Algebra und Zahlentheorie (SS 2010)
Allgemeine Daten
- Vorlesung und Übungen (3+1 SWS):
dienstags, 12 – 14 Uhr in M2 und freitags, 12 – 14 Uhr in M2
Nützliche Informationen
| Vorlesungszeit: | 12.4.2010 – 23.7.2010
(Achtung: Vom 19.7. bis 23.7. ist eine so genannte Prüfungswoche, in der die Hörsäle (oft) durch Klausuren belegt sind. Die Klausur zu dieser Veranstaltung findet jedoch erst in der Woche danach statt. Daher gibt es für diejenigen, die Interesse haben, ein Alternativprogramm mit Wiederholungen zur Klausurvorbereitung.) |
| Vorlesungsverzeichnis: | Vorlesung und Übungen |
| Veranstalterin: | Angela Holtmann |
| Sprechstunde: | siehe Hauptseite der Fachstudienberatung |
| Büro: | 100.011 (im Erdgeschoss), Orléans-Ring 10 (=Anbau) |
| Telefon: | 0251/83-33018 |
| E-Mail: | |
| Postfach: | in der Einsteinstraße 62 im Vorraum auf der linken Seite („Studienkoordination/Fachstudienberatung“) |
Hinweis
Manchmal verschicke ich auch E-Mails an die Teilnehmer der Vorlesung. Wer sich (aus welchen Gründen auch immer) nicht im Vorlesungsverzeichnis bei der Vorlesung eingetragen hat und die E-Mails trotzdem bekommen möchte (oder meine E-Mail vom Freitag, dem 30.4.2010, nicht erhalten hat und sie lesen möchte), sollte mir am besten dazu eine kurze E-Mail schicken. Diejenigen nehme ich dann zusätzlich mit in meinen „Verteiler“ auf.
Allgemeine Einführung
Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich u.a. mit den ganzen Zahlen und Lösungen von ganzzahligen Gleichungen (Diophantischen Gleichungen) beschäftigt. Insbesondere wird es in der Vorlesung um Primfaktorzerlegungen, Teilbarkeit in den ganzen Zahlen und das Rechnen mit Kongruenzen gehen. Wichtige Resultate aus der elementaren Zahlentheorie, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind zum Beispiel der Satz von Fermat, der Satz von Euler, der Chinesische Restsatz, der Satz von Wilson und der Euklidische Algorithmus. In der Vorlesung wird es einerseits um solche Fragestellungen gehen, andererseits wird auch – wie der Titel ja bereits vermuten lässt… – der algebraische Hintergrund dargestellt.
Überblick über die Vorlesungen
- Di, 13.4.2010: Allgemeiner Überblick und Teilbarkeit in Z
- Fr, 16.4.2010: Primzahlen – Teil 1 (Definition und Charakterisierungen, Satz von Euklid)
- Di, 20.4.2010: Primzahlen – Teil 2 (weitere Charakterisierung und Beispiel)
- Fr, 23.4.2010: Primzahlen – Teil 3 (noch ein Beispiel und Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie)
- Di, 27.4.2010: Anwendungen des Hauptsatzes der EZT – Teil 1: Anzahl der positiven Teiler und Produkt aller positiven Teiler einer Zahl (incl. Beispielen)
- Fr, 30.4.2010: Anwendungen des Hauptsatzes der EZT – Teil 2: Summe aller positiven Teiler einer Zahl
- Di, 4.5.2010: Anwendungen des Hauptsatzes der EZT – Teil 3: Summe aller positiven Teiler einer Zahl (Beweis der Formel)
- Fr, 7.5.2010: Anwendungen des Hauptsatzes der EZT – Teil 4: Summe aller positiven Teiler einer Zahl (Beispiel zum Beweis des Satzes); vollkommene Zahlen (Charakterisierung der geraden vollkommenen Zahlen)
- Di, 11.5.2010: Anwendungen des Hauptsatzes der EZT – Teil 5: Beweis des Satzes zur Charakterisierung der geraden vollkommenen Zahlen; Mersennesche Primzahlen, Fermatsche Primzahlen
- Fr, 14.5.2010: Anwendungen der Hauptsatzes der EZT – Teil 6: Fortsetzung/Fermatsche Primzahlen; Der größte gemeinsame Teiler – Teil 1: Definition, Eindeutigkeit und Existenz (über die Darstellung mit Hilfe der Primfaktorzerlegungen)
