS 2011, nachdem wir die zusätzlichen Übungen auf Studierendenwunsch hin kurzfristig eingerichtet hatten.)

Die zusätzlichen Übungen finden zu folgenden Terminen statt:

Do, 10 – 12 Uhr, SR1A (Sariye Demir)
Fr, 10 – 12 Uhr, SR1C (Sina Tellen)
Fr, 12 – 14 Uhr, M5 (Nico Vehren)

Wiederholungsübungen

In der letzten Vorlesungswoche findet keine Vorlesung statt. (Der Hörsaal wird dann für einige Klausuren gebraucht.) Vor der Klausur werde ich aber einige Termine zur Vorbereitung auf die Klausur anbieten. Wer mag, kann dann gerne vorbeikommen. Wir starten in der letzten Vorlesungswoche zu den Vorlesungszeiten: Di, 31.1.2012, 8-10 Uhr im Hörsaal M6 und Fr, 3.2.2012, 8-10 Uhr im ~~Seminarraum N1 (Orléans-Ring 10 = Anbau)~~ Hörsaal M6. Der nächste Termin ist am Di, 7.2.2012, 10-12 Uhr, wieder im Hörsaal M6.
Die zweite Wiederholungsphase (zur zweiten Klausur) startet ab dem 21.3.2012. Wir treffen uns zum ersten Mal am Mittwoch, dem 21.3.2012 um 12 Uhr bei mir am Büro. Der nächste Termin ist am Dienstag, dem 27.3.2012 von 10 bis 12 Uhr. Treffpunkt ist zunächst wieder mein Büro.

Literatur

I. Agricola, T. Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht, 1. Auflage, 2008, Vieweg+Teubner, ISBN: 3-528-03221-9
H.-W. Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht, 1. Auflage, 2003, Vieweg+Teubner, ISBN: 3-528-03201-4
H. Knörrer: Geometrie. Ein Lehrbuch für Mathematik- und Physikstudierende, 2. Auflage, 2006, Vieweg+Teubner, ISBN: 3-8348-0210-7
G. Bär: Geometrie. Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2. Auflage, 2001, B.G. Teubner Verlag, ISBN: 3-519-20722-2
C. Bär: Elementargeometrie (Vorlesungsskript an der Uni Potsdam, siehe hier)
S. Müller-Philipp und H.-J. Gorski: Leitfaden Geometrie, 4. Auflage, 2009, Vieweg+Teubner, ISBN: 978-3-8348-0097-8
G. Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger, 17. Auflage, 2010, Vieweg+Teubner, ISBN: 978-3-8348-0996-4
(insbesondere für den Spezialfall von 2x2-Matrizen für lineare Abbildungen des R² in sich sowie für Anwendungen von Sätzen/Definitionen in der euklidischen Ebene im Spezialfall R²)

Darüber hinaus lohnt es sich auch, einen Blick in Bücher in der Bibliothek zu werfen, in deren Titeln der Begriff „(Elementare) Geometrie“ vorkommt.

Notwendige Vorkenntnisse, Teilnahmevoraussetzungen

Die Veranstaltung bildet die zweite Vorlesung im Modul 3 (Ausgewählte Kapitel der Mathematik). Die Veranstaltung wird ihren Schwerpunkt in der Geometrie haben. Daher wird der Abschluss des Moduls 2 (Mathematik und ihre Didaktik II) im Bachelor KJ vorausgesetzt. (Es ist jedoch sinnvoll, auch das Modul 1 (Mathematik und ihre Didaktik I) abgeschlossen zu haben.) In den älteren Studiengängen (Lehramt P oder SI (1998), Lehramt GHR (2003)) wird eine bestandene Zwischenprüfung vorausgesetzt.

Klausuren

Die Klausur zur Veranstaltung bildet gleichzeitig die 4-stündige Abschlussklausur zum Modul 3 (= Modul 4 für die GHR-Studierenden). Weitere Voraussetzungen zum Bestehen des Moduls 3 sind als Studienleistungen die Übungen zu den beiden Vorlesungen, das Bestehen der Klausur zur ersten Vorlesung in diesem Modul (Stochastik oder Analysis) und ein Schein aus einem (fachlichen) Seminar (i.d.R. Zahlbereiche).

Die erste Klausur für die Bachelor-KJ-Studierenden findet am Freitag, dem 10.2.2012, von 8 bis 12 Uhr (pünktlich; 4 Zeitstunden) statt, damit diejenigen, die parallel noch Analysis bei Herrn Sauer hören, die Möglichkeit haben, davor die Analysis-Klausur zu schreiben, und die Ergebnisse bis zur Modulabschlussprüfung feststehen. Die Anmeldung erfolgt über das QISPOS-System. Der Anmeldezeitraum startet am Fachbereich Mathematik und Informatik am Mittwoch, dem 26.10.2011. (Bitte beachten Sie, dass Sie sich hier bei zwei „Prüfungen“ anmelden müssen: einmal bei der „2. Vorlesung“ (13002) und – ganz wichtig! – bei der „Modulabschlussprüfung“ (13010)!)
Wir werden (voraussichtlich) in zwei Hörsälen schreiben. Damit jeder schnell einen Platz finden kann, sollten sich diejenigen Studierenden, deren Nachnamen mit A – N beginnen, im Hörsaal M1 und diejenigen, deren Nachnamen mit P – Z beginnen, im Hörsaal M2 einfinden.
Die Noten der Klausur sind nun im QISPOS eingetragen (6.3.2012). Eine Klausureinsicht zur ersten Klausur ist im Prüfungsamt (bei Frau Herweg) zu den dortigen Öffnungszeiten möglich. Wer möchte, kann auch mit mir zusammen die Klausur einsehen und sollte dazu mit mir einen Termin ausmachen, der möglichst außerhalb meiner Sprechstunden liegt.

Die zweite Klausur für die Bachelor-KJ-Studierenden findet am Donnerstag, dem 29.3.2012, von 8 bis 12 Uhr im Hörsaal M5 statt.
Es gibt außerdem eine wichtige Änderung der Fächerspezifischen Anhänge für den Bachelor KJ (erschienen in den Amtlichen Bekanntmachungen der WWU): Die Voraussetzung, dass man zum Schreiben der Modulabschlussklausur des 3. Moduls bereits die 1. Vorlesung und das Seminar bestanden haben muss (mit QISPOS-Eintrag), wurde gestrichen.
Die Anmeldung zur zweiten Klausur ist bis zum 21.3.2012 über das QISPOS-System möglich („Selbstanmeldung“ – ab jetzt (6.3.) auch für diejenigen, die die Klausur wiederholen müssen).
Die Klausuren wurden von den Zweitkorrektoren korrigiert, die Ergebnisse sind vom Prüfungsamt ins QISPOS eingetragen worden (12.4.2012). Für die Klausureinsicht gilt dasselbe wie für die Einsicht zur ersten Klausur.

Der Termin für die Klausur für die GHR-Studierenden nach LPO 2003 wird vom Staatlichen Prüfungsamt festgelegt. Bislang war das für die Wintersemestervorlesungen immer im April des Jahres. (Anmeldeschluss beim Staatlichen Prüfungsamt ist hier Ende Februar 2012.) Nach den Informationen des Staatlichen Prüfungsamtes findet die Klausur für den GHR-Studierenden am Donnerstag, dem 12.4.2012, um 8.30 Uhr im Raum B 12, Bispinghof 2b, statt.

Angela Holtmann, letzte Änderung: 12.04.2012