- Di, 18.5.2010: Der größte gemeinsame Teiler – Teil 2: Euklidischer Algorithmus (Division mit Rest; Algorithmus)
- Fr, 21.5.2010: Der größte gemeinsame Teiler – Teil 3: Euklidischer Algorithmus (Beweis des Satzes, Beispiel); das kleinste gemeinsame Vielfache
- Di, 25.5. und Fr, 28.5.2010: Pfingstwoche
- Di, 1.6.2010: Der größte gemeinsame Teiler – Teil 4: Hauptsatz (Darstellung des größten gemeinsamen Teilers als ganzzahlige Linearkombination)
- Fr, 4.6.2010: Der größte gemeinsame Teiler – Teil 5: Beweis des Hauptsatzes, Beispiele
- Di, 8.6.2010: (nur Übungen)
- Fr, 11.6.2010: Der größte gemeinsame Teiler – Teil 6: Lemma von Bézout (Darstellung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen als ganzzahlige Linearkombination der beiden Zahlen)
- Di, 15.6.2010: (Übungen)
- Fr, 18.6.2010: Diophantische Gleichungen (lineare Gleichungen; pythagoräische Tripel – Teil 1)
- Di, 22.6.2010: Diophantische Gleichungen (pythagoräische Tripel – Teil 2)
- Fr, 25.6.2010: Diophantische Gleichungen (Teil 3)
- Di, 29.6.2010: Ringe und Beispiele für Ringe (u.a. Polynomringe)
- Fr, 2.7.2010: Weitere Beispiele für Ringe (quadratische Zahlbereiche), Teilbarkeit in allgemeinen Ringen, Einheiten in Ringen (incl. Beispielen, Gegenbeispielen, Eigenschaften)
- Di, 6.7.2010: Ringe: Assoziiertheit, Unzerlegbarkeit und Primelemente, Normfunktionen
- Fr, 9.7.2010: Gegenbeispiel zur „Eindeutigkeit“ der Zerlegung von Nicht-Einheiten in unzerlegbare Elemente
- Di, 13.7.2010: Fortsetzung des Gegenbeispiels; Faktorielle Ringe: Charakterisierung (Aussage) und Zusammenhang von Teilbarkeit mit Idealen
- Fr, 16.7.2010: Satz: In kommutativen Hauptidealringen sind alle unzerlegbaren Elemente Primelemente.
Hier ist der Leitfaden zur Vorlesung (Stand vom 20.7.2010). (Den zeichnerischen Überblick über die geplanten Vortragsthemen aus der ersten Vorlesung habe ich hier nicht aufgeführt.)
Ich habe hier die Hauptaussagen sowie (hoffentlich) alle Definitionen gesammelt – mit Hinweisen, welche Art von Beweisen in der Klausur vorkommen könnten (Stand vom 13.7.2010). Sollte jemandem etwas komisch vorkommen (oder jemand eine Definition vermissen, die ich gegeben habe), so wäre ein kurzer Hinweis an mich natürlich sinnvoll…
Tutoriumsangebote
- Di, 20.7.2010, 12 – 14 Uhr: Tutoriumsangebot von Karl-Heinz Kamp und Christopher Crighton
(in den Seminarräumen N1 und N2)(wurde kurzfristig verlegt) - Mo, 26.7.2010, 12 – 14 Uhr: weiteres Tutoriumsangebot von Christopher Crighton im Seminarraum N3
- Tutoriumsangebot mit Karl-Heinz Kamp: nach Absprache – (war) Fr, 23.7.2010, 10 – 12 Uhr in M6
- weitere Angebote von Terminen zur Klausurvorbereitung (mit mir):
- Fr, 23.7.2010, 12 – 14 Uhr, Hörsaal M6
- Mo, 26.7.2010, Di, 27.7.2010, Mi, 28.7.2010 und Do, 29.7.2010: jeweils 8 – 10 Uhr, Seminarraum N3
- Mo, 4.10.2010, Di, 5.10.2010, Seminarraum N2; Mi, 6.10.2010, Do, 7.10.2010, Seminarraum SR1A (Hauptgebäude, Einsteinstr. 62, 1. Stock); die Treffen finden jeweils von 16 bis 18 Uhr statt
Übungsblätter
- Übungsblatt 0 (keine Abgabe, aber „häusliche Vorbereitung“ zu Fr, 16.4.2010)
- Übungsblatt 1 (Abgabe am Fr, 23.4.2010)
- Übungsblatt 2 (Abgabe am Fr, 30.4.2010)
- Übungsblatt 3 (Abgabe am Fr, 7.5.2010) – hier meine Lösung zu Aufgabe 1; und hier (für die Computer-Interessierten) meine Lösung mit Maple
- Übungsblatt 4 (Abgabe am Fr, 14.5.2010) – Bei Aufgabe 1 muss im zweiten Teil zusätzlich vorausgesetzt werden, dass n≠1 ist, denn 1 hat ja nur die Teiler 1 und −1, also gar keinen Primteiler.
- Übungsblatt 5 (Abgabe am Fr, 21.5.2010) – hier meine Lösung zu Aufgabe 1, Teil 4
- Übungsblatt 6 (Abgabe am Fr, 4.6.2010) – hier meine Lösung zu Aufgabe 2, Teil 2
- Übungsblatt 7 (Abgabe am Fr, 11.6.2010) – hier meine Lösung zu Aufgabe 3, Teil 2.b)
- Übungsblatt 8 (Abgabe am Fr, 18.6.2010)
- Übungsblatt 9 (Abgabe am Fr, 25.6.2010) – Bei Aufgabe 3 muss im dritten Teil vorausgesetzt werden, dass s,t∈N0 gilt, ansonsten wären die beiden ja mit Sicherheit keine Quadratzahlen.
- In der Woche vom 26.6. bis zum 2.7.2010 gibt es kein Übungsblatt, dagegen eine Probeklausur (verschickt per E-Mail am 24.6.2010 – wer sie noch nicht erhalten hat, möge sich einfach bei mir melden)
- Übungsblatt 10 (Abgabe am Fr, 9.7.2010) – hier meine Lösungen und Lösungshinweise zu den Aufgaben auf dem Übungsblatt
- Polynome: Summen und Produkte – Kurzschreibweise mit Summenzeichen (hilft ggf. beim Aufschreiben (nicht: Lösen) der Aufgabe 2 auf Übungsblatt 10)
Die Lösungen zu den Übungsaufgaben sind jeweils freitags bis 12 Uhr (s.t.) in die Postfächer der Übungszettelkorrektoren einzuwerfen: Postfach 39 (Karl-Heinz Kamp) oder Postfach 40 (Christopher Crighton). Beide Postfächer befinden sich in der Einsteinstraße 64.
Literatur
(Bei der Auswahl handelt es sich nur um eine vorläufige Liste, die einen ersten Eindruck von möglichen Inhalten der Vorlesung liefern soll.)
- R. Remmert, P. Ullrich: Elementare Zahlentheorie, 3. Auflage, 2008, Springer, ISBN: 978-3-7643-7730-4
- A. Bartholomé, J. Rung, H. Kern: Zahlentheorie für Einsteiger, 7. Auflage, 2010, Vieweg, ISBN: 978-3-8348-1213-1
- A. Leutbecher: Zahlentheorie – Eine Einführung in die Algebra, 1996, Springer, ISBN: 978-3-540-58791-0
- R. Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie, 2. Auflage, 2008, Springer, ISBN: 978-3-540-79569-8
Notwendige Vorkenntnisse, Teilnahmevoraussetzungen
Die Veranstaltung bildet die zweite Vorlesung im Modul 3 (Ausgewählte Kapitel der Mathematik). Die Veranstaltung wird ihren Schwerpunkt in der Algebra haben. Daher wird der Abschluss des Moduls 1 (Mathematik und ihre Didaktik I) im Bachelor KJ vorausgesetzt. (Es ist jedoch sinnvoll, auch das Modul 2 (Mathematik und ihre Didaktik II) abgeschlossen zu haben.) In den älteren Studiengängen (Lehramt P oder SI (1998), Lehramt GHR (2003)) wird eine bestandene Zwischenprüfung vorausgesetzt.
Klausuren
Die Klausur zur Veranstaltung bildet gleichzeitig die Abschlussklausur zum Modul 3 (= Modul 4 für die GHR-Studierenden). Weitere Voraussetzungen zum Bestehen des Moduls 3 sind als Studienleistungen die Übungen zu den beiden Vorlesungen, das Bestehen der Klausur zur ersten Vorlesung in diesem Modul (Stochastik oder Analysis) und ein Schein aus einem (fachlichen) Seminar (i.d.R. Zahlbereiche).
Die Klausur für die Bachelor-KJ-Studierenden fand am Freitag, dem 30.7.2010, in der Zeit von 8 bis 12 Uhr (punkt 8 Uhr(!) bis punkt 12 Uhr, 4 Zeitstunden) im Hörsaal M1 statt. Seit dem 19.8.2010 stehen die Ergebnisse im QISPOS.
Die Klausur für die GHR-Studierenden fand im September 2010 statt. (Der genaue Termin für die GHR-Studierenden wurde vom Staatlichen Prüfungsamt festgelegt. Die Termine für die Prüfungen im September 2010 sind nun online. Laut dieser Datei (Stand vom 10.8.2010) fand die Modulabschlussprüfung zum Modul 4 im GHR-Studiengang am 20.9.2010 um 8.30 Uhr statt.)
Die zweite Klausur für die Bachelor-KJ-Studierenden fand am Freitag, dem 8.10.2010 in der Zeit von 9 bis 13 Uhr im Hörsaal M2 statt. Die Ergebnisse sind nun im QISPOS zu finden.
Angela Holtmann, letzte Änderung: 18.11.2010